2024-2025學年浙江省“A9 協(xié)作體”高二第一學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年浙江省“A9協(xié)作體”高二第一學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線3x+y?3=0的傾斜角是(

)A.π6 B.π3 C.2π32.向量a=(x,1,2)，b=(1,?y,8)，若a//bA.x=?14，y=14 B.x=14，y=?4

C.x=13.若點P(1,m)在圓C:x2+y2?2x+2y+1=0A.(?∞,?2) B.[?2,0] C.(0,2) D.(?2,0)4.若直線ax+(a?3)y+3=0與直線x+ay?3=0垂直，則a的值是(

)A.2 B.0 C.0或2 D.2或?25.已知橢圓x24+y29=1的下焦點是F1，上焦點是F2，點PA.2:7 B.1:7 C.1:2 D.3:46.已知平面上兩定點A，B，則滿足|PA||PB|=k(常數(shù)k>0且k≠1)的動點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓.已知在△PAB中，AB=4，PA=2PB，則△PAB面積的最大值是(

)A.4 B.83 C.323 7.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓C于AA.255 B.55 8.一條東西走向的高速公路沿線有三座城市A、B、C，其中A在C正西60km處，B在C正東100km處，臺風中心在C城市西偏南30°方向200km處，且以每小時40km的速度沿東偏北30°方向直線移動，距臺風中心1034km內(nèi)的地區(qū)必須保持一級警戒，則從A地解除一級警戒到B地進入一級警戒所需時間(單位：小時A.(1,32) B.(32,2)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列選項正確的是(

)A.空間向量a=(1,?1,?2)與b=(?2,2,4)垂直

B.已知空間向量a=(1,2,0)，b=(?1,0,3)，則b在a方向上的投影向量的模為55

C.已知向量a=(2,x,4)，b=(?1,2,1)，c=(0,1,1)，若{a,b,c}可作為一組基底，則10.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32A.過點F1的直線與橢圓交于A，B兩點，則△ABF2的周長為8

B.存在點P，使得PF1的長度為4

C.橢圓上存在4個不同的點P，使得P11.在數(shù)學中有“四瓣花”系列曲線，下列結論正確的有(

)A.曲線x2+y2=|x|+|y|恰好經(jīng)過9個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)

B.曲線x2+y2=|x|?|y|夾在直線y=2?12和直線y=1?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.直線l:mx+(m+1)y+2=0(m∈R)經(jīng)過的定點坐標為

．13.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長均為1，且它們兩兩所成夾角都是14.若點P1(x1,y1)在橢圓x24+四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知△ABC的頂點C在直線l:x?y+2=0上運動，點A為(0,?2)，點B為(2,0)．(1)求直線AB的方程;(2)△ABC的面積是否為定值?若是，求出該值.若不是，說明理由．16.(本小題15分)在平面直角坐標系xoy中，已知圓C:x2+y(1)若斜率為1的直線l過點B，且與圓C相交，截得的弦長為2，求圓C的半徑(2)已知點P在圓C上，且∠APB=90°，若點P存在兩個位置，求實數(shù)m的取值范圍．17.(本小題15分)

如圖，AB/?/CD，AD⊥AB，且AB=2CD=2AD=2，平面ABCD⊥平面BCFE，四邊形BCFE為正方形．

(1)求證：BF⊥AE．(2)若點P在線段DF上，且點P到平面ACF距離為23，求平面PAC與平面PAB18.(本小題17分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點(0,3)在橢圓上，過F1的直線交橢圓于B、D(1)求橢圓的方程;(2)若P是該橢圓上的一個動點，求PF1(3)求四邊形ABCD的面積的最小值．19.(本小題17分)在空間直角坐標系O?xyz中，任何一個平面都能用方程Ax+By+Cz+D=0表示.(其中A，B，C，D∈R且A2+B2+C2≠0)，且空間向量n=(A,B,C)為該平面的一個法向量(1)若平面α3與平面α4互相垂直，求實數(shù)m(2)請利用法向量和投影向量的相關知識證明：點P(x0,y(3)若四個平面α1，α2，α3，α4圍成的四面體的外接球體積為參考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.A

6.D

7.B

8.A

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.(2,?2)

13.214.4?215.解：(1)由A(0,?2)，B(2,0)得kAB=?2?00?2=1，

由點斜式方程y?(?2)=x?0，化簡得x?y?2=0；

(2)△ABC的面積為定值；

由于kAB=1=k1，故AB//l，

又點C在直線l:x?y+2=0上運動，故點C到直線AB16.解：(1)圓C:x2+y2?4x+m=0可化為(x?2)2+y2=4?m，

圓心為(2,0)，半徑r=4?m，

直線l的方程為x?y?1=0，圓心到直線距離為d=12．

由弦長公式l=2r2?d2=2r2?12=2，得r=1；

(2)因為17.(1)證明：如圖，連接CE，AC，∵AC2=AD2+CD2=2，

∴AC=2，又BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，

又∵平面ABCD⊥平面BCFE，且平面ABCD∩平面BCFE=BC，AC?平面ABCD，

∴AC⊥平面BCFE，而BF?平面BCFE，∴AC⊥BF，

而四邊形BCFE為正方形，則BF⊥CE，且AC∩CE=C，AC，CE?平面ACE，

∴BF⊥平面ACE，

∵AE?平面ACE，∴BF⊥AE．

(2)解：∵平面ABCD⊥平面BCFE，且平面ABCD∩平面BCFE=BC，CF⊥BC，CF?平面BCFE，

∴CF⊥平面ABCD，又CF?平面ACF，

故平面ACF⊥平面ABCD，

從而點D到平面ACF的距離為點D到直線AC的距離，且為22，

又點P在線段DF上，且點P到平面ACF距離為23，故點P為線段DF的三等分點(靠近D點)，

如圖，取AB中點M，以C為原點，CD所在直線為x軸，CM所在直線為y軸，CF所在直線為z軸建立空間直角坐標系，

則C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(?1,1,0)，D(1,0,0)，F(xiàn)(0,0,2)，P(23,0,23)，

又AB=(?2,0,0)，PA=(13,1,?18.解：(1)當直線BD的斜率為0時，直線AC垂直于x軸，

∴|BD|=2a，|AC|=2b2a，即|BD|+|AC|=2a+2b2a=7，

(0,3)在橢圓上，所以b=3，結合a>b>0

解得：a=2，b=3，所以橢圓方程為x24+y23=1;

(2)所以F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設P(x,y)，則PF1?PF2=x2+y2?1=x2+3(1?x24)?1=x24+2，

因為x∈[?2,2]，故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，PF1?PF2有最小值2，

當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，PF1?PF2有最大值3，

所以PF1?PF2的取值范圍為[2,3]；

(3)(i)當BD19.解：(1)平面α3的法向量n1=(1,1,1)，平面α4的法向量n2=(1,1,m)，

所以n1?n2=1×1+1×1+1×m=0，故m=?2．

(2)證明：不妨設C≠0，在平面Ax+By+Cz+D=0內(nèi)取一點Q(0,0,?DC)，

則向量QP=(x0,y0,z0+DC)