第2講集合的表示

第2講：集合的表示【知識(shí)點(diǎn)梳理】一、集合的表示（1）列舉法把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．（2）描述法一般地，設(shè)是一個(gè)集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．（3）Venn圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．【典型例題】題型一：用列舉法表示集合【例1】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的描述法得到集合的列舉法.【詳解】∵，∴．又，∴．故選：A【例2】（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）集合可用列舉法表示為_(kāi)_____，集合可用列舉法表示為_(kāi)_____.【答案】

【解析】【分析】根據(jù)集合的描述法可得A中的代表元素為y，再結(jié)合滿足條件即得，B中代表元素為結(jié)合滿足的條件即得.【詳解】由，，，知x可取的值為0，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以集合；由題知集合B表示點(diǎn)集，所以.故答案為：，.【例3】用列舉法表示下列給定的集合：(1)不大于的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)小于的質(zhì)數(shù)組成的集合；(3)方程的實(shí)數(shù)根組成的集合；(4)方程組的解集.解：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－2x－3＝0的實(shí)數(shù)根為－1,3，所以C＝{－1,3}．(4)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2))的解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))所以方程組的解集D＝{(3,1)}．【題型專練】1.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）用列舉法表示集合：為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】因?yàn)榍遥灾荒苁?，1，2，3，4；只能是4，3，2，1，0.用列舉法寫(xiě)出即可.【詳解】由題知：=故答案為：.2.（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）方程組的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出方程組的解，然后利用列舉法表示集合即可．【詳解】由得，即方程組構(gòu)成的集合為.故選：D．3.（2021·浙江·玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，則用列舉法表示集合為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，則，對(duì)代入檢驗(yàn)，注意集合的元素為坐標(biāo)．【詳解】∵，則可得，則又∵，則當(dāng)成立，當(dāng)成立，∴故答案為：．4.用列舉法表示下列集合：(1)方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(2)直線與軸的交點(diǎn)所組成的集合；(3)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合．解：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解組成的集合為{0,2}．(2)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0,1)，故交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}．(3)正整數(shù)有1,2,3，…，所求集合為{1,2,3，…}．5.下列命題中正確的（） ①與表示同一個(gè)集合； ②由組成的集合可表示為或； ③方程的所有解的集合可表示為； ④集合可以用列舉法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上語(yǔ)句都不對(duì)【答案】C【詳解】①{0}表示元素為0的集合，而0只表示一個(gè)元素，故①錯(cuò)誤；②符合集合中元素的無(wú)序性，正確；③不符合集合中元素的互異性，錯(cuò)誤；④中元素有無(wú)窮多個(gè)，不能一一列舉，故不能用列舉法表示．故選：C.題型二用描述法表示集合文字描述；式子描述【例1】用描述法表示下列集合：(1)不等式的解組成的集合；(2)被除余的正整數(shù)的集合；(3)；(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合.解：(1)不等式2x－3<1的解組成的集合為A，則集合A中的元素是數(shù)，設(shè)代表元素為x，則x滿足2x－3<1，則A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}．(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z.但元素為正整數(shù)，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整數(shù)的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)設(shè)偶數(shù)為x，則x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即x<0，y>0，故第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合為D＝{(x，y)|x<0，y>0}．【例2】（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）所有正奇數(shù)組成的集合是______．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)正奇數(shù)的定義得到集合.【詳解】所有正奇數(shù)組成的集合是.故答案為：.【題型專練】1.用描述法表示下列集合：(1)比大又比小的實(shí)數(shù)組成的集合；(2)不等式的所有解；(3)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的集合．解：(1)可以表示成{x∈R|1<x<10}．(2)可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}．(3)可以表示成{(x，y)|x±y＝0}．2.（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）所有正偶數(shù)組成的集合是______．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)正偶數(shù)的定義得到集合.【詳解】所有正偶數(shù)組成的集合是.故答案為：.3.（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）集合用描述法可表示為（

）A．是不大于9的非負(fù)奇數(shù) B．且C． D．【答案】AB【解析】【分析】利用描述法的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)A，是不大于9的非負(fù)奇數(shù)表示的集合是，故A正確；對(duì)B，且表示的集合是，故B正確；對(duì)C，表示的集合是，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，表示的集合是，故D錯(cuò)誤.故選：AB.4.（2022·全國(guó)·高一）用描述法表示被4除余3的自然數(shù)全體組成的集合______．【答案】【解析】【分析】用數(shù)學(xué)式子表示出自然語(yǔ)言即可．【詳解】被4除余3的自然數(shù)即為4的整數(shù)倍加3，因此．故答案為：．5.（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）集合是（

）A．第一象限的點(diǎn)集 B．第二象限的點(diǎn)集C．第三象限的點(diǎn)集 D．第四象限的點(diǎn)集【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)可得，進(jìn)而判斷出集合的意義．【詳解】由，故集合是第三象限的點(diǎn)集．故選：C.考點(diǎn)三：集合中元素個(gè)數(shù)相同元素根據(jù)互異性，只能計(jì)算一次（主要考查互異性）【例1】設(shè)集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】時(shí)，的值依次為，有4個(gè)不同值，即，因此中有4個(gè)元素．故選：B．【例2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)為整數(shù)，分析所有可能的情況求解即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，，得即集合A中元素有9個(gè)，故選：A．【例3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合中所含元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用列舉法寫(xiě)出集合，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋灾泻?個(gè)元素．故選：C.【題型專練】1.（2022·湖南衡陽(yáng)·高二期末）已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】討論取相同數(shù)和不同數(shù)時(shí),的取值即可得出答案.【詳解】當(dāng)取相同數(shù)時(shí)，；當(dāng)取不同數(shù)時(shí)，的取值可能為1或2,故中共有3個(gè)元素.故選:B.2.（2022·陜西·交大附中模擬（理））已知表示正整數(shù)集合，若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合描述的幾何意義，列舉出第一象限內(nèi)符合要求的點(diǎn)坐標(biāo)，即可知元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)，又，由，則，由，則，由，則，同理，均屬于集合A，所以第一象限中有13個(gè)點(diǎn)屬于集合A.故選：D3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，，則C中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出集合C的元素，可得答案.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，即C中有三個(gè)元素，故選：C4．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））已知集合，，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給定義求出集合，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，即集合B中的元素有，，，共4個(gè)，故選：B．5.已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】因?yàn)榧?，，所以集合，故選：C6.設(shè)集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，由可得：；當(dāng)時(shí)，由可得：；當(dāng)時(shí)，由可得：，當(dāng)，時(shí)，由可知：不存在整數(shù)使該不等式成立，所以,因此中元素的個(gè)數(shù)為5.故選：C考點(diǎn)四：根據(jù)元素個(gè)數(shù)求參相同元素根據(jù)互異性，只能計(jì)算一個(gè)（主要考查互異性）【例1】已知集合只有一個(gè)元素，則的取值集合為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足條件；②當(dāng)時(shí)，中只有一個(gè)元素的話，，解得，綜上，的取值集合為，．故選：D．【例2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一個(gè)元素，則a的取值范圍是_____．【答案】{0}∪[，+∞）．【解析】【分析】分類(lèi)討論方程解的個(gè)數(shù)，從而確定a的取值范圍．【詳解】當(dāng)a＝0時(shí)，方程可化為﹣3x+1＝0，解得x，故成立；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝9﹣4a≤0，解得；綜上所述，a的取值范圍是{0}∪[，+∞）．故答案為：{0}∪[，+∞）．【例3】已知集合．（1）若中只有一個(gè)元素，求的值；（2）若中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【詳解】解：（1）若中只有一個(gè)元素，則當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，此時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，方程為二元一次方程，，即，故當(dāng)或時(shí)，原方程只有一個(gè)解；（2）中至少有一個(gè)元素，即中有一個(gè)或兩個(gè)元素，由得綜合（1）當(dāng)時(shí)中至少有一個(gè)元素；（3）中至多有一個(gè)元素，即中有一個(gè)或沒(méi)有元素當(dāng)，即時(shí)原方程無(wú)實(shí)數(shù)解，結(jié)合（1）知當(dāng)或時(shí)中至多有一個(gè)元素.【題型專練】1.已知集合中有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值集合是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，若集合中有且只有一個(gè)元素，則，解得；所以實(shí)數(shù)的取值集合是.故選：A．2.式子的所有可能取值組成的集合為_(kāi)_______.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以式子的所有可能取值組成的集合為，故答案為：3.（2022·寧夏·銀川一中高二期中（文））已知集合.(1)若A是空集，求的取值范圍；(2)若A中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合A；(3)若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)集合，當(dāng)時(shí)集合；(3)【解析】【分析】（1）利用是空集，則即可求出的取值范圍；（2）對(duì)分情況討論，分別求出符合題意的的值，及集合即可；（3）分中只有一個(gè)元素和有2個(gè)元素兩種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍，即可得解．(1)解：是空集，且，，解得，的取值范圍為：；(2)解：①當(dāng)時(shí)，集合，②當(dāng)時(shí)，，，解得，此時(shí)集合，綜上所求，當(dāng)時(shí)集合，當(dāng)時(shí)集合；(3)解：中至少有一個(gè)元素，則當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，或；當(dāng)中有2個(gè)元素時(shí)，則且，即，解得且；綜上可得時(shí)中至少有一個(gè)元素，即考點(diǎn)五：集合新定義試題【例1】設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)元素．若對(duì)任意的，都有(除數(shù))，則稱是一個(gè)數(shù)域，例如有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域，有下列說(shuō)法正確的是（） A．?dāng)?shù)域必含有兩個(gè)數(shù)； B．整數(shù)集是數(shù)域； C．若有理數(shù)集，則數(shù)集必為數(shù)域； D．?dāng)?shù)域必為無(wú)限集．【答案】AD【詳解】數(shù)集P有兩個(gè)元素m，N，則一定有m－m＝0，＝1(設(shè)m≠0)，A正確；因?yàn)?∈Z，2∈Z，，所以整數(shù)集不是數(shù)域，B不正確；令數(shù)集，則，但，所以C不正確；數(shù)域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，遞推下去，可知數(shù)域必為無(wú)限集，D正確．故選：AD【例2】給定集合，若對(duì)于任意、，有，且，則稱集合為閉集合，給出如下三個(gè)結(jié)論：①集合為閉集合；②集合為閉集合；③若集合、為閉集合，則為閉集合．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于命題①，取，，則，則集合不是閉集合，①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，任取、，則存在、，使得，，且，，所以，，，所以，集合為閉集合，②正確；對(duì)于命題③，若集合、為閉集合，取，，則或，取，，則，，所以，集合不是閉集合，③錯(cuò)誤.因此，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為.故選：B.【題型專練】1.已知集合中的元素均為整數(shù)，對(duì)于，如果且，那么稱是的一個(gè)“孤立元”．給定集合，由中的個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________個(gè)．答案：6解析：依題意可知，所謂不含“孤立元”的集合就是集合中的3個(gè)元素必須是3個(gè)相鄰的正整數(shù)，故所求的集合為{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6個(gè)．2.設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意，都有、、、（除數(shù)）則稱數(shù)集是一個(gè)數(shù)域．例如有理數(shù)集是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域．下列命題是真命題的是（） A．整數(shù)集是數(shù)域 B．若有理數(shù)集，則數(shù)集必為數(shù)域 C．?dāng)?shù)域必為無(wú)限集 D．存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域【答案】CD【詳解】要滿足對(duì)四種運(yùn)算的封閉，逐個(gè)檢驗(yàn)；A.對(duì)除法如?Z不滿足，所以排除；B.當(dāng)有理數(shù)集增加一個(gè)元素得，而不屬于集合，所以不是一個(gè)數(shù)域,排除；C.域中任取兩個(gè)元素，由運(yùn)算可以生成無(wú)窮多個(gè)元素，所以正確；D.把集合中替換成以外的無(wú)理數(shù)，可得有無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)域，所以正確