第06講實際問題與一元二次方程（7種題型）（解析版）

第06講實際問題與一元二次方程（7種題型）1.能運用一元二次方程解決實際問題.（重點）2.正確分析問題中的數(shù)量關(guān)系并建立一元二次方程模型.（難點）知識點1：列一元二次方程解應用題1.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.知識點2：常見相關(guān)問題的數(shù)量關(guān)系及表示方法題型1：增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：

平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)題型2：面積問題此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.題型3：比賽統(tǒng)計問題比賽問題：解決此類問題的關(guān)鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．題型4：傳播問題傳播問題：，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的人數(shù)．題型5：銷售利潤問題利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).

利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)

利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

題型1：增長率問題例1．（2022?南通）李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若從1月到3月，每月盈利的平均增長率都相同，則這個平均增長率是（）A．10.5% B．10% C．20% D．21%【分析】設該超市的月平均增長率為x，根據(jù)等量關(guān)系：1月份盈利額×（1+增長率）2＝3月份的盈利額列出方程求解即可．【解答】解：設從1月到3月，每月盈利的平均增長率為x，由題意可得：3000（1+x）2＝3630，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），答：每月盈利的平均增長率為10%．故答案為：B．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，屬于增長率的問題，增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．例2．（2021?鹽城）勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學校加大投入，建設校園農(nóng)場，該農(nóng)場一種作物的產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到363千克．設平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則可列方程為．【分析】可先表示出第一年的產(chǎn)量，那么第二年的產(chǎn)量×（1+增長率）＝363，把相應數(shù)值代入即可求解．【解答】解：第一年的產(chǎn)量為300×（1+x），第二年的產(chǎn)量在第一年產(chǎn)量的基礎(chǔ)上增加x，為300×（1+x）×（1+x），則列出的方程是300（1+x）2＝363．故答案是：300（1+x）2＝363．【點評】考查由實際問題抽象出一元二次方程，若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．題型2：面積問題例3．（2020?南通）1275年，我國南宋數(shù)學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．若設長為x步，則可列方程為．【分析】由長和寬之間的關(guān)系可得出寬為（x﹣12）步，根據(jù)矩形的面積為864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵長為x步，寬比長少12步，∴寬為（x﹣12）步．依題意，得：x（x﹣12）＝864．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學常識，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．例4．（2022秋·江蘇無錫·九年級無錫市東林中學校考期中）如圖，長方形花圃面積為，它的一邊利用已有的圍墻（圍墻足夠長），另外三邊所圍的柵欄的總長度是．處開一門，寬度為．設的長度是，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，柵欄的總長度是，門寬度為，則三邊的總長度是，根據(jù)長方形的面積公式，列出方程即可．【詳解】解：設的長度是，則的長度是，列出方程為：，故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)長方形的面積公式列出方程．例5．（2022?泰州）如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？【分析】要求路寬，就要設路寬應為x米，根據(jù)題意可知：矩形地面﹣所修路面積＝草坪面積，利用平移更簡單，依此列出等量關(guān)系解方程即可．【解答】解：設路寬應為x米根據(jù)等量關(guān)系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，解得：x＝4或40，40不合題意，舍去，所以x＝4，答：道路的寬應為4米．【點評】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．題型3：比賽統(tǒng)計問題例6．（2021秋·江蘇無錫·九年級宜興市樹人中學校聯(lián)考階段練習）一次足球聯(lián)賽實行單循環(huán)比賽（每兩支球隊之間都比賽一場），計劃安排15場比賽，設應邀請了x支球隊參加聯(lián)賽，則下列方程中符合題意的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設應邀請了x支球隊參加聯(lián)賽，根據(jù)“計劃安排15場比賽，”列出方程，即可求解．【詳解】解：設應邀請了x支球隊參加聯(lián)賽，根據(jù)題意得：．故選：B【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例7．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）為了迎接第二十二屆世界杯足球賽，卡塔爾某地區(qū)舉行了足球邀請賽，規(guī)定參賽的每兩個隊之間比賽一場，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽．設比賽組織者邀請了個隊參賽，則下列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設比賽組織者邀請了個隊參賽，由題意可知共比賽場，根據(jù)“規(guī)定參賽的每兩個隊之間比賽一場”列出方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，理解題意，正確找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．例8．（2023·江蘇泰州·九年級?？计谀┚拍昙壟e行班級足球賽，先把所有班通過抽簽平均分成A，B兩組，在每一組中進行單循環(huán)的小組賽（每兩個班之間比賽一場），再從每組的前4名選出進行比賽，最后進行決賽得出名次；若A組共進行了21場小組賽，則九年級共有______個班．【答案】14【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩班之間都賽一場），設A組有x個班，則可得方程，計算出A組班數(shù)乘以2，即可得到答案．【詳解】解：設A組共有x個班級．依題意得：解得：∴九年級共有個班級．故答案為：14．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)比賽場數(shù)與參賽隊之間的關(guān)系為：比賽場數(shù)=隊數(shù)（隊數(shù)），進而得出方程是解題關(guān)鍵．題型4：傳播問題例9．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習）美國有一人感染新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有100個人感染，那么每輪傳染中，平均一個人感染x人，可列方程為____________________．【答案】【分析】由每輪傳染中平均一個人感染人，可得出第一輪傳染有人被傳染，第二輪傳染有人被傳染，結(jié)合經(jīng)過兩輪傳染后共有100個人感染，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：每輪傳染中平均一個人感染人，第一輪傳染有人被傳染，第二輪傳染有人被傳染．依題意得：．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．例10．（2022秋·江蘇連云港·九年級階段練習）新冠肺炎傳染性很強，曾有2人同時患上新冠肺炎，并且每人每天平均傳染x人，若經(jīng)過兩天傳染后就有128人患上了新冠肺炎，則x的值為___________．【答案】7【分析】根據(jù)“2人同時患上新冠肺炎，經(jīng)過兩天傳染后128人患上新冠肺炎”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：依題意得：，解得：（不合題意，舍去）．故答案為：7．【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應用，根據(jù)等量關(guān)系列出方程是關(guān)鍵．題型5：銷售利潤問題例11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）某工廠生產(chǎn)的某種零件按供需要求分為8個檔次．若生產(chǎn)第一檔次（最低檔次）的產(chǎn)品，一天可生產(chǎn)件，每件的利潤為元，每提高一個檔次，每件的利潤增加3元，每天的產(chǎn)量將減少2件．請解答下列問題，設產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個檔次的產(chǎn)品）為x，若該產(chǎn)品一天的總利潤為元，求這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值．【答案】這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值為6【分析】設產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個檔次的產(chǎn)品）為x，則每件產(chǎn)品的利潤為元，一天可生產(chǎn)件，根據(jù)題意得，，進行計算即可得．【詳解】解：設產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個檔次的產(chǎn)品）為x，則每件產(chǎn)品的利潤為元，一天可生產(chǎn)件，根據(jù)題意得，，整理得，，解得，，（不符合題意，舍），即這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值為6．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確的列出一元二次方程．例12．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）某商場“國慶”期間銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場采取了降價措施，假設在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．(1)如果襯衫的單價降了15元，求降價后商場銷售這批襯衫每天盈利多少元；(2)如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價降了多少元？【答案】(1)1250元(2)20元【分析】（1）根據(jù)題意“每天可售出20件”和“假設在一定的范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件”，得到答案；（2）設襯衫的單價降了x元．根據(jù)題意等量關(guān)系：降價后的銷量×每件的利潤，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】（1）當單價降了15元時，盈利為(元)，答：這批襯衫每天盈利1250元．（2）設襯衫的單價降了x元．由題意得：，解得：，，要盡快減少庫存，，答：襯衫的單價降了20元．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是由題意找到等量關(guān)系并列出方程．例13．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）今年超市以每件25元的進價購進一批商品，當商品售價為40元時，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎(chǔ)上，五月份的銷售量達到400件．(1)求四、五這兩個月銷售量的月平均增長百分率．(2)經(jīng)市場預測，六月份的銷售量將與五月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，月銷量增加5件，當商品降價多少元時，商場六月份可獲利4250元？【答案】(1)(2)5元【分析】（1）利用平均增長率的等量關(guān)系：，列式計算即可；（2）利用總利潤單件利潤銷售數(shù)量，列方程求解即可．【詳解】（1）解：設平均增長率為，由題意得：，解得：或（舍）；∴四、五這兩個月的月平均增長百分率為；（2）解：設降價元，由題意得：，整理得：，解得：或（舍）；∴當商品降價5元時，商場六月份可獲利4250元．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用．根據(jù)題意正確的列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型6：圖表信息題例14．（2022秋·廣東陽江·九年級統(tǒng)考期末）烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數(shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票【答案】(1)10%(2)2500000張【分析】（1）設平均每次累計票房增長的百分率是，利用第3次累計票房=第1次累計票房（1+平均每次累計票房增長的百分率），即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用數(shù)量=總結(jié)單價，即可求出結(jié)論；【詳解】（1）解：設平均每次累計票房增長的百分率是，依題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：平均每次累計票房增長的百分率是10%．（2）解：（張）．答：10月11日賣出2500000張電影票．（或（張）．）【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及統(tǒng)計表，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．例15．（江蘇南京·九年級階段練習）某商店購進800個旅游紀念品，進價為每個50元，第一周以每個80元的價格售出200個，第二周若按每個80元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出10個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品以及清倉處理，以每個40元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利9000元．（1）填表（結(jié)果需化簡）

時間

第一周

第二周

清倉時單價（元）

80

40銷售量（件）

200（2）求第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？【答案】（1）填表見解析；（2）第二周每個旅游紀念品的銷售價格為70元．【分析】（1）第二周的單價=第一周的單價-降低的價格，銷售量=200+10×降低的單價；清倉時的銷售量為：800-第一周的銷售量-第二周的銷售量；（2）等量關(guān)系為：總售價-總進價=9000．把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．【詳解】解：（1）填表（結(jié)果需化簡）

時間

第一周

第二周

清倉時單價（元）

80

80-x

40銷售量（件）

200

200+10x

400-10x故答案為：80-x，200+10x，400-10x；（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，x2-20x+100=0，解得：x1=x2=10，當x=10時，80-x=70．答：第二周每個旅游紀念品的銷售價格為70元．【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式以及一元二次方程的應用，找出相等關(guān)系列一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．題型7：動點問題例16．（2022秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，cm，cm，點從點出發(fā)沿以cm/s的速度向點運動，當時，點運動的時間為（）A．s B．2s C．10s D．10s或2s【答案】B【分析】設點P運動的時間為ts,根據(jù)題意得：,然后根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：設點P運動的時間為ts,根據(jù)題意得：,∴∵∴，∴解得或（舍去），∴點P運動的時間為2s,故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．例17．（2022秋·江蘇常州·九年級校考階段練習）在平面直角坐標系中，過原點O及點、作矩形OABC，的平分線交AB于點D，點P從點O出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設移動時間為t秒，求當t為多少秒時，為直角三角形．【答案】，或【分析】根據(jù)運動特點先求出，，，即有，，；再根據(jù)直角三角形的特點，分類三種情況討論即可作答．【詳解】根據(jù)運動特點可得：，，∴，∵射線OD是的平分線，∴OD也是第一象限的角平分線，∵第一象限的角平分線的點的橫縱坐標相等，∵點P從點O出發(fā)射線OD方向移動，∴，∵，∴，∴，根據(jù)矩形的性質(zhì)易得，則；；；當為直角三角形時，時，，解得；(舍去)；時，，解得：，時，解得：(舍去)，綜上，，或秒時，為直角三角形．【點睛】本題考查了兩點之間的距離公式，勾股定理以及一元二次方程的應用等知識，掌握兩點之間的距離公式，一元二次方程的解法，直角三角形的判定是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2023春·江蘇淮安·八年級?？计谥校┤鐖D，某小區(qū)計劃在一塊長為，寬為的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為，若設道路的寬為，則所列的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】六塊矩形空地正好能拼成一個矩形，設道路的寬為，根據(jù)草坪的面積是，即可列出方程．【詳解】解：設道路的寬為，根據(jù)題意得：，故選：C．【點睛】本題考查的知識點是由實際問題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵是利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，進而即可列出方程．2．（2023秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在一塊相鄰兩邊長分別為、的矩形綠地內(nèi)，開辟一個矩形的花圃，使四周的綠地等寬，且花圃的面積與四周綠地的面積相等．設四周綠地的寬是，根據(jù)題意，可列出方程（）A． B．C． D．【答案】A【分析】用含x的代數(shù)式表示出花圃的面積，再根據(jù)題中所給等量關(guān)系列出等式即可．【詳解】解：由圖可知，花圃的的長為，寬為，花圃的面積與四周綠地的面積相等，花圃的面積等于整塊土地面積的，，故選A．【點睛】本題考查列一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出花圃的面積等于整塊土地面積的．3．（2023秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）某網(wǎng)絡學習平臺年的新注冊用戶數(shù)為萬，年的新注冊用戶數(shù)為萬，設新注冊用戶數(shù)的年平均增長率為x（），根據(jù)題意所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)年的新注冊用戶數(shù)為萬列方程即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，故選B．【點睛】本題考查一元二次方程解決增長率問題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式．4．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用長為的柵欄圍成一個面積為的矩形花圃．為方便進出，在邊上留有一個寬的小門．設的長為，根據(jù)題意可得方程（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解：設的長為，則，根據(jù)面積為列出方程即可．【詳解】解：設的長為，則，根據(jù)題意得：，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中等量關(guān)系，列出方程．二、填空題5．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）為建設美麗句容，改造老舊小區(qū)，我市年投入資金萬元，年投入資金萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．求我市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率____．【答案】【分析】設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，利用年投入資金金額＝2020年投入資金金額×，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，依題意得：，解得：，（不合題意，舍去），∴該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的應用．解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．6．（2023秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）《田畝比類乘除捷法》中記載了一道題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步．”譯文：一個矩形的面積為864平方步，寬比長少12步，問寬和長各多少步?設矩形的寬為步，由題意，可列方程為____________．【答案】【分析】由矩形的寬及長與寬之間的關(guān)系可得出矩形的長為步，再利用矩形的面積公式即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵矩形的寬為步，且寬比長少12步，∴矩形的長為步．依題意，得：．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學常識，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期中）已知一個數(shù)的平方減去30的差等于這個數(shù)本身，則這個數(shù)為___．【答案】6或-5【分析】設這個數(shù)為x，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進而即可求解．【詳解】解：設這個數(shù)為x，根據(jù)題意得：x2-30=x，解得：x=6或x=-5，故答案是：6或-5．【點睛】本題主要考查一元二次方程，根據(jù)題意，列出方程是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋·江蘇蘇州·九年級校聯(lián)考期中）某商品進貨價為每件10元，售價每件30元時平均每天可以售出20件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，設每件應降價x元，可列出方程為__________________．【答案】（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450【分析】首先設每件應降價x元，利用銷售量×每件利潤＝450元列出方程．【詳解】解：設設每件應降價x元，則每件定價為（30﹣x）元，根據(jù)題意，得：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450，故答案是：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程．關(guān)鍵是弄懂題意，找出題目中的等量關(guān)系，表示出銷售量和每件利潤，再列出方程．三、解答題9．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）某商品每件進價為30元，當銷售單價為50元時，每天可以銷售60件．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每提高1元，日銷售量將會減少2件，物價部門規(guī)定該商品銷售單價不能高于65元，設該商品的銷售單價為（元），日銷售量為（件）．(1)與的函數(shù)關(guān)系式為________；(2)要使日銷售利潤為800元，銷售單價應定為多少元？【答案】(1)(2)40【分析】（1）由題意易得日銷售量與銷售單價成反比，得到，即可解得（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】（1）根據(jù)題意得，，故與的函數(shù)關(guān)系式為（2），解得：，（舍去），故答案為：40元【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用、一元二次方程，熟練掌握一次函數(shù)的應用是解題的關(guān)鍵10．（2023·江蘇徐州·校考一模）“民以食為天，食以糧為先”，糧食安全事關(guān)國計民生．為了確保糧食安全，優(yōu)選品種，某農(nóng)業(yè)科技公司對原有小麥進行改良種植研究，在保持種植面積不變的情況下，今年小麥平均畝產(chǎn)量在去年的基礎(chǔ)上增加了，每千克售價也在去年的基礎(chǔ)上上漲了，全部售出后總收入將增加．(1)求a的值；(2)如果明年的種植面積仍然不變，預計明年小麥平均畝產(chǎn)量將在今年的基礎(chǔ)上增加，每千克售價將在今年的基礎(chǔ)上上漲，求全部售出后明年的總收入將在今年的基礎(chǔ)上增加的百分數(shù)．【答案】(1)5(2)【分析】（1）根據(jù)總收入=畝產(chǎn)量銷售單價，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，然后解一元二次方程即可得出a的值，再取正值即可；（2）先求出明年的總收入增長的百分數(shù)，再減去1即可求解．【詳解】（1）解：依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：a的值為5．（2）解：，答：明年的總收入增加的百分數(shù)為．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”寓意敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會運動員強壯的身體、堅韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．為滿足市場需求，某超市購進一批吉祥物“冰墩墩”，進價為每個15元，第一天以每個25元的價格售出30個，為了讓更多的消費者擁有“冰墩墩”，從第二天起降價銷售，根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出3個．設銷售單價定為x元．(1)超市從第二天起日銷售量增加個，每個“冰墩墩”盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；(2)針對這種“冰墩墩”的銷售情況，該商店要保證每天盈利273元，同時又要使顧客得到實惠，那么“冰墩墩”的銷售單價應定為多少元？【答案】(1)；(2)“冰墩墩”的銷售單價應定為22元【分析】（1）根據(jù)題目的條件：單價每降低1元，可多售出3個，填空即可；因為進價為每個15元，所以每件商品盈利元；（2）由利潤等于每件利潤乘以銷售數(shù)量，建立方程求出其解，再結(jié)合要使顧客得到實惠，即舍去大的值即可．【詳解】（1）解：當銷售單價定為x元時，日銷售量增加個，每個“冰墩墩”盈利元．故答案為：；（2）解：依題意得：．整理得：，解得：，，又∵該商店要保證每天盈利273元，同時又要使顧客得到實惠，∴，答：“冰墩墩”的銷售單價應定為22元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考模擬預測）某商店銷售甲、乙兩種商品，甲的成本為5元，乙的成本為7元．甲現(xiàn)在的售價為10元，每天賣出30個；售價每提高1元，每天少賣出2個．乙現(xiàn)在的售價為14元，每天賣出6個；售價每降低1元，每天多賣出4個．假定甲、乙兩種商品每天賣出的數(shù)量和不變（和為36袋），且售價均為整數(shù)．(1)當甲的售價提高x元，乙的售價為元；（用含x的代數(shù)式表示）(2)當甲的售價提高多少元時，銷售這兩種商品當天的總利潤是268元？【答案】(1)(2)甲零食的售價提高4元時，銷售這兩種零食當天的總利潤是268元【分析】（1）先計算甲的售價提高后乙的銷售數(shù)量，再計算乙的售價；（2）設甲零食的售價提高x元時，將兩種商品的利潤相加，可得方程，解之即可．【詳解】（1）解：當甲的售價提高x元，乙的售價為：；（2）設甲零食的售價提高x元時，銷售這兩種零食當天的總利潤是268元，由題意得，，

解得：，（不符合題意，舍去）．

答：甲零食的售價提高4元時，銷售這兩種零食當天的總利潤是268元．【點睛】本題考查了一元二次方程應用，找到等量關(guān)系準確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．13．（2021秋·江蘇揚州·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以的速度移動．(1)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于？(2)在（1）中，面積能否等于？請說明理由．【答案】(1)3秒(2)在（1）中，面積不能等于，理由見解析【分析】（1）設經(jīng)過t秒后，PQ的長度等于，利用勾股定理列出方程，求解即可；（2）由（1）可知，再由三角形面積公式求出面積，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設經(jīng)過t秒后，PQ的長度等于．∵點P的速度為，點Q的速度為，∴，∴．∵，∴，∴，解得：（不符合題意，舍去），，∴3秒后，的長度為；（2）在（1）中，面積不能等于，理由如下：由（1）可知，，∴，∴在（1）中，面積不能等于．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，勾股定理．找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）某校為表彰“學生節(jié)”中表現(xiàn)優(yōu)異的學生，計劃購買古典詩詞和散文兩類圖書作為獎品．已知古典詩詞類圖書每本60元，散文類圖書每本40元．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，商家決定對古典詩詞類圖書推出銷售優(yōu)惠活動，但是散文類圖書售價不變．若購買古典詩詞類圖書不超過40本時，均按每本60元價格銷售；超過40本時，每增加2本，單價降低1元．(1)如果購買古典詩詞類圖書46本，則每本古典詩詞類圖書的單價是______元；(2)如果該校共購進圖書100本，用去購書款4750元．求該校購進古典詩詞類圖書多少本？【答案】(1)57(2)該校購進古典詩詞類圖書50本【分析】（1）根據(jù)“超過40本時，每增加2本，單價降低1元”即可求解；（2）該校購進古典詩詞類圖書x本，則購買散文類圖書本，分和兩種情況分別列方程，即可求解．【詳解】（1）解：由題意知，購買古典詩詞類圖書46本，則每本古典詩詞類圖書的單價是：（元），故答案為：57；（2）解：該校購進古典詩詞類圖書x本，則購買散文類圖書本．若，則，化簡得，解得或（舍去）；若，則，解得（舍去）；綜上可知，該校購進古典詩詞類圖書50本．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵，注意第二問需分情況討論．一、單選題1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個．設該廠第二季度平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平均每月的增長率分別求出該廠五、六月份生產(chǎn)零件的個數(shù)，再根據(jù)四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個即可列出方程．【詳解】解：由題意得：該廠五月份生產(chǎn)零件的個數(shù)為個，六月份生產(chǎn)零件的個數(shù)為個，則可列方程為．故選：D．【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程-增長率問題，一般形式為，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量2．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）銅羅中學組織一次乒乓球賽，比賽采用單循環(huán)制，要求每兩隊之間賽一場．若整個比賽一共賽了45場，則有幾個球隊參賽？設有x個球隊參賽，則下列方程中正確的是（）A．x（x+1）=45 B． C．x（x﹣1）=45 D．【答案】D【分析】設有個球隊參賽，那么第一個球隊和其他球隊打場球，第二個球隊和其他球隊打場，以此類推可以知道共打場球，然后根據(jù)計劃安排15場比賽即可列出方程求解．【詳解】解：依題意得，即．故選：D．【點睛】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，和實際生活結(jié)合比較緊密，準確找到關(guān)鍵描述語，從而根據(jù)等量關(guān)系準確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習）美國有一人感染新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有100個人感染，那么每輪傳染中，平均一個人感染x人，可列方程為____________________．【答案】【分析】由每輪傳染中平均一個人感染人，可得出第一輪傳染有人被傳染，第二輪傳染有人被傳染，結(jié)合經(jīng)過兩輪傳染后共有100個人感染，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：每輪傳染中平均一個人感染人，第一輪傳染有人被傳染，第二輪傳染有人被傳染．依題意得：．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇揚州·九年級專題練習）如圖，在一塊長、寬的矩形荒地上，要建造一個矩形花園，圖中陰影部分是花園，并使花園所占面積為荒地面積的一半，花園外部四周修建寬度相同的小路，求圖中的小路的寬是多少米？設小路的寬度為，所列方程式是______．【答案】【分析】根據(jù)小路的寬度，可得出矩形花園的長為，寬為，結(jié)合矩形花園所占面積為荒地面積的一半，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵小路的寬度為，∴矩形花園的長為，寬為．根據(jù)題意得：，故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·江蘇·七年級專題練習）小明在計算某數(shù)的平方時，將這個數(shù)的平方誤看成它的2倍，使答案少了35，則這個數(shù)為_________．【答案】7或-5/或【分析】設這個數(shù)為x，根據(jù)這個數(shù)的平方-2×這個數(shù)=35，列出方程，解方程即可．【詳解】解：設這個數(shù)為x，根據(jù)題意得：，解得：或．故答案為：7或-5．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程，是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，為了擴大銷售量，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．若商場平均每天銷售這種襯衫的盈利要達到1200元，則每件襯衫應降價多少元？設每件襯衫降價x元，由題意列得方程______．【答案】【分析】設每件襯衫降價x元，根據(jù)每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件可得銷售量為，則每件襯衫的利潤為，根據(jù)銷售量乘以每件襯衫的利潤等于1200元，列出一元二次方程即可【詳解】解：設每件襯衫降價x元，根據(jù)題意得，故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·江蘇常州·九年級常州市第二十四中學?？茧A段練習）如圖，在中，，點、同時由、兩點出發(fā)，點在上沿方向以的速度移動，點在上沿方向以的速度移動，則________秒鐘后，的面積為？【答案】或【分析】設P、Q同時出發(fā)x秒鐘后，AP=2xcm，PC=（12-2x）cm，CQ=xcm，此時△PCQ的面積為：×x（12-2x），令該式=8，由此等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值．【詳解】設P、Q同時出發(fā)x秒鐘后,△PCQ的面積為8cm2.依題意得：×x(12?2x)=8，解得x=2或x=4.故答案是：2或4.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元二次方程的應用.三、解答題8．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）2023年3月12日，大豐區(qū)飛達路初級中學開展“為校園增添一點綠色”為主題的植樹活動，組織七年級、八年級、九年級分別在12日、13日、14日進行植樹活動，七年級學生在12日種植了25棵樹苗，學生們在種植的過程中聽老師講解植樹綠化的意義，熱情高漲，每天的植樹增長率相同，九年級學生在14日種植了49棵樹苗．(1)求平均每天植樹的增長率？(2)求此次活動三個年級種植樹苗的總棵數(shù)？【答案】(1)(2)棵【分析】（1）設平均每天植樹的增長率為，利用九年級學生在14日植樹的棵數(shù)七年級學生在12日植樹的棵數(shù)平均每天植樹的增長率，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）將三個年級植樹棵數(shù)相加，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設平均每天植樹的增長率為x，根據(jù)題意得：，解得：，(不符合題意，舍去)．答：平均每天植樹的增長率為；（2）解：根據(jù)題意得：(棵)．答：此次活動三個年級種植樹苗的總棵數(shù)為棵．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及有理數(shù)的混合運算，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）某旅行社一則旅游消息如下：旅游人數(shù)收費標準不超過人人均收費元超過人每增加一人，人均收費減少元，但人均收費不低于元(1)甲公司員工分兩批參加該項旅游，分別支付給旅行社元和元，甲公司員工有__________人．(2)乙公司員工一起參加該項旅游，支付給旅行社元，乙公司員工多少人？【答案】(1)15；(2)乙公司人．【分析】（1）設甲公司員工有x人，根據(jù)第一次、第二次支付的費用和人均收費標準，判斷出兩次都不超過10人，直接用總費用除以人均收費，即可得出答案；（2）設乙公司員工人，根據(jù)支付的費用先判斷出公司去的人數(shù)超過了10人，再根據(jù)每增加一人，人均收費減少60元，列出方程，求出的值，再根據(jù)人均收費不低于1500元，即可得出乙公司去的人數(shù)．【詳解】（1）解：設甲公司有人，，，（人）．故答案為：（2）設乙公司人，，，，若，每人費用：，不符舍去，若，每人費用：，符合，答：乙公司人．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，讀懂題意正確列式和列方程是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·江蘇蘇州·八年級校考期末）疫情期間，“大白”成了身穿防護服的人員的代稱．開學以來，我校很多老師在繁重的課務之余承擔起了核酸檢測的任務，化身可敬可愛的“大白”．據(jù)多日檢測結(jié)果調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個熟能生巧的現(xiàn)象，當每位大白檢測人數(shù)是人時，每位同學人均檢測時間是秒，而檢測人數(shù)每提高人，人均就少耗時秒（若每位大白的檢測人數(shù)不超過人，設人均少耗時秒）．(1)補全下列表格：檢測人數(shù)（人）人均檢測時間（秒）(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時完成了檢測任務，那么他今日檢測總?cè)藬?shù)為多少人？【答案】(1)40，，29，26(2)他今日檢測總?cè)藬?shù)為人【分析】（1）設檢測人數(shù)為y，人均檢測時間為t（秒），由題意可得出y、t與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即可補全表格；（2）根據(jù)人均檢測時間×檢測人數(shù)＝總檢測時間，可得關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設檢測人數(shù)為，人均檢測時間為秒，由題意得：、，補全表格如下：檢測人數(shù)人人均檢測時間秒（2）解：由題意得，，解得，，當時，檢測總?cè)藬?shù)為人，每位大白的檢測人數(shù)不超過人，不符合題意，舍去，當時，檢測總?cè)藬?shù)為人，答：他今日檢測總?cè)藬?shù)為人．【點睛】本題考查一次函數(shù)的