2024年北京平谷區(qū)五中高二（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京平谷五中高二（上）期中數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（共小題，每小題4分，共40分），B=?，則（）A={x|xA1.已知集合??A.B.C.D.D.2.已知a1,1b1,2-1，則a與b的夾角為（=(?),=(,)）A.B.60C.1503.下列命題中，正確的是（）.aba=baba=bA.若ab，則C.若a=b，則B.若D.若，則ab，則a=b4.從甲、乙、丙、丁四人中任選兩人參加問(wèn)卷調(diào)查，則甲被選中的概率是（）12132334A.B.C.D.5.2020年，全市義務(wù)教育階段學(xué)生體質(zhì)健康合格率達(dá)到98%，基礎(chǔ)教育階段學(xué)生優(yōu)秀率達(dá)到15%以上．某學(xué)校現(xiàn)有小學(xué)和初中學(xué)生共2000人，為了解學(xué)生的體質(zhì)健康合格情況，決定采用分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為400的樣本，其中被抽到的初中學(xué)生人數(shù)為180，那么這所學(xué)校的初中學(xué)生人數(shù)為（）A.800B.900C.1000D.,n，兩個(gè)不同的平面,6.已知兩條不同的直線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若//,m,nm⊥,n⊥m，則n/B.若，則m//nm⊥C.若⊥,=n,n⊥mD.若=n,m,m//，則m//n，則7.甲、乙兩人射擊，甲的命中率為0.6．乙的命中率為0.5，如果甲、乙兩人各射擊一次，恰有一人命中的概率為（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6ABCD?ABCDE,FAB,CD1上的動(dòng)點(diǎn)，那么三棱錐F?CDE8.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為棱11111的體積為（）1613A.C.B.D.12239.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字，2，345，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立10.正多面體也稱(chēng)柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)為2，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則直線(xiàn)BN和FM夾角的余弦值為（）511A.C.B.D.6666二、填空題（共8小題，每小題5分，共40分）函數(shù)f(x)=x+3的定義域?yàn)開(kāi)_______.12.復(fù)數(shù)1的虛部為_(kāi)_______.?13.已知空間向量a(2,，b=(?2,x)，且a與b是共線(xiàn)向量，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)______．=?14.正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其體積為_(kāi)____；mn是兩條不同的直線(xiàn)，mn.則“//是兩個(gè)不同平面，，”是“m//n”的______15.若條件.，，16.某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.530]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.520)，[20，22.5)[22.525)[25，27.5)，[27.5，30]．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是_________.217.已知實(shí)驗(yàn)女排和育才女排兩隊(duì)進(jìn)行比賽，在一局比賽中實(shí)驗(yàn)女排獲勝的概率是，沒(méi)有平局．若采用三3局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束，則實(shí)驗(yàn)女排獲勝的概率為_(kāi)___．ABCD?ABCDAE上的動(dòng)點(diǎn)且不與B重合，F(xiàn)為線(xiàn)段118.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體的中點(diǎn).給出下列四個(gè)命題：中，E為棱BC11111A?1AB⊥AE△F?ABB1A是正四1①三棱錐的體積為；②2；③ADF的面積為定值；④四棱錐11棱錐.其中所有正確命題的序號(hào)是________.三、解答題（共5小題，共70分）19.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面⊥ABCD，E為PD的中點(diǎn).（1）求證：BD平面⊥PAC；（2）求證：PB//平面.中，AB=BC=CA=PB=1，平面20.如圖，三棱錐P?PAB⊥平面，點(diǎn)是棱的中E點(diǎn)，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.（1）求平面與平面ACB的夾角的余弦值.（2）求點(diǎn)E到面ACP的距離.6條件①：PC=；2條件②：直線(xiàn)與平面PAB所成角為.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.21.如圖，四棱錐PABCD?的底面是直角梯形，⊥CD，AD//BC，PD⊥平面ABCD，E是的中點(diǎn)，與平面ADE交于點(diǎn)F，===2=2.（1）求證：F是的中點(diǎn)；（2）若M為棱PD上一點(diǎn)，且直線(xiàn)PA與平面EFM所成的角的正弦值為，求4的值.522.某球員在8場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場(chǎng)1主場(chǎng)2主場(chǎng)3主場(chǎng)42215222314128客場(chǎng)1客場(chǎng)2客場(chǎng)3客場(chǎng)4181321186571715（1）從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求該球員在本場(chǎng)比賽中投籃命中率超過(guò)0.5的概率；（2）從上述比賽中選擇一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)，求該球員的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.5，另一場(chǎng)不超過(guò)0.5的概率；（3）記x是表中8場(chǎng)命中率的平均數(shù)，x是表中4個(gè)主場(chǎng)命中率的平均數(shù)，x是表中4個(gè)客場(chǎng)命中率的12平均數(shù)，比較x,1,x223.手機(jī)完全充滿(mǎn)電量，在開(kāi)機(jī)不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時(shí)間稱(chēng)為手機(jī)的待機(jī)時(shí)間.為了解，B兩個(gè)不同型號(hào)手機(jī)的待機(jī)時(shí)間，現(xiàn)從某賣(mài)場(chǎng)庫(kù)存手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B兩個(gè)型號(hào)的手機(jī)各5臺(tái)，在相同條件下進(jìn)行測(cè)試，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：手機(jī)編號(hào)12345A型待機(jī)時(shí)間（h）120125122124124B型待機(jī)時(shí)間（h）a123127120已知A，B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)待機(jī)時(shí)間的平均值相等.a（1）求的值；（2）從被測(cè)試的手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B型號(hào)手機(jī)各1臺(tái)，求至少有1臺(tái)的待機(jī)時(shí)間超過(guò)122小時(shí)的概率.參考答案一、單項(xiàng)選擇題（共小題，每小題4分，共40分）1.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求解即得.A={x|xB=?AB=.，，所以【詳解】集合故選：C2.【答案】C【分析】利用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.?2?13a,b==?【詳解】解：，1+11+4+12ab0,180a,b又，a,b=150.故選：C.3.【答案】C【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)的定義以及向量的定義即可逐一判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng);比如a=(0,0,1),b0),=a,b不相等，但a=b，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B;向量的模長(zhǎng)可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C;向量相等，則其模長(zhǎng)相等，方向相同，故C正確；對(duì)于D；若ab(1,0,0)，=a=b，但a,b不相等，故D錯(cuò)誤；故選：C4.【答案】A4321C24==6中情況，甲被選中的情況點(diǎn)三種，故甲被選中的概率【詳解】從四人中任選兩人共有3612P==．故本題答案選A．5.【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣直接得出.2000400【詳解】所學(xué)校的初中學(xué)生人數(shù)為180=900，故選：B.6.【答案】D【分析】由點(diǎn)線(xiàn)面位置關(guān)系、定理及性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng)，如圖，若//,m,n，則m//n或mn與異面，故A錯(cuò)誤；⊥n，則由線(xiàn)面垂直定義n⊥m，故B錯(cuò)誤；對(duì)于B，m，若對(duì)于C，如圖，⊥,=n,n⊥m，此時(shí)m，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若=n,m,m//，則由線(xiàn)面平行性質(zhì)定理m//n，故D正確.故選：D.7.【答案】C【分析】甲乙相互獨(dú)立，而甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標(biāo)即為事件：AB+AB，由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可求．【詳解】設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A，“乙命中目標(biāo)”為事件B由題意可得，P(A)=PB=0.5()且甲乙相互獨(dú)立甲、乙兩人中恰好有一人擊中目標(biāo)即為事件：AB+AB，P(AB+AB)=0.40.5+0.60.5=0.5故選：C8.【答案】ACD//平面CDECD1F?CDE的高為正方體的棱長(zhǎng)1，【分析】由，F(xiàn)在上知，三棱錐上，1111再利用棱錐的體積公式即可求解．【詳解】平面CDE，F(xiàn)在CD1所以三棱錐F?CDE的高為正方體的棱長(zhǎng)1，又因?yàn)镋在A(yíng)B上，所以以CD為底邊，高為正方形的邊長(zhǎng)1，111CC=111=16由三棱錐的體積公式得F?CDE=S，1332故選：A．9.【答案】B【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷11561【詳解】?(甲)=，?(乙)=，?(丙)=，?(丁)==，，66363661?(甲丙)=0≠?(甲)?(丙)，?(甲丁)==?(甲)?(丁)，361?(乙丙)=故選：B≠?(乙)?(丙)，?(丙丁)=0≠?(丁)?(丙)，36,BP()P(B)=P(AB)是否成立【點(diǎn)睛】判斷事件是否獨(dú)立，先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，再判斷10.【答案】D1BN=AC?ABFM=?AD?AB，【分析】根據(jù)題意得到，然后由向量的數(shù)量積公式分別求出22BN,,，結(jié)合向量的夾角運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】如圖所示：由題意，可得BNANAB=?=?FM=FD+=BA+=?AD?ABACAB，，22又由正八面體的棱長(zhǎng)都是2，且各個(gè)面都是等邊三角形，在△ABD中，由AB=AD=BD=22，可得2+=BD2，所以⊥，所以2FMBN=??AB?AB221=?ADAC+ADAB?ABAC+AB412211115=?22+0?22+22=??1+4=；4BN=122222AC?AB=AC?ACAB+AB241=22?22+22=1?2+4=3；42FM=?AD?AB=AD+ADAB+AB2414=22+0+22=1+0+4=5；52156所以cosFM,BN==，F(xiàn)MBN536即直線(xiàn)BN和FM夾角的余弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選取適當(dāng)?shù)幕紫蛄緼B,AC,AD，由已知條件可以求出它們的模以及兩兩之間的夾角，所以只需把FM,BN分解，然后由向量的夾角公式即可求解.二、填空題（共8小題，每小題5分，共40分）【答案】?)【分析】由題可得函數(shù)定義域.【詳解】由題x+30x?3，則函數(shù)定義域?yàn)?).故答案為：?)12.【答案】2?【分析】由復(fù)數(shù)虛部定義可得答案.【詳解】由題可得1的虛部為?2.故答案為：2?13.【答案】6?【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)得到a=b，列出方程組，求出答案.2=1=?1=3=【詳解】設(shè)a=b，則，解得：2.x=?6故答案為：614.【答案】3【分析】由正四棱錐的底面邊長(zhǎng)求出底面中心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，結(jié)合棱長(zhǎng)，求出正四棱錐的高，然后利用體積公式進(jìn)行求解．【詳解】如圖，正四棱錐P-ABCD中，AB=4，，設(shè)正四棱錐的高為PO，連接AO，則在直角三角形113163=1，所以V=S161=中，PO=PA2?AO2=32?(22)2，故答案為P?3．3【點(diǎn)睛】本題考查正棱錐的性質(zhì)及棱錐的體積公式，解題的關(guān)鍵是熟悉正棱錐的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題15.【答案】既不充分也不必要【分析】由空間中線(xiàn)面關(guān)系可得答案.【詳解】當(dāng)//時(shí)，直線(xiàn)m與直線(xiàn)n可能平行，也可能異面，則//不能推得m//n；m//n時(shí)，平面與平面可能平行也可能相交，則m//n不能推得//.則“//”是“m//n”的既不充分也不必要條件.故答案為：既不充分也不必要.16.【答案】【分析】先計(jì)算出30的頻率，然后用200乘以這個(gè)頻率得出所求的人數(shù).2.50.16+0.08+0.04=0.7，故所求人數(shù)為()【詳解】由圖象可知，的頻率之和為2000.7=140人.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用頻率分布直方圖求頻率以及頻數(shù)，考查閱讀和理解能力，屬于基礎(chǔ)題.17.【答案】【分析】實(shí)驗(yàn)女排獲勝的情況有前兩局獲勝；前兩局勝一局，第三局獲勝，這兩種情況，求得概率即可.221220+2=33327()2【詳解】由題知，實(shí)驗(yàn)女排獲勝的概率為，3故答案為：18.【答案】②③④【分析】利用錐體的體積公式判斷①；利用線(xiàn)面垂直的判定定理判斷②；利用平行線(xiàn)的傳遞性及三角形面積公式判斷③；利用正棱錐的定義判斷④.111616A?1體積為V=V1?ABE=ABBEAA=BE【詳解】對(duì)于①，三棱錐，A?11321A?1因此三棱錐體積的最大值為，①錯(cuò)誤；6⊥ABBC⊥ABB1AAB1ABB1A平面，1對(duì)于②，連接，則，又平面，1111AB1⊥ABAB=B,AB,A1AB1⊥A平面，1則又，而，平面，則111AEAAB⊥AE，因此，②正確；11平面11對(duì)于③，設(shè)1B，連接，則GF//BE,BE//AD，GF//AD即F和G到AD的距離相等且不變，因此△ADF的面積為定值，③正確；，對(duì)于④，由//，知GF⊥平面ABB1A，又ABB1A為正方形，G為其中心，11F?ABB1A因此四棱錐是正四棱錐，④正確.1故答案為：②③④三、解答題（共5小題，共70分）19.1）證明見(jiàn)解析2）證明見(jiàn)解析）根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合線(xiàn)面垂直判定定理即可證明；（2）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接OE，則OE//PB，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理即可證明.【小問(wèn)1⊥因?yàn)镻A平面又平面ABCD為菱形，所以⊥，PAPAC，⊥ABCD，BD平面ABCD⊥，所以，又平面所以BD平面⊥PAC；【小問(wèn)2E為PD的中點(diǎn)，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接OE，則OE//PB，又OE平面，PB平面，所以PB//平面.31320.1）1315（2）10⊥PAB，選擇條件①或條件②都能得到）取AB中點(diǎn)為D，連接CD，PD.可證明CD平面⊥AB，⊥CD，是等邊三角形，據(jù)此可建立以D為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.求出平面與平面ACB的法向量，由空間向量知識(shí)可得答案；（2）求出平面ACP的法向量，有空間向量知識(shí)可得答案.【小問(wèn)1取AB中點(diǎn)為D，連接CD，PD.由題可得ABC是等邊三角形，則⊥，又平面PAB平面⊥，平面PAB平面PD.=，則CD平面PAB，因PD⊥平面PAB，則CD⊥633若選條件①，因PC=，=，結(jié)合CD⊥PD，可得=.2221BD=，PB=1，則△PBDPDBCPD，PBD為60.又是以為90oo的直角三角形2若選條件②，因CD平面PAB，則⊥為直線(xiàn)與平面PAB所成角，33因CPD45o，則△CPD為等腰直角三角形，因===，可得，22后同理可得則△PBD是以PDB為90即⊥AB，⊥CD，是等邊三角形.如圖延長(zhǎng)CD，建立以D為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.o，PBD為60o的直角三角形.312123314A,0,0，B?,0,0，C?,0PE?,0,.則2243AC=?,?,0AE=?,0,，設(shè)平面法向量為=(?,?,?)，111122443nAC=?x?1=01122()3,1,3.n1=則，取3nAE=?x+1=01414n=(0,1)2又以上分析可知PD平面ABC，則平面ABC法向量可取⊥，331313則平面與平面ACB的夾角的余弦值【小問(wèn)2cos==；12133AC=?,?,0AP=?,0,，由（1）可得22223n=?x?3=0z3=01322)，則設(shè)平面PAC法向量為n3=(x,y,z，3333n=?x+123233(3,1)，又n=3AE=?,0,，取443AE2則求點(diǎn)E到面ACP的距離15.d==510321.1）證明見(jiàn)解析PMPD1434=（2）或）由線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)可得//，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法由線(xiàn)面角公式求解即可.【小問(wèn)1因?yàn)锳D//BC，AD平面，平面，所以AD//平面.ADEPBC=EF，平面平面，因?yàn)锳D平面所以//.所以//.ADE因?yàn)辄c(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是PC的中點(diǎn).【小問(wèn)2因?yàn)镻D平面⊥ABCD，AD,平面ABCD，PD⊥AD,PD⊥CD所以.由⊥CD，如圖建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，則()，(B2,0)，()，()，()，()，A1,0,0C2,0P0,0,2EF→EF→→→=(1,0,0)，PD=(0,0,2)，EP=(??1)，=1,0,2).→→=(?)，PD2,01設(shè)PM=→→→=+=(???).所以12→設(shè)平面EFM的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，?x=??+(?)=xy12z0.n即則nM→=y=1?=(?)令z1，則，所以n2,1.→→nPA2→→n,PA==所以.→→51?2+()21|n||PA|設(shè)直線(xiàn)PA與平面EFM所成的角為，→→24sin=n,PA==則，5(?)+151221434==或.解得：PM1PMPD34==.所以或PD45822.1）0.52）（3）x1xx2）統(tǒng)計(jì)8場(chǎng)比賽中的投中率，即可求解，（2）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式即可求解，（3）由平均數(shù)的定義即可結(jié)合表中數(shù)據(jù)求解.【小問(wèn)1根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在8場(chǎng)比賽中，該球員投籃命中率超過(guò)0.5的有4場(chǎng)，分別是主場(chǎng)1，主場(chǎng)2，主場(chǎng)4，客場(chǎng)4．∴在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)比賽中，該球員投籃命中率超過(guò)0