2024-2025學(xué)年廣東省佛山市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省佛山市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的方向向量可以為（

）A． B． C． D．2．某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件與事件“至多一次中靶”互為對(duì)立的是（

）A．至少一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都沒(méi)有中靶3．若點(diǎn)關(guān)于平面和軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C．1 D．94．如圖，四面體中，點(diǎn)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，設(shè)，，，若可用，，表示為（

）

A． B．C． D．5．已知直線與垂直，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．0或3 B．3 C．0或 D．-36．已知二面角的棱上兩點(diǎn)，，線段與分別在這個(gè)二面角內(nèi)的兩個(gè)半平面內(nèi)，并且都垂直于棱.若，，，.則這兩個(gè)平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．由甲、乙、丙組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由其中一人猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲猜對(duì)乙未猜對(duì)的概率為，乙猜對(duì)丙未猜對(duì)的概率為，丙猜對(duì)甲也猜對(duì)的概率為，在每輪活動(dòng)中，三人猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則乙、丙都猜對(duì)的概率是（

）A． B． C． D．8．在空間直角坐標(biāo)系中，定義：經(jīng)過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線l方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且法向量為的平面方程為，已知：在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面的方程為，則直線l與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，，則事件，相互獨(dú)立與，互斥不能同時(shí)成立C．為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，其中線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為D．已知為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，方程表示過(guò)點(diǎn)的所有直線方程10．伯努利試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種隨機(jī)試驗(yàn)，其特點(diǎn)是每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果．若連續(xù)拋鄭一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記錄這次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)事件表示“次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面”，事件表示“次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，最多只出現(xiàn)一次反面”，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．若，則與不互斥 B．若，則與不相互獨(dú)立C．若，則與相互獨(dú)立 D．若，則與互斥11．?dāng)?shù)學(xué)探究課上，小王從世界名畫(huà)《記憶的永恒》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1所示的《垂直時(shí)光》.已知《垂直時(shí)光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓形鐘沿著直徑折成了直二面角（其中對(duì)應(yīng)鐘上數(shù)字對(duì)應(yīng)鐘上數(shù)字9）.設(shè)的中點(diǎn)為，若長(zhǎng)度為2的時(shí)針指向了鐘上數(shù)字8，長(zhǎng)度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12.現(xiàn)在小王準(zhǔn)備安裝長(zhǎng)度為3的秒針（安裝完秒針后，不考慮時(shí)針與分針可能產(chǎn)生的偏移，不考慮三根指針的粗細(xì)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則B．若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則平面C．若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則與所成角的余弦值為D．若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則四面體的外接球的表面積為三、填空題（本大題共3小題）12．從編號(hào)為，，，的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.13．已知平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在平面外，若的一個(gè)法向量為，則到平面的距離為．14．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值．四、解答題（本大題共5小題）15．柜子里有3雙不同的鞋，分別用，，，，，表示6只鞋．如果從中隨機(jī)地取出2只，那么(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；(2)設(shè)事件“取出的鞋不成雙”；“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”，求出與．16．已知向量，，．(1)當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)和的值；(2)若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)的值．17．如圖所示，面積為8的平行四邊形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)為，、均在第一象限．(1)求直線的方程；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．新高考數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)多項(xiàng)選擇題，即每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．若正確答案為兩項(xiàng)，每對(duì)一項(xiàng)得3分；若正確答案為三項(xiàng)，每對(duì)一項(xiàng)得2分；(1)學(xué)生甲在作答某題時(shí)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)作出正確判斷、判斷不了（不選）和錯(cuò)誤判斷的概率如下表：選項(xiàng)作出正確判斷判斷不了（不選）作出錯(cuò)誤判斷A0.80.10.1B0.70.10.2C0.60.30.1D0.50.30.2若此題的正確選項(xiàng)為AC．求學(xué)生甲答此題得6分的概率；(2)某數(shù)學(xué)小組研究發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為．現(xiàn)有一道多選題，學(xué)生乙完全不會(huì)，此時(shí)他有兩種答題方案：Ⅰ．隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)；Ⅱ．隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)．①若，且學(xué)生乙選擇方案Ⅰ，求學(xué)生乙本題得0分的概率．②若，且學(xué)生乙選擇方案Ⅱ，求學(xué)生乙本題得4分的概率．19．如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為，分別為，的中點(diǎn)，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，且二面角的大小為，點(diǎn)在線段上(包含端點(diǎn))運(yùn)動(dòng)，連接.（1）若為的中點(diǎn)，直線與平面的交點(diǎn)為，試確定點(diǎn)的位置，并證明直線平面.（2）是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為？若存在，求此時(shí)平面與平面的夾角的余弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

答案1．【正確答案】C【詳解】經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的方向向量為，所以，則．故選：C2．【正確答案】B【詳解】由已知條件得∵事件“至多一次中靶”包含事件兩次都未中靶和兩次只有一次中靶，∴事件“至多一次中靶”的對(duì)立事件為“兩次都中靶”，故選.3．【正確答案】A【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，，故．故選：A．4．【正確答案】B【詳解】由題意可得，而.故選：B5．【正確答案】D【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得，實(shí)數(shù)的值是.故選：D.6．【正確答案】A【詳解】由題可知，、在直線上，，，且，，如下圖，故，，，，，，因?yàn)?，故，故，解得，所以平面和平面的夾角的余弦值是.故選：A7．【正確答案】B【詳解】設(shè)事件“甲猜對(duì)”，事件“乙猜對(duì)”，事件“丙猜對(duì)”，由題意，解得故乙、丙都猜對(duì)的概率為．故選：B8．【正確答案】A【詳解】經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l方程為，即，故直線l的一個(gè)方向向量為，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面的方程為，即，故的一個(gè)法向量為．設(shè)直線l與平面所成角為，則．故選：A．9．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，成立，但是與不一定共線，即不一定成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以若事件，相互?dú)立，則，即事件與事件能同時(shí)發(fā)生，故此時(shí)事件與事件不互斥；同理，當(dāng)事件，互斥時(shí)，，即此時(shí)事件，不相互獨(dú)立．故B選項(xiàng)正確．對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，又是坐標(biāo)原點(diǎn)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．故C選項(xiàng)正確．對(duì)于D選項(xiàng)，聯(lián)立解得所以當(dāng)變化時(shí)，直線恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)．但是當(dāng)時(shí)，必有，因此方程表示過(guò)點(diǎn)，除了直線的所有直線．故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC．10．【正確答案】ABC【分析】根據(jù)已知條件，分析和時(shí)所有的基本事件的結(jié)果，利用事件互斥和兩事件相互獨(dú)立的定義分別判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：時(shí)，若兩次實(shí)驗(yàn)中結(jié)果為一次正面，一次反面，則事件與同時(shí)發(fā)生，由互斥事件定義，與不互斥，A正確；B選項(xiàng)：時(shí)，兩次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）種，，，，，所以與不相互獨(dú)立，B正確；C選項(xiàng)：時(shí)，三次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）種情況，，，，，所以與相互獨(dú)立，C正確；D選項(xiàng)：時(shí)，若三次實(shí)驗(yàn)結(jié)果為（正，正，反），則事件與同時(shí)發(fā)生，由互斥事件定義，與不互斥，D錯(cuò)誤.故選：ABC11．【正確答案】ACD【分析】分別用立體幾何中空間向量法判斷A，B，C，求出四面體的外接球的表面積，判斷D.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.若秒針指向了鐘上數(shù)字5，則，則，，所以，A正確.，故是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，所以，所以與不垂直，從而與平面不平行，B不正確.若秒針指向了鐘上數(shù)字4，則，，，C正確.由，得.因?yàn)?，所以外接圓的半徑，則四面體的外接球的半徑，則，故四面體的外接球的表面積為，D正確.故選：ACD.12．【正確答案】基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，由此能求出概率.【詳解】解：從編號(hào)為，，，的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，分別為：，，，，，，，.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.13．【正確答案】1【分析】依題意求得，再利用點(diǎn)到平面的距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋c(diǎn)，所以，又的一個(gè)法向量為，所以到平面的距離為.故1．14．【正確答案】9【詳解】由題意，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，直線可化為，令，可得，又，所以兩動(dòng)直線互相垂直，且交點(diǎn)為P，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．15．【正確答案】(1)(2)．【詳解】（1）從6只鞋中任取2只，共有15種等可能的結(jié)果，樣本空間為．（2）因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕?6．【正確答案】(1)實(shí)數(shù)和的值分別為和；(2).【詳解】（1）由，得，解得，向量，，則，由向量與垂直，得，則，當(dāng)時(shí)，有，矛盾；當(dāng)時(shí)，有，解得，所以實(shí)數(shù)和的值分別為和.（2）由向量與向量，共面，設(shè)，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.17．【正確答案】(1)；(2)或．【詳解】（1）因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以，所以，設(shè)直線的方程為，即．因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為8，，所以與的距離為，即點(diǎn)到的距離為，于是，所以，由圖知，，所以，直線的方程為．（2）設(shè)坐標(biāo)為，因?yàn)椋裕?，解得，或，．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或2,3．18．【正確答案】(1)0.3072(2)①；②.【詳解】（1）設(shè)事件M表示“學(xué)生答此題得6分”，即對(duì)于選項(xiàng)A、C作出正確的判斷，且對(duì)于選項(xiàng)B、D作出正確的判斷或判斷不了，所以；（2）①記為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)的得分”，對(duì)于方案I，若正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)，選錯(cuò)的概率是，若正確答案是三個(gè)選項(xiàng)，選錯(cuò)的概率是，則.②記事件為“學(xué)生乙本題得分”，對(duì)于方案Ⅱ：應(yīng)該正確答案是三個(gè)選項(xiàng)里選對(duì)兩題，假設(shè)ABC為正確項(xiàng).故而所有可能為：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，滿足條件的有AB，AC，BC，有3種.則.19．【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）存在，平面與平面的夾角的余弦值為.【詳解】（1）因?yàn)橹本€MF?平面ABFE，故點(diǎn)O在平面ABFE內(nèi)，也在平面ADE內(nèi)，所以點(diǎn)O在平面ABFE與平面ADE的交線(即直線AE)上，延長(zhǎng)EA，F(xiàn)M交于點(diǎn)O，連接OD，如圖所示．因?yàn)?，M為AB的中點(diǎn)，所以△OAM≌△FBM，所以O(shè)M＝MF，AO＝BF＝1.故點(diǎn)O在EA的延長(zhǎng)線上且與點(diǎn)A間的距離為1.

連接DF，交EC于點(diǎn)N，因?yàn)樗倪呅蜟DEF為矩形，所以N是EC的中點(diǎn)．連接MN，則MN為△DOF的中位線，所以MN∥OD，又MN?平面EMC，OD?平面EMC，所以直線OD∥平面EMC.（2）如圖，由已知可得EF⊥AE，EF⊥DE，又AE∩DE＝E，所以EF⊥平面ADE，由于平面，所以平面ABFE⊥平面ADE.易知△ADE為等邊三角形，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，則,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知：DH⊥平面ABFE.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所