2024年上海高考數(shù)學(xué)考前30天沖刺復(fù)習(xí) 專題25轉(zhuǎn)化與化歸思想中的九種題型 含詳解

專題2.5轉(zhuǎn)化與化歸思想中的九種題型

題型一：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、單選題

1.（2022?上海普陀?曹楊二中校考模擬預(yù)測）若存在實(shí)數(shù)女和人，使得函數(shù)八處和g（x）對(duì)其公共定義域上的

任意實(shí)數(shù)x都滿足：g（x）〈丘+人工/（上）恒成立，則稱此直線），=履十萬為"X）和g"）的“隔離直線”.有下列命題：

①=/和g*）=2elnx之間存在唯一的“隔離直線”），=2五?e；②=/和g（x）=_L（x<o）之間存在“隔

X

離直線”，且b的最小值為-1,則（）

A.?、②都是真命題B.①、②都是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①是真命題，②是假命題

2.（2020?上海長寧?統(tǒng)考二模）在數(shù)列的極限一節(jié)，課本中給巴了計(jì)算由拋物線），=/、”軸以及直線x=l所

圍成的扣邊區(qū)域面積S的一種方法：把區(qū)間［0』平均分成〃份，在每一個(gè)小區(qū)間上作一個(gè)小矩形，使得每個(gè)矩形

的左上端點(diǎn)都在拋物線）-5,（如圖），則當(dāng)〃->8時(shí)，這些小矩形面積之和的極限就是s.已劃

12+22+32++〃2=!〃（〃+1）（2〃+1）.利用此方法計(jì)算出的由曲線），=五、x軸以及直線工=］所圍成的曲邊區(qū)域的

面積為（）

A-TB-T

二、填空題

3.（2。20春?上海?周二專題練習(xí)）已知且"？-（ax+l）ln#+奴20恒成立，則。的值是—

三、解答題

4.（2022春?上海?高三開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)/（幻=：/+（1-“）/-其中〃為常數(shù).

（1）當(dāng)。=2時(shí)，求函數(shù)/（x）的單調(diào)減區(qū)間；

⑵若函數(shù)/（X）在區(qū)間［0,3］上的最大值為3,求實(shí)數(shù)。的取值集合;

（3）試討論函數(shù)），=r（x）的圖象與函數(shù)），=2-（。+1）2的圖象的公切線條數(shù).

5.（2022?上海?高三專題練習(xí)）若數(shù)列｛，〃｝對(duì)任意連續(xù)三項(xiàng)4,4討，4+2,均有（4-4+2）（4+2一如）>。，則稱該

數(shù)列為“跳躍數(shù)列”.

（1）判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否是跳躍數(shù)列：

①等差數(shù)列：1,2,3,4,5,…;

②等比數(shù)列：一：

24o1O

（2）若數(shù)列｛4｝滿足對(duì)任何正整數(shù)〃，均有%“=，廣（4>。）.證明：數(shù)列｛5｝是跳躍數(shù)列的充分必要條件是

0</<1.

（3）跳躍數(shù)列｛q｝滿足對(duì)任意正整數(shù)〃均有，1=上詈，求首項(xiàng)片的取值范圍.

題型二：三角函數(shù)與解三角形

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛《J中q=d=1,〃=〔an4?urn”“+]（〃wN'），則數(shù)列色）的前〃項(xiàng)

和S”=___.

2.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)），=/（幻，的圖像為曲線。，兩端點(diǎn)為A（aJ（a））,4SJS））,

點(diǎn)為線段/步上的一點(diǎn)，其中/2>0,點(diǎn)RQ均在曲線，上，且點(diǎn)用J橫坐標(biāo)

等于飛,點(diǎn)M向縱電標(biāo)為加

（1）設(shè)/（x）=sinx,xe[O,年],4=3,求點(diǎn)八煙坐標(biāo)；

（2）設(shè)/（幻」心匕,2],求人MPQ的面積的最大值及相應(yīng)4的值.

x2

3.（2022?上海?高三專題練習(xí)）為測量一煙囪高度，在地面上選一直線上的三點(diǎn)兒反C.已知

|AB|=90m,|BC|=30m,|AC|=120m,在三點(diǎn)測出煙囪頂部的仰角分別為45°,60°,60°.若ALC三個(gè)測

量點(diǎn)的高度均為1.5m,求煙囪的高度.（精確到0.1m）

題型三：平面向量

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）如圖，正方形ABC。的中心與圓。的圓心重合，夕是圓。的罰點(diǎn)，則下列敘

述不正確的是（）

A.PAPC+P8PO是定值;

B.是定值;

c.網(wǎng)+網(wǎng)+國++|PD是定值;

D.。升+。始+尸C，/5爐是定值?

lUBllAJm1II

2.（2019?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）已知向量OAAB,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，割/=q04|,且48方向是沿

OA的方向繞著A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋粘。角得到的，則稱。4經(jīng)過一次G"）變換得到人8,現(xiàn)有向量OA=（1,1）經(jīng)過

ULLUUUUI

一次（％4）變換后得到例,例經(jīng)過一次（名后）變換后得到A4,…，如此下去，經(jīng)過一次（。色）變換

rm?

后得到4TA，設(shè)A-i4=(x,-v)，4=廣麗？則yr等于（)

2sin2sin

A.2MB.2___1___r__

sinIsin-sin-rrLsin—coslcosicos±Lcos^

22工24一|22”一

2cos2-2cos

C.D.2___M_____'

sin1sin-sin-Lsin—coslcoslcos±Lcos-L

o2?2〃一

3.（2021?上海市建平中學(xué)高三開學(xué)考試）已知./BC的外接圓圓心為。，/八=J,若

6

AO=xA8+），AC（x,yeR）,則x+），的最大值為（）

A.4+2x/3B.4-273C.—D,—

24

4.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知4ABe的面積為3,P,Q為-ABC所在平面內(nèi)異于點(diǎn)A的兩個(gè)不同的

點(diǎn)，若小—（1+2冷2。=0且QA+/Q8+/IQC=2BC,其中4>0,則人人尸。的面積為.

題型四：數(shù)列

1.（2022?上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（力=1（4一？：一10："7,數(shù)列也｝滿足

a,x>7

%="〃）（〃eN?），若數(shù)列｛4｝單調(diào)遞埔則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.

2.（2022?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為加的有窮數(shù)列｛%｝,設(shè)2為%知…必（〃=1，2，…，切）

中的最大值，稱數(shù)列｛"｝是｛凡｝的控制數(shù)列.例如數(shù)列3,5,4,7的控制數(shù)列是3,5,5,7.

（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列｛4｝的控制數(shù)列是2,3,4,6,6,寫出所有的｛4｝；

⑵設(shè)圾｝是｛4｝的控制數(shù)列，滿足4+=C（C為常數(shù)，〃=12…,，〃）.證明：（=q（〃=12…必）.

⑶考慮正整數(shù)1,2,?的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列仁｝.是否存在數(shù)列｛6｝,使它的控制數(shù)列

為等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的數(shù)列匕,｝的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.（2021?上海?上外浦東附中高三階段練習(xí)）稱滿足以下兩個(gè)袋件的有窮數(shù)列4M2,…，見為⑶〃=2,3,4,…）階

“期待數(shù)列”：??,+a2+ay+L+??=0；②同+同+k|+L+|a,J=l.

（1）若等比數(shù)列｛%｝為2〃伏￡四）階“期待數(shù)列”，求公比。及｛叫的通項(xiàng)公式；

（2）若一個(gè)等差數(shù)列｛〃“｝既是階“期待數(shù)列”乂是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式：

（3）記〃階“期待數(shù)列”包｝的前4項(xiàng)和為&（々=1,2,3,,〃）；

（i）求證：圖

（ii）若存在〃?41,2,3,、〃｝使5,.=g,試問數(shù)列｛4｝能否為加介“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若

不能，請(qǐng)說明理由.

4.（2021?上海青浦?一模）如果數(shù)列｛q｝每一項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意不小于2的正整數(shù)〃滿足44。“必用，則

稱數(shù)列｛/｝具有性質(zhì)”.

⑴若q=P4也=加+。（P、q、a、b均為正實(shí)數(shù)），判斷數(shù)列｛4｝、｛4｝是否具有性質(zhì)加；

⑵若數(shù)列｛〃”｝、也｝都具有性質(zhì)證明：數(shù)列￡｝也具有性質(zhì)

⑶設(shè)實(shí)數(shù)。22,方程/-奴+1=0的兩根為冊X2M,=k+x；（〃￡N）若，+"+…++>〃-1對(duì)任意〃eN恒

久凡41

成立，求所有滿足條件的

5.（2021?上海市延安中學(xué)高三階段練習(xí)）已知〃wN*,數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為鼠，且2《「S”=1；

（1）求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；

⑵對(duì)于任意的4嗎€｛4生,…，凡｝（其中14注〃，\<j<n,i,，均為正整數(shù)），若4和內(nèi)的所有的乘積

6?外的和記為刀,，試求1而4的值；

/i-?a4

（3）設(shè)1+d=3咋2見，%=（_］廣％也…若數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和為此，是否存在這樣的實(shí)數(shù)/,使得對(duì)于所有

的〃eN.都有此之〃，成立？若存在，求出/的取值范圍：若不存在，請(qǐng)說明理由；

6.（2022?上海?高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列｛4｝,若存在常數(shù)M>0對(duì)任意〃wN?恒有

|%-《|+|4-%|+???+|4-4歸”，則稱｛嗎是“，一數(shù)歹.

（1）首項(xiàng)為4,公差為郝I等差數(shù)列是否是“/-數(shù)列”？并說明理由；

（2）首項(xiàng)為％,公比為。的等比數(shù)列是否是-數(shù)列”？并說明理由；

（3）若數(shù)列｛叫是/一數(shù)列，證明：忖｝也是“/-數(shù)列"，設(shè)4="|十'：i，判斷數(shù)列｛A｝是否是“廣

數(shù)列”？并說明理由.

7.（2022?上海?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛〃,,｝滿足4=1,5向=44+3,求%“9-2%”.的值和％.

8.（2020?上海?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列僅，滿足遞推關(guān)系：q,T=（2a“+3）i,〃GN,其中i為虛數(shù)單位.當(dāng)外

取何值時(shí)，數(shù)列｛凡｝是常數(shù)數(shù)列？

9.（2020?上海?模擬預(yù)測）己知數(shù)列｛q｝是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，若存在常數(shù)AwW,使得

出1+外=皿，對(duì)任意的〃eN'成立，則稱數(shù)列｛q｝具有性質(zhì)〃（〃）,

（1）分別判斷下列數(shù)列｛q｝是否具有性質(zhì)〃（2）；（直接寫出結(jié)論）①q=1；②。“二2〃.

（2）若數(shù)列｛%｝滿足。川之4（〃=1,2,3）,求證：“數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)?、啤笔恰皵?shù)列｛叫為常數(shù)列”的充分不

必要條件；

（3）已知數(shù)列｛風(fēng)｝中4=1,且。向＞?！埃ā?123）.若數(shù)列｛q｝具有性質(zhì)川4）,求數(shù)列｛%｝的通預(yù)公式.

10.（2016?上海市晉元高級(jí)中學(xué)高二期中）已知遞增的等差數(shù)列｛〃”｝的首項(xiàng)6=1,且6、。八（成等比數(shù)

列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式4;

（2）設(shè)數(shù)列｛&｝對(duì)任意N",都有1+果++祟=。"+［成立，求G+6+…+C2012的值.

（3）若"=也（〃€”），求證：數(shù)列｛a｝中的任意一項(xiàng)總可以表示成其他兩項(xiàng)之積.

11.（2021?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高三期中）已知數(shù)列4對(duì)的，…Mv（N之3）的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合

T=｛x\x=araiA<i<j<N｝f記型元素個(gè)數(shù)為P（T）.

（1）若數(shù)列月：1,2,4,3,求集合7,并寫出尸（7）的值；

（2）若力是遞增數(shù)列，求證：“P（T）=N-\"的充要條件是“/為等差數(shù)列”；

（3）若N=2〃+l,數(shù)列力由123,…,〃,2〃這〃+1個(gè)數(shù)組成，且這〃+1個(gè)數(shù)在數(shù)列月中每個(gè)至少出現(xiàn)一次，求P⑺

的取值個(gè)數(shù).

12.（2020?上海?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足4=2且%=￡：*；,求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng).

13.（2。2。?上海?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/3="竽（”2。）有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)2,且由

〃Z=/（〃“）確定著數(shù)列也｝，那么當(dāng)且僅當(dāng)〃=0，e=2〃時(shí)，33=仁1

3一巧1〃”一出

13〃25

14.（2020?上海?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足：對(duì)于“wN,都有，用=

"勺"二+3

（1）若4=5,求％；

（2）若4=3,求%;

（3）若q=6,求4；

（4）當(dāng)《取哪些值時(shí)，無窮數(shù)列伍”】不存在？

題型五：不等式

1.（2020?上海-高三專題練習(xí)）下列不等式中恒成立的是（）

2

A.tan0+cotG..2B.x+—（=--3

V.v

「COS26^+3.nI,、

C./：..2D.xyz..r—（若x+y+z=l）

Vcos20+227

2.（2021?上海市復(fù)旦中學(xué)高三階段練習(xí)）若/。）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意xwR都有

f（x+4）Mf（x）+4,f（x+2）^f（x）+2t且八-1）=0,則/（101）=—

3.（2020?上海?復(fù)旦附中青浦分校高三開學(xué)考試）已知數(shù)列｛q｝是無窮數(shù)列，滿足

吆。,川=|愴為一但4」（〃=2,3,4,,，）.

（1）若6=2,勺=3,求小,如，■的值;

（2）求證：“數(shù)列｛總中存在可伏€M）使得lg%=0”是“數(shù)列乩｝中有無數(shù)多項(xiàng)是1”的充要條件;

（3）求證：存在正整數(shù)h使得10q<2.

題型六:空間向量與立體幾何

一、單選題

1.（2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，正三棱柱八8C-ABC的所有棱長均為1,點(diǎn)凡.從力分別

為棱44、力氏A用的中點(diǎn)，點(diǎn)媯線段極上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)儺點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)，造動(dòng)的過程中，以下結(jié)論中正確的是

A.直線GQ與直線。可能相交B.直線GQ與直線始終異面

C.直線GQ與直線67可能垂直D.直線C。與直線以不可能垂直

二、填空題

2.（2022秋?上海?高二期中）已知向帚。=（"7+1,2,〃。是直線/的一個(gè)方向向量，向量:〃=（1,/〃,2）是平面”的一

個(gè)法向量，若直線/工平面。，則實(shí)數(shù)切的值為_____.

3.（2022秋?上海徐匯?高二位育中學(xué)校考期末）已知正方體A8CQ-ABCQ中，A8=6,點(diǎn)/環(huán)平面A8Q

內(nèi)，"=3后,求點(diǎn)呼IJ8G距離的最小值為_________.

4.（2023秋-上海普陀?高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，已知正三棱柱ABC-A4G的底面邊長為

1cm,高為5cm,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A點(diǎn)的最短路線的長為__________.

5.（2022秋?上海浦東新?高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎c(diǎn)/退棱長為1的正方體ABC。-ABC。的底面

AMG。上一點(diǎn)（包括邊界），則以.PC的取值范圍是.

6.（2022?上海?高二專題練習(xí)）棱長為6的正方體內(nèi)有一個(gè)棱長為x的正四面體，正四面體的中心（正四面體

的中心就是該四面體外接球的球心）與正方體的中心重合，且該四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則*1勺最大值

為?

7.（2023秋?上海普陀?高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，正方體的嘍長為1,協(xié)

4A的口點(diǎn)，,班E側(cè)面上，若AM_LCP,則△BC用面積的最小值為.

題型七：解析幾何

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）方程/+）37+,，+小=0表示一個(gè)圓，則/〃的取值范圍是一

2.（2020?上海市大同中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)？（工，北）是直線2x+y=1（〃€N）與圓/+丁=2在第四象限

的交點(diǎn)，則極限！皿—=____.

3.（2020?上海?復(fù)旦附中青浦分校高三階段練習(xí)）設(shè)拋物線。：y2=2px（〃>0）的焦點(diǎn)為先經(jīng)過點(diǎn)用J動(dòng)

直線/交拋物線行AQ,y）,8（孫為）兩點(diǎn)，旦），通=-<

（1）求拋物線冰方程；

（2）若。E=2（。4+。8）（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且點(diǎn)￡在拋物線儀E,求直線/的傾斜角；

（3）若點(diǎn)J偏拋物線用勺準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，直線"凡M4,MB斜率分別為心，勺，Q求證：當(dāng)勺為定值時(shí)，

勺十勺也為定值.

題型八：計(jì)數(shù)原理

1.（2020?上海吉浦?一模）在二項(xiàng)式（五+」）'（心0）的展開式中的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等，則a的值是

2.（2021?上海市建平中學(xué)高三開學(xué)考試）若多項(xiàng)式（2+外8=%+修（］+外+%（］+用2++生（［+i）7+/（i+x）8,

則4+?7的值為_________.

題型九：統(tǒng)計(jì)與概率

一、填空題

1.（2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某單位為了解該單位黨員開展學(xué)習(xí)黨史知識(shí)活動(dòng)情況，隨機(jī)抽取了

部分黨員，對(duì)他們?周的黨史學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

黨史學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）7891011

黨員人數(shù)610987

則該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的第40百分位數(shù)是

二、解答題

2.（2021春?上海?高二專題練習(xí)）為了促進(jìn)消費(fèi)回補(bǔ)和潛力釋放，上海市政府舉辦“2020五五購物節(jié)”活

動(dòng)，某商家提供1000臺(tái)吸塵器參加此項(xiàng)活動(dòng)，其中豪華型吸塵器400臺(tái)，普通型吸塵器600臺(tái).

（1）豪華型吸塵器前6天的銷量分別為：9、12、工、10,10（單位：臺(tái)），把這6個(gè)數(shù)據(jù)看作一個(gè)總體，

其均值為10,方差為3,求的值；

（2）若用分層抽樣的方法在這批吸塵器中抽取一個(gè)容量為25的樣本，將該樣本看成?個(gè)總體，從中任取2臺(tái)吸

塵器，求至少有I臺(tái)豪華型吸塵器的概率（用最簡分?jǐn)?shù)表示）.

專題2.5轉(zhuǎn)化與化歸思想中的九種題型

題型一：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、單選題

1.(2022?上海普陀?曹楊二中?？寄M預(yù)測)若存在實(shí)數(shù)女和人，使得函數(shù)八處和g(x)對(duì)其公共定義域上的

任意實(shí)數(shù)x都滿足：g(x)〈丘+人工/(上)恒成立，則稱此直線)，=履十萬為"X)和g")的“隔離直線”.有下列命題：

①=/和g*)=2elnx之間存在唯一的“隔離直線”)，=2五?e；②=/和g(x)=_L(x<o)之間存在“隔

X

離直線”，且b的最小值為-1,則()

A.①、②都是真命題B.①、②都是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①是真命題，②是假命題

【答案】D

【分析】命題①，/(x)=f和g(x)=2elnx有公共點(diǎn)(&,e),故隔離直線過該點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)斜式，結(jié)合二次函數(shù)性

質(zhì)對(duì)參數(shù)分類討論，即可求解；

—by—〃>0

命題②，設(shè)隔離直線為，=&+3則；，「八對(duì)任意xvO恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)對(duì)參數(shù)分類討論，即

kxr+zbx-l<0

可求解；

【詳解】對(duì)于命題①，函數(shù)/(幻=/和g(x)=2elnx的圖像在％=&處有公共點(diǎn)，

若存在/(x)和g(x)的隔離直線，那么該直線過這個(gè)公共點(diǎn)(五,e),

設(shè)隔離直線的斜率為4，則隔離直線方程為=即)，-收_&6+e

由/(x)Nh一aA+e(x>0)恒成立，glx2-kx+k\[c-c>O(.r>0)fB,

(i)當(dāng)攵=0時(shí)，則x2Ne(x>0)不恒成立，不符合題意；

(ii)當(dāng)ZvO時(shí)，令〃(x)=d—履+〃五一e(x>0),對(duì)稱軸x=：<0,

〃(x)在[0,五)上單調(diào)遞增，且〃(五)=0,故人<0不恒成立，不符合題意；

(iii)當(dāng)1>0時(shí)1令“(％)—x2-匕十。五一e(*〉O),對(duì)稱軸.一“>0,

則〃⑺=祖，+人=22⑹20,只有k=2&,即直線y=2向-e

-min⑵44

下面證明g(/)=2elnxW2而1-。，^G(x)=2>/cjr-c-2clnx,

求導(dǎo)G㈤=2嫉口一瓜),令G(x)=O,得戶八,

x

當(dāng)工40,悶時(shí)，GUXO,函數(shù)G3在區(qū)間倒，月上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(忘y)時(shí)，G(x)>0,函數(shù)G(x)在區(qū)間,+oo)單調(diào)遞增；

故當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)G*)取得極小值，也是最小值，故G(x)N(),BPg(x)<2^x-e

所以/(%)=/和g(x)=2elnx之間存在唯一的隔離直線y=2向-e.

對(duì)于命題②，設(shè)/(X)=/和g(x)=-(x<0)的隔離直線為y=kx+b,

x

“眨米+"-心—。>0

則1,，對(duì)任意XV。恒成立，即，，,「八對(duì)任意x<0恒成立，

-<kx+b［依“+"一100

x

由左d+/zr-1W0恒成立，得AK0

(i)當(dāng)〃=0時(shí)，則人=0符合題意；

(ii)當(dāng)％<0時(shí)，則/—去—〃NO對(duì)，生意xvo恒成立，令〃(x)=f-奴

對(duì)稱軸尤=。<0,需△=公+46&0,即公4_4〃，故b〈0

令d(x)=&+加T(xvO),對(duì)稱軸工=一二40,需A=〃+4妨K0,

即從4_4火，所以小416〃W-64%,故-44&<0

同理可得/G6k2《一64。，即-4工〃<0,故

故命題①正確，命題②錯(cuò)誤：

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的新定義“隔離直線”，解題中理解“隔離直線”的定義，注意利用導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)的單調(diào)性及最值時(shí)解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題.

2.(2020?上海長寧?統(tǒng)考二模)在數(shù)列的極限一節(jié)，課本中給巴了計(jì)算由拋物線)，=爐、x軸以及直線1=1所

圍成的曲邊區(qū)域面積S的一種方法：把區(qū)間［0』平均分成〃份，在每一個(gè)小區(qū)間上作一個(gè)小矩形，使得每個(gè)矩形

的左上端點(diǎn)都在拋物線y=Y上(如圖)，則當(dāng)〃->8時(shí)，這些小矩形面積之和的極限就是S.已知

222

1+2+3++〃2=，〃(〃+1)(2〃+1).利用此方法計(jì)算出的由曲線)，=&、％軸以及直線工=1所圍成的曲邊區(qū)域的

面積為()

A.旦B.在C.-D.|

3243

【答案】D

【分析】由『)，=石"?0』與互為反函數(shù)，畫出)，=Y"《0』的圖象，所求的曲邊區(qū)域的面積等

于圖中陰影部分的面積，再通過對(duì)區(qū)間[0』進(jìn)行分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出拋物線y=f、x

軸及直線x=l所圍成的曲邊區(qū)域面積S,即可得出陰影部分的面積.即可得出曲線y=4、x軸及直線x=l所圍

成的曲邊區(qū)域的面積.

【詳解】解：由于)，=石/?0』與J=互為反函數(shù)，

可知，所求的曲邊區(qū)域的面積等于下圖中陰影部分的面積，

根據(jù)題意，拋物線)，=/、x軸及直線x=l所圍成的曲邊區(qū)域面枳S,

/1、2

可知這些小矩形的底邊長都是,，高依次為^n-1|

r+22+32+…+：(〃-1)〃(2〃-1)]

=hm---------------------=hm---------------=-

XT8n.5n3

12

所以，陰影部分的面積為：1-S=1-：=

即曲線)，=&、X軸及直線x=1所圍成的曲邊區(qū)域的面積為：

故選：I).

2-

2fc

o1

【點(diǎn)睛】本題考查類比推理和定積分的概念，通過對(duì)M間進(jìn)行分割、近似代替、求和、取極限的方法求曲邊區(qū)域

的面積，考查化歸轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.

二、填空題

3.(2020春?上海?高三專題練習(xí))已知“vO,且_(or+i)h］x+ar“恒成立，則。的值是

【答案】i

【分析】把不等式。浮一(融+1)111犬+效20恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(H)=(奴+1>3-lnx)20在定義域內(nèi)對(duì)任意的x

恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，得出-［是函數(shù))=小=皿工的零點(diǎn)，即可求解.

a

【詳解】由題意，不等式。Y4K+I)lnx+以20恒成立，

即函數(shù)〃x)=(?+力(?-Inx)“在定義域內(nèi)對(duì)任意的％恒成立，

由y=aK-lnx,a<O,x>O,則〉一,<0,所以)，=or-lnx為(0,田)減函數(shù)，

x

又由當(dāng)時(shí)0,可得)，=or+l為(0,e)減函數(shù)，

所以y="+l與)，=or-lnx同為單調(diào)減函數(shù)，且-，是函數(shù)y=or-l的零點(diǎn)，

a

故是函數(shù)y=ca-Inx的零點(diǎn)，

a

故()=，?-"--In!■］,解得"=-e.

ka)\a)

故答案為：r

【點(diǎn)睹】本題主要考杳了不等式的恒成立問題，以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)

化為函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)問題是解答的關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力.

三、解答題

4.(2022春?上海?高三開學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/(幻=$'+(1-。］-4or+a,其中a為常數(shù).

(D當(dāng)。=2時(shí)，求函數(shù)”］)的單調(diào)減區(qū)間：

⑵若函數(shù)在區(qū)間［0,3］上的最大直為3,求實(shí)數(shù)〃的取值集合；

(3)試討論函數(shù)y=r(x)的圖象與函數(shù),，=1-(〃+1)2的圖象的公切線條數(shù).

X

【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為(-2,4)；

(2)13,1：

4

(3)答案見解析.

【分析】(1)對(duì)/*)求導(dǎo)，利用:(工)〈。求單調(diào)減區(qū)間即可.

(2)由題設(shè)得r(x)=(x+2)(x-勿)，訶論參數(shù)a研究/(X)在［0,3］上母調(diào)性及最大值，結(jié)合題設(shè)要求確定4的取值集

合；

(3)設(shè)g(x)='-(“+i)2,切點(diǎn)為A-—(a+i)］應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，結(jié)合y=r(x)得到

X%

、12

/+(不+2-2a)x-：+(a-1)2=0,由相切關(guān)系有A=0得爾+4(1-4).婿+1=0(毛工0),進(jìn)而構(gòu)造中間函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)

數(shù)、討論參數(shù)0研究單調(diào)性、極值，判斷方程根的個(gè)數(shù)，即知題設(shè)函數(shù)間公切線的條數(shù).

(1)

當(dāng)。=2時(shí)，=-f―8x+2,則r(x)=x2-2x-8=(x-4)(.r+2),

令八%)<0,解得xe(-2,4),即當(dāng)4=2時(shí)/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-2,4).

(2)

fix')=A2+2(1-a).r-4a=(x+2)(-2a),

i：當(dāng)aWO時(shí)，/'(?NO在［0,3］上恒成立，即/⑶單調(diào)遞增,

3

令/(x)=/(3)=18-20?=3,可得。=了，與aWO矛盾.

1m4

a:當(dāng)〃>0時(shí)，fXx)=x2+2(1-a)x-4a=(x+2)(x-2a),

由f(x)在［0,刃上的最大值為3,則/(0)=〃43,

當(dāng)2〃23,即時(shí)，/(x)K()在［0,3］上恒成立，即/(燈單調(diào)遞減，

令/")1a=八0)=3,得〃=3之|,即”=3符合題意，

當(dāng)0<2?<3,即0<〃<3時(shí)，/(%)￡()在［0,3］的解集為［0,20,即八幻在|0,2川上單調(diào)遞減，在［2*3］單調(diào)遞

增，

???/*)a=max{/(0),/(3)},又f(0)=a<3,

令/(3)=3,求得a=即符合題意，

424

綜上，實(shí)數(shù)。的取值集合為口.

4

⑶

設(shè)g(x)=L-(a+l)2,切點(diǎn)為屬，；-(。+1)1則g'(%)=-3，

|］］9

???切線方程為，~；-+3+1尸=-不"-/)，整理得，=-77+亍Ta+1)2,又，。)=/+2(1-〃)*-4〃，

?2

由題意，令此直線與y=f(x)的圖象相切，即W+2(l-a)x-4a=-7Tx+1-(a+l),整理得：

2

:.A=(-!r+2-2a)'-4{--4-(fl-l)j=-!7+^^+—=0,整理得+4(1-〃)/2+]=()(夙/o),

1小,%玉I%)

由題意知，此方程根的個(gè)數(shù)即為＞=/'")與("1)2的公切線條數(shù)，

X

設(shè)h(x)=8.F+4(1-+1,貝I」h\x)=24f+8(1-a)x=8.?3.r+1-。)，

令"@）=0,解得4=0或4=平，

i：當(dāng)一<0,即avl時(shí)，〃'（*）<0的解集為七二0）,列表如下:

.a-\a-\

X(^―)x腎,0,0(0*)

3

h\x)+0一0十

h(x)遞增極大值遞減極小值遞增

由表知：當(dāng)x=0時(shí)力（%）取得極小值,又屈0）=1>0,

???方程風(fēng)3+4（1-幻堞+1=0（.%*（））有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即公切線條數(shù)為一條.

//,：當(dāng)F=0,即4=1時(shí)，/（X）2（）恒成立，即〃*）在R上單調(diào)遞增，又/?（0）=1>0,

???方程也'4（1-少年+1=05工0）有旦僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即公切線條數(shù)為一條.

市：當(dāng)『>0,即a>1時(shí)，”。）<0的解集為（0.餐），列表如下：

（0,守a—1

Xy,o)03,+^)

3

”(幻+0——04-

h(x)遞增極大值遞減極小值遞增

由表知：當(dāng)戶0時(shí)〃（幻取得極大值；當(dāng)x=F時(shí)Kr）取得極小值，又可0）=1>0,

=三（。-1）3--I），+1=一二（。-I），+1,

327927

當(dāng)"彳）=-白（。-爐+1>。，即1〈”萼工時(shí)，方程8.%'+4（1-也門口。?工0）有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即公切線

條數(shù)為?條,

當(dāng)M=）=U（a-1）M=。，即〃=笑匕時(shí)，方程8%'+4（1--2+|=0（/工（））有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即公切線條

數(shù)為兩條，

當(dāng)力（=）=-二。-1）、1<0,即Q變學(xué)時(shí)，方程8H+4（j）嫣+1=0（.%工0）有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)根，即公切線條數(shù)

為三條，

綜上，當(dāng)嗎吧時(shí)公切線條數(shù)為一條；當(dāng)《手時(shí)公切線條數(shù)為兩條；當(dāng)與2時(shí)公切線條數(shù)為三

222

條.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求了」-（-1）2切線方程，結(jié)合與的相切關(guān)系得到一

X

元二次方程，令該方程△=（）得到新的方程，進(jìn)而構(gòu)造中間函數(shù)，并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)、討論參數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值

判斷新方程根的個(gè)數(shù)，即可確定公切線條數(shù).

5.（2022?上海?高三專題練習(xí)）若數(shù)列｛q｝對(duì)任意連續(xù)三項(xiàng)知以i，%2，均有（4-4+2）（4+2一則稱該

數(shù)列為“跳躍數(shù)列”.

（1）判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否是跳躍數(shù)列：

①等差數(shù)列：1,2,3,4,5,：

②等比數(shù)列：1,一〈二,一］白；

24o1o

（2）若數(shù)列｛凡｝滿足對(duì)任何正整數(shù)〃，均有="""（4>。）.證明：數(shù)列｛%｝是跳躍數(shù)列的充分必要條件是

0<q<1.

（3）跳躍數(shù)列｛qj滿足對(duì)任意正整數(shù)〃均有〃用=彳￡,求首項(xiàng)外的取值范圍.

【答案】（1）①等差數(shù)列：123,4,5,...不是跳躍數(shù)列；②等比數(shù)列:j...是跳躍數(shù)列.⑵證明

24o16

見解析（3）4?-2,2）D（3,炳）

【分析】（1）①數(shù)列通項(xiàng)公式為〃“=〃，計(jì)算可得：（4-4.2）（4+2-。川）=-2<0,所以它不是跳躍數(shù)列；②數(shù)列

通項(xiàng)公式為：計(jì)算可得：（4-限）（%-1）=%卜所以它是跳躍數(shù)列；

（2）必要性：若6>1,則｛〃"｝是單調(diào)遞增數(shù)列，若6=1,｛（｝是常數(shù)列，均不是跳躍數(shù)列；充分性：用數(shù)學(xué)

歸納法證明證明,〃=1命題成立,若〃=k時(shí)。2氏-1<%?+1<%k，a2k>。2?+2>。2￡+1?口J得:aik*2>。然+4>42Al3?所以

當(dāng)〃=攵+1時(shí)命題也成立；

⑶有已知可得：勺…向=*（。-54叫（19-4；一5%），--%=總（4一2）（%-3乂19-吊-5幻，若

4+1>4,則％“>4,2>4，解得見若%+1<%,則。向<%+2<可，解得q.3,匕洋@|,

5+

由^^’2），則c*e（3,汪萼得a”w（-2,2）；當(dāng)a“e3V101,則e（-2,2）,得

q,c（3,的），問題得解.

【詳解】（1）①等差數(shù)列：1,2,3,4,5,…通項(xiàng)公式為：q二〃

???（4-4+2）（%2-4川）=口-（i+2）W+2-（i+l）］=-2<0

所以此數(shù)列不是跳躍數(shù)列；

②等比數(shù)列：1,總卜聶,通項(xiàng)公式為：

-5［閆飛機(jī)『曠⑶卜沁小

所以此數(shù)列是跳躍數(shù)列

（2）必要性：

若6>1，則｛q｝是單調(diào)遞增數(shù)列，不是跳躍數(shù)列：

若q=1,｛q｝是常數(shù)列，不是跳躍數(shù)列.

充分性：（下面用數(shù)學(xué)歸納法證明）

若0<4<1,則對(duì)任何正整數(shù)〃，均有%1<。2〃+1<—>限2>6向成立.

z

①當(dāng)〃=1時(shí)，a2=aj>a'=q,%=a°<a：'=a2,

Qa2=<1,.'.%=%"：>a；=q,a］

Qa2>6>%%/<%與<a：'仆<aA<a2,

所以〃=1命題成立

aaa

②若〃=A時(shí)，<2t+\V2kSk>叼A+2>2^\，

則a<a<a生心］<alk^<電一，

a>a1>a02t+2>“2A+4>〃2&+3?

所以當(dāng)〃=z+l時(shí)命題也成立，

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可知命題成立，數(shù)列滿足a-q+2）（/2-4+1）>。?

故｛q｝是跳躍數(shù)列.

19-a,

.二~

19-凡丫,

-I"(三一J19x25-(19-凡7

7+255125

1255

19x25-(19-4丁牝=白（q-2）（4-3乂19-〃；-5q）

限一4=---

1251乙。

①若。句＞?！埃瑒t為+|＞〃“+2

看聞―56—19）（19一展—5q）＜0

士（凡―2）（凡—3乂19一。；一5凡）＞0

解得4G，2；

②若則4.H4，

點(diǎn)(4：一5qr-19)(19一尤一5%)>0

14J

14J

解得，

f5-Vfoinl19-a：3告

若％之―--，2,則,所以4w(—2,2),

5

若a,,e，三,則〃用=與￡.一2,2）,所以為43,月），

所以％w（—2,2）u（3,而），

此時(shí)對(duì)任何正整數(shù)〃，均有可?-2,2）“3,月）

【點(diǎn)睛】本題考查了與數(shù)列相關(guān)的不等式證明，考查了數(shù)學(xué)歸納法，考查了分類與整合思想，屬于難題.

題型二：三角函數(shù)與解三角形

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝中4=d=l,%=tan刈?tan1（〃wN"）,則數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)

和S”

［答案F〃-N，)

_tana-tan。,

【解析】利用兩角差的正切公式可得到tana'an6=兀而方-1,從而可得到數(shù)列｛我｝的通項(xiàng)公式

“"⑶’J,再代入求和化簡即可得到結(jié)果。

tanl

/八、tana-tan/?tana-tanB,

［詳解】Qtan(?-/?)=----------J,/.tanatan/?=---------1

''川'vJl+tanatan￡'tan(a-/?)

tana,R_tana.

?'e=tan%tan%]-1

tan(4+「可)

又等差數(shù)列｛q｝中4=4=】，?.?為“一<.=1,+1

.1、_tan/川tana”,

tanl

tan一tanayI+tan%-tan/tan?！?1-tanan〔_tan?2-tan4+tan%-tana2+L+tanan+]-tanan〃

tan1tan1(an1tan1

tana?.-tana.tanan^.-tan1tan(〃+1)

-----------L-n=---------------n=-----------n-\

lan1tan1tanI

tan(?:+l)、(A,.\

故答案為:--------〃一l(〃eN)

tanl

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵是會(huì)逆利用兩角差的正切公式，得到數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式,

在求和的過程中巧用相消法得到數(shù)列的和，考兗學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

2.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)），=/"）,%百。/］的到像為曲線C,兩端點(diǎn)為4aJ（a））,8SJS））,

點(diǎn)MC%，%）為線段/歷上的一點(diǎn)，其中/=誓1％=

,2>0,點(diǎn)R。均在曲線。上，且點(diǎn)/的橫坐標(biāo)

I+A1+幾

等于小，點(diǎn)價(jià)J縱坐標(biāo)為加

(1)設(shè)f(x)=sinx,xe[O，Vj"=3,求點(diǎn)P,儆坐標(biāo);

（2）設(shè)/（、）［”修］,求MQ的面積的最大值及相應(yīng)2的值.

1J.3X/53⑥

7T（2）2=1時(shí)，最大值為黑.

【答案】（1）p;,1,Qarcsin—

JOOJo（）U

【解析】⑴/(x)=sinx,x€0,暮,A=3,由題設(shè)知。=0,〃=,，進(jìn)而算出加加再代入函數(shù)中求出點(diǎn)知勺縱

坐標(biāo)，點(diǎn)施勺橫坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)R。向坐標(biāo).

；+242+^|WP|=y--J^CI=x-—

(2)1g,2,100

由/(X)=]XG得1c

a、上f=?'%

=Trr'尢=Trr/%

\MP\x\MQ\=^x^y--1一

-SRNMPQ=]X0=7%%+——2,再用換元法和基本不等式求最值.

4I%先）

/(x)=sinx,xe。與，4=3,其兩端點(diǎn)為A(“8(。,2))

【詳解】（1）

?c24.八c?24

c0+3x—sin()+3sin—

c12冗3萬

,.a=0,b=--,xQ=-