832圓柱圓錐圓臺球的表面積和體積精練-2021-2022學年高一數學（人教A版2019）

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積(精練）A學業(yè)基礎一、單選題1．（2021·海南鑫源高級中學高二期中）圓錐的底面半徑是1，母線長為，則體積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知：圓錐的高為，所以圓錐的體積.故選：A2．（2022·全國·高三專題練習）矩形中，，，沿將矩形折起，使面面，則四面體的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖：矩形中，因為，所以，設交于，則是和的外心，所以到點的距離均為，所以為四面體的外接球的球心，所以四面體的外接球的半徑，所以四面體的外接球的體積.故選:A.3．（2021·青?！ずＤ喜刈遄灾沃莞呒壷袑W高二期中（文））長方體的三個相鄰面的面積分別是2，3，6，這個長方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為（）A． B．56πC．14π D．16π【答案】C【詳解】解析：設長方體的三條棱長分別為a，b，c，由題意得，得∴長方體的體對角線長為，∴其外接球的半徑為∴．故選：C4．（2020·四川省眉山第一中學高二階段練習（文））若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的表面積是（）A．3π B． C．6π D．9π【答案】A【詳解】設圓錐的底面半徑為，則高為，母線長為.，所以圓錐的底面半徑為，高為，母線長為.所以圓錐的表面積為.故選：A5．（2021·全國·高一課時練習）如圖，一個底面半徑為4的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為4和6，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：一個底面半徑為4的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為4和6，該幾何體的體積由兩部分組成：底面半徑為4、高為4的圓柱體體積，②底面半徑為4、高為2的圓柱體體積的一半，則該幾何體的體積為：．故選：D6．（2021·全國·高一課時練習）圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】設圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.故選：B.7．（2022·北京朝陽·高三期末）如圖，將半徑為1的球與棱長為1的正方體組合在一起，使正方體的一個頂點正好是球的球心，則這個組合體的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，該組合體是一個正方體和個球體的組合體，其體積為.故選：A.8．（遼寧省縣級重點高中協(xié)作體20212022學年高三上學期期末考試數學試題）我國古代數學名著《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵．已知塹堵中，，．若塹堵外接球的表面積是，則塹堵體積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設，則．由題意易知塹堵外接球的球心是矩形的中心，則塹堵外接球的半徑R滿足，從而，解得，即．設，，則，故，（當且僅當時，等號成立）故塹堵的體積．故選：B二、填空題9．（2022·上海·格致中學高二期末）已知球面上的三點，，滿足，，，球心到平面的距離為，則球的表面積為______．【答案】【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因為球心到平面的距離為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.10．（2022·廣西柳州·二模（文））阿基米德是偉大的古希臘哲學家?數學家和物理學家，他發(fā)現“圓柱內切球的體積是圓柱體積的，且內切球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內切球體積為___________.【答案】【詳解】設圓柱的底面半徑為r，高為h，因為圓柱的軸截面為正方形，所以h=2r，又因為其表面積為，所以，解得，，所以圓柱的體積為，所以該圓柱的內切球體積為，故答案為：11．（2022·青海海東·高二期末（文））某學生到某工廠進行勞動實踐，利用打印技術制作模型.如圖，該模型為一個大圓柱中挖去一個小圓柱后的剩余部分（兩個圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為的正方形，小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為________g.（?。敬鸢浮?500【詳解】解：根據題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，則有，即，解得，所以該模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質量為.故答案為：4500.12．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知球的半徑為1，，是球面上兩點，，為該球面上的動點．當三棱錐的體積取得最大值時，過，，三點的截面圓的面積為______．【答案】【詳解】因為O是球心，，所以截面是球的大圓所在平面，故當動點C滿足平面時，三棱錐的體積最大，而,故,則是正三角形，設過A，B，C三點的截面圓的圓心為,則圓的半徑，故過A，B，C三點的截面圓的面積為，故答案是：.三、解答題13．（2021·全國·高一單元測試）某部門建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為12m，高4m，該部門擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽，現有兩種方案：一是底面直徑比原來增加4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）．（1）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；（2）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；（3）哪個方案更經濟些？為什么？【答案】（1）方案一：(m3)；方案二：96π(m3).（2）方案一：S1=32π(m2)；方案二：S2=60π(m2).（3）方案二比方案一更加經濟，理由見詳解.（1）若按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，則倉庫的體積為V1=S·h=×π××4=(m3).若按方案二，倉庫的高變成8m，則倉庫的體積為V2=S·h=×π××8=96π(m3).（2）若按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，半徑為8m.圓錐的母線長為l1==4(m)，則倉庫的表面積為S1=π×8×4=32π(m2).若按方案二，倉庫的高變成8m.圓錐的母線長為l2==10(m)，則倉庫的表面積為S2=π×6×10=60π(m2).（3）由（1）、（2）知，V1<V2，S2<S1，故方案二體積更大，表面積更小，所需耗材更少，即方案二比方案一更加經濟.14．（2021·上海市嘉定區(qū)第二中學高三階段練習）在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂的奇特小屋名叫Trullon，于1996年故入世界文化遺產名景（如圖1）.現測量一個屋頂，得到圓錐的底面直徑長為m，母線長為m（如圖2）.是母線的一個三等分點（靠近點）.（1）現用鮮花鋪設屋頂，如果每平方米大約需要鮮花60朵，那么裝飾這個屋頂（不含底面）大約需要多少朵鮮花（此處取3.14，結果精確到個位）:（2）從點到點繞屋頂側面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長度.【答案】（1）20347；（2）m.（1）因圓錐SO的底面直徑AB長為m，母線SA長為m，則此圓錐的側面積為()又每平方米大約需要鮮花60朵，于是得(朵)，所以裝飾這個屋頂大約需要20347朵鮮花.（2）將圓錐SO沿母線SA剪開展在同一平面內得如圖所示的扇形，點A到點，連接，則為最小長度，扇形弧長等于圓錐SO底面圓周長，于是得扇形圓心角，在中，，由余弦定理得，即，解得，所以燈光帶的最小長度為m.B應考能力15．（2022·四川遂寧·高二期末（理））已知三棱錐所有頂點都在球的球面上，且平面，若，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，設為的外接圓的圓心，取的中點，分別連接和，則平面，，因為平面，若，可得的外接圓的半徑，且，在直角中，可得，即三棱錐外接球的半徑為，所以球的表面積為.故選：D.16．（2022·全國·高三階段練習（理））在四邊型中（如圖1所示），，，，將四邊形沿對角線折成四面體（如圖2所示），使得，則四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，，，又，則，，可知，則，取的中點，連接，則，所以點為四面體外接球的球心，則外接球的半徑為：，所以四面體外接球的表面積.故選：D.17．（2022·重慶·模擬預測）地球靜止同步通信衛(wèi)星是當今信息時代的大量信息傳遞主要實現工具，例如我國航天事業(yè)的重要成果“北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)”，它為全球用戶提供了全天候、全天時、高精度的定位、導航和授時服務，是國家重要空間基礎設施．地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，將地球看作一個球，衛(wèi)星信號像一條條直線一樣發(fā)射到達球面，所覆蓋的范圍即為一個球冠，稱此球冠的表面積為衛(wèi)星信號的覆蓋面積．球冠，即球面被平面所截得的一部分，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．設球面半徑為R，球冠的高為h，則球冠的表面積為．已知一顆地球靜止同步通信衛(wèi)星的信號覆蓋面積與地球表面積之比為m，則它距地球表面的最近距離與地球半徑之比為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題設知：，可得，如下截面圖，若為球心，為衛(wèi)星位置，則，，為球冠底面直徑，∴由題設易知：，則，故，令衛(wèi)星距地球表面的最近距離，則，∴，故.故選：D.18．（2021·上?！の挥袑W高二期中）在立體幾何講授圓錐之前，為了讓同學們對圓錐有直觀的認識，善于動手的老師準備用鐵皮自制一個無蓋的圓錐形密封容器.（1）如果老師希望得到的容器的尺寸如下如圖所示，請問老師事先至少需要購買的鐵皮的面積（假設購買的鐵皮能沒有損失地利用）；（2）當老師聚精會神做好該密封容器后，發(fā)現正在下雨，猛然想起氣象學上用24小時內的降水在平地上的積水厚度（）來判斷降雨程度，其中小雨（<10）?中雨（1025）?大雨（2550）?暴雨（50~100），勤于思考的老師用剛剛做好的這個圓錐形容器接了24小時的雨水，得到雨水數據如圖所示，請你幫他判斷一下這天降雨屬于哪個等級？并請說明你的理由.【答案】（1）（2）中雨，理由見解析（1）設母線為，則，則；（2）當雨水在容器中高度為時，所對應底面半徑，此時圓錐體積為，設相同體積和底面半徑為的圓柱的高為，則有，結合得，故這天的降雨屬于中雨.C新素養(yǎng)新題型19．（2021·湖北省廣水市實驗高級中學高二期中）某藝術比賽提倡能力均衡發(fā)展，特別將水晶獎杯設計成具有對稱美的形狀．其形如圖所示，是將棱長為的正四面體沿棱的三等分點，作平行于底面的截面得到所有棱長均為的空間幾何體，則下列說法正確的是（）A．該幾何體的體積為 B．該幾何體的外接球表面積為C．該幾何體的表面積為 D．該幾何體中，二面角的余弦值為【答案】AB【詳解】補全幾何體為棱長為3a的正三棱錐，如下圖示，∴幾何體體積，故A正確；若分別是面、底面的中心，由題設易知：，若幾何體外接球半徑，則，即，解得，則幾何體的外接球表面積，故B正確.幾何體的表面積，故C錯誤；由正四面體的性質及圖知：二面角為正四面體相鄰兩個面夾角的補角，而正四面體相鄰兩個面夾角的余弦值為，則二面角的余弦值為，故D錯誤；故選：AB.20．（2021·全國全國·模擬預測）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，如圖所示，若正四面體的棱長為，則（）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為B．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積【答案】ABD【詳解】首先求得正四面體的一些結論：正四面體棱長為，是底面的中心，是其外接球（也是內切球）的球心，外接球半徑為，是高，如圖1．，，由得，解得，（內切球半徑）．正四面體的體積為，外接球體積為．圖1對于A選項，由勒洛四面體的結構知勒洛四面體表面上任意兩點間的距離的最大值為a，故A正確；對于B選項，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖2，其中點E為該球與勒洛四面體的一個切點，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知B，O，E三點共線，且，，因此，故B正確；對于C選項，勒洛四面體面積最大的截面即經過四面體ABCD表面的截面，如圖3，則勒洛四面體的截面面積的最大值為三個半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個邊長為a的正三角形的面積，即，故C錯誤；對于D選項，勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球的體積之間，而正四面體ABCD的體積，正四面體ABCD的外接球的體積，故D正確.故選：ABD．圖2圖321．（2020·廣東·執(zhí)信中學高三階段練習）如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點，過點作三棱柱的截面，則下列結論中正確的是（）A．三棱柱外接球的表面積為B．C．若交于，則D．將三棱柱分成體積較大部分和體積較小部分的體積比為13：5【答案】ACD【詳解】如圖所示：將該三棱柱視為正方體的一部分，則三棱柱外接球的半徑，，其表面積為，故A項正確；延長與交于點，連接交于，連接，則平面即為截面.因為，是中點，所以是的中點，由與相似，得，得，而是的中點，所以與不平行且必相交，所以與截面不平行，故B項錯誤；因為，又，所以在中，，故C項正