專題四十八總體樣本及抽樣方法

專題四十八總體、樣本及抽樣方法思維導(dǎo)圖知識要點知識要點1．抽樣方法與總體分布的估計(1)總體：在統(tǒng)計學(xué)中，把研究對象的全體叫做總體，把每個研究對象叫做個體，把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量．總體與個體之間的關(guān)系類似于集合與元素的關(guān)系．(2)樣本：從總體中隨機抽取一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目稱為樣本容量，樣本和總體之間的關(guān)系類似于子集和集合之間的關(guān)系．(3)一般地，從元素個數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時總體中的各個個體被抽到的可能性是相同的，那么這種抽樣方法叫簡單隨機抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本．常用的方法有抽簽法和隨機數(shù)表法．2．頻率分布樣本中所有數(shù)據(jù)(或數(shù)據(jù)組)的頻數(shù)和樣本容量的比就是該數(shù)據(jù)的頻率，所有數(shù)據(jù)(或數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布，可以用頻率分布表、頻率分布折線圖、莖葉圖、頻率分布直方圖來表示．3．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做眾數(shù)．(2)中位數(shù)：如果將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：如果有n個數(shù)，，，……，，那么叫做這n個數(shù)的平均數(shù)．(4)標準差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)，，，……，的平均數(shù)為，則其中s2表示方差，s表示標準差．典例解析典例解析【例1】某學(xué)校共有學(xué)生800名，一年級300人，二年級260人，三年級240人．現(xiàn)要理解全校學(xué)生的身體狀況，從中抽取200人參加體檢，應(yīng)采用什么抽樣方法進行抽?。俊敬鸢浮拷猓悍謱映闃臃椒ǔ槿?，一年級抽75人，二年級抽65人，三年級抽60人．【思路點撥】本題考查分層抽樣知識點，運用分層抽樣的解題步驟解答．【變式訓(xùn)練1】某學(xué)校有900名學(xué)生，其中女生有400名，按男女比例用分層抽樣的方法，從該學(xué)校學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，則應(yīng)抽取女生的人數(shù)為(A)A．20B．25C．35D．15【例2】某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測．如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是(A)A．90B．75C．60D．45【思路點撥】產(chǎn)品凈重小于100克的概率為(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，設(shè)樣本容量為n，則＝0.300，∴n＝120，凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的概率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是120×0.75＝90.【變式訓(xùn)練2】為了解電視對生活的影響，一個社會調(diào)查機構(gòu)就平均每天看電視的時間對某地10000名居民進行了調(diào)查，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖(如圖)，為了分析該地居民平均每天看電視的時間與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人做進一步的調(diào)查，則在[2.5，3)(小時)時間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是(A)A．25B．30C．50D．75【思路點撥】抽出的100人中平均每天看電視的時間在[2.5，3)(小時)時間段內(nèi)的頻率是0.5×0.5＝0.25，∴這10000人中平均每天看電視時間在[2.5，3)(小時)時間段內(nèi)的人數(shù)為10000×0.25＝2500，又抽樣比為，故在[2.5，3)(小時)時間段內(nèi)應(yīng)抽出人數(shù)為2500×＝25.【例3】為了從甲、乙兩名射擊運動員中選拔一人參加比賽，對他們的射擊水平進行測驗，兩人在相同條件下各射擊10次，所得的環(huán)數(shù)如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4乙：9，5，7，8，7，8，6，6，7，7應(yīng)該選誰參加比賽____選乙參加比賽________．【思路點撥】這兩組數(shù)的均值都是7，甲的方差是，乙的方差是，所以應(yīng)該選乙參加比賽【變式訓(xùn)練3】甲、乙兩個樣本，甲的樣本方差是0.065，乙的樣本方差是0.056，那么樣本甲與樣本乙的波動大小為(A)A．甲的波動比乙大B．甲的波動比乙小C．甲與乙波動相同D．不能確定【例4】在某次測驗中，有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分．用表示編號為n(n＝1，2，…，6)的同學(xué)所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢壕幪杗12345成績7076727072(1)求第6位同學(xué)的成績，及這6位同學(xué)成績的標準差s；(2)若從前5位同學(xué)中，隨機地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間(68，75)中的概率．【答案】解題過程見【思路點撥】．(1)根據(jù)平均數(shù)的個數(shù)可得75＝，∴＝90，這6位同學(xué)的方差是(25＋1＋9＋25＋9＋225)＝49，∴這6位同學(xué)的標準差是7.(2)由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生的事件是從5位同學(xué)中選2個，共有＝10(種)結(jié)果，滿足條件的事件是恰有一位成績在區(qū)間(68，75)中，共有＝4(種)結(jié)果，根據(jù)古典概型概率計算得到P＝＝0.4.【變式訓(xùn)練4】已知一組數(shù)據(jù)，按從小到大的順序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位數(shù)為5，求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差．解：由于數(shù)據(jù)－1，0，4，x，7，14的中位數(shù)為5，∴＝5，x＝6.設(shè)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為s2，由題意得＝×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5s2＝×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝高考鏈接高考鏈接1．(四川省2015年對口升學(xué)考試試題)已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是10，甲組數(shù)據(jù)的方差為0.5，乙組數(shù)據(jù)的方差為0.8，則(B)A．甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)的波動大B．甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)的波動小C．甲組數(shù)據(jù)與乙組數(shù)據(jù)的波動一樣大D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的波動大小不能比較【提示】甲的方差是0.5，乙的方差是0.8，∵0.5<0.8，∴甲的數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，波動較小．2．某職業(yè)學(xué)校有教師200人，其中高級職稱50人，中級職稱80人，初級職稱70人，教育部門準備開一個20人的教職工座談會，學(xué)校采用分層抽樣的方法從全校教師中抽取，則中級職稱教師應(yīng)抽取人數(shù)為(C)A．15B．5C．8D．7【提示】由題意得，中級職稱教師應(yīng)抽取人數(shù)為×20＝8人3．從甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中選拔一位成績較穩(wěn)定的優(yōu)秀選手，參加山東省職業(yè)院校技能大賽，在同樣條件下經(jīng)過多輪測試，成績分析如下表所示．依據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，最佳人選為(B)成績分析表

甲乙丙丁平均成績x96968585標準差s4242A．甲B．乙C．丙D．丁【提示】∵甲、乙的平均值相等，又乙的標準差小于甲，∴乙的波動性較小，較甲穩(wěn)定，∴最佳人選為乙．同步精練同步精練【選擇題】1．在“世界讀書日”前夕，為了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析．在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是(A)A．總體B．個體C．樣本的容量D．從總體中抽取的一個樣本【提示】5000名居民的閱讀時間的全體是總體，每名居民的閱讀時間是個體，200是樣本容量2．現(xiàn)有3000棵樹，其中400棵松樹，現(xiàn)在提取150棵做樣本，其中抽取的松樹有(B)A．15棵B．20棵C．25棵D．30棵【提示】由分層抽樣方法可得．3．有8個數(shù)的平均數(shù)是11，還有12個數(shù)的平均數(shù)是12，則這20個數(shù)的平均數(shù)是(A)A．11.6B．23.2C．232D．11.5【提示】＝11.6.4．某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為(B)A．588人B．480人C．450人D．120人【提示】由頻率分布直方圖可得，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為600－(0.005＋0.015)×10×600＝480(人)．5．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則(C)A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差【提示】由題意可知，甲的成績?yōu)?，5，6，7，8，乙的成績?yōu)?，5，5，6，9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6，A錯誤；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6，5，B錯誤；甲、乙的成績的方差分別為×[]＝2，×[]＝，C正確；甲、乙的成績的極差均為4，D錯誤．6．某班級有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗中的成績，五名男生的成績分別為86，94，88，92，90，五名女生的成績分別為88，93，93，88，93，下列說法正確的是(C)A．這種抽樣方法是一種分層抽樣B．這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣C．這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差D．該班男生成績的平均數(shù)大于該班女生成績的平均數(shù)【提示】A．不是分層抽樣，∵抽樣比不同；B.不是系統(tǒng)抽樣，∵是隨機詢問，抽樣間隔未知；C.五名男生成績的平均數(shù)是,五名女生成績的平均數(shù)是，五名男生成績的方差為(16＋16＋4＋4＋0)＝8，五名女生成績的方差為(9＋4＋4＋9＋4)＝6，顯然，五名男生成績的方差大于五名女生成績的方差；D.由于五名男生和五名女生的成績無代表性，不能確定該班男生和女生的平均成績．【填空題】7．從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)．由圖中數(shù)據(jù)可知a＝___0.030_____.若要從身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為__3______人．【提示】根據(jù)頻率之和等于1，可知(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，解得a＝0.030；身高在[120，150]內(nèi)的頻率為0.6，人數(shù)為60人，抽取比例是，而身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)是10，故應(yīng)該抽取10×＝3(人)．8．某中學(xué)高一年級有1400人，高二年級有1320人，高三年級有1280人，從該中學(xué)學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本，每人被抽到的機會為0.02，則n＝___8_____.【提示】三個年級的總?cè)藬?shù)為1400＋1320＋1280＝4000，每人被抽到的機會均為0.02，∴n＝4000×0.02＝80.9．某市為了分析全市9800名初中畢業(yè)生的數(shù)學(xué)考試成績，共抽取50本試卷，每本試卷30份，則樣本容量為___1500_____．【提示】樣本容量的概念．10．在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的數(shù)字特征(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差)對應(yīng)相同的是__方差______．【提示】由s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，可知B樣本數(shù)據(jù)每個變量增加2，平均數(shù)也增加了，但s2不變，故方差不變．【解答題】11．某小區(qū)為了提高區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動，準備進一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站，由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進行年齡調(diào)查，隨機抽取了一天40名讀書者對其進行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]．后得到如圖所示的頻率分布直方圖．求：(1)在40名讀書者中年齡分布在[30，60)的人數(shù)；(2)40名讀書者年齡的平均數(shù)．解：(1)由頻率分布直方圖知年齡在[30，60)的頻率為(0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.60，則40名讀書者中年齡分布在[30，60)的人數(shù)為40×0.60＝24.(2)40名讀書者年齡的平均數(shù)為25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.25＋75×0.1＝54.12.若，，，…，的平均數(shù)是，方差是s2.求：(1)＋3，＋3，＋3，…，＋3的方差；(2)5，5，5，…，5的方差解：(1)∵，，，…，的平均數(shù)是，方差是，∴＋3，＋3，＋3，…，＋3的方差＝；(2)∵，，，…，的平均數(shù)是，方差是，∴5，5，5，…，5的方差s＝25.13．甲、乙兩人在相同的條件下各射靶10次，每次射靶成績(單位：環(huán))如圖所示：(1)分析計算并