【13份】2017高考數(shù)學（理）人教A版一輪復習第9章平面解析幾何（基礎(chǔ)知識+題型剖析+練出高分）

【13份】2017高考數(shù)學（理）人教A版

一輪復習第9章平面解析幾何

（基礎(chǔ)知識+題型剖析+練出高分）

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第9章平面解析幾何高考專題突破五文檔

第九堂平面解析幾何

§9.1直線的方程

基礎(chǔ)知識自主學習

Q知識梳理要點講解深層突破

i.直線的傾斜角

（1）定義：當直線/與X軸相交時，取X軸作為基準，X軸正向與直線/向上方向之間所成的

角叫做直線/的傾斜角.當直線/與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0。.

（2）范圍：直線I傾斜角的范圍是［0,兀）.

2.斜率公式

（1）若直線/的傾斜角a#90。，則斜率k=tana.

1

（2）P]（x”力），P2（x2,及）在直線/上，且制力必，貝心的斜率人‘二立

X2~X]

3.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式y(tǒng)-Vo=k(x—x(^不含直線X=Xo

斜截式不含垂直于X軸的直線

y-y\_X—X\不含直線x=X[（X]#M）和直線

兩點式

及—n

X2—X1（y\壬X2）

截距式a+f=1不含垂直于坐標軸和過原點的直線

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用

(才+/工0)

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.（V）

（2）坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率.（X）

（3）直線的傾斜角越大，其斜率就越大.（X）

（4）直線的斜率為tana,則其傾斜角為a.（X）

（5）斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.（X）

（6）經(jīng)過定點4（0,⑦的直線都可以用方程^=船+6表示.（X）

（7）不經(jīng)過原點的直線都可以用§+方=1表示.（X）

（8）經(jīng)過任意兩個不同的點PG1，V1）,02（'2,歹2）的直線都可以用方程什-P1）（X2—X1）=（X—修）。2

一刈）表示.（V）

2I考點自測快速解答自查自糾

1.直線小X—y+a=0的傾斜角為（）

A.30°B.60°

C.150°D.120°

答案B

【詳細分析】化直線方程為???左=tan

V0o<a<180°,.,.a=60°.

2.如果4C<0,且8-CvO,那么直線Ar+By+C=O不通過（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

【詳細分析】由已知得直線/x+By+C=0在x軸上的截距一%）,在y軸上的截距一呆0,

故直線經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.

3.過點尸（2,3）且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為.

答案3x—2y=0或x+y—5=0

【詳細分析】當截距為0時，直線方程為3x—2y=0；

當截距不為0時，設(shè)直線方程為§+弓=1,

23

則/+公=1,解得4=5,

所以直線方程為x+y-5=0.

綜上，直線方程為3x—?Zyu?；騲+y—5=0.

4.（教材改編）若過點/（叫4）與點8（1,〃?）的直線與直線x-2y+4=0平行，則加的值為.

答案3

4—tn1

【詳細分析】一

m—12

/.m=3.

5.直線/經(jīng)過N（2,l）,8（1,小）（加eR）兩點，則直線/的傾斜角的取值范圍為.

答案0,.嗯，n）

m2—1

【詳細分析】直線/的斜率

若I的傾斜角為?,貝!|tanaWl.

又,.,切引0,71）,???>￡0,1U仔,兀）

題型分類深度剖析

題型一直線的傾斜角與斜率

廠3=0標/，豺的傾斜角的取值范圍是（

例1⑴直線2xcosa-

兀兀7171

~nit]「兀2兀~|

c5小行TJ

⑵直線/過點尸(1,0),且與以4(2,1),8(0,仍)為端點的線段有公共點，則直線，斜率的取

值范圍為.

答案(1)B(2)(—8,一小]U[l,+°o)

【詳細分析】⑴直線2xcosa—y—3=0的斜率^=2cosa,

因為去全，所以兵cosaW坐

因此k=2?cosa￡[l,小].

設(shè)直線的傾斜角為仇

則有tangej小].又。引0,花)，所以如f,f,

即傾斜角的取值范圍是弓7T，f7T.

LHI??1—0

(2)如圖，*.*卜”=]=1,

J-ut-

kBP=0_j=一73,

.?依(-8,]U[1,+0°).

引申探究

1.若將題⑵中尸(1,0)改為p(—1,0),其他條件不變，求直線/斜率的取值范圍.

解VP(-l,0),4(2,1),5(0,小),

.,1-Q_1

',KAP~i-{-\)~y

也一0

心戶=0_(_])=斕.

一]一

如圖可知，直線/斜率的取值范圍為3-小.

2.將題(2)中的8點坐標改為8(2,-1),其他條件不變，求直線/傾斜角的范圍.

解如圖：直線R1的傾斜角為45。,

直線PB的傾斜角為135。，

由圖象知/的傾斜角的范圍為［0。，45。］“135。，180。).

思維升華直線傾斜角的范圍是［0,71),而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜

率求傾斜角的范圍時，要分0,習與(J,n)兩種情況討論.由正切函數(shù)圖象可以看出，當a

G0,習時，斜率％G［0,+oo)；當a=E時，斜率不存在；當adg,兀)時，斜率左G(一8,

0).

跟蹤訓練1(1)直線xcosa+6y+2=0的傾斜角的范圍是()

c［。'第D(6'f］

(2)已知實數(shù)x,y滿足2x+y=8,當2WxW3時，貝吐的最大值為；最小值為.

2

答案(1)B(2)23

【詳細分析】(1)由xcosa+y［3y+2=0得直線斜率〃=一坐cosa.

-1Wcos1,一乎WZW乎.

設(shè)直線的傾斜角為仇則一坐WtanOW坐.

結(jié)合正切函數(shù)在［o,§U(j,兀)上的圖象可知，

O。

(2)本題可先作出函數(shù)y=8-2x(2WxW3)的圖象，把)看成過點(x,y)和原點的直線的斜率進

行求解.

如圖，設(shè)點尸(x,y),因為x,y滿足2x+y=8,且2WxW3,所以點P(x,回在線段N8上移

動，并且48兩點的坐標分別是(2,4),(3,2).因為5的幾何意義是直線。尸的斜率，且

=2,kOB=y所以！的最大值為2,最小值為|.

題型二求直線的方程

例2根據(jù)所給條件求直線的方程：

(1)直線過點(-4,0),傾斜角的正弦值為噂；

(2)直線過點(-3,4),且在兩坐標軸上的截距之和為12；

(3)直線過點(5,10),且到原點的距離為5.

解(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式.

設(shè)傾斜角為a,則sina=1^(0va<7r),

,,工35,,1

從而cosa=±,貝nA:=tana=±y.

故所求直線方程為y=±g(x+4).

即x+3y+4=0或x—3y+4=0.

(2)由題設(shè)知截距不為0,設(shè)直線方程為§+丘匕=1,

又直線過點(一3,4),

—34

從而:---=1,解得。=-4或“=9.

a12—a

故所求直線方程為4x-y+16=0或x+3y-9=0.

(3)當斜率不存在時，所求直線方程為x—5=0；

當斜率存在時，設(shè)其為k,

則所求直線方程為y—10=-x—5),

即履一y+(10—5%)=0.

由點線距離公式，得解得左巖.

故所求直線方程為3x—4y+25=0.

綜上知，所求直線方程為x—5=0或3x—4y+25=0.

思維升華在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條

件.用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線,

截距式不能表示與坐標軸垂直或經(jīng)過原點的直線.故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類

討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.

跟蹤訓練2求適合下列條件的直線方程：

(1)經(jīng)過點尸(4,1),且在兩坐標軸上的截距相等；

(2)經(jīng)過點/(—1,-3),傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.

解(1)設(shè)直線/在x,y軸上的截距均為a.

若。=0,即/過點(0,0)及(4,1),

的方程為尸上，即x—4y=0.

若aWO,則設(shè)/的方程為?+；=1,

過點(4,1),

授十一

aa

?.5,

.*./的方程為x+y—5=0.

綜上可知，直線/的方程為x—4y=0或x+y—5=0.

(2)由已知：設(shè)直線y=3x的傾斜角為a,

則所求直線的傾斜角為2a.

*/tana=3,

又直線經(jīng)過點2(—1,-3),

因此所求直線方程為y+3=一水x+1),

即3x+4y+15=0.

題型三直線方程的綜合應(yīng)用

命題點1與基本不等式相結(jié)合求最值問題

例3己知直線/過點P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于1、8兩點，如圖所示，求

/\ABO的面積的最小值及此時直線/的方程.

解方法一設(shè)直線方程為科5=1(。>0,6>0),

點P(3,2)代入得,+,=122得時》24,

從而以次=加閉2,當且僅當U時等號成立，這時上=一5=一全從而所求直線方程為

2x+3y-12=0.

方法二依題意知，直線/的斜率左存在且KO.

則直線/的方程為y-2=k(x-3)(RO),

且有力(3—章，0),8(0,2—3注

.』松。=如-343-§

=/12+(-泌)+&_

冒_12+2

=1x(12+12)=12.

當且僅當一9左=a4，即左=一彳2時，等號成立.

即△Z8O的面積的最小值為12.

故所求直線的方程為2x+3y-12=0.

命題點2由直線方程解決參數(shù)問題

22

例4已知直線八：ax—2y=2a—4,/2：2x+ay=2a+4,當0<“<2時、直線八，為與兩

坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，求實數(shù)。的值.

解由題意知直線/2恒過定點打2,2),直線/,的縱截距為2—a,直線/2的橫截距為/

+2,所以四邊形的面積S=；X2X(2—a)+Tx2X(J+2)=a2—a+4=(a—竽，當°=

：時，面積最小.

思維升華與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略

(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先設(shè)出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式

求解最值.

(2)求直線方程.弄清確定直線的兩個條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程.

(3)求參數(shù)值或范圍,注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性

或基本不等式求解.

跟蹤訓練3(1)(2014?四川)設(shè)wCR,過定點/的動直線x+my=O和過定點8的動直線“x

-y-w+3=0交于點尸(x,y),則的最大值是.

(2)(2015?安徽)在平面直角坐標系中，若直線y=2a與函數(shù)y=|x—a|-1的圖象只有一個

交點，則。的值為.

答案(1)5(2)-1

【詳細分析】(1),..直線x+/ny=O與機x—y—m+3=0分別過定點4,B,

力(0,0),8(1,3).

當點尸與點4或8)重合時，圖卜|P8|為零；

當點、P與點、A,8均不重合時，

■:P為直線x-\-my=O與mx—y—w+3=0的交點，

且易知此兩直線垂直，

為直角三角形，

.?.MP『+|8p|2=M8|2=io,

|以卜|尸8|W眼空附=學=5,當且僅當附=|P8|時，上式等號成立.

(2)二伏一恒成立，，要使歹=2。與歹=|x-a|一1只有一個交點，必有2〃=-1,解得〃

=~2,

易錯警示系列

13.求直線方程忽視零截距致誤

典例(12分)設(shè)直線/的方程為(〃+l)x+y+2—a=0(aGR).

(1)若/在兩坐標軸上截距相等，求/的方程；

(2)若/不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)。的取值范圍.

易錯分析本題易錯點求直線方程時，漏掉直線過原點的情況.

規(guī)范解答

解(1)當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，..“二？，方程即為3x+y=0.[2

分1

當直線不經(jīng)過原點時，截距存在且均不為0.

?~a—2,即“+1=1.[4分]

a=0,方程即為x+y+2=0.

綜上，/的方程為3x+y=0或x+y+2=0.[6分]

(2)將/的方程化為y=-(a+l)x+a-2,

.[一(a+l)>0,/一伍+1)=0,

[a-2W0或a—2<0,

—l.[io分]

綜上可知a的取值范圍是aW—1.[12分]

溫馨提醒(1)在求與截距有關(guān)的直線方程時，注意對直線的截距是否為零進行分類討論，

防止忽視截距為零的情形，導致產(chǎn)生漏解.

(2)常見的與截距問題有關(guān)的易誤點有：“截距互為相反數(shù)”；“一截距是另一截距的幾倍”等,

解決此類問題時，要先考慮零截距情形，注意分類討論思想的運用.

思想方法感悟提高

［方法與技巧］

直線的傾斜角和斜率的關(guān)系：

(1)任何直線都存在傾斜角，但并不是任意直線都存在斜率.

(2)直線的傾斜角a和斜率左之間的對應(yīng)關(guān)系：

a0°0°<a<90°90°90°<a<180°

k0k>0不存在k<0

［失誤與防范］

與直線方程的適用條件、截距、斜率有關(guān)問題的注意點：

(1)明確直線方程各種形式的適用條件

點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點式方程不能表示垂直于x、y軸的直

線；截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線.

(2)截距不是距離，距離是非負值，而截距可正可負，可為零，在與截距有關(guān)的問題中，要

注意討論截距是否為零.

(3)求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應(yīng)注意分類討論，即應(yīng)對斜率是否存

在加以討論.

練出高分

A組專項基礎(chǔ)訓練

(時間：35分鐘)

1.若方程(2加2+m-3)X+(/〃2一機)y—4m+1=0表示一條直線，則參數(shù)m滿足的條件是()

3

A.加W—5B.

C.mWO且znWlD.

答案D

27M2+機一3=0,

【詳細分析】由,解得機=1,

故SW1時方程表示一?條直線.

2.如果/(x)是二次函數(shù)，且/(x)的圖象開口向上，頂點坐標為(1,5)，那么曲線y=/(x)

上任一點的切線的傾斜角的取值范圍是()

A(。，露唇I)

C?爭[D.[”)

答案B

【詳細分析】，(X)=?(X-1)2+V3(a＞0),：.k^y[3.

切線的傾斜角的取值范圍是[圣

3.如圖中的直線八，b，4的斜率分別為七，k2,k3,貝ij()

A.%]V%2Vz3

B.k3Vki〈k?

C.左3V左2V無i

D.ki〈k3Vh

答案D

【詳細分析】直線/|的傾斜角內(nèi)是鈍角，故肩＜0,直線，2與，3的傾斜角。2與CC3均為銳角,

且。2＞。3，所以O(shè)VA3Vz2，因此41V&3V42，故選D.

4.設(shè)直線or+如+c=0的傾斜角為a,且sina+cosa=0,則a,b滿足()

A.a+b=\B.a-b=\

C.a+6=0D.a—6—0

答案D

【詳細分析】由sina+cosa=0,得^^=一1，即tana=-1.

又因為tana=-*所以一號=一1，

即a=b,故應(yīng)選D.

5.已知直線P。的斜率為一小，將直線繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)60。所得的直線的斜率為()

A.小B.一小

C.0D.1+小

答案A

【詳細分析】直線尸0的斜率為一小，則直線P0的傾斜角為120°,所求直線的傾斜角為

60°,tan60。=小.

6.若直線/的斜率為上傾斜角為a,而ae,加序兀)，則在的取值范圍是.

答案[-<3,0)U[乎，1)

【詳細分析】當狂a<：時，坐Wtanavl,

.,.坐W上<1.

當號Wa<兀時，一小Wtana<0.

:.kG坐,1)“一小,0).

7.一條直線經(jīng)過點，(-2,2),并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1,則此直線的方程為.

答案x+2y—2=0或2x+y+2=0

【詳細分析】設(shè)所求直線的方程為"方=1.

,.7(—2,2)在此直線上,

???T+/1?①

又?.?直線與坐標軸圍成的三角形面積為1,

.?如也=1.②

{a—b=\,\a—b=-\,

由①@可得⑴八0或(2),

[ab=2[ab=-2.

4=2,f<7=1f

由(1)解得，?或‘.方程組(2)無解.

b=\g=-2,

故所求的直線方程為5++=1或旦;+士=1,

即x+2y—2=0或2x+_y+2=0為所求直線的方程.

8.若ab>0,且N(a,0)、8(0,b)、C(一2,—2)三點共線，則用的最小值為.

答案16

【詳細分析】根據(jù)4(。,0)、8(0,/>)確定直線的方程為，力=1,又C(-2,-2)在該直線上,

所以一2(a+b)=ab.又ab>0,故。<0,b<0.

根據(jù)基本不等式ab=—2(a+b)2外債，從而g^W0(舍去)或故々6216,當且僅當

a=b=—4時取等號.即ah的最小值為16.

9.設(shè)直線/：(〃?2—2加—3)x+(2機2+〃2—l)y—2加+6=0(陽#—1),根據(jù)下列條件分別確定加

的值：

(1)直線/在x軸上的截距為一3；

⑵直線/的斜率為1.

解(1)：/在x軸上的截距為一3,

—2機+6#0,即又zn#—1,

"?2—2機一3W0.

.?2m-6

令y=0,付x=-5z7.

m~2m—3

2m—6

由題意知,3,

〃廣一2加一3

解得m=~^.

(2)由題意知2，/+〃?一1W0,

m2—2m—34

=

~2“』+加一11,解得m'y

10.已知點P(2,-1).

(1)求過點P且與原點的距離為2的直線/的方程；

(2)求過點P且與原點的距離最大的直線/的方程，最大距離是多少？

(3)是否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出方程;若不存在，請說明理

由.

解(1)過點尸的直線/與原點的距離為2,而點P的坐標為(2,-1),顯然，過點尸(2,-

1)且垂直于x軸的直線滿足條件，

此時/的斜率不存在，其方程為x=2.

若斜率存在，設(shè)/的方程為y+l=后(x-2),

即kx-y-2k-\=0.

由.已知得匚I—72^k于—7皆II=2

W+1

解得《號3

此時I的方程為3x—4y—10=0.

綜上，可得直線/的方程為x=2或3x-4y-10=0.

(2)作圖可得過點P與原點O的距離最大的直線是過點尸且與尸。垂直的直線，如圖所示.

由/，。「，得kik°p=-l,

所以k/=

由直線方程的點斜式，

得y+l=2(x—2),

即2x-y-5=0.

所以直線2x-y-5=0是過點P且與原點O的距離最大的直線，最大距離為呆=小.

(3)由(2)可知，過點P不存在到原點的距離超過小的直線，因此不存在過點尸且到原點的距

離為6的直線.

B組專項能力提升

(時間：25分鐘)

11.若直線曲+制=斜3>0,加>0)過點(1,1),則該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值

為()

A.1B.2

C.4D.8

答案C

【詳細分析】,：ax+by=ab(a>0,b>0)過點(1,1),

.'.a+h=ab,即1+(=1，

?,?。+。=他+錯+力=2+￡+￡

當且僅當a=b=2時上式等號成立.

，直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.

12.已知力(3,0),8(0,4),直線48上一動點P(x,刃，則中的最大值是.

答案3

【詳細分析】直線N8的方程為京+方=1,

3

???動點P(x,刃在直線Z3上，則工=3—萬，,

3

=WLL2『+4]W3.

即當尸點坐標為停，2)時，中取最大值3.

13.設(shè)點/(一1,0),5(1,0),直線2x+y-Z)=0與線段相交，則方的取值范圍是.

答案[-2,2]

【詳細分析】6為直線v=-2x+b在y軸上的截距，

如圖，當直線y=-2x+6過點/(-1,0)和點8(1,0)時，b分別取得最小值和最大值.

:?b的取值范圍是[-2,2].

14.如圖，射線。4、。3分別與x軸正半軸成45。和30。角，過點P(l,0)作直線”分別交。4、

。8于/、8兩點，當?shù)闹悬cC恰好落在直線y=$上時，求直線的方程.

解由題意可得k0A=tm45°=1,

tan(180°-30。)=-,

所以直線/。力：y=x,IOB：y——3

設(shè)4(m,m),B(—小n,〃)，

所以"的中點《巧畫，噌，

由點C在上，且/、P、8三點共線得

(m-Vn1加一小〃

I2=22

解得〃?=小，所以4(小,小).

m—0n—0

43+4

又尸(1,0),所以自8=%"=

小一12

所以IAB'y=2(工一[)，

即直線AB的方程為(3+，5)X—2y—3—小=0.

15.已知直線/：Ax—y+l+2A=0(%eR).

(1)證明：直線/過定點；

(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求％的取值范圍；

(3)若直線/交x軸負半軸于/,交y軸正半軸于8,ZVIOB的面積為S(。為坐標原點)，求S

的最小值并求此時直線/的方程.

(1)證明直線/的方程是左(x+2)+(l—y)=0,

=

]x+2=0,x-29

令

|l-y=0,解得

尸1,

無論《取何值，直線總經(jīng)過定點(-2,1).

1+2k

解由方程知，當時直線在軸上的截距為一一^,在軸上的截距為左，要

(2)4N0xKy1+2

使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有，―k&-2,解得4>0；

?1+2欄I,

當左=0時，直線為y=l,符合題意，故％>0.

(3)解由/的方程，得力(—中士0),8(0,1+2人).

f\+2k

——7—<0,

依題意得卜

」+24>0,

解得A0.

-：S^\OA\\OB\=\-中>|1+2用

=；())=如短+4同義(2X2+4)

=4,

“=”成立的條件是左>0且4仁￡即仁;，

?,.5min=4,此時直線/的方程為x-2y+4=0.

基礎(chǔ)知識自主學習

股知識梳理要點講解深層突破

1.兩條直線的位置關(guān)系

(1)兩條直線平行與垂直

①兩條直線平行：

(i)對于兩條不重合的直線小12,若其斜率分別為由、左2,則有，I〃/，OQ=包.

(竹)當直線/1、，2不重合且斜率都不存在時，

②兩條直線垂直：

(。如果兩條直線/|、，2的斜率存在，設(shè)為抬、k2,則有/」/,=粒屁=一1.

(ii)當其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，/山2.

(2)兩條直線的交點

直線1\：A\X~YC\=012424+8少+。2=0，則1\與，2的交點坐標就是方程組

小x+Sy+G=0，

,“3_八的解?

42%+4少+。2=0

2.幾種距離

⑴兩點P](X[，a)，。2(x2，?2)之間的距離尸1P2|=叱必一")2+(>2一歹1)2.

⑵點Po(xo,為)到直線/：4c+8y+C=0的距離1=邑竿瞿畢.

Y力十B

(3)兩條平行線/x+8y+G=0與Zx+5y+C2=0(其中GWC2)間的距離d=號彘t

【知識拓展】

1.一般地，與直線/x+8y+C=0平行的直線方程可設(shè)為/x+8)，+/n=0；與之垂直的直線

方程可設(shè)為Bx—川+〃=0.

2.過直線/|：小x+5y+G=0與小42x+Wy+C2=0的交點的直線系方程為小x+Sy+

G+2(42x+8少+C2)=0(26R),但不包括公

3.點到直線與兩平行線間的距離的使用條件：

(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式.

(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x,y的系數(shù)對應(yīng)相等.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)當直線和b斜率都存在時，一定有抬=后=?！?2.(X)

(2)如果兩條直線與b垂直，則它們的斜率之積一定等于-1.(X)

(3)已知直線，i：4x+BLy+G=0,/2：4x+B少+Q=0(小、5、G、4、&、。2為常數(shù))，

若直線則小小+囪當=。^J)

歐o+0

(4)點P(x。,則)到直線y=fcc+b的距離為x)

yjT+i?

(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.(v)

(6)若點48關(guān)于直線/：/#0)對稱，則直線的斜率等于一￡且線段48的中

K

點在直線/上.(V)

2考點自測快速解答自查自糾

1.設(shè)aGR,則％=1”是“直線6奴+2了-1=0與直線"：x+(“+l?+4=0平行”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

【詳細分析】(1)充分性：當。=1時，

直線八：x+2y—1=0與直線，2：x+2y+4=0平行；

(2)必要性：當直線/i：亦+2^—1=0與直線，2：x+(a+1?+4=0平行時有“=-2或I.

所以"a=l"是“直線小取+2>-1=0與直線，2：x+(a+l?+4=0平行”的充分不必要

條件，故選A.

2.(教材改編)已知點(a,2)5>0)到直線/：x-y+3=0的距離為1,則a等于()

A.&B,2一啦

C.啦一1D.V2+1

答案C

\a—2+3|

【詳細分析】依題意得

Vi-H—

解得a——1+■s/5或a=-1-^2.a>0,；?a=—I

3.已知直線人：(3+機)x+4y=5—3加，/2：2x+(5+機?=8平行，則實數(shù)機的值為()

A.-7B.-1

、13

C.一1或一7D.—

答案A

3+m5-3m

【詳細分析】的斜率為一丁，在V軸上的截距為二丁

b的斜率為一言，在y軸上的截距為冷;.

3-I-tii2

又由一丁=一豆獲得,”+8加+7=。,

得m——1或一7.

機=一1時，二^=士=2,/1與/2重合，故不符合題意；

45十加

加=一7時，匕”=當"式一=一4,符合題意.

425十m

4.(2014?福建)已知直線/過圓f+(y-3)2=4的圓心，且與直線x+y+1=0垂直，則/的

方程是()

A.x~\~y—2=0B.x—y+2=0

C.x+y—3=0D.x—y+3=0

答案D

【詳細分析】圓x2+e—3)2=4的圓心為點(0,3),

又因為直線/與直線x+_rH=0垂直，

所以直線/的斜率4=1.

由點斜式得直線/：y—3=x-0,化簡得x—y+3=0.

5.(教材改編)若直線(3a+2)x+(l—4a)y+8=0與(5a—2)x+(a+4?-7=0垂直，則a=

答案0或1

【詳細分析】由兩直線垂直的充要條件，得(3a+2)(5a—2)+(1—4a)(a+4)=0,解得a=0

或a—\.

題型分類深度剖析

題型一兩條直線的平行與垂直

例1(1)已知兩條直線小(a—l>x+2y+l=0,/2：尤+〃y+3=0平行，則a等于()

A.-1B.2

C.0或一2D.-1或2

(2)已知兩直線方程分別為小x+y=l,/2：辦+2尸0,若/4/2，則。=.

答案(1)D(2)-2

【詳細分析】(1)若。=0,兩直線方程為-x+2y+l=0和x=-3,此時兩直線相交，不平

行，所以aWO.當時，若兩直線平行，則有解得。=—1或。=2,選D.

(2)方法一*.7,1/2,

??攵次2=-1,

嗚=-1,

解得。=一2.

方法二

二。+2=0,ci~~—2.

思維升華(1)當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考

慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意X、夕的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.

(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.

跟蹤訓練1已知兩直線/]：x+ysina—1=0和b：2xsina+y+1=0,求a的值，使得：

⑴/入；

(2)/I±/2.

解(1)方法一當sina=0時，直線的斜率不存在，，2的斜率為0，顯然不平行于b

當sina#0時，￡]=一$二d居=-2sina.

要使需一^^=-2sina,即sina=土乎.

jr

所以a=E±i，A-SZ,此時兩直線的斜率相等.

7T

故當a=E土不時，l\//12.

方法二由-4231=。，得2sin2a—1=0,

所以sin0=±乎■.所以儀=癡4左WZ.

又8c2一&。仔0,所以1+sinaWO,即sinaW—l.

TT

故當a=E±i，左GZ時，h//l2.

(2)因為4/2+8I&=0是AJ^2的充要條件，

所以2sina+sina=0,即sina=0,所以a=E,左GZ.

故當a=E,kRZ時，Zi1/2.

題型二兩條直線的交點與距離問題

例2(1)已知直線y=h+2Z+l與直線＞=一%+2的交點位于第一象限，則實數(shù)”的取值

范圍是.

(2)直線I過點P(—1,2)且到點/(2,3)和點8(—4,5)的距離相等，則直線/的方程為

答案(1)(一/1)(2)x+3y_5=0或尸一1

y=Ax+2k+l,

【詳細分析】(1)方法一由方程組1,

y=-/x+2,

2—4%

x=2k+「

解得

6hH

y^2k+V

(若2%+1=0,即左=一/則兩直線平行)

一-，一，(、

二交"坐標為鼠2—+4A［，26A1+11/

又二?交點位于第一象限，

方法二如圖，已知直線

了=一%+2與x軸、v軸分別交于點44,0),5(0,2).

而直線方程y=^+2A+l可變形為y-l=%(x+2),表示這是一條過定點尸(-2,1),斜率為太

的動直線.

?.?兩直線的交點在第一象限，

二兩直線的交點必在線段上(不包括端點)，

二動直線的斜率%需滿足加<k<kPB.

...__1,_1

?^PA—6，KPB-2,

(2)方法一當直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為

y-2=k(x+l),即Ax—y+上+2=0.

由題意知/：言+2||一4%—5+4+2]

Nk+1y/必+1

即|3%一1|=|一3攵一3|,

??.直線/的方程為y—2=—；(x+l),

即x+3y—5=0.

當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為》=-1,也符合題意.

方法二當時，有k=kAB=-g,

直線/的方程為y—2=—；(x+l),

即x+3y—5=0.

當/過力8中點時，的中點為(-1,4).

.?.直線/的方程為x=-1.

故所求直線/的方程為x+3y—5=0或x=-1.

思維升華(1)求過兩直線交點的直線方程的方法

求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線

方程.

(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點尸(m,則)到直線x=a的距離1=*一4],到直線y=6的距離

d=\y0~b\;②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)化為相等.

跟蹤訓練2(1)如圖，設(shè)一直線過點(-1,1),它被兩平行直線*x+2y—l=0,/2：x+2y

—3=0所截的線段的中點在直線4：x一了-1=0上，求其方程.

x+2y-3=O

x-y-l=O

x+2y-I=O

解與i/2平行且距離相等的直線方程為x+2y-2=0.

設(shè)所求直線方程為(x+2y—2)+i(x—y—1)=0,

即(1+3+(2—加—2T=0.又直線過(-1,1),

/.(1+%)(—1)+(2—A),1—2—2—0.

解得/=一；..?.所求直線方程為2x+7y—5=0.

(2)正方形的中心為點C(—1,0),一條邊所在的直線方程是x+3y-5=0,求其他三邊所在直

線的方程.

解點C到直線x+3y—5=0的距離

,1一1一5|3回

d=-1—.—

[1+9

設(shè)與x+3y-5=0平行的一邊所在直線的方程是x+3y+"?=0(mW—5),

則點C到直線x+3y+"?=0的距離

|-l+ffl|3VT0

5'

解得機=一5(舍去)或，〃=7,

所以與x+3y—5=0平行的邊所在直線的方程是x+3y+7=0.

設(shè)與x+3y-5=0垂直的邊所在直線的方程是3x—y+〃=0,

則點C到直線3x-y+n=0的距離

|-3+H|3^10

"=不花=5'

解得n——3或n—9,

所以與x+3y-5=0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3尤一夕一3=0和3x-y+9=0.

題型三對稱問題

命題點1點關(guān)于點中心對稱

例3過點P(0,l)作直線/,使它被直線/|：2x+y—8=0和6：x—3y+10=0截得的線段被

點P平分，則直線I的方程為.

答案x+4y-4=0

【詳細分析】設(shè)/i與/的交點為438—2a),則由題意知，點4關(guān)于點P的對稱點8(—a,2a

-6)在6上，代入，2的方程得一。一3(2a—6)+10=0,解得a=4,即點/(4,0)在直線/上，

所以直線/的方程為x+4y—4=0.

命題點2點關(guān)于直線對稱

例4已知直線/：2x—3y+l=0,點N(—1,-2),則點N關(guān)于直線/的對稱點的坐標

為.

答案T，管

【詳細分析】設(shè)H(x,y),由已知得

X—1y—2,

2X^-3X^~+l=0f

C33

解得《)

4

故T(小，A).

命題點3直線關(guān)于直線的對稱問題

例5已知直線/：2x~3y+1=0?求直線機：3x—2y—6=0關(guān)于直線/的對稱直線機'的方

程.

解在直線加上任取一點，如M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線/的對稱點必在直線上.

設(shè)對稱點M'(a,b),則

+1=0,

???”偌,粉

設(shè)直線機與直線/的交點為N,則

j2x-3y+l=0,

由13x—2y—6=0,

得N(4,3).

義,：m'經(jīng)過點N(4,3).

由兩點式得直線，〃'的方程為9x—46y+102=0.

思維升華解決對稱問題的方法

(1)中心對稱

x'=2a-x,

①點尸(x,刃關(guān)于03,b)的對稱點尸'(x'，y')滿足，

[y-2b-y.

②直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決.

(2)軸對稱

①點A(a,6)關(guān)于直線Ax+By+C=0(5/0)的對稱點A'(m,ri),則有

②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.

跟蹤訓練3在等腰直角三角形/8C中，Z3=4C=4,點尸是邊上異于48的一點,

光線從點尸出發(fā)，經(jīng)BC,C4發(fā)射后又回到原點P(如圖).若光線0R經(jīng)過△48C的重心,

則AP等于()

fl

R

----

A.2B.1

C.]D.]

答案D

【詳細分析】建立如圖所示的坐標系：

可得5(4,0),C(0,4),故直線8C的方程為x+y=4,

△Z8C的重心為

(0+0+40+4+0、,j,,

(—―,—5—1設(shè)Ra，0)，其中0＜。＜4,

則點尸關(guān)于直線8c的對稱點P|(x,歷，

號+*%

滿足,

.y—匕0

|\x=4,

解得'"即尸i(4,4-a),易得P關(guān)于y軸的對稱點尸2(—40),

由光的反射原理可知片,Q,R,巳四點共線，

4—a—04-Q

直線。R的斜率為％=二^=1，

4—a

故直線QR的方程為卜=石1(\+4),

446

由于直線。R過△48C的重心(1,§),代入化簡可得3/—4a=0,

解得“=*或a=0(舍去)，故唱，0)，故/尸=*

思想與方法系列

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