《圓的方程》典型教學設計研究

《圓的方程》典型教學設計研究

包頭市田家炳中學數(shù)學學科沈陽

證書編號：010879聯(lián)系電話：

【課程分析】

《圓的方程》安排在《全日制普通高級中學教科書?數(shù)學（必修）》（人教版）第二冊（上）

第七章第六節(jié)。圓作為常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生產實踐中有著廣泛的應用。圓

的方程屬于解析幾何學的基礎知識，是研究二次曲線的開始，學習了“曲線與方程“之后，

作為一般曲線典型例子，安排了本節(jié)的“圓的方程”。圓是學生比較熟悉的曲線，在初中曾

經學習過圓的有關知識，本節(jié)內容是在初中所學知識及前幾節(jié)內容的基礎上，進一步運用解

析法研究它的方程，它與其他圖形的位置關系及其應用，為后面學習其它圓錐曲線的方程奠

定了基礎，無論在知識上還是方法上都有著積極的作用和意義，本節(jié)內容在教材體系中起到

承上啟下的作用，具有重要的地位，而且在許多實際問題中也有著廣泛的應用。

由于“圓的方程”一節(jié)內容的基礎性和應用的廣泛性，對圓的標準方程、一般方程的要

求層次是“掌握”；結合本節(jié)的內容的特點，可以向學生滲透多種數(shù)學思想方法，同時對學

生的觀察類比、創(chuàng)新等多種能力的培養(yǎng)也十分有利。在運用多種方法求圓的方程中，可培養(yǎng)

學生大膽探索創(chuàng)新的精神；通過知識的實際運用和采用多媒體手段，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興

趣，同時讓學生體會到數(shù)學是有用的，數(shù)學知識在生活當中到處可見，數(shù)學的學習是必要的；

而一些曲線上動點的變化，和方程形式，解法的多樣更顯示出數(shù)學知識的靈活多變和廣泛應

用。依照大綱要求，本節(jié)分為三個課時進行學習，這是第一課時的教學設計，本課時學習圓

的標準方程。

學情分析：

圓的方程是學生在初中學習了圓的概念和基本性質后，又掌握了求曲線方程的一般方法

的基礎上進行研究的，圓基于初中的知識，同時又是初中的知識的加深，使學生懂得知識的

連續(xù)性；但由于學生學習解析幾何的時間還不長、學習程度也較淺，且對坐標法的運用還不

夠熟練，在學習過程中難免會出現(xiàn)困難，另外學生在探究問題的能力，合作交流的意識等方

面有待加強。從教學的對象來看，我班的學生都是些比較普通的學生，學生基礎知識掌握的

相對比較弱，學習習慣差，在課堂上要重視培養(yǎng)學生審題，解題的習慣，特別是本學期平面

解析幾何中，要求解題的工整，規(guī)范，要給學生一個良好的示范作用，結合這些實際情況,

教學的要求要適當放低一些。從學生的心理特點看,他們的心理特征比他們的實際年齡偏小，

各種學習習慣、思維方式多保留著初級階段的特點，雖然思維活躍、敏捷、但表達和展示自

己的想法時不夠完整、準確，考慮問題還不夠周密、嚴謹、深刻。

設計思路：

在教學過程中，教師遵循數(shù)學發(fā)展規(guī)律，并依據(jù)建構主義教育理論，創(chuàng)設一系列數(shù)學

實驗環(huán)境，在情境中讓學生觀察、類比、猜想、嘗試、探索、歸納并引導加以證明，強調主

動建構，從深層次加強學生對知識的感知度，使學生能更好地理解和掌握圓的標準方程。

設計的根本出發(fā)點是促進學生的發(fā)展。倡導“自主、合作、探究”的學習理念，教師

以合作者的身份參與，課堂上建立平等、互助、融洽的關系，師生共同探究，共同提高?！闭T

思探究”教學論中充論證了這一點，學生是學習和發(fā)展的主體，教師是學習活動的引導者，

所以在學習和教學中注重讓學生自己動手，想辦法，解決問題。根據(jù)《誘思探究學科教學論》

堅持“教師為引導，學生為主體，體驗為紅線，思維為主攻”的理念，將達標過程、情意過

程和行為過程三個子機制貫穿于學生的整個過程，并采用實際問題情境導入，教師把教學內

容設計為若干問題，從而引導學生進行探究的課堂教學模式，教師在教學過程中，主要著眼

于“引”，啟發(fā)學生“探"，把“引”和“探”有機的結合起來。

本節(jié)課是按“探究性學習方式”的三個認知層次設計學生的學習過程：即“溫故引新,

以景激情”；“探究新知，掌握規(guī)律”；“遷移拓展，深化認識”，在每個認知層次中設計了

一環(huán)套一環(huán)的學習活動。一、溫故引新，以景激情，是為使用五步法推導圓的標準方程作準

備，在這個過程中，用課件投影導向信息引導學生“閱讀課本”、“相互討論”等誘導學生完

成學習任務，并用生活中的實際例子設置問題情境，激發(fā)學生的學習興趣。二、探究新知、

掌握規(guī)律，是在學習舊知的基礎上親自實踐，自己動手，自主合作探究新知識。每項教學措

施，都是給學生創(chuàng)造一種探究情境，體驗性學習，一種動腦、動手、動口并主動參與的學習

機會，創(chuàng)設良好的學習氛圍，寬松的學習環(huán)境，全身心投入自主、合作、探究的學習過程,

激發(fā)學生的求知欲，促使學生主動去解決問題。三、遷移拓展，深化認識是運用新知解決實

際問題的過程，在這里設計了一題多解的練習題，啟發(fā)學生的解題思路，發(fā)散學生的思維,

學生可以交流合作，探討解題思路，并投影學生的解題過程，展示自己的作業(yè)，最后教師點

評，精講，規(guī)范學生的解題過程。

在教學過程中使用了多媒體，借助多媒體課件，使抽象的問題更加形象、直觀，利用實

物照片，實物投影等，激發(fā)了學生的學習興趣，同時也提高了課堂效率；把學生的解題思路、

方案當堂展示，便于進行討論和點評，不斷優(yōu)化學習方案，規(guī)范學生的解題過程。

學習目標：

1.能用五步法推導圓的標準方程，能掌握圓的標準方程的特點，能根據(jù)已知條件準確

地寫出圓的標準方程。能運用圓的標準方程正確地求出其圓心和半徑。

2.能根據(jù)不同條件，利用待定系數(shù)法求圓的標準方程。

3.利用圓的標準方程解決一些簡單的實際問題。如圓拱橋的實際問題，說明理論既來

源于實踐，又服務于實踐。

教學流程：

一、溫故引新，以景激情

（一）情境導入，感知實例

【課件投影】（請獨立思考下列問題，可在小組內討論后，請舉手自由發(fā)言。）

請觀察下列圖片，它們有什么共同特點？

如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該拱跨度AB=20米，拱高0P=4米，在建造時每隔4

米需用一個支撐，求支柱A2Pz的長度（精確到0.01米）

（用以前學過的知識你能解決這個問題嗎？）

（設計意圖：張教授說“任何心理活動都與情境有關”，用實際問題創(chuàng)設問題情境，利用學

生對實際問題有很高的積極性的特點，以實際問題引入課題。觸境導入，點燃思維火花，讓

學生感受到問題來源于實際，應用于實際，激發(fā)了學生的學習興趣和學習欲望。這樣獲取的

知識，不但易于保持，而且易于遷移。通過對問題的探究，抓住了學生的注意力，把學生的

思維引到用五步法研究圓的方程上來，此時再把問題深入，進入第二環(huán)節(jié)。）

（簡要實錄：整個班級鴉雀無聲，從學生渴望的表情中可以看出，學生不能回答此問題，感

到疑惑，并激發(fā)起學生的求知欲望。）

（二）以舊引新，奠定基礎

【課件投影】（請同學用3分鐘時間回憶以下幾個問題，認真思考。若回憶不出來，同學之

間可以相互議論，也可以請閱讀課本有關內容，然后舉手發(fā)言。）

問題1：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？

問題2：圓的幾何定義是什么？

問題3：圖中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質？

（設計意圖：“溫故而知新”，復習舊知，創(chuàng)設情境，讓學生通過討論或自己看書解決，培養(yǎng)

學生自學能力，為推導圓的標準方程打下良好的基礎。）

（簡要實錄：對以上三問題比較簡單，從課堂的反映來看，大部分同學都能解決，個別同學

有部分疑問，他們可以通過課本或同學間的討論解決。）

（下面用求曲線方程的一般步驟來推導圓的標準方程.）

二、探究新知，掌握規(guī)律

（-）【課件投影】（請獨立思考下列問題，如遇到問題可以請教其他同學。）

根據(jù)五步法推導圓的標準方程，

（設計意圖：鞏固求曲線方程的一般步驟，問題的過程往往比問題的結論更重要，自己得出

的結論比別人告訴的更容易記住，而且記得會更牢固。）

（簡要實錄：當建系設點時，有的學生以圓心為原點建立直角坐標系，有些學生的原點不在

圓心建立坐標系，教師指出這兩種建系的方法都是正確的，原點在圓心是特殊情況，現(xiàn)在僅

就一般情況推導。）

例如：求圓心在（a,。），半徑為r的圓的方程。胃,一、

（二）【課件投影】完成后的同學，請閱讀課本82頁例1前的內穴夕可以相互

討論，本組內不能解決的可以請教其他組的同學。J/:

（設計意圖：“以體驗為紅線，思維為主攻”，以分析促達成,d達成中分享收獲的喜悅。青培

養(yǎng)學生自己動手能力，發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，也養(yǎng)成自主學習的好習慣。）

（簡要實錄：通過自己的推導和教材比較發(fā)現(xiàn)成功和不足，部分學生有問題，通過學生之間

的交流討論（四個一組）也都能解決，教師參與到學生中間，幫助個別有困難的學生。）

（三）【課件投影】（請大家認真思考下列問題后，請舉手發(fā)表你的看法。請其他同學認真聽

取，后面發(fā)言的同學不要重復前面的意見，但可以補充、完善。）

圓的標準方程：（x—a>+（y—b）2=/有什么特點？

（設計意圖：通過看書學習和自己的總結得出結論，因為自己總結的經驗和得出的結論，有

利于記憶，更有利于學生學習和應用。）

（簡要實錄：苗海燕說：“圓的標準方程由圓心和半徑確定，如果指導圓心和半徑就能求出

元的標準方程?！毙靹俨┱f：“方程是對稱的，等號兩邊都有平方，而且有三個參數(shù)分別為

a,b,r?！边@兩個學生回答后，又有一個學生補充說出標準方程中的符號特點。）

（四）【課件投影】

結論：1.圓的標準方程的特點：含有三個參數(shù)a,b,r；點（a,b）、r分別表示圓心的坐標和

圓的半徑。

2.其應用包括兩個方面：

（1）根據(jù)圓的標準方程，可以熟練地寫出它的圓心和半徑；

（2）根據(jù)圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程。請用1分鐘時間理解和記憶。

（設計意圖：觀察圓的標準方程有哪些參數(shù)確定。培養(yǎng)學生觀察，思考，歸納，總結的能力，

教師幫助學生培養(yǎng)學習習慣。）

（簡要實錄：大多數(shù)學生都能總結出此規(guī)律，能記住圓的標準方程的特點。）

三、遷移拓展，深化認識

(一)【課件投影】(請用剛學過的知識獨立完成下列練習，完成后，同學之間相互交流結果，

相互議論后請自由發(fā)言。在有同學發(fā)言時，請其他同學認真聽取和思考，看是否正確，如有

不同的建議，請舉手發(fā)言。)

1.說出下列圓的圓心和半徑：

(1)(x-3)2+(y-2)2=5；

⑵(x+4)?+(y+3)2=7；

(3)(X+2)2+y2=4

2.寫出下列各圓的方程：

(1)圓心在原點，半徑是3；

(2)圓心在點C(3,4),半徑是君

(3)經過點P(5,1),圓心在點C(8,-3)；

(設計意圖：設計了兩個練習題，第一題是給出圓的標準方程求圓心坐標和半徑，第二題是

直接或間接的給出圓心坐標和半徑求圓的標準方程，這兩題比較簡單，可以安排學生口答完

成，目的是先讓學生熟練掌握圓心坐標、半徑與圓的標準方程之間的關系，加強鞏固訓練,

掌握圓的基礎知識后為下面探究圓的切線問題作準備及知識的闊展加深打基礎。)

(簡要實錄：學生基本上都能掌握，通過六個學生的回答，前五道題沒有什么問題只有最后

一題在計算過程中有算錯的，學生的計算能力還有待于提高。通過這兩道題的學習，學生能

得出：要求圓的標準方程必須三個獨立的條件a,b,r即圓心和半徑。)

(二)【課件投影】(請用圓的標準方程有關知識解答下列練習，獨立完成后，小組內相互交

流討論，然后每小組選一名代表展示你們的解題過程，其他同學可以提問題，挑毛病，也可

以補充，完善，發(fā)表不同的意見。)

1.求以C(l,3)為圓心，并且和直線3%—4y—7=0相切的圓的方程.

(設計意圖：通過實例學習圓的標準方程的求法，強化認識，掌握圓的標準方程和有關與圓

相切的重要性質，并鞏固“點到直線的距離公式二)

(簡要實錄：有了圓的標準方程的基本知識，和點到直線的距離公式，點到直線的距離等于

半徑，學生很快解答了此題。教師把學生的解題過程投影給學生，供學生參考。)

2.【課件投影】已知圓的方程12+丁2二r2,求經過圓上一點〃(九。，丁。)的切線方程

(設計意圖：張教授說：“教師為引導，學生為主體”把課堂還給學生，把傳統(tǒng)教學中“填

鴨式”的“滿堂教”變?yōu)檎嬲饬x課堂上的“滿堂學”，學生動手、獨立思考，教師尋視發(fā)

現(xiàn)問題即時和學生討論，并展示學生的作品，讓大家討論，學生發(fā)現(xiàn)問題，學生糾正。實現(xiàn)

自主、探究、合作的學習。)

(簡要實錄：學生有不同的思路，展示了三個很有代表性的解題過程，張磊同學沒有考慮到

斜率的問題;劉樂賀同學化簡推導步驟不全,徐勝波同學書學表達不是很規(guī)范等典型的問題,

在課堂上學生都可以發(fā)現(xiàn)。幾乎不用老師糾正，學生之間就可以解決。）

【課件投影】請思考還有其他的解法嗎？同學們可以相互討論，每小組選一名代表發(fā)言。后

面發(fā)言的同學不要重復前面的意見，但可以補充、完善。

（設計意圖：本題解決方法較多，再一次為學生的發(fā)散思維創(chuàng)設了空間.最后我讓學生由本

小題的結論進行歸納、猜想，在論證經過圓上一點圓的切線方程的過程中，又一次模擬了真

理發(fā)現(xiàn)的過程，使探究氣氛達到高潮.培養(yǎng)學生對所學知識的綜合能力和應用能力。此題的

解答過程用到了圓的標準方程的有關知識，同時還涉及到了平面向量和三角形的有關知識如

勾股定理等，綜合能力比較強。設計該題主要是讓學生拓寬視野，鞏固提高。）

（簡要實錄：教科書上的方法學生基本能掌握，但是還需要教師點評：用斜率的知識來求切

線方程，但此法不如用幾何方法簡練實用，幾何方法就是利用圓心到直線的距離等于半徑而

本題利用了圓心到切點的距離為半徑的知識，由此確定了斜率的，從而得到點斜式的切線方

程，以上兩種方法只能求出存在斜率的切線，若斜率不存在，大部分學生都沒有給予重視或

給忽略了，教師要及時結合圖形補充。老師要相信學生，讓學生自己找到多種解題的方法:

平面向量0M."?=（）和勾股定理=|o葉老師把四個學生的解題過程展示

給學生，這里有對的也有錯的，但是老師沒有多說是讓學生來辨析，解釋，歸納出正確的答

案。最后由老師展示給出學生用平面向量和勾股定理兩種方法的解答過程，供學生參考。）

3.【課件投影】（請運用圓的標準方程有關知識完成下列實際問題，獨立完成后，請參考課

本83頁有關內容。）

如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度A5=20根，拱高02=47”，在建

造時每隔4加需用一個支柱支撐，求支柱48的長度（精確到0.01加）.

（設計意圖：它是待定系數(shù)法求出圓的三個參數(shù)。、b.r的又一次應用，同時也與引例相

呼應，使學生形成解決實際問題的一般方法，培養(yǎng)了學生建模的習慣和用數(shù)學的意識.學以

至用的意識，幫助學生明確知識的應用價值。）

（簡要實錄：引導學生分析，共同完成解答。①建系；②設圓的標準方程（待定系數(shù)）；

③求系數(shù)（求出圓的標準方程）；④利用方程求A2P2的長度。學生在老師的提示下利用圓的

方程解決了此試題，前后呼應，學生感到學有所用，增強了學習的興趣，激發(fā)了學習的積極

性。個別學生還是在計算時有困難。）

（三）【課件投影】由以上練習你能總結解題規(guī)律嗎？獨立思考后，請發(fā)表你的想法。后面

發(fā)言的同學不要重復前面的意見，但可以補充、完善。

（設計意圖：有學生自己歸納其解題規(guī)律，總結結論，養(yǎng)成學習的好習慣。）

（簡要實錄：三個學生回答解題規(guī)律，另有兩個學生補充；然后由老師歸納出完整的答案展

示給學生。）

【課件投影】（1）要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件；

（2）根據(jù)已知條件，平面等幾性質等確定a、b、r,可用待定系數(shù)法；

（3）利用圓的標準方程可一些解決實際問題。

請同學們用1分鐘時間理解和記憶。

（四）【課件投影】請同們閱讀課本82—84頁，例1、例2、例3,請寫出學習體會，然后

同學之間相互傳閱和交流。

（設計意圖：通過本節(jié)學習，要求大家掌握圓的標準方程，理解并掌握切線方程的探求過程

和方法，能運用圓的方程解決實際問題;老師沒有過多的講解，而是讓課本給學生講解，

用課本的規(guī)范語言去完成學生的思路。）

（簡要實錄：學生看書，老師來到學生中間，進行個別指導，幫助有困難的學生。）

課后反思：

本節(jié)課也是采用一課兩上三討論的具體形式，先后在兩個班的上課，盡管第一節(jié)是在理

科班，但是并沒有在文科班的效果理想，為什么呢？經過多次討論研究，前后對比，結果截

然不同，第一節(jié)課我是按照我以前的思路設計，老師給同學們提出幾個問題讓學生回答，然

后講一道例題，學生模仿教師的解題過程練上幾道習題，圓的標準方程也是老師推導出來讓

學生看看，能看懂就算是學生掌握了，有時還會問“明白沒有？”其實學生并不理解，只能

說他們能看懂，學生無法獨立思考，也沒有進行知識的自我建構，“為什么會這樣？”學生

對此一無所知，真可謂是：“老師講的頭頭是道，學生莫名其妙”。學習了《誘思探究學科

教學論》，又聽了張教授的報告，在張教授悉心指導下，以誘思探究為理論依據(jù)，以“自主、

合作、探究”為基本理念進行教學設計。把課劃分為“溫故引新，以景激情；探究新知，掌

握規(guī)律；遷移拓展，深化認識”三個認知層次。教學中立足于學生發(fā)展的需要，將更多的時

間還給學生，將“滿堂教”變成“滿堂學”，讓學生主動參與，積極思考，交流、合作、討

論，真正成為課堂的主體。

經過張熊飛教授的現(xiàn)場指點之后，第二節(jié)課只所以進行的非常順利，是因為我放開手讓

學生去完成，讓學生展示，我只在關鍵時刻給出導向性信息，這樣的處理收到很好的效果，

使課堂輕松自然，精彩不斷，我也參與到學生的討論之中，不僅學生能真正學到知識，而且

我也能更加了解學生，還能從學生那里學到很多知識，真正做到師生合作互相學習。有時學

生會給教師更多精彩，要充分相信學生的能力，學生會給教師一個意想不到的結果。

以“探究性學習方式”理論為指導，來實現(xiàn)自主、合作、探究，充分調動學生的思維和

情感，調動了學生學習的積極性，激發(fā)了學生有學習興趣，保證學生五官并用，全身心投入

整個學習過程，親身體驗，主動探究，開啟學生的思維，促進了學生自主學習，實現(xiàn)了師生

平等，互助、合作，真正實現(xiàn)了“教師為引導，學生為主體”。在每個學習環(huán)節(jié)中都創(chuàng)設情

境，設置適當?shù)膶W習活動，并在教師導向性信息引導下一步一步走向成功。學生每解決一個

問題或者得出一條結論，在他們的臉上都能看到滿足、自豪和收獲的喜悅。在學習活動中學

生收獲了知識，培養(yǎng)了能力，增強了信心。

這使我深深感受到“探究性學習”中的“學生在教師的導向性信息下，獨立地發(fā)現(xiàn)問題、

獲得自主發(fā)展”的魅力。上完課后，我及時總結了經驗，更重要的是在張熊飛教授現(xiàn)場指點

下，我從新撰寫了教學設計，張教授認真閱讀了教學設計后，又對我進行反復的指導，使我

更近一步對“探究性學習方式”的認識更加深刻。也體會到了誘導性思維的重要性。尤其是

“導向性信息”的重要性，例如在情境導入時，開始我的導向信息是“請觀察下列圖片”只

告訴學生“怎么動”，但并沒有告訴學生“學什么”，再例如“請推導圓的標準方程”，這樣

的導向性信息不夠準確，學生看了不知道“怎么動”，它應該能給學生在探究活動中指明方

向，它設置的好壞直接影響學習的效率，當初我也曾經把知識問題化，以問題為線索，圍繞

問題開展探究學習活動，用問題牽著學生的鼻子走，其實這就成了在問題牽引下的師生談話

式的教學，偏離了探究的本質，就象張教授說的：“這樣不僅傷害了學生的主動性、積極性，

限制了學生的思維，使學生成為被動接受者，還容易造成學生照本宣科，穿新鞋，走老路”。

《誘思探究學科教學論》中指出：“設計導向性信息不是單純設計問題，而是教師給學生探

究活動時一個‘航標‘，這個‘航標'對學生開展探究提出的導向性基本要求?！备屛揖磁?/p>

的是張教授的嚴謹、認真的治學態(tài)度，雖然他已有七十多歲的高齡，但每天休息很少，不怕

犧牲自己的休息時間，2008年9月24日，張教授對我個人手把手地輔導累計長達四個多小

時。不僅對我的設計提出了宏觀的建議，而且對我教育理念也有很深的指導。在教學設計上

就連一個小小的細節(jié)也不放過，例如，在語言的組織上也要力求準確，這種精神更值得我們

學習，這讓我對今后的教學工作更加精益求精，對待科學的態(tài)度更加嚴謹，對待學生更是一

絲不茍，這會讓我受益終身，在此我也向張教授表示衷心的感謝。這也是一直推動探究性學

習方式實驗的動力。

讓我感到遺憾的是：45分鐘過的很快，課堂上學生討論的熱情很高，問題不斷的深入，

有時打斷學生的討論，總感到有些于心不忍。為了保護學生的學習積極性，強化他們的成功

體驗，可以將一些對學生思維層次要求高的內容改為兩節(jié)課來完成。

張教授的《誘思探究學科教學論》完全符合新課程改革所提出的“自主、合作、探究”

基本理念，實現(xiàn)應試教育向素質教育的轉變提出了具體方案，而且便于實踐。當然“探究性

學習方式”對教師的要求更高了，教師要想上好每一節(jié)課，就要精心備好每一節(jié)課，不僅充

分相信學生，而且也對教師的教學基本功、應變能力、數(shù)學修養(yǎng)等各方面提出更高要求，這

就要求教師要提高自身的綜合素質。在今后的教學中我會不斷地努力，結合誘思探究學科教

學論，組織學生上好每節(jié)課，真正用理論來指導自己的教學。我相信在今后的教學中我會做

得更好。

“二面角”典型教學設計研究

包頭市田家炳中學數(shù)學賈殿清

證書編號：075761聯(lián)系電話：

【課程分析】《二面角》這節(jié)課是人教版必修2中第二章第三節(jié)的內容，是學生在學習

了兩個平面之間的位置關系后安排的內容。二面角及其平面角的概念是立體幾何最重要的概

念之一。二面角的概念發(fā)展、完善了空間角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了兩相

交平面的相對位置，同時它也是空間中線線、線面、面面垂直關系的一個匯集點。搞好本節(jié)

課的學習，對學生系統(tǒng)地掌握直線和平面的知識乃至于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都具有十分重要的意

義。

本節(jié)課教學的重點是二面角的平面角概念的形成過程，難點是尋找二面角的平面角的

方法的發(fā)現(xiàn)過程。解決問題的主要思路是讓學生動手操作，合作交流，在活動中去領悟。

【學情分析】學生已經在平面幾何中學習了“線線角”的概念，在本章學習了兩個平面

之間的位置關系后安排的內容。在生活中隨處可見“二面角”的相關實例。本節(jié)內容是兩個

過程的教學：（1）二面角的平面角概念的形成過程。（2）尋找二面角的平面角的方法的發(fā)現(xiàn)

過程，以及求二面角平面角的步驟，大約需要1課時。它在實際生活、生產中有廣泛的應用。

本班是個高二普通理科班，數(shù)學基礎相對薄弱，空間想象能力有待于提高。但本班已

開展“小組合作”的學習方式，課堂氣氛熱烈，學生積極討論，敢于表達自己對問題的想法

和觀點，積極參與課堂的合作學習和探討。本節(jié)“二面角”的規(guī)律性較強且與生活聯(lián)系緊密，

這能使學生對本節(jié)課的學習和探究產生濃厚的興趣。根據(jù)學生的空間想象能力和相關基礎知

識掌握情況，在探究中理解二面角的平面角定義以及作法比較困難，但只要注重了適當?shù)?/p>

“誘”，提供了適當?shù)膶蛐孕畔?，學生就能度過這一難關。

【設計思路】本節(jié)課采用“誘思探究教學”，變“滿堂問”、“滿堂議”，為“滿堂學”，

側重于學生的“自主”、“合作”、“探究”，將教師的引導與學生的自主探究，合作學習緊密

結合，將“體驗為紅線，思維為主攻”貫穿始終，學生通過這節(jié)課的學習獲得思想方法、能

力和知識的最大提高。

二面角的平面角概念的形成過程是重點。尋找二面角的平面角的方法的發(fā)現(xiàn)過程是難

點。所以本課設計了三個認知層次：一、“情境創(chuàng)設、新課引入”。使用多媒體課件，展示

人造地球衛(wèi)星繞地球飛行模擬圖和攔河大壩與河面（動畫），學生對兩個平面相交產生直覺

感知。立體幾何中我們用角來定量研究了兩條直線之間的相對位置，能否用兩平面所成的角

研究兩相交平面的位置關系呢？這就有效地激起了學生進一步探尋的欲望。二、“自主合作，

探究新知”?；貞浥f的知識”射線、平面角”是為用類比的方法學習半平面、二面角作準備，

也是為學生發(fā)現(xiàn)新舊知識的一致性和不同點形成完整知識結構而準備。二面角的平面角的概

念是重點，作二面角的平面角的方法是難點，在學習過程中，教師用導向性信息引導學生“閱

讀課本”，“小組討論”，“代表發(fā)言”等，誘導學生完成學習任務。探知“二面角平面角概念”

時，引導學生“畫一畫”、“練一練”，“議一議”，“記一記”。充分實現(xiàn)學生的主體地位，讓

學生動腦思、動口議，動手寫，真正動起來，并鼓勵學生發(fā)表不同的意見，教師適時的給予

表揚、點評，讓學生體驗成功的喜悅，以激發(fā)學生學習的主動性與積極性。三、”學以致用，

提高能力”。先讓學生小組討論，歸納本節(jié)已學的內容；然后，運用二面角的概念解決一些

簡單的問題加以鞏固本節(jié)的知識，使用實物投影儀，展示學生的解題方案，便于學生進行討

論和點評，不斷優(yōu)化學生思路，規(guī)范學生的解題過程。

學習目標：

1、理解二面角及其平面角的概念，并將二面角與平面角進行比較，了解它們的一致性

和不同點，使知識結構更完整。

2、進一步理解把空間問題轉化為平面問題的化歸思想，提高解決數(shù)學問題的能力。

3、能初步運用它們解決實際問題。學生體驗到數(shù)學知識來自實踐，并服務于實踐，從

而增強學生應用數(shù)學的意識。通過揭示線線、線面、面面之間的內在聯(lián)系，領悟辯證唯物主

義觀點。

教學流程：

一、情境創(chuàng)設、新課引入

（一）情境導入，感知實例

1、【課件投影】（請同學們認真觀看人造衛(wèi)星繞地球飛行的動畫演示，以及河水在攔河

大壩中流動的動畫演示，獨立思考下列問題，由代表回答下列問題。）

（1）人造衛(wèi)星繞地球飛行運行的軌道所在平面與赤道所在平面的位置關系是什么？

（2）攔河大壩所在平面與河面的位置關系是什么？

［設計意圖】通過課件展示學生能從感官上認識兩個平面相交的位置關系。

【簡要實錄】學生對兩個“動畫”很感興趣，開始積極主動地去想象。學生回答的較

清楚。

（二）以舊引新、奠定基礎

1、【課件投影】（請同學們獨立思考下列問題，通過生活中實際例子加以直觀、形象地

說明“兩平面所成的角”的大小關系，同桌間可以交流自己的想法，然后由代表回答下列問

題。）

在立體幾何中我們用角來定量研究了兩條直線之間的相對位置，你能否用“兩平面所

成的角”來研究兩相交平面的位置關系呢？

【設計意圖】通過這個問題，學生回憶起原有的認知結構（用角來定量研究兩條直線

之間的相對位置），為知識的創(chuàng)新做好準備；同時學生能自然聯(lián)想到“開門時，門所在平面

與其對應墻所在平面'所成角’大小關系”。學生進而領會到，二面角這一概念的產生是因

為研究兩相交平面的相對位置的需要，從而明確新課題研究的必要性，觸發(fā)學生積極思維活

動的展開。

【簡要實錄】有些同學之間用兩只手或用兩本書演示兩平面“所成角”的大小關系；有

些回答的同學走到教室門前用“教室門”來演示自己的想法。

二、自主合作，探究新知

（一）運用舊知、解決問題

1、【課件投影】（請同學們獨立思考下列問題，同桌間可以交流自己的想法，然后由代

表回答下列問題。）

射線可以看作一直線上的一點把這條直線分成兩部分的其中的一部分（半直線）,那么，

一平面內的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的一部分是什么樣的，誰能給它取個名

字？

【設計意圖】學生自己通過對平面幾何中“半直線”（射線）這一概念的引入過

程，通過類比推理，遷移到“半平面”。從而實現(xiàn)知識的創(chuàng)新。教師要肯定學生的創(chuàng)新

結果，給予積極的評價，強化學生的創(chuàng)新意識。

【簡要實錄】由自己的體驗，學生很快理解半平面的概念，平時很少回答問題的同學

也發(fā)了言。

2、【課件投影】（請同學們閱讀課本68頁第一段，獨立思考相關問題，若不能解決，可

同桌相互交流后，由代表回答問題。）

（1）平面幾何中“角”可以看作從一點出發(fā)的兩條半直線（射線）所組成的圖形，那

么，想象一下，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形是什么樣子的？

（2）二面角是什么？什么是二面角的棱？什么是二面角的面？

【設計意圖】引導學生獨立閱讀課本，將平面幾何中角這一概念的引入過程，通

過類比，遷移到兩相交平面所成角一一二面角的引入上，從而實現(xiàn)知識的創(chuàng)新。

【簡要實錄】通過類比遷移學生容易想象二面角的結構，結合課本能掌握二面角

的概念，教師要肯定學生的自學成果，給予積極的評價，強化他們的自學意識（學生能

自己學會的，教師不講）。

3、【課件投影】（獨立思考下列問題，由代表回答第一題；做第二題時，請用直尺做圖，

同桌可以相互交流，然后由代表自由在實物投影上展示并講解，有不同意見的同學可提出自

己的看法.）

（1）請你通過平面幾何中“角”的組成結構（半直線一點一半直線），聯(lián)想二面角的組

成結構是什么？二面角的符號表示形式是什么？

（2）請同學們舉出一些二面角的實例，并在練習本上畫出相應的二面角，并寫出它的

符號表示。

【設計意圖】學生通過類比，遷移想象二面角的結構、理解二面角的表示方法。通過

實際運用，可以促使學生更加深刻地理解二面角的概念。

【簡要實錄】學生能輕松找到“翻開的書本或教室內的墻角”這樣的二面角實例，并

通過協(xié)助、交流，在練習本上畫出相應二面角，并正確用符號表示出來。

（二）小組合作、獲取新知

1、【課件投影】（同學們獨立思考下列問題，請自由發(fā)言，回答下列問題）

觀察以下幾個二面角，請說說它們的“大小”有什么不同？

【設計意圖】引導學生對圖形進行觀察、分析、比較，發(fā)現(xiàn)各二面角的“傾斜程度”

即大小不一樣。在教學中，誘發(fā)學生的直覺思維是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的重要途徑。

【簡要實錄】學生能說出哪個大，哪個小。

2、【課件投影】（請同學們閱讀課本68頁第二段，獨立思考相關問題，若不能解決，小

組內相互討論，然后由代表自由在實物投影上展示并講解,有不同意見的同學可提出自己的

看法.）

（1）我們常說“把門開大一些”是哪個角大一些？我們應該怎樣刻畫二面角的大?。?/p>

（2）怎么做二面角的平面角？請在練習本上做出剛才自己所畫出的二面角的平面角。

（3）NAOB的大小與點0在L上的位置有關嗎？為什么？

【設計意圖】這樣就從度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念產生的背

景。進一步體會“空間角總是轉化為平面的角”來研究。

【簡要實錄】大多學生根據(jù)書上內容能概括出來二面角平面角的定義，經過小組討論,

學生理解了二面角平面角的大小與所選點0的位置無關。

3、【課件投影】（請同學們獨立完成下列練習，然后由代表自由在實物投影上展示并講

解，有不同意見的同學可提出自己的看法.）

請同學們在練習本上作出上圖的平面角，并說明其大小與兩平面傾斜程度的關系。

【設計意圖】根據(jù)定義學生熟練作出該二面角的平面角，并且通過點0的變動來深

入研究二面角平面角的定義，為學生實現(xiàn)知識創(chuàng)新提供了一個很好的切入點。

（簡要實錄】學生能夠根據(jù)二面角平面角的概念做出以上二面角的平面角。

4、【課件投影】（獨立思考相關問題，若不能解決，小組內相互討論，然后由代表自由

在實物投影上展示并講解，有不同意見的同學可提出自己的看法.）

剛才在定義二面角的平面角時，先確定棱上一點0,再作其平面角。若已知的點不在棱

上，如下圖，點B在二面角a—1—B的一個面a內，過B如何作該二面角的平面角呢？（提

示：運用“三垂線定理”相關內容）請思考兩種“作二面角平面角”方法的優(yōu)、缺點。

【設計意圖】學生分組討論,找出做二面角的平面角有兩種方法,方法一是根據(jù)定義，

其優(yōu)點是思路簡單明了，缺點是角找出后，不易計算;方法二是根據(jù)三垂線定理或其逆定理，

找角的關鍵是找到（或作出）平面的垂線，由于構造了一個直角三角形，因此角一旦找到，

計算相對來說比較簡單。讓學生親身參與方法的發(fā)現(xiàn)過程，因而印象深刻。為下階段的解題

作好準備

【簡要實錄】學生充分醞釀，議論和畫圖，探索出找二面角平面角的新方法。學生不

但動腦思考,而且動手操作。幾個學生在實物投影上展示了自己的作法并講出了自己的想法。

5、【課件投影】（請同學們認真看書上相關內容，用30秒鐘記憶我們得到的結論）

（1）二面角的概念

（2）二面角的平面角概念

（3）作二面角平面角的方法

【設計意圖】學生通過反思提高了自己獲取知識的能力及歸納概括能力，同時使自己

的認知結構更完整，更有利于解決下面問題。

【簡要實錄】學生在規(guī)定的時間內加強記憶了相關結論。

三、學以致用，提高能力

1、【課件投影】（獨立思考相關問題，若不能解決，同桌可以相互交流，然后由代表自

由在實物投影上展示并講解，有不同意見的同學可提出自己的看法.)

(1)已知銳二面角a—1—p,A為面a內一點，A至邨的距離為26，到1的距

離為4,求二面角a—1—P的大小。

(2)一張邊長為10厘米的正三角形紙片BC,以它的高AD為折痕，折成一個1200二

面角，求此時B、C兩點間的距離。

(3)山坡的傾斜度(坡面與水平面所成二面角的度數(shù))是600,山坡上有一條直道CD,

它和坡腳的水平線AB的夾角是300,沿這條路上山，行走100米后升高了多少米？

【設計意圖】通過解決實際問題，讓學生初步感受二面角在實際生活中的應用。

【簡要實錄】學生很快解答了這些題。

2、【課件投影】布置作業(yè)

(1)(必作題)AABC中/ACB=90。，PA_L平面ABC,PA=2,AC=2第，則平面PBC與平面

PAC,平面ABC所成的二面角的大小分別是多少？

(2)(選作題)點0為二面角a—a—B內部一點，過。如何作該二面角的平面角呢？

【設計意圖】分層次布置作業(yè)，讓有能力的學生能更好的發(fā)揮自己的能力。

【簡要實錄】大多學生獨立完成了第一題，一些基礎欠缺的同學通過學生、教師的幫

助完成了第一題，一些基礎好的學生獨立完成了第二題，掌握了用“垂面”做二面角平面角

的方法。

課后反思：本節(jié)課采用了一課兩上三討論的具體形式，開展了研究課。前后二節(jié)課整體

的設計從知識的形成過程看，沒有多大差異,但課堂結構發(fā)生了質的變化，效果也明顯不同：

前一節(jié)課我認為“小組討論”才是“合作”，一節(jié)課設置的“小組討論”的問題很多，實現(xiàn)

了“滿堂議”，很熱鬧，但問題大都無充分時間討論，真是“熱熱鬧鬧一場空”。第二節(jié)課則

是在教師導向性信息誘導下的“滿堂學”。具體地說：

第一方面，體會到利用媒體資源，創(chuàng)設“學習情境”的重要性。第一次上課，讓學生直

接看書上的“攔河大壩”和“人造衛(wèi)星運行軌道”示意圖，又設計了很多問題，學生思路被

教師的思路牽著走，課堂氣氛死氣沉沉，沒有更好地實現(xiàn)新課標提出的自主、合作、探究。

第二次上課，使用多媒體產生電腦動畫，使“攔河大壩”和“人造衛(wèi)星運行軌道”動起來,

學生學習興趣被調動起來，讓學生動腦思、動口議，動手寫真正地動起來，充分實現(xiàn)學生的

主體地位，并鼓勵學生發(fā)表不同的意見，教師適時的給予表揚、點評，讓學生體驗成功的喜

悅，以激發(fā)了學生學習的主動性與積極性。探究性學習方式進行教學，由學生的實際情況出

發(fā)，學生積極思考，互相合作，共同探究得到二面角平面角的作法，通過一系列思考和練習，

學生加深了對知識和方法的理解。

第二方面，體會多媒體與實物投影結合使用的高效。第一節(jié)課，在學生完成練習后，

讓學生上黑板板演，非常浪費時間，在上第二節(jié)課時，我采取把典型問題讓學生在實物投影

上展示、講解，效率提高了許多。

第三方面，進一步深刻理解了“合作學習”的內涵。第一次課上，每個問題都設置了

“小組討論”，因為沒有足夠的時間，所以很多討論都“形同虛設”，沒有落實。在以前自己

一直覺得“小組討論”才是合作，近期我又認真閱讀了張熊飛教授“誘思探究”有關這方面

的資料，才更深刻理解了“學生的自由發(fā)言”以及個性化的“代表發(fā)言”都是合作學習，并

且在本節(jié)課堂上進行了充分的運用。

第四方面，在課堂上，對于一些較難問題應采取“小組討論”的方式解決；在課下，

應采取“小組合作”的方式實現(xiàn)“兵教兵”。在課堂上，要給學生充足的時間去真正落到實

處，不能只是走形勢；并且讓小組合作延伸到課外，真正實現(xiàn)“兵教兵”。在講到二面角的

平面角的大小與頂點在棱上的位置無關時，楊鳳飛同學理解不了，原因是她忘記了“等角定

理”，在小組討論中她理解了這個問題。通過小組互動學習既拓展了課堂教學的時空，又加

強了教學的個別化；因小組的合作，課堂中被冷落或遺忘的角落消失了很多，教師和學生的

相互關心與相互信任相結合，學生就不會把教師單純地看成嚴厲的監(jiān)督者，積極性、主動性

逐漸增強，上課死氣沉沉的壓抑氛圍會漸漸得到扭轉。通過小組互動學習，使學習環(huán)境變得

民主、開放，學生所煥發(fā)的潛能和展現(xiàn)的差異，令人吃驚。無論潛能還是差異，我們深切地

體會到，它們都是亟待開發(fā)利用的教育資源。越是人數(shù)多的班級，越需要小組合作學習。讓

每一個學生都有歸屬感，不再無助；他可以坦率地對老師說：某某地方我沒有做好，某某地

方我不會做。他的良心是純潔的，他不可能去抄襲別人的作業(yè)或者考試時搞夾帶。他想樹立

起自己的尊嚴。

在小組合作學習中，教師要注意學生的層次是不同的。第一種是無需任何幫助就能很

容易地解答相應問題，教師剛剛展示出問題他們就舉手要求回答。對于這些學生，在小組合

作學習中，教師要要求他們達到“會做”、“會講”、“會出題”的層次：在課堂上安排他們組

織小組討論，給第二種、第三種學生講題；在課下教師指導他們學會出題，給一些基礎不好

的同學作為鞏固練習。這樣第一種同學不僅在知識技能上得到提高，而且在組織能力、交際

能力方面也得到了鍛煉。第二種能在沒有幫助的情況下完成中等難度的習題，但是對復雜的

習題有時解不出來，要求他們達到“會做”、“會講”的層次：給第三種學生講題。第三種學

生對問題的理解很慢，解答也很慢。他們在一節(jié)課上所能完成的作業(yè)，要比第一種、第二種

學生所做的少一半到三分之二，但是教師無論如何不要催促他們，對于這些學生，在小組合

作學習中，讓第一種、第二種學生幫助他們補基礎，講清楚他們解決不了的問題。教師要為

他們專門另選一些題目，始終只能指望他們在一節(jié)課上有所進步，哪怕一點點進步也好。

第五方面，體會到“導向性信息”具有神奇的力量。第一節(jié)在“學以致用，提高能力”

環(huán)節(jié)的例題中的導向性信息是：小組討論交流，說出解決這個問題的想法。很多學生題目都

沒看，盲目討論，問題回答效果不好。第二節(jié)課，我把導向性信息改為：獨立思考相關問題，

若不能解決，同桌可以相互交流，然后由代表自由在實物投影上展示并講解，有不同意見的

同學可提出自己的看法.導向性信息清晰地指示出學生應“學什么”、“怎么學”，讓學生清楚

地知道“怎樣跳就能夠到蘋果”,，學生解答效果非常好。恰當設置的導向性信息可以把學生

引進一種力所能及的、向他們預示著并且使他們得到成功的腦力勞動中去，就連那些調皮搗

蛋的學生也能勤奮地、專心致志地開始積極思考、認真參與學習。這些學生在緊張的勞動中

顯示他們那積極活動的精神，他們變得跟以前完全兩樣了。每一個學生都在盡量靠自己的努

力去達到目的，不同的學生真正學到“自己”的數(shù)學。

另外，在第一節(jié)課后布置作業(yè)時，有三分之一的學生按時完成不了。所以在第二節(jié)課后

布置作業(yè)時，我采取了分層次布置作業(yè)，讓有能力的學生能更好的發(fā)揮自己的能力。

張熊飛教授說過，充分相信學生能行的教師將是成功的，不相信學生的能力，處處都

在“滔滔不絕”地講到、講透的教師將是失敗的。我已經很深刻地理解了其中的道理：只要

教師設計的導向性信息是科學的、準確的、恰當?shù)?，學生都會很好的完成。通過這堂課，我

認識到確實應該把課堂還給學生，放手讓學生自己去探索去研究，學生完全有能力做好。

《雙曲線定義及其標準方程》典型教學設計研究

包頭市田家炳中學數(shù)學學科姓名：謝雪梅

證書編號：02227聯(lián)系方式：

【課程分析】

《雙曲線定義及其標準方程》這一節(jié)是在學生學習了橢圓的有關知識以后學習的另一種

圓錐曲線，這一節(jié)從整體來看有兩大塊內容一是定義；二是標準方程。前面，我們學習了

橢圓，已經掌握了橢圓的定義和標準方程。由于雙曲線的定義、標準方程與橢圓類似，在

數(shù)學思想和方法上沒有新的內容，因此，可用類比法來學習雙曲線。雙曲線的學習是對圓

錐曲線內容研究的進一步深化和提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學習

就會順理成章。所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向為雙

曲線的簡單性質的學習打下基礎。掌握雙曲線的定義和標準方程是本節(jié)課學習的重點，標

準方程的探索推導過程是本節(jié)課的難點；定義中的“差的絕對值”的理解是疑點。

【學情分析】

在學習本節(jié)課之前，學生已掌握了橢圓的相關知識，從知識層面和學習方式上來說學生

已具備了自行探索和推導方程的基礎，創(chuàng)設適當?shù)那榫匙寣W生的舊知識得以同化和遷移，

因此，學生可以參照橢圓類比學習。由于該班學生的基礎相對薄弱、邏輯思維和演繹推理

欠缺，因此需要教師引導學生“處理疑點—類比推理（類比橢圓分析各種情形）-突破

難點（關鍵是利用雙曲線的對稱性，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，注重方程化簡過程中的合理

變形））-歸納總結”，學生就能較好地解決問題。

【學法設計】

本著“以情激情，己誘達思”的誘思探究教學理念，教學過程中把著力點放在如何激發(fā)

學生的學習動機，培養(yǎng)學生的學習興趣，喚醒學生主體認識幾個方面，同時采用多媒體輔

助教學，利用幾何畫板和教具畫雙曲線，演示過程形象直觀，學生不僅可看到雙曲線形成

過程，而且較易看出橢圓與雙曲線形成的聯(lián)系和區(qū)別。以此激發(fā)學生的學習興趣和探究意

識。同時，為了達到本節(jié)課的學習目標，更好地突出重點，分散難點，本節(jié)課的教學過程

設計了三個認知層次。（1）復習舊知，引入新知?；貞浥f知，是為雙曲線的學習做好鋪墊，

起到了以舊引新的作用，為學生的進一步“起跳”奠定了基礎，同時也是為學生發(fā)現(xiàn)新舊

知識的一致性和不同點形成完整知識結構而準備。（2）自主合作、探索新知。在教學過程

中以學生的感悟、探究為主，教師利用導向性信息，有效誘導，挖掘誘思點，引導學生主

動參與自主合作地完成學習任務。在突破難點時采用“類比”的思想，類比橢圓方程的推

導過程，遷移應用；通過“讀”、“思”、“議”、“說”、“寫”等學習活動，使學生“五官并

用、親身體驗、主動探究、合作交流”，實現(xiàn)由感性認識到理性認識的飛躍。（3）遷移應用、

鞏固新知。這一環(huán)節(jié)設計了兩個了例題和一組練習，通過這些問題的解決，以此幫助學生

鞏固對定義和標準方程的理解，達到學為所用，同時可全面照顧到不同層次的學生，激發(fā)

他們的能動性。通過讓學生對本節(jié)課進行總結。幫助他們認清這節(jié)課的知識結構，使之條

理清晰，能培養(yǎng)學生們的歸納總結能力。

【學習目標】

（1）記住雙曲線的定義和標準方程

（2）能自行推導雙曲線的標準方程

（3）能根據(jù)已知條件求簡單的雙曲線的標準方程

【教學流程】

一、回顧舊知、導入新課

【課件投影】請同學們回憶下列幾個問題，若回憶不出，可以翻閱課本，互相討論，然后

同學們一起回答。

1、橢圓的第一定義是什么？

2、橢圓定義中有哪些注意點？

3、橢圓的標準方程是什么？

4、如何判斷焦點位置？a、b、c是何種關系？

（設計意圖：在課的開始設置了這樣幾個問題，以幫助學生進行知識回顧，通過回顧，

既為下面雙曲線的學習做好鋪墊，又為學生發(fā)現(xiàn)新舊知識的異同點形成完整的知識結構而

準備。）

（簡要實錄：學生一起口述上面四個問題，回答基本到位。）

二、問題引導、合作探究

（一）【課件投影】請同學們先獨立思考下列問題，接著，再認真觀看老師演示雙曲線的作

圖過程。然后小組內兩倆合作，使用已準備好的實驗用具拉鏈在練習本上親自動手畫圖；

并同時觀察體會曲線形成的過程，最后，根據(jù)作圖過程請同學們自由發(fā)言。

問題：（1）如果把橢圓定義中”與兩定點的距離的和為常數(shù)”改成“與兩定點的距離差為

非零常數(shù)”即|MFi|-|MF2|=2a^|MF2|-|MF1|=2a（其中a>0）,則動點的軌跡會發(fā)生什么

變化呢？

（2）曲線上的“動點”無論在任何位置，都具有什么共同特征？

（設計意圖：讓學生明確這節(jié)課的第一個學習任務;在已知的基礎上進一步探索新的問題。

這一設計讓學生先形象直觀地看到橢圓與雙曲線的形成過程，再通過親手實驗，在此基礎

上，通過教師的引導，學生就可在觀察思考中一步一步地由感性認識上升到理性認識，最

終得到雙線定義，從而培養(yǎng)了學生觀察能力及概括能力。另外，這一設計也在“形”的方

面實現(xiàn)了橢圓與雙曲線的比較，也為下面雙曲線定義的挖掘及兩種曲線的對比打下基礎。）

（簡要實錄：打開幾何畫板，首先通過動畫讓學生再一次回顧橢圓的生成過程，然后改變

圖中的條件，將居，為距離變大，動畫生成一種新的曲線，學生易看出該曲線為雙曲線。

又通過學生的動手操作，增加學生的感性認識，提高學生學習的興趣.）

（二）【課件投影】請同學們結合橢圓的定義，根據(jù)雙曲線圖像上“點”的特征先獨立概括

雙曲線定義。若不能解決，再閱讀課本，或小組內討論，然后小組內選出一個代表最好能

用自己的語言說出雙曲線的概念。

（設計意圖：可以培養(yǎng)學生的觀察能力、概括能力及語言表達能力，同時加強對慨念的記

憶和理解）

（簡要實錄：請幾位同學回答，這幾位同學回答時只說出一支雙曲線上的動點M滿足的條

件，而忽略了另一支，且容易丟掉“絕對值”。在其他同學的提示和補充下，完整地得出了

雙曲線的概念。最后投影出定義）

【課件投影】雙曲線定義：平面內到兩定點耳,西的距離的差的絕對值等于常數(shù)

（小于陽瑪|）的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點耳，耳叫做雙曲線的焦點，兩個

焦點間的距離|1月|叫做焦距.

（三）【課件投影】

（1）類比橢圓尋找雙曲線定義中的關鍵字；

（2）若去掉雙曲線定義中的“絕對值”、會發(fā)生怎樣變化？

(3)^\MF\-\MF^=2a=\FxF^,,若|叫|—|叫|=2a=閨工|,則動點M軌跡是

什么？

（4）若陽聞＜24=||吠1|-］吠2卜則動點M軌跡又是什么?

請同學們進一步認真研讀、體會雙曲線的概念，找出概念中的“關鍵字”，思考前兩個問

題。然后，再結合三角形中三邊之間的關系獨立思考后兩個問題，請在獨立思考的基礎上

舉手發(fā)言，說出你的結論和依據(jù)，與大家共同分享。

（設計意圖：要學生認識到定義中的絕對值和兩點間距離與常數(shù)的大小關系二者對曲線的

影響，讓學生帶著問題進行合作探究，體現(xiàn)“探索得真知，對比獲本質”的理念）

（簡要實錄：經過學生獨立思考和幾分鐘的小組討論，學生在相互交流合作中互相啟發(fā)，

最終達到共識，請代表回答。學生深刻認識了定義中的關鍵點）

（四）【課件投影】

（1）請同學們回憶橢圓標準方程“五步法”的推導步驟；可翻閱課本。

（2）在練習本上自己動手推導焦點在x軸上的雙曲線方程。（注意換元處理與橢圓的區(qū)別）

若不能解決，小組內討論，共同完成推導過程。

（設計意圖：考慮到由定義求方程，就是求軌跡方程的問題，并且雙曲線的標準方程推導

過程與橢圓十分類似，學生有能力獨立完成，以此來提高學生的變形能力、運算能力。）

（簡要實錄：首先請同學們一起動口說出求動點軌跡的五個基本步驟，然后請一位同學上

黑板板演，其他同學下面推導，在推導過程中發(fā)現(xiàn)“平方”時，會出現(xiàn)一些問題，有的同

學直接平方，會出現(xiàn)4次方，較為復雜，在老師的提示下，學生之間的相互討論對比下，

學生自己會發(fā)現(xiàn)哪種做法更為簡便。最后，出示雙曲線的標準方程）

（五）【課件投影】

（1）請同學們類比橢圓結合下圖說出雙曲線焦點在y軸上的標準方程；

（2）對比雙曲線的兩個標準方程和圖像，說一說方程的特征；如何判斷焦點在哪個坐標軸

上？

請同學們對以上問題先獨立思考、舉手回答第一個問題；接著通過觀察、對比兩個方程，

再小組討論，最后每個組內選一個代表回答問題。其他同學認真聽取，辨別正誤，

并做好補充的準備。

（設計意圖：通過對比,找到異同點，便于方程的今后應用）

（簡要實錄：類比橢圓,第一個問題很容易；第二問題經過相互交流學生也做出了回答,

最后，教師簡單總結）

（六）【課件投影】橢圓方程與雙曲線方程的對比：

（1）寫出方程并觀察方程結構的區(qū)別和聯(lián)系；

（2）橢圓方程和雙曲線方程中的三個量a、b、c它們的關系及大小有什么區(qū)別和聯(lián)系。

請同學們根據(jù)以上問題，在練習本先獨立寫出方程，再填寫下列表格對比橢圓與雙曲

線方程以上提到的幾個方面的異同，若不知道，請翻閱課本，最后每個組內選一個代

表回答問題。

雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系

橢圓雙曲線

定義

方程

焦點

a.b.c的關

系

（設計意圖：學生接觸的方程已比較多，很容易混淆，有必要加以對比區(qū)分。）

（簡要實錄：學生在仔細觀察了方程之后，已初步的分清四個標準方程及知道如何判斷a、

b、c。）

三、遷移深化、鞏固新知

（一）【課件投影】請同學們說出下列方程所表示曲線的焦點位置及a、b、c的值，獨

立思考之后，請同學們舉手發(fā)言。其他同學認真聽取，及時糾正。

22222222

（1）---二=1（2）—+^=1（3）—+—=1（4）---匕=-1

94949494

（設計意圖：可以檢測學生對四個方程的掌握程度、及區(qū)分度）

（簡要實錄：學生處理時，前三題處理起來會比較順利，第4題很可能出現(xiàn)問題。因為

需變成標準形式之后再判斷焦點位置及a、b、c的值。但相對都比較容易）

（二）【課件投影】請同學們思考下列練習，在練習本上先獨立求解，若存在問題，可以

相互議一議。然后每個組內選一個代表展示你的解題過程。其他同學認真觀察，辨別正誤。

最后，同學們看書，規(guī)范自己的書寫過程。

已知：雙曲線焦點的坐標為月（一5,0）,尸（5,0）,雙曲線上一點P到居，F(xiàn)2的距離的

差的

絕對值等于6,求雙曲線的標準方程。

（設計意圖：要求學生掌握求雙曲線的標準方程的定義法）

（簡要實錄：通過巡視發(fā)現(xiàn)：有的學生直接利用定義求標準方程，比較簡單。有的學生按

求軌跡方程的方法求標準方程，比較繁瑣。老師要向學生指明，如果某種軌跡適合某種曲

線的定義，就不必再用列方程求解，只要利用定義求出待定方程即可。然后，讓學生看書，

以規(guī)范學生的書寫過程）

（三）【課件投影】請同學們思考下列練習，先獨立解決，若存在問題，可以小組討論,

然后每個組內選一個代表說出解題思路，其他同學可適當補充。

已知：雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線上兩點耳，心的坐標為

（3,—40）,（-,5）求雙曲線的標準方程。

4

（設計意圖：要學生會用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程，掌握計算中的“換元法”。）

（簡要實錄：學生設方程和列方程組沒什么問題，但是在求待定系數(shù)a,b時出現(xiàn)了一些

困難，通