第1講函數(shù)的性質(zhì)

第1講函數(shù)的性質(zhì)(一)題一：已知函數(shù)f(x)=|x|－cosx，對于[－π，π]上的任意x1，x2，給出如下條件：①x1>|x2|；②|x1|>x2；③x12>x22；④x13>x23，其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件的序號是________．(寫出所有滿足條件的序號)題二：已知函數(shù)f(x)=，對于區(qū)間(?，0)∪(0，)上的任意實數(shù)x1，x2，有如下條件：①x1>x2；②x12>x22；③|x1|>x2；④x1+x2<0；⑤x1>|x2|，其中能使f(x1)<f(x2)恒成立的條件的序號有________．(寫出所有滿足條件的序號)題三：已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(2－x)，若函數(shù)y=|x2－2x－3|與

y=f(x)

圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則________．題四：已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)+f(x+)=0，若函數(shù)y=tan(x－)與y=f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則________題五：已知函數(shù)，下面是關(guān)于此函數(shù)的有關(guān)命題：①函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)既有最大值又有最小值；③函數(shù)f(x)的定義域為R，且其圖象有對稱軸；④對于任意的x∈(－1，0)，f(x)單調(diào)遞減．其中正確的有________．題六：已知函數(shù)(x∈R)．下列命題：①函數(shù)f(x)既有最大值又有最小值；②函數(shù)f(x)的圖象是軸對稱圖形；③函數(shù)f(x)在區(qū)間[－π，π]上共有7個零點；④函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增．其中真命題是________．(填寫出所有真命題的序號)題七：已知函數(shù)，則不等式f(x)+f(x2－2)>4的解集是________．題八：設(shè)函數(shù)f(x)=－x2+2x－2()，則不等式f(x+1)>f(2x－2)的解集為________．第1講函數(shù)的性質(zhì)(一)題一：①③．詳解：函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[－π，0]時，f(x)=－x－cosx，∴f′(x)=－1+sinx≤0恒成立，∴函數(shù)f(x)在[－π，0]上為減函數(shù)，由偶函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在[0，π]上為增函數(shù)，對于①x1>|x2|，f(x1)>f(x2)恒成立；對于②|x1|>x2，若x1=，x2=－，則f(x1)<f(x2)；對于③x12>x22，則|x1|>|x2|，∴f(x1)>f(x2)恒成立；對于④x13>x23，則x1>x2，若x1=，x2=－，則f(x1)<f(x2)．故答案為①③．題二：②⑤．詳解：f′(x)=，令g(x)=xcosx－sinx，則g′(x)=cosx－xsinx－cosx=－xsinx，當(dāng)x∈(0，)時，g′(x)<0，g(x)遞減，∴g(x)<g(0)=0，f′(x)<0，∴f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，又∵f(－x)=f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，在(－，0)上遞增．①x1>x2，取x1=－，x2=－1，則f(x1)<f(x2)不成立；②x12>x22，得|x1|>|x2|，∴f(|x1|)<f(|x2|)，即f(x1)<f(x2)成立；③|x1|>x2，取x1=－，x2=－1，則f(x1)<f(x2)不成立；④x1+x2<0，取x1=－，x2=－1，則f(x1)<f(x2)不成立；⑤x1>|x2|，即|x1|>|x2|，由（2）知f(x1)<f(x2)成立．故答案為②⑤．題三：m．詳解：∵函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(2－x)，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，函數(shù)y=|x2－2x－3|的圖象也關(guān)于直線x=1對稱，故函數(shù)y=|x2－2x－3|與

y=f(x)

圖象的交點也關(guān)于直線x=1對稱，故．題四：．詳解：函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)+f(x+)=0，可知函數(shù)f(x)的對稱中心(，0)，函數(shù)y=tan(x－)的對稱中心也是(，0)，所以，函數(shù)y=tan(x－)與y=f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，交點中，縱坐標(biāo)的和為0，橫坐標(biāo)的和x1+x2+…+xn=n?，所以．題五：②③．詳解：由函數(shù)可知，對于①，函數(shù)f(x)顯然不是周期函數(shù)，故①錯誤；對于②，因為sinπx有最值，函數(shù)f(x)的分母恒大于0，故f(x)有最大值又有最小值，故②正確；對于③，分母恒大于0，函數(shù)f(x)的定義域為R，sinπx是周期函數(shù)，其圖象有對稱軸，故③正確；對于④，因為，，故④不正確，故答案為②③．題六：①②③．詳解：考慮①：函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號，故函數(shù)有最大值，當(dāng)x趨近于+∞和－∞時，的值趨于+∞，的取值范圍為[－1,1]，所以存在最小值，故①正確；考慮②：因為f(1－x)=f(x)，所以x=為f(x)的對稱軸，故②正確；考慮③：因為f(x)=0，即sinπx=0，故x=k，k為整數(shù)，∴區(qū)間[－π，π]上有－3，－2，－1，0，1，2，3共7個零點，故③正確；考慮④：f(0)=f（1）=0，所以f(x)不可能單調(diào)遞增；故④錯誤．綜上①②③正確，故答案為①②③．題七：(－∞，－2)∪(1，+∞)．詳解：令，則，所以f(x)+f(x2－2)>4等價于，即，又∵，∴∴g(－x)=－g(x)，即函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，g(x)為增函數(shù)，即函數(shù)g(x)在(－∞，+∞)上為增函數(shù)，則不等式等價于，即x2－2>－x，即x2+x－2>0，得x>1或x<－2，

即不等式的解集為(－∞，－2)∪(1，+∞)．題八：(－∞，1)∪(3，+∞)．詳解：函數(shù)f(x)=－x2+2x－2()=1－(x－1)2－2()，則不等式f(x+1)>f(2x－2)，即為1－x2－2()>1－(2x－3)2－2()，設(shè)g(t)=1－t2－2()，g(－t)=1－t2－2()=g(t)，可得g(t)為偶函數(shù)，且t>0