2024學年成都市郫都區(qū)高二數學上期期中考試卷附答案解析

學年成都市郫都區(qū)高二數學上期期中考試卷說明：1．本卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時間120分鐘．2.所有試題均在答題卡相應的區(qū)域內作答．第I卷（選擇題共58分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1．下列調查中，適合用普查的是（

）A．了解我省初中學生的家庭作業(yè)時間 B．了解“嫦娥四號”衛(wèi)星零部件的質量C．了解一批電池的使用壽命 D．了解某市居民對廢電池的處理情況2．若隨機事件A，B滿足，，，則（

）A． B． C． D．3．年巴黎奧運會中國代表隊獲得金牌榜第一，獎牌榜第二的優(yōu)異成績．首金是中國組合黃雨婷和盛李豪在米氣步槍混合團體賽中獲得，兩人在決賽中次射擊環(huán)數如圖，則（

）A．盛李豪射擊環(huán)數的標準差小于黃雨婷射擊環(huán)數的標準差B．黃雨婷射擊環(huán)數的第百分位數為C．盛李豪的平均射擊環(huán)數超過D．黃雨婷射擊環(huán)數的極差小于盛李豪射擊環(huán)數的極差4．下列命題中正確的是（

）A．點關于平面對稱的點的坐標是B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與所成角為D．若A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，已知O為空間任意一點，且，則5．平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為與的交點，則線段的長為（

）

A．3 B． C． D．6．如圖，一個正八面體，八個面分別標以數字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數字，得到樣本空間為，記事件“得到的點數為奇數”，記事件“得到的點數不大于4”，記事件“得到的點數為質數”，則下列說法正確的是（

）A．事件與互斥 B．C．事件兩兩獨立 D．7．鐘鼓樓是中國傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報時的建筑．中國古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常?？匆姼接戌姌堑慕ㄖ鐖D，在某市一建筑物樓頂有一頂部逐級收攏的四面鐘樓，四個大鐘對稱分布在正方體的四個側面中心位置（四個大鐘的鐘面圓心是正方體側面的中心），在整點時刻（在0點至12點中取整數點，含0點，不含12點），已知在3點時和9點時，相鄰兩鐘面上的時針所在的兩條直線相互垂直，則在2點時和8點時，相鄰兩鐘面上的時針所在的兩條直線所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．8．如圖，在長方體中，已知，．動點P從出發(fā)，在棱上勻速運動；動點Q同時從B出發(fā)，在棱BC上勻速運動，P的運動速度是Q的兩倍，各自運動到另一端點停止．它們在運動過程中，設直線PQ與平面ABCD所成的角為，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分）9．某中學三個年級學生共2000人，且各年級人數比例如以下扇形圖．現(xiàn)因舉辦校慶活動，以按比例分配的分層抽樣方法，從中隨機選出志愿服務小組，已知選出的志愿服務小組中高一學生有32人，則下列說法正確的有（

）A．該學校高一學生共800人B．志愿服務小組共有學生96人C．志愿服務小組中高三學生共有20人 D．某高三學生被選入志愿服務小組的概率為10．下列對隨機事件A,B概率的說法正確的有（）A．B．C．D．11．若一個平面與棱長為2的正方體的六個面都相交，且它們相交所成的二面角分別為（），則下列說法正確的是（）A．B．C．若正方體的每條棱與平面所成角都相等，則平面截此正方體所得截面面積的最大值為D．若正方體的每個面與平面所成角都相等，則平面截此正方體所得截面面積的最大值為第II卷（非選擇題共92分）注意事項：必須使用0．5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指定的答題區(qū)域內作答,作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0．5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無效．填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨立，若甲、乙各射擊一次，則恰有一人中靶的概率為．已知一組數據，，．．．，的平均數為10，方差為2，若這組數據，，．．．，的平均數為，方差為，則=,=．兩條異面直線所成的角為，在直線上取點，在直線上取點，使，且．已知，則線段的長為．四、解答題（本大題共5小題共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．(本小題滿分13分)已知盒中有大小、質地相同的紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍球的概率是．(1)求盒中紅球、黃球、藍球的個數；(2)設置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝，從概率的角度判斷這個游戲是否公平，請說明理由．16．(本小題滿分15分)文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者．某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，將樣本的成績（滿分分，成績均為不低于分的整數）分成六段：40,50，50,60，，90,100得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值及樣本成績的第百分位數；(2)求樣本成績的眾數，中位數和平均數；(3)已知落在50,60的平均成績是54，方差是，落在60,70的平均成績?yōu)?6，方差是，求兩組成績合并后的平均數和方差．17．(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐，平面，，且，，，，，為的中點．(1)求證：平面；(2)求點N到平面的距離；(3)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．18．(本小題滿分17分)某班同學利用春節(jié)進行社會實踐，對本地歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，將生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數頻率分布直方圖．序號分組（歲）本組中“低碳族”人數“低碳族”人數在本組所占的比例1[25,30)1200.62[30,35)195p3[35,40)1000.54[40,45)a0.45[45,50)300.36150.3人數統(tǒng)計表（二）各年齡段人數頻率分布直方圖(1)在答題卡給定的坐標系中補全頻率分布直方圖，并求出、、的值；(2)從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動．若將這6個人通過抽簽分成甲、乙兩組，每組的人數相同，求歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率．19．(本小題滿分17分)已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量的夾角，記作<>．定義與的“外積”為，且是一個向量，它與向量都垂直，它的模．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，為線段上一點，．(1)求的長；(2)若為的中點，求平面PEB與平面ABCD夾角的余弦值；(3)若為線段上一點，且滿足，求2024～2025學年度上期高二期中考試數學參考答案選擇題題號12345678答案BBACCDBD多選題題號91011答案ACACDBCD填空題0.46.=19,=8.(第一空2分，第二空3分）.（若只填了一個給2分）解答題(本小題滿分13分)解:（1）設盒中紅球、黃球、藍球個數分別為x，y，z，從中任取一球，得到紅球或黃球為事件A，得到黃球或藍球為事件B，則由已知得3分解得所以盒中紅球、黃球、藍球的個數分別是2，1，1.6分（2）由（1）知紅球、黃球、藍球個數分別為2個，1個，1個，用，表示紅球的編號，用表示黃球的編號，用表示藍球的編號，用表示第一次取出的球的編號，用表示第二次取出的球的編號，用表示試驗的樣本點，則樣本空間，．可得，9分記“取到兩個球顏色相同”為事件，“取到兩個球顏色不相同”為事件，則，所以，11分所以，12分因為，所以此游戲不公平．13分(本小題滿分15分)解：（1）由每組小矩形的面積之和為1得，，解得.2分成績落在內的頻率為，落在內的頻率為，顯然第百分位數，由，解得，所以第75百分位數為84.4分樣本成績的眾數為75.5分成績落在[40,70)內的頻率為0.05+0.1+0.2=0.35,成績落在內的頻率為,顯然中位數在[70,80)內樣本成績的中位數為75.7分得樣本成績的平均數為74.10分（3）由頻率分布直方圖知，成績在的市民人數為，成績在的市民人數為，12分由樣本方差計算總體方差公式，得總方差為.15分17.(本小題滿分15分)解法一：過作，垂足為，則，1分如圖，以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，2分∵N為的中點，（1），設平面的一個法向量為，則，令，解得，4分5分即，又平面，6分所以平面；7分10分（3）存在，且，理由如下：假設線段上存在一點，設，，則11分又因為直線與平面所成角的正弦值為，平面的一個法向量，，化簡得，即，，故存在，且15分解法二:1分2分4分5分6分7分9分10分11分12分假設線段上存在一點，設，，則13分故存在，且15分18.(本小題滿分17分)（1）結合頻率分布直方圖可知，第二組的頻率為，1分所以第二組高為．故補全頻率分布直方圖如下：2分結合人數統(tǒng)計表與頻率分布直方圖，可知第一組的人數為，頻率為，所以；5分因為第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數為，所以；7分因為第四組的頻率為，所以第四組的人數為，所以．10分（2）因為歲年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比為，所以采用分層抽樣法抽取6人，則在歲中抽取4人，在歲中抽取2人．12分設年齡在中被抽取的4個人分別為：；年齡在歲中被抽取的2個人分別為：；15分記“歲中被抽取的人恰好有分在同一組”為事件C，16分所以.17分(本小題滿分17分)解法一由題意，以為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，由已知，則,1分則，則，.2分3分由題意知,所以有，則，解得（舍去），故的長為.5分（2）由（1）知，,又為的中點，則，，6分設平面的法向量為，則，令，則.故平面的一個法向量為，8分10分（3）由（1）可得，由題意，設，，則11分