山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)上期中數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

/山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共15個(gè)小題，每小題3分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）如圖，一個(gè)空心圓柱體，其主視圖正確的是（）A． B． C． D．2．（3分）已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），那么下列四個(gè)點(diǎn)中，也在這個(gè)函數(shù)圖象上的是（）A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）3．（3分）已知三角形的面積一定，則它底邊a上的高h(yuǎn)與底邊a之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．4．（3分）如果兩個(gè)相似多邊形的面積比為1：4，則它們的相似比為（）A．1：16 B．1：4 C．1：2 D．1：15．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則EC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝57．（3分）對(duì)于反比例函數(shù)y＝，下列說(shuō)法正確的是（）A．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣3） B．圖象在第二、四象限 C．x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大 D．x＜0時(shí)，y隨x增大而減小8．（3分）若點(diǎn)A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在雙曲線y＝上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y19．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+4x+a2﹣1＝0的一個(gè)根是0，則a＝（）A．1 B．0 C．±1 D．﹣110．（3分）在一個(gè)不透明的盒子里，裝有4個(gè)黑球和若干個(gè)白球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)，共摸球40次，其中10次摸到黑球，則估計(jì)盒子中大約有白球（）A．12個(gè) B．16個(gè) C．20個(gè) D．30個(gè)11．（3分）如圖，在一塊長(zhǎng)為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米．若設(shè)道路寬為x米，則根據(jù)題意可列方程為（）A．22×17﹣17x﹣22x＝300 B．22×17﹣17x﹣22x﹣x2＝300 C．（22﹣x）（17﹣x）＝300 D．（22+x）（17+x）＝30012．（3分）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則位似中心的坐標(biāo)是（）A．（8，1） B．（8，2） C．（9，1） D．（9，0）13．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞114．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)△PCQ與△ACB相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為（）A．2 B．3 C．3或3.2 D．2或3.215．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF．以下四個(gè)結(jié)論：①＝；②點(diǎn)F是GE的中點(diǎn)；③AF＝AB；④S△ABC＝5S△BDF，其中正確的結(jié)論序號(hào)是（）A．①④ B．①③ C．①②③ D．②③④二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．把答案填在題中橫線上）16．（3分）若＝，則的值為．17．（3分）如圖，已知A點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，AB⊥y軸于B，且△ABO的面積為3，則k的值為．18．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根為．19．（3分）某樂(lè)器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A、B固定在樂(lè)器面板上，支撐點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則AC的長(zhǎng)為cm（結(jié)果保留根號(hào)）．20．（3分）一位同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高（AB），他在某一時(shí)刻太陽(yáng)光下，測(cè)得長(zhǎng)為1米的竹竿的影長(zhǎng)為0.9米，但他在測(cè)量樹影時(shí)，發(fā)現(xiàn)因樹靠近一墻壁，影子不能全落在地面上，如圖所示，他測(cè)得墻壁上的影（CD）高為1.2米，測(cè)得地面上的影（BD）長(zhǎng)為2.7米，則樹高米．21．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB：BC＝3：2，點(diǎn)A（3，0），B（0，6）分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且與邊BC交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為．三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共57分，請(qǐng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）22．（7分）解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（x+2）＝3x+6．23．（7分）已知：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC邊的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE∽△ECF；（2）求DF的長(zhǎng)．24．（8分）有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上洗均勻．（1）隨機(jī)抽取一張卡片，求抽到數(shù)字為偶數(shù)的概率；（2）隨機(jī)抽取一張卡片，記下數(shù)字后放回，洗勻后再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出兩次數(shù)字和為5的概率．25．（8分）某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤(rùn)120元，根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，若每箱降價(jià)1元，每天可多售出2箱．如果要使每天銷售飲料獲利14000元，并且讓顧客得到盡可能多的實(shí)惠，那么每箱應(yīng)降價(jià)多少元？26．（9分）如圖，已知一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（3，n）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出ax+b﹣＜0的x的取值范圍（3）求△AOB的面積．27．（9分）（1）如圖1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝4，CD＝CE，AE＝2，∠CAE＝45°，連接BE．①求證：△ACD≌△BCE；②求AD的長(zhǎng)．（2）如圖2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的長(zhǎng)．28．（9分）如圖1，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，如果∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OA?OB＝OP2，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角．（1）如圖2，已知∠MON＝90°，點(diǎn)P為∠MON的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點(diǎn)，且∠APB＝135°．求證：∠APB是∠MON的智慧角；（2）如圖1，已知∠MON＝α，若∠APB是∠MON的智慧角，求∠APB的度數(shù)（用含α的式子表示）；（3）如圖3，C是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線CD分別交x軸和y軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且滿足BC＝2CA，請(qǐng)求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共15個(gè)小題，每小題3分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）如圖，一個(gè)空心圓柱體，其主視圖正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：從前面觀察物體可以發(fā)現(xiàn)：它的主視圖應(yīng)為矩形，又因?yàn)樵搸缀误w為空心圓柱體，故中間的兩條棱在主視圖中應(yīng)為虛線，故選：B．2．（3分）已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），那么下列四個(gè)點(diǎn)中，也在這個(gè)函數(shù)圖象上的是（）A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），∴k＝2×3＝6，A、∵（﹣6）×1＝﹣6≠6，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)圖象上；B、∵1×6＝6，∴此點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上；C、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)圖象上；D、∵3×（﹣2）＝﹣6≠6，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)圖象上．故選：B．3．（3分）已知三角形的面積一定，則它底邊a上的高h(yuǎn)與底邊a之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：已知三角形的面積s一定，則它底邊a上的高h(yuǎn)與底邊a之間的函數(shù)關(guān)系為S＝ah，即h＝；是反比例函數(shù)，且2S＞0，h＞0；故其圖象只在第一象限．故選：D．4．（3分）如果兩個(gè)相似多邊形的面積比為1：4，則它們的相似比為（）A．1：16 B．1：4 C．1：2 D．1：1【解答】解：∵兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：4，∴它們的相似比為1：2．故選：C．5．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則EC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，故選：B．6．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5【解答】解：方程移項(xiàng)得：x2+4x＝﹣1，配方得：x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3．故選：A．7．（3分）對(duì)于反比例函數(shù)y＝，下列說(shuō)法正確的是（）A．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣3） B．圖象在第二、四象限 C．x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大 D．x＜0時(shí)，y隨x增大而減小【解答】解：A、∵反比例函數(shù)y＝，∴xy＝3，故圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵k＞0，∴圖象在第一、三象限，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵k＞0，∴x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵k＞0，∴x＜0時(shí)，y隨x增大而減小，故D選項(xiàng)正確．故選：D．8．（3分）若點(diǎn)A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在雙曲線y＝上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1【解答】解：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y1＝＝﹣2；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y2＝＝﹣4；當(dāng)x＝2時(shí)，y3＝＝2．∵﹣4＜﹣2＜2，∴y2＜y1＜y3．故選：A．9．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+4x+a2﹣1＝0的一個(gè)根是0，則a＝（）A．1 B．0 C．±1 D．﹣1【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+4x+a2﹣1＝0，得：a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1，故選：D．10．（3分）在一個(gè)不透明的盒子里，裝有4個(gè)黑球和若干個(gè)白球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)，共摸球40次，其中10次摸到黑球，則估計(jì)盒子中大約有白球（）A．12個(gè) B．16個(gè) C．20個(gè) D．30個(gè)【解答】解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有30次摸到白球，∴摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1：3，∴口袋中黑球和白球個(gè)數(shù)之比為1：3，故盒子中大約有白球：4÷＝12（個(gè)）．故選：A．11．（3分）如圖，在一塊長(zhǎng)為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米．若設(shè)道路寬為x米，則根據(jù)題意可列方程為（）A．22×17﹣17x﹣22x＝300 B．22×17﹣17x﹣22x﹣x2＝300 C．（22﹣x）（17﹣x）＝300 D．（22+x）（17+x）＝300【解答】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意有（22﹣x）（17﹣x）＝300，故選：C．12．（3分）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則位似中心的坐標(biāo)是（）A．（8，1） B．（8，2） C．（9，1） D．（9，0）【解答】解：延長(zhǎng)EB、DA交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為位似中心，位似中心的坐標(biāo)為（9，0），故選：D．13．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴k≠0，且△＝b2﹣4ac＝36﹣36k＞0，解得k＜1且k≠0．故答案為k＜1且k≠0．故選：C．14．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)△PCQ與△ACB相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為（）A．2 B．3 C．3或3.2 D．2或3.2【解答】解：∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則CP＝t，CQ＝8﹣2t，∵∠PCQ＝∠ACB＝90°，∴當(dāng)△PCQ與△ACB相似時(shí)，有∠CPQ＝∠B或∠CPQ＝∠A，當(dāng)∠CPQ＝∠B時(shí)，則有，即＝，解得t＝2；當(dāng)∠CPQ＝∠A時(shí)，則有＝，即，解得t＝．綜上可知，當(dāng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)2秒或秒后，△PCQ與△ACB相似，故選：D．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF．以下四個(gè)結(jié)論：①＝；②點(diǎn)F是GE的中點(diǎn)；③AF＝AB；④S△ABC＝5S△BDF，其中正確的結(jié)論序號(hào)是（）A．①④ B．①③ C．①②③ D．②③④【解答】解：∵∠ABC＝90°，BG⊥CD，∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCD+∠CBG＝90°，∴∠ABG＝∠BCD，在△ABC和△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴BD＝AB，∴AG＝BC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴＝，∵BA＝BC，∴＝，故①正確；設(shè)AB＝BC＝2x，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝AG＝x，在Rt△DBC中，DC＝＝x，∴BG＝DC＝x，∵△AFG∽△CFB，∴＝＝，∴FG＝FB＝BG＝，∵∠DBE＝∠DCB＝90°﹣∠BDC，∠BED＝∠CBD，∴△CDB∽△BDE，∴＝，即＝，∴BE＝x，∴FE＝BG﹣GF﹣BE＝x，∴FG≠FE，故②錯(cuò)誤；∵△AFG∽△CFB，∴＝＝，∴AF＝AC，∵AC＝AB，∴AF＝AB，故③正確；過(guò)點(diǎn)F作MF⊥AB于M，則FM∥CB，∴＝＝，∵＝，∴＝＝?＝×＝，即S△ABC＝6S△BDF，故④錯(cuò)誤；故選：B．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．把答案填在題中橫線上）16．（3分）若＝，則的值為．【解答】解：∵＝，∴＝1+＝1+＝．故答案為：．17．（3分）如圖，已知A點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，AB⊥y軸于B，且△ABO的面積為3，則k的值為6．【解答】解：根據(jù)題意可知：S△ABO＝|k|＝3，由于反比例函數(shù)的圖象位于第一象限，k＞0，則k＝6．故答案為：6．18．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根為﹣3．【解答】解：設(shè)方程另一根為t，根據(jù)題意得2t＝﹣6，解得t＝﹣3．故答案為﹣3．19．（3分）某樂(lè)器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A、B固定在樂(lè)器面板上，支撐點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則AC的長(zhǎng)為（40﹣40）cm（結(jié)果保留根號(hào)）．【解答】解：∵點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，故答案為：（40﹣40）．20．（3分）一位同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高（AB），他在某一時(shí)刻太陽(yáng)光下，測(cè)得長(zhǎng)為1米的竹竿的影長(zhǎng)為0.9米，但他在測(cè)量樹影時(shí)，發(fā)現(xiàn)因樹靠近一墻壁，影子不能全落在地面上，如圖所示，他測(cè)得墻壁上的影（CD）高為1.2米，測(cè)得地面上的影（BD）長(zhǎng)為2.7米，則樹高4.2米．【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵∠E＝∠E，∠CDE＝∠ABD＝90°，∴△CDE∽△ABE，∴，即，∴AB＝1.2×∵同一時(shí)刻太陽(yáng)光，∴，解得，DE＝1.08，∴AB＝1.2×＝4.2．答：樹高為4.2米，方法二：設(shè)地面上的影長(zhǎng)2.7米時(shí)的樹高為x米，根據(jù)題意得，＝，∴x＝3，∴樹高為3+1.2＝4.2（m），故答案為：4.2．21．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB：BC＝3：2，點(diǎn)A（3，0），B（0，6）分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且與邊BC交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，7）．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，則∠AOB＝∠DFA＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC，∴∠OAB+∠DAF＝90°，∴∠ABO＝∠DAF，∴△AOB∽△DFA，∴OA：DF＝OB：AF＝AB：AD，∵AB：BC＝3：2，點(diǎn)A（3，0），B（0，6），∴AB：AD＝3：2，OA＝3，OB＝6，∴DF＝2，AF＝4，∴OF＝OA+AF＝7，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（7，2），∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，8），設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，∴直線BC的解析式為：y＝x+6②，聯(lián)立①②得：或（舍去），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（2，7）．故答案為：（2，7）．三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共57分，請(qǐng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）22．（7分）解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（x+2）＝3x+6．【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣5，x2＝1；（2）x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，x+2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣2，x2＝3．23．（7分）已知：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC邊的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE∽△ECF；（2）求DF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC＝90°，又∵∠AEB+∠EAB＝90°，∴∠FEC＝∠EAB，又∵∠ABE＝∠ECF＝90°，∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴＝，又∵E為BC邊的中點(diǎn)，∴BE＝EC＝，∴＝＝，又∵BE＝＝2，∴CF＝1，∴DF＝DC﹣CF＝4﹣1＝3．24．（8分）有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上洗均勻．（1）隨機(jī)抽取一張卡片，求抽到數(shù)字為偶數(shù)的概率；（2）隨機(jī)抽取一張卡片，記下數(shù)字后放回，洗勻后再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出兩次數(shù)字和為5的概率．【解答】解：（1）∵四張正面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，其中數(shù)字為偶數(shù)的有2和4兩個(gè)數(shù)，∴隨機(jī)抽取一張卡片，求抽到數(shù)字為偶數(shù)的概率是＝；（2）根據(jù)題意畫圖如下：共有16種的可能的情況數(shù)，其中兩次數(shù)字和為5的有4種，則兩次數(shù)字和為5的概率實(shí)數(shù)＝．25．（8分）某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤(rùn)120元，根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，若每箱降價(jià)1元，每天可多售出2箱．如果要使每天銷售飲料獲利14000元，并且讓顧客得到盡可能多的實(shí)惠，那么每箱應(yīng)降價(jià)多少元？【解答】解：設(shè)每箱降價(jià)x元，則每箱的利潤(rùn)為（120﹣x）元，每天可售出（100+2x）箱，依題意，得：（120﹣x）（100+2x）＝14000，整理，得：x2﹣70x+1000＝0，解得：x1＝20，x2＝50，又∵要讓顧客得到盡可能多的實(shí)惠，∴x＝50．答：每箱應(yīng)降價(jià)50元．26．（9分）如圖，已知一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（3，n）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出ax+b﹣＜0的x的取值范圍（3）求△AOB的面積．【解答】解：（1）點(diǎn)A（1，6）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝6×1＝6，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，∵點(diǎn)B（3，n）也在反比例函數(shù)的圖象上，∴n＝2，即B（3，2）把點(diǎn)A（1，6），點(diǎn)B（3，2）代入一次函數(shù)y＝kx+b中，得，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣2x+8；（2）∵A的坐標(biāo)為（1，6），B的坐標(biāo)為（3，2），∴kx+b﹣＜0的x的取值范圍為0＜x＜1或x＞3；（3）設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為D，令﹣2x+8＝0，得x＝4，即D（4，0）．∵A（1，6），B（3，2），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝×4×6﹣×4×2＝8，答：△AOB的面積是8．27．（9分）（1）如圖1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝4，CD＝CE，AE＝2，∠CAE＝45°，連接BE．①求證：△ACD≌△BCE；②求AD的長(zhǎng)．（2）如圖2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）證明：①∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，又∵AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AC＝BC＝4，∴AB＝4，∵∠BAC＝∠CAE＝45°，∴∠BAE＝90°，在Rt△BAE中，AB＝4，AE＝2，∴BE＝6，∴AD＝6；（2）如圖2，連接BE，在Rt△ACB中，∠ABC＝∠CED＝30°，tan30°＝＝，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴，∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝90°，在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝30°，∴AB＝6，∵AE＝8，∴BE＝10，∴AD＝．28．（9分）如圖1，點(diǎn)P為∠MON的