2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面向量及其應(yīng)用2.3.1向量的數(shù)乘運算課時作業(yè)含解析北師大版必修第二冊

PAGE課時分層作業(yè)(十五)向量的數(shù)乘運算(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．若a＝b＋c，化簡3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的結(jié)果為()A．－a B．－4bC．c D．a(chǎn)－bA[3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－2．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，若點D滿意eq\o(BD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，則eq\o(AD,\s\up8(→))＝()A．eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B．eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC．eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D．eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)cA[∵eq\o(BD,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝2(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.]3．在△ABC中，M是BC的中點，則eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))等于()A．eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up8(→)) B．eq\o(AM,\s\up8(→))C．2eq\o(AM,\s\up8(→)) D．eq\o(MA,\s\up8(→))C[作平行四邊形ABEC，則M是對角線的交點，故M是AE的中點，由題意知，eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))＝2eq\o(AM,\s\up8(→))，故選C．]4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，則3a－bA．4e2 B．4e1C．3e1＋6e2 D．8e2D[3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e25．若點O為平行四邊形ABCD的中心，eq\o(AB,\s\up8(→))＝2e1，eq\o(BC,\s\up8(→))＝3e2，則eq\f(3,2)e2－e1＝()A．eq\o(BO,\s\up8(→)) B．eq\o(AO,\s\up8(→))C．eq\o(CO,\s\up8(→)) D．eq\o(DO,\s\up8(→))A[因為eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝3e2－2e1，所以eq\o(BO,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)e2－e1.]二、填空題6．4(a－b)－3(a＋b)－b等于________．a(chǎn)－8b[原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－87．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AN,\s\up8(→))＝3eq\o(NC,\s\up8(→))，M為BC的中點，則eq\o(MN,\s\up8(→))＝________.(用a，b表示)eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)a[eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b－a＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b－a＋eq\f(3,4)(a＋b)＝eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)a.]8．已知點O為△ABC外接圓的圓心，且eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(CO,\s\up8(→))＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于________．30°[由eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(CO,\s\up8(→))＝0得，eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))，結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為平行四邊形，又OA＝OB，則四邊形OACB為菱形，所以△OAC是正三角形，所以∠CAO＝60°所以∠CAB＝eq\f(1,2)∠CAO＝30°]三、解答題9．如圖，四邊形ABCD是一個梯形，eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(DC,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝2|eq\o(DC,\s\up8(→))|，M，N分別是DC，AB的中點，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up8(→))＝e2，試用e1，e2表示下列向量．(1)eq\o(AC,\s\up8(→))；(2)eq\o(MN,\s\up8(→)).[解]因為eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(DC,\s\up8(→))，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝2|eq\o(DC,\s\up8(→))|，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝2eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→)).(1)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＝e2＋eq\f(1,2)e1.(2)eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,4)e1－e2＋eq\f(1,2)e1＝eq\f(1,4)e1－e2.10．已知E，F(xiàn)分別為四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點，設(shè)eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，eq\o(DA,\s\up8(→))＝b，試用a，b表示eq\o(EF,\s\up8(→)).[解]如圖所示，取AB的中點P，連接EP，F(xiàn)P.在△ABC中，EP是中位線，所以eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a.在△ABD中，F(xiàn)P是中位線，所以eq\o(PF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b.在△EFP中，eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EP,\s\up8(→))＋eq\o(PF,\s\up8(→))＝－eq\o(PE,\s\up8(→))＋eq\o(PF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)(a＋b)．11．設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o(DA,\s\up8(→))＋2eq\o(EB,\s\up8(→))＋3eq\o(FC,\s\up8(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→)) B．eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→)) D．eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up8(→))D[∵D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊BC，CA，AB的中點，∴eq\o(DA,\s\up8(→))＋2eq\o(EB,\s\up8(→))＋3eq\o(FC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up8(→))＋\o(CA,\s\up8(→))))＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→))＋\o(CB,\s\up8(→)),2)))＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up8(→))＋\o(BC,\s\up8(→)),2)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up8(→))]12．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若eq\o(AC,\s\up8(→))＝a，eq\o(BD,\s\up8(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up8(→))等于()A．eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bD[∵△DEF∽△BEA，∴eq\f(DF,AB)＝eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,3)，∴DF＝eq\f(1,3)AB，∴eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→)).∵eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝a，eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，聯(lián)立得：eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a－b)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，∴eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(1,6)(a－b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.]13．設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．|a|＝|b|且a∥b B．a(chǎn)＝－bC．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)＝2bD[由a＝2b，得eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(2b,2|b|)＝eq\f(b,|b|)，故選D．]14．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))＋λeq\o(CB,\s\up8(→))，則λ的值為________．eq\f(2,3)[eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(CA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→)).]15．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是半圓弧AB上的兩個三等分點，試用eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))表示eq\o(AD,\s\up8