數(shù)字信號處理(第三版)課后答案及學(xué)習(xí)指導(dǎo)(高西全-丁玉美)第二章

第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.1

學(xué)習(xí)要點(diǎn)與重要公式2.2

FT和ZT的逆變換2.3分析信號和系統(tǒng)的頻率特性

2.4例題2.5習(xí)題與上機(jī)題解答2024/11/211

2.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)與重要公式數(shù)字信號處理中有三個重要的數(shù)學(xué)變換工具，即傅里葉變換（FT）、Z變換（ZT）和離散傅里葉變換（DFT）。利用它們可以將信號和系統(tǒng)在時域空間和頻域空間相互轉(zhuǎn)換，這大大方便了對信號和系統(tǒng)的分析和處理。三種變換互有聯(lián)系，但又不同。表征一個信號和系統(tǒng)的頻域特性是用傅里葉變換。Z變換是傅里葉變換的一種推廣，單位圓上的Z變換就是傅里葉變換。2024/11/212在z域進(jìn)行分析問題會感到既靈活又方便。離散傅里葉變換是離散化的傅里葉變換，因此用計算機(jī)分析和處理信號時，全用離散傅里葉變換進(jìn)行。離散傅里葉變換具有快速算法FFT，使離散傅里葉變換在應(yīng)用中更加方便與廣泛。但是離散傅里葉變換不同于傅里葉變換和Z變換，它將信號的時域和頻域，都進(jìn)行了離散化，這是它的優(yōu)點(diǎn)。但更有它自己的特點(diǎn)，只有掌握了這些特點(diǎn)，才能合理正確地使用DFT。本章只學(xué)習(xí)前兩種變換，離散傅里葉變換及其FFT將在下一章學(xué)習(xí)。2024/11/2132.1.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)（1）傅里葉變換的正變換和逆變換定義，以及存在條件。（2）傅里葉變換的性質(zhì)和定理：傅里葉變換的周期性、移位與頻移性質(zhì)、時域卷積定理、巴塞伐爾定理、頻域卷積定理、頻域微分性質(zhì)、實(shí)序列和一般序列的傅里葉變換的共軛對稱性。（3）周期序列的離散傅里葉級數(shù)及周期序列的傅里葉變換表示式。（4）Z變換的正變換和逆變換定義，以及收斂域與序列特性之間的關(guān)系。2024/11/214（5）Z變換的定理和性質(zhì)：移位、反轉(zhuǎn)、z域微分、共軛序列的Z變換、時域卷積定理、初值定理、終值定理、巴塞伐爾定理。（6）系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)的求解。（7）用極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。（8）零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解。（9）用零極點(diǎn)分布定性分析并畫出系統(tǒng)的幅頻特性。2024/11/2152.1.2重要公式（1）這兩式分別是傅里葉變換的正變換和逆變換的公式。注意正變換存在的條件是序列服從絕對可和的條件，即2024/11/216（2）這兩式是周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換對，可用以表現(xiàn)周期序列的頻譜特性。2024/11/217

（3）該式用以求周期序列的傅里葉變換。如果周期序列的周期是N，則其頻譜由N條譜線組成，注意畫圖時要用帶箭頭的線段表示。（4）若y(n)=x(n)*h(n),則這是時域卷積定理。2024/11/218（5）若y(n)=x(n)h(n),則這是頻域卷積定理或者稱復(fù)卷積定理。

（6）2024/11/219式中,xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共軛對稱序列和共軛反對稱序列，常用以求序列的xe(n)和xo(n)。（7）這兩式分別是序列Z變換的正變換定義和它的逆Z變換定義。2024/11/2110（8）2024/11/2111前兩式均稱為巴塞伐爾定理，第一式是用序列的傅里葉變換表示，第二式是用序列的Z變換表示。如果令x(n)=y(n)，可用第二式推導(dǎo)出第一式。（9）若x(n)=a|n|,則

x(n)=a|n|是數(shù)字信號處理中很典型的雙邊序列，一些測試題都是用它演變出來的。2024/11/2112

2.2

FT和ZT的逆變換（1）FT的逆變換為用留數(shù)定理求其逆變換，或者將z=ejω代入X(ejω)中，得到X(z)函數(shù)，再用求逆Z變換的方法求原序列。注意收斂域要取能包含單位圓的收斂域，或者說封閉曲線c可取單位圓。2024/11/2113例如，已知序列x(n)的傅里葉變換為求其反變換x(n)。將z=ejω代入X(ejω)中，得到因極點(diǎn)z=a，取收斂域為|z|>|a|，由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。（2）ZT的逆變換為2024/11/2114求Z變換可以用部分分式法和圍線積分法求解。

用圍線積分法求逆Z變換有兩個關(guān)鍵。一個關(guān)鍵是知道收斂域以及收斂域和序列特性之間的關(guān)系，可以總結(jié)成幾句話：①收斂域包含∞點(diǎn)，序列是因果序列；②收斂域在某圓以內(nèi)，是左序列；③收斂域在某圓以外，是右序列；④收斂域在整個z面，是有限長序列；⑤以上②、③、④均未考慮0與∞兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)可以結(jié)合問題具體考慮。另一個關(guān)鍵是會求極點(diǎn)留數(shù)。2024/11/2115

2.3分析信號和系統(tǒng)的頻率特性求信號與系統(tǒng)的頻域特性要用傅里葉變換。但分析頻率特性使用Z變換卻更方便。我們已經(jīng)知道系統(tǒng)函數(shù)的極、零點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的頻率特性，因此可以用分析極、零點(diǎn)分布的方法分析系統(tǒng)的頻率特性，包括定性地畫幅頻特性，估計峰值頻率或者谷值頻率，判定濾波器是高通、低通等濾波特性，以及設(shè)計簡單的濾波器（內(nèi)容在教材第5章）等。2024/11/2116根據(jù)零、極點(diǎn)分布可定性畫幅頻特性。當(dāng)頻率由0到2π變化時，觀察零點(diǎn)矢量長度和極點(diǎn)矢量長度的變化，在極點(diǎn)附近會形成峰。極點(diǎn)愈靠進(jìn)單位圓，峰值愈高；零點(diǎn)附近形成谷，零點(diǎn)愈靠進(jìn)單位圓，谷值愈低，零點(diǎn)在單位圓上則形成幅頻特性的零點(diǎn)。當(dāng)然，峰值頻率就在最靠近單位圓的極點(diǎn)附近，谷值頻率就在最靠近單位圓的零點(diǎn)附近。

濾波器是高通還是低通等濾波特性，也可以通過分析極、零點(diǎn)分布確定，不必等畫出幅度特性再確定。一般在最靠近單位圓的極點(diǎn)附近是濾波器的通帶；阻帶在最靠近單位圓的零點(diǎn)附近，如果沒有零點(diǎn)，則離極點(diǎn)最遠(yuǎn)的地方是阻帶。參見下節(jié)例2.4.1。2024/11/2117

2.4例題［例2.4.1］已知IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)試判斷濾波器的類型（低通、高通、帶通、帶阻）。（某校碩士研究生入學(xué)考試題中的一個簡單的填空題）

解：將系統(tǒng)函數(shù)寫成下式:2024/11/2118系統(tǒng)的零點(diǎn)為z=0，極點(diǎn)為z=0.9，零點(diǎn)在z平面的原點(diǎn)，不影響頻率特性，而惟一的極點(diǎn)在實(shí)軸的0.9處，因此濾波器的通帶中心在ω=0處。毫無疑問，這是一個低通濾波器。［例2.4.2］假設(shè)x(n)=xr(n)+jxi(n)，xr(n)和xj(n)為實(shí)序列，X(z)=ZT［x(n)］在單位圓的下半部分為零。已知求X（ejω）=FT［x(n)］。2024/11/2119解：Xe(ejω)=FT［xr(n)］因為X(ejω)=0π≤ω≤2π所以

X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0

0≤ω≤π2024/11/2120當(dāng)0≤ω≤π時，，故當(dāng)π≤ω≤2π時，X(ejω)=0，故0≤ω≤ππ≤ω≤2π2024/11/2121因此

Re［X(ejω)］=X(ejω)

Im［X(ejω)］=0［例2.4.3］已知0≤n≤N

N+1≤n≤2N

n<0,2N<n求x(n)的Z變換。2024/11/2122

解：題中x(n)是一個三角序列，可以看做兩個相同的矩形序列的卷積。設(shè)y(n)=RN(n)*RN(n),則n<00≤n≤N－1N≤n≤2N－12N≤n將y(n)和x(n)進(jìn)行比較，得到y(tǒng)(n－1)=x(n)。因此

Y（z）z－1=X(z)

Y(z)=ZT［RN(n)］·ZT［RN(n)］2024/11/2123故［例2.4.4］時域離散線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為2024/11/2124

（1）要求系統(tǒng)穩(wěn)定，確定a和b的取值域。

（2）要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定，重復(fù)（1）。

解：（1）H(z)的極點(diǎn)為a、

b，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是收斂域包含單位圓，即單位圓上不能有極點(diǎn)。因此，只要滿足|a|≠1,|b|≠1即可使系統(tǒng)穩(wěn)定，或者說a和b的取值域為除單位圓以的整個z平面。

（2）系統(tǒng)因果穩(wěn)定的條件是所有極點(diǎn)全在單位圓內(nèi)，所以a和b的取值域為

0≤|a|<1,0≤|b|<12024/11/2125［例2.4.5］,

f1=10Hz，

f2=25Hz，用理想采樣頻率Fs=40Hz對其進(jìn)行采樣得到。（1）寫出的表達(dá)式;（2）對進(jìn)行頻譜分析，寫出其傅里葉變換表達(dá)式，并畫出其幅度譜；（3）如要用理想低通濾波器將cos(2πf1t)濾出來，理想濾波器的截止頻率應(yīng)該取多少？解：2024/11/2126（2）按照采樣定理,的頻譜是x(t)頻譜的周期延拓，延拓周期為Fs=40Hz，x(t)的頻譜為畫出幅度譜如圖2.4.1所示。2024/11/2127圖2.4.12024/11/2128（3）觀察圖2.4.1，要把cos(2πf1t)濾出來，理想低

通濾波器的截止頻率fc應(yīng)選在10Hz和20Hz之間，可選fc＝

15Hz。

如果直接對模擬信號x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)進(jìn)行濾波，模擬理想低通濾波器的截止頻率選在10Hz和25Hz之間，可以把10Hz的信號濾出來，但采樣信號由于把模擬頻譜按照采樣頻率周期性地延拓，使頻譜發(fā)生變化，因此對理想低通濾波器的截止頻率要求不同。2024/11/2129［例2.4.6］對x(t)=cos(2πt)+cos(5πt)進(jìn)行理想采樣，采樣間隔T=0.25s，得到，再讓通過理想低通濾波器G(jΩ)，G(jΩ)用下式表示:≤

(1)寫出的表達(dá)式;

(2)求出理想低通濾波器的輸出信號y(t)。2024/11/2130解：(1)2024/11/2131（2） 為了求理想低通濾波器的輸出，要分析的頻譜。中的兩個余弦信號頻譜分別為在±0.5π和±1.25π的位置，并且以2π為周期進(jìn)行周期性延拓，畫出采樣信號的頻譜示意圖如圖2.4.2（a）所示，圖2.4.2（b）是理想低通濾波器的幅頻特性。顯然，理想低通濾波器的輸出信號有兩個，一個的數(shù)字頻率為0.5π，另一個的數(shù)字頻率為0.75π，相應(yīng)的模擬頻率為2π和3π，這樣理想低通濾波器的輸出為

y(t)=0.25［cos(2πt)+cos(3πt)］2024/11/2132圖2.4.22024/11/2133

2.5習(xí)題與上機(jī)題解答

1．設(shè)X(ejω)和Y(ejω)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換：

(1)x(n－n0)(2)x*(n)

(3)x(－n)(4)x(n)*y(n)

(5)x(n)y(n)(6)nx(n)

(7)x(2n)(8)x2(n)(9)2024/11/2134解：（1）令n′=n－n0,即n=n′+n0，則（2）2024/11/2135（3）令n′=－n，則（4）FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω)

下面證明上式成立：2024/11/2136令k=n－m,則2024/11/2137（5）2024/11/2138或者（6）因為對該式兩邊ω求導(dǎo)，得到2024/11/2139因此（7）令n′=2n，則2024/11/21402024/11/2141或者（8）利用（5）題結(jié)果，令x(n)=y(n),則2024/11/2142（9）令n′=n/2，則2．已知≤求X(ejω)的傅里葉反變換x(n)。2024/11/2143解：

3.線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)）H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)，如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實(shí)序列，試證明輸入x(n)=Acos(ω0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為2024/11/2144

解：假設(shè)輸入信號x(n)=ejω0n，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則系統(tǒng)輸出為上式說明當(dāng)輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時，輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列，且頻率相同，但幅度和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)。利用該性質(zhì)解此題：2024/11/21452024/11/2146上式中|H(ejω)|是ω的偶函數(shù)，相位函數(shù)是ω的奇函數(shù)，|H(ejω)|=|H(e-jω)|，θ(ω)=－θ(－ω),故4．設(shè)2024/11/2147將x(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓，形成周期序列，畫出x(n)和的波形，求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。解：畫出x(n)和的波形如題4解圖所示。2024/11/2148題4解圖2024/11/2149或者2024/11/21502024/11/2151

5.設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示，不直接求出X(ejω)，完成下列運(yùn)算或工作：題5圖2024/11/2152(1)(2)(3)

(4)確定并畫出傅里葉變換實(shí)部Re［X(ejω)］的時間序列xa(n)；(5)(6)2024/11/2153解

(1)(2)(3)（4）因為傅里葉變換的實(shí)部對應(yīng)序列的共軛對稱部分，即2024/11/2154按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。題5解圖2024/11/2155(5)(6)因為因此2024/11/2156

6．試求如下序列的傅里葉變換：

(1)x1(n)=δ(n－3)(2)

(3)x3(n)=anu(n)

0<a<1

(4)x4(n)=u(n+3)－u(n－4)

解(1)2024/11/2157(2)(3)2024/11/2158(4)2024/11/2159或者:2024/11/2160

7．設(shè)：（1）x(n)是實(shí)偶函數(shù)，（2）x(n)是實(shí)奇函數(shù)，分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下，其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。

解：令

(1)因為x(n)是實(shí)偶函數(shù)，對上式兩邊取共軛，得到2024/11/2161因此

X(ejω)=X*（e－jω）上式說明x(n)是實(shí)序列，

X(ejω)具有共軛對稱性質(zhì)。由于x(n)是偶函數(shù)，x(n)sinω是奇函數(shù)，那么因此2024/11/2162該式說明X(ejω)是實(shí)函數(shù)，且是ω的偶函數(shù)?？偨Y(jié)以上,x(n)是實(shí)偶函數(shù)時，對應(yīng)的傅里葉變換X(ejω)是實(shí)函數(shù)，是ω的偶函數(shù)。（2）

x(n)是實(shí)奇函數(shù)。上面已推出，由于x(n)是實(shí)序列，X(ejω)具有共軛對稱性質(zhì)，即

X(ejω)=X*(e－jω)2024/11/2163由于x(n)是奇函數(shù)，上式中x(n)cosω是奇函數(shù)，那么因此這說明X(ejω)是純虛數(shù)，且是ω的奇函數(shù)。

8．設(shè)x(n)=R4(n)，試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)，并分別用圖表示。2024/11/2164

解：xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。題8解圖2024/11/2165

9．已知x(n)=anu(n),0<a<1，分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。

解：因為xe(n)的傅里葉變換對應(yīng)X(ejω)的實(shí)部，xo(n)的傅里葉變換對應(yīng)X(ejω)的虛部乘以j，因此2024/11/21662024/11/2167

10．若序列h(n)是實(shí)因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式：

HR(ejω)=1+cosω求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。

解：2024/11/21682024/11/2169

11．若序列h(n)是實(shí)因果序列，h(0)=1，其傅里葉變換的虛部為

HI(ejω)=－sinω求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。

解：2024/11/21702024/11/2171

12．設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n),0<a<1，輸入序列為

x(n)=δ(n)+2δ(n－2)完成下面各題：

(1)求出系統(tǒng)輸出序列y(n)；

(2)分別求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。

解

(1)2024/11/2172(2)2024/11/2173

13．已知xa(t)=2cos(2πf0t)，式中f0=100Hz，以采樣頻率fs=400Hz對xa(t)進(jìn)行采樣，得到采樣信號和時域離散信號x(n)，試完成下面各題：

（1）寫出的傅里葉變換表示式Xa(jΩ)；

（2）寫出和x(n)的表達(dá)式；

（3）分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。

解：2024/11/2174上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)δ函數(shù)，它的傅里葉變換可以表示成：（2）2024/11/2175（3）式中2024/11/2176式中

ω0=Ω0T=0.5πrad上式推導(dǎo)過程中，指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在，只有引入奇異函數(shù)δ函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。

14．求出以下序列的Z變換及收斂域:

(1)2－nu(n) (2)－2－nu(－n－1)

(3)2－nu(－n) (4)δ(n)

(5)δ(n－1) (6)2－n［u(n)－u(n－10)］2024/11/2177解

(1)(2)2024/11/2178么么么么方面Sds絕對是假的(3)

(4)ZT［δ(n)］=10≤|z|≤∞

(5)ZT［δ(n－1)］=z－10<|z|≤∞

(6)≤2024/11/2180

15．求以下序列的Z變換及其收斂域，并在z平面上畫出極零點(diǎn)分布圖。

(1)x(n)=RN(n)

N=4

(2)x(n)=Arncos(ω0n+j)u(n)r=0.9,ω0=0.5πrad,j=0.25πrad

(3)≤≤≤≤式中，N=4。2024/11/2181解(1)由z4－1=0，得零點(diǎn)為由z3(z－1)=0，得極點(diǎn)為

z1,2=0,1零極點(diǎn)圖和收斂域如題15解圖(a)所示，圖中,z=1處的零極點(diǎn)相互對消。2024/11/2182題15解圖2024/11/2183(2) 2024/11/2184零點(diǎn)為極點(diǎn)為極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(b)所示。

(3)令y(n)=R4(n),則

x(n+1)=y(n)*y(n)

zX(z)=［Y(z)］2,X(z)=z－1［Y(z)］22024/11/2185因為因此極點(diǎn)為z1=0,z2=1零點(diǎn)為在z=1處的極零點(diǎn)相互對消，收斂域為0<|z|≤∞，極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(c)所示。2024/11/218616．已知求出對應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達(dá)式。

解：X(z)有兩個極點(diǎn)：z1=0.5,z2=2，因為收斂域總是以極點(diǎn)為界，因此收斂域有三種情況：|z|<0.5，0.5<|z|<2，2<|z|。三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。（1）收斂域|z|<0.5：2024/11/2187令

n≥0時，因為c內(nèi)無極點(diǎn)，x(n)=0;

n≤－1時，c內(nèi)有極點(diǎn)0，但z=0是一個n階極點(diǎn)，改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)，圓外極點(diǎn)有z1=0.5,z2=2，那么2024/11/2188

(2)收斂域0.5<|z|<2:2024/11/2189n≥0時，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，

n<0時，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、0，但0是一個n階極點(diǎn)，改成求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有一個，即2，

x(n)=－Res［F(z),2］=－2·2nu(－n－1)最后得到2024/11/2190（3）收斂域|z|<2:n≥0時，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、2，

n<0時，由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此x(n)=0；或者這樣分析，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、2、0，但0是一個n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無極點(diǎn)，所以x(n)=0。2024/11/2191最后得到

17．已知x(n)=anu(n),0<a<1。分別求：

(1)x(n)的Z變換；

(2)nx(n)的Z變換；

(3)a－nu(－n)的Z變換。

解：(1)2024/11/2192(2)(3)18．已知分別求：（1）收斂域0.5<|z|<2對應(yīng)的原序列x(n)；（2）收斂域|z|>2對應(yīng)的原序列x(n)。2024/11/2193解：（1）收斂域0.5<|z|<2:

n≥0時，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，

x(n)=Res［F(z),0.5］=0.5n=2－nn<0時，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、0，但0是一個n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有2，

x(n)=－Res［F(z),2］=2n2024/11/2194最后得到

x(n)=2－nu(n)+2nu(－n－1)=2－|n|∞<n<－∞

(2)收斂域|z|>2:

n≥0時，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、2，2024/11/2195

n<0時，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、2、0，但極點(diǎn)0是一個n階極點(diǎn)，改成求c外極點(diǎn)留數(shù)，可是c外沒有極點(diǎn)，因此

x(n)=0最后得到

x(n)=(0.5n－2n)u(n)

19．用部分分式法求以下X(z)的反變換：(1)2024/11/2196(2)解：(1)2024/11/21972024/11/2198(2)2024/11/219920．設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示：試用x(n)的Z變換X(z)和x(n)的傅里葉變換X(ejω)分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ejω)。2024/11/21100解：解法一令m′=n+m,則2024/11/21101解法二因為x(n)是實(shí)序列，X(e－jω)=X*(ejω)，因此2024/11/21102

21．用Z變換法解下列差分方程：

(1)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(n)=0n≤－1

(2)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(－1)=1，y(n)=0

n<－1

(3)y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n)

y(－1)=0.2,y(－2)=0.5,y(n)=0,當(dāng)n≤－3時。

解：

(1)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(n)=0

n≤－12024/11/21103n≥0時，n<0時，

y(n)=0最后得到

y(n)=［－0.5·(0.9)n+1+0.5］u(n)2024/11/21104

(2)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n),y(－1)=1,y(n)=0n<－12024/11/21105n≥0時，n<0時，

y(n)=0最后得到

y(n)=［0.45(0.9)n+0.5］u(n)2024/11/21106

(3)y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n)

y(－1)=0.2,y(－2)=0.5,y(n)=0,當(dāng)n<－2時Y(z)－0.8z－1［Y(z)+y(－1)z］－0.15z－2［Y(z)+y(－1)z+y(－2)z2］=12024/11/21107n≥0時，

y(n)=－4.365·0.3n+6.375·0.5nn<0時,

y(n)=0最后得到

y(n)=(－4.365·0.3n+6.375·0.5n)u(n)2024/11/2110822．設(shè)線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為（1）在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)，即|H(ejω)|=常數(shù)；（2）參數(shù)a如何取值，才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫出其極零點(diǎn)分布及收斂域。

解：(1)2024/11/21109極點(diǎn)為a,零點(diǎn)為a－1。設(shè)a=0.6，極零點(diǎn)分布圖如題22解圖(a)所示。我們知道|H(ejω)|等于極點(diǎn)矢量的長度除以零點(diǎn)矢量的長度，按照題22解圖(a)，得到因為角ω公用，，且△AOB~△AOC，故，即2024/11/21110故H(z)是一個全通網(wǎng)絡(luò)。或者按照余弦定理證明:2024/11/21111題22解圖2024/11/21112（2）只有選擇|a|<1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。設(shè)a=0.6，極零點(diǎn)分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。

23．設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述：

y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)

（1）求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并畫出極零點(diǎn)分布圖；

（2）限定系統(tǒng)是因果的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)；

（3）限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。

解：

（1）y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)

將上式進(jìn)行Z變換，得到

Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－12024/11/21113因此零點(diǎn)為z=0。令z2－z－1=0，求出極點(diǎn)：極零點(diǎn)分布圖如題23解圖所示。2024/11/21114題23解圖2024/11/21115

(2)由于限定系統(tǒng)是因果的，收斂域需選包含∞點(diǎn)在內(nèi)的收斂域，即。求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法，一種是令輸入等于單位脈沖序列，通過解差分方程，其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；另一種方法是求H(z)的逆Z變換。我們采用第二種方法。式中2024/11/21116，令2024/11/21117n≥0時，

h(n)=Res［F(z),z1］+Res［F(z),z2］因為h(n)是因果序列,n<0時，h(n)=0，故2024/11/21118

(3)由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域，即|z2|<|z|<|z1|,n≥0時，c內(nèi)只有極點(diǎn)z2，只需求z2點(diǎn)的留數(shù)，2024/11/21119

n<0時，c內(nèi)只有兩個極點(diǎn)：z2和z=0，因為z=0是一個n階極點(diǎn)，改成求圓外極點(diǎn)留數(shù)，圓外極點(diǎn)只有一個，即z1,那么最后得到2024/11/21120

24．已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述：

y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1)（1）求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應(yīng)h(n)；（2）寫出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)的表達(dá)式，并定性畫出其幅頻特性曲線；（3）設(shè)輸入x(n)=ejω0n，求輸出y(n)。解：（1）y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1)

Y(z)=0.9Y(z)z－1+X(z)+0.9X(z)z－12024/11/21121令n≥1時，c內(nèi)有極點(diǎn)0.9，2024/11/21122n=0時，c內(nèi)有極點(diǎn)0.9，0，最后得到

h(n)=2·0.9nu(n－1)+δ(n)2024/11/21123（2）極點(diǎn)為z1=0.9,零點(diǎn)為z2=－0.9。極零點(diǎn)圖如題24解圖(a)所示。按照極零點(diǎn)圖定性畫出的幅度特性如題24解圖(b)所示。（3）2024/11/21124題24解圖2024/11/21125

25．已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為

x(n)=anu(n),

h(n)=bnu(n)0<a<1,0<b<1（1）試用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)；（2）試用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。

解：（1）用卷積法求y(n)。n≥0時，2024/11/21126

n<0時，

y(n)=0最后得到（2）用ZT法求y(n)。，2024/11/21127令n≥0時，c內(nèi)有極點(diǎn)：a、b,因此2024/11/21128因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng),所以n<0時，y(n)=0。最后得到

26．線性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述：

y(n)－2ry(n－1)cosθ+r2y(n－2)=x(n)式中，x(n)=anu(n),0<a<1,0<r<1,θ=常數(shù)，試求系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)。

解：將題中給出的差分方程進(jìn)行Z變換，2024/11/21129式中，因為是因果系統(tǒng)，收斂域為|z|>max(r,|a|)，且n<0時，y(n)=0，故2024/11/21130c包含三個極點(diǎn)，即a、z1、z2。2024/11/211312024/11/21132

27．如果x1(n)和x2(n)是兩個不同的因果穩(wěn)定實(shí)序列，求證：式中，X1(ejω)和X2(ejω)分別表示x1(n)和x2(n)的傅里葉變換。解：FT［x1(n)*x2(n)］=X1(ejω)X2(ejω)進(jìn)行IFT，得到2024/11/21133令n=0,則由于x1(n)和x2(n)是實(shí)穩(wěn)定因果序列，因此(1)(2)2024/11/21134(3)由（1）、（2）、（3）式，得到

28．若序列h(n)是因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式：求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。2024/11/21135解：求上式的Z的反變換，得到序列h(n)的共軛對稱序列he(n)為2024/11/21136因為h(n)是因果序列，

he(n)必定是雙邊序列，收斂域?。篴<|z|<a－1。

n≥1時，c內(nèi)有極點(diǎn)：a，2024/11/21137n=0時，c內(nèi)有極點(diǎn)：a、0，2024/11/21138因為he(n)=he(－n)，所以2024/11/21139

29．若序列h(n)是因果序列，h(0)=1，其傅里葉變換的虛部為求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。解：2024/11/21140令z=ejω,有jHI(ejω)對應(yīng)h(n)的共軛反對稱序列ho(n)，因此jHI(z)的反變換就是ho(n),因為h(n)是因果序列，ho(n)是雙邊序列，收斂域取:a<|z|<a－1。2024/11/21141n≥1時，c內(nèi)有極點(diǎn)：a,n=0時，

c內(nèi)有極點(diǎn)：a、0，2024/11/21142因為hI(n)=－h(huán)(－n),所以2024/11/21143

30*.假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)如下式：試用MATLAB語言判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解：調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計算該系統(tǒng)。系統(tǒng)響應(yīng)的程序ex230.m如下：2024/11/21144

%程序ex230.m

%調(diào)用roots函數(shù)求極點(diǎn)，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

A=［3，－3.98，1.17，2.3418，－1.5147］；

%H(z)的分母多項式系數(shù)

p=roots(A)%求H(z)的極點(diǎn)

pm=abs(p)；%求H(z)的極點(diǎn)的模

ifmax(pm)<1disp(′系統(tǒng)因果穩(wěn)定′)，else，

disp(′系統(tǒng)不因果穩(wěn)定′)，end程序運(yùn)行結(jié)果如下：極點(diǎn)：－0.74860.6996－0.7129i

0.6996+0.7129i

0.6760由極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)因果穩(wěn)定。2024/11/21145

31*.假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)如下式：

(1)畫出極、零點(diǎn)分布圖，并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；

(2)用輸入單位階躍序列u(n)檢查系統(tǒng)是否穩(wěn)定。2024/11/21146

解：（1）求解程序ex231.m如下：

%程序ex231.m

%判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

A=［2，－2.98，0.17，2.3418，－1.5147］；

%H(z)的分母多項式系數(shù)

B=［0，0，1，5，-50］；

%H(z)的分子多項式系數(shù)用極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定

subplot(2，1，1)；

zplane(B，A)；%繪制H(z)的零極點(diǎn)圖

p=roots(A)；%求H(z)的極點(diǎn)

pm=abs(p)；%求H(z)的極點(diǎn)的模2024/11/21147

ifmax(pm)<1disp(′系統(tǒng)因果穩(wěn)定′)，else，

disp(′系統(tǒng)不因果穩(wěn)定′)，end

%畫出u(n)的系統(tǒng)輸出波形進(jìn)行判斷

un=ones(1，700)；

sn=filter(B，A，un)；

n=0：length(sn)－1；

subplot(2，1，2)；plot(n，sn)

xlabel(′n′)；ylabel(′s(n)′)

程序運(yùn)行結(jié)果如下：系統(tǒng)因果穩(wěn)定。系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖如題31*解圖所示。2024/11/21148題31*解圖2024/11/21149（2）系統(tǒng)對于單位階躍序列的響應(yīng)如題31*解圖所示，因為它趨于穩(wěn)態(tài)值，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。

32*.下面四個二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)具有一樣的極點(diǎn)分布：2024/11/21150試用MATLAB語言研究零點(diǎn)分布對于單位脈沖響應(yīng)的影響。要求：（1）分別畫出各系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布圖；（2）分別求出各系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，并畫出