新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 易錯(cuò)點(diǎn)13 多面體的表面積和體積（解析版）

易錯(cuò)點(diǎn)13多面體的表面積和體積多面體，因其具有考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)的特性，越來越引起出題專家組的青睞。易錯(cuò)點(diǎn)1：基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)對(duì)立幾中一些常見結(jié)論要做到了然于胸，如：關(guān)于三棱錐中頂點(diǎn)在底面三角形上的射影問題的相關(guān)條件和結(jié)論要在理解的基礎(chǔ)上加以熟記；（2）在思維受阻時(shí)，要養(yǎng)成回頭看條件的習(xí)慣，問一問自己條件是否都用了呢？易錯(cuò)點(diǎn)2：平面化處理意識(shí)不強(qiáng)，簡單的組合體畫不出適當(dāng)?shù)慕孛鎴D致誤易錯(cuò)點(diǎn)3：“想圖、畫圖、識(shí)圖、解圖”能力的欠缺，多面體與幾何體的結(jié)構(gòu)特征不清楚導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤?易錯(cuò)點(diǎn)4：空間想象能力欠缺題組一：側(cè)面積與表面積1．（2020年全國三卷）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是 A． B． C． D．【答案】C【解析】由題2可知：該幾何體是棱長為的正方體割掉一部分剩下的一個(gè)角，如圖所示，其面積為：，故選：C．2．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為SKIPIF1<0則該圓錐的側(cè)面積為________.【答案】SKIPIF1<0【分析】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3．（2016年全國III）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．90D．81【答案】B【解析】由三視圖可得該幾何體是平行六面體，上下底面是邊長為3的正方形，故面積都是9，前后兩個(gè)側(cè)面是平行四邊形，一邊長為3、該邊上的高為6，故面積都為18，左右兩個(gè)側(cè)面是矩形，邊長為SKIPIF1<0和3，故面積都為SKIPIF1<0，則該幾何體的表面積為2(9+18+SKIPIF1<0)=54+SKIPIF1<0．題組二：體積4．（2017新課標(biāo)Ⅱ）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】解法一由題意，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積SKIPIF1<0，上半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積SKIPIF1<0，故該組合體的體積SKIPIF1<0．故選B．解法二該幾何體可以看作是高為14，底面半徑為3的圓柱的一半，所以體積為SKIPIF1<0．選B．5．（2015新課標(biāo)）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，設(shè)正方形的棱長為1，則截取部分為三棱錐SKIPIF1<0，其體積為SKIPIF1<0，又正方體的體積為1，則剩余部分的體積為SKIPIF1<0，故所求比值為SKIPIF1<0．6.（2019全國Ⅲ理16）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體SKIPIF1<0挖去四棱錐O—EFGH后所得幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________(g).【答案】118.8【解析】該模型為長方體SKIPIF1<0，挖去四棱錐SKIPIF1<0后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別為所在棱的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以該模型體積為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0打印所用原料密度因?yàn)闉镾KIPIF1<0，不考慮打印損耗，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為：SKIPIF1<0．7.（2019年新課標(biāo)2卷）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長為．【答案】26,2【解析】由圖知，該半正多面體的面數(shù)為26，設(shè)所求棱長為a，則由題知SKIPIF1<0，第一空填26，第二空填2?題組三：圓柱和圓錐中的問題8．（2016全國II）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為A．20πB．24πC．28πD．32π【答案】C【解析】該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為SKIPIF1<0，周長為SKIPIF1<0，圓錐母線長為SKIPIF1<0，圓柱高為SKIPIF1<0．由圖得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選C．9．（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設(shè)圓錐的母線長為SKIPIF1<0，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.10．（2021上海卷）在圓柱中，底面圓半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，上底面圓的直徑為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是底面圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，繞著底面圓周轉(zhuǎn)，則SKIPIF1<0的面積的范圍________．【答案】SKIPIF1<0【解析】當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的投影時(shí)，面積最小SKIPIF1<0；當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0為弧SKIPIF1<0中點(diǎn)的投影時(shí)，面積最大SKIPIF1<0，因此面積的取值范圍為SKIPIF1<011．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷））已知圓柱的上、下底面的中心分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過直線SKIPIF1<0的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】：根據(jù)題意，可得截面是邊長為SKIPIF1<0的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是SKIPIF1<0的圓，且高為SKIPIF1<0，所以其表面積為SKIPIF1<0，故選B.題組四：大題12．【2021年新課標(biāo)1卷】如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）因?yàn)樵赟KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）方法一：由題意可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直角三角形，且SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸垂直于面SKIPIF1<0，建系如圖：設(shè)SKIPIF1<0點(diǎn)縱坐標(biāo)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，由相似可得SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)面SKIPIF1<0法向量SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；易得面SKIPIF1<0法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由相似易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．方法二：幾何法如圖，取SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0,由相似易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．13．（2021全國甲卷文）已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面AA1(1)求三棱錐F－EBC的體積；(2)已知D為棱A1B1【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)見解析.【解析】(1)因?yàn)槿庵鵖KIPIF1<0的直三棱柱，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以△SKIPIF1<0為直角三角形，則△SKIPIF1<0為直角三角形，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，因?yàn)閭?cè)面SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.14.【2021年乙卷】如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0．（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求四棱錐SKIPIF1<0的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】【分析】（1）由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由線面垂直的判定定理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，由平面知識(shí)可知，SKIPIF1<0，由相似比可求出SKIPIF1<0，再根據(jù)四棱錐SKIPIF1<0體積公式即可求出．【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）由（1）可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0．1．圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為SKIPIF1<0)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16+20SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=A．1B．2C．4D．8【答案】B【解析】由三視圖可知，此組合體是由半個(gè)圓柱與半個(gè)球體組合而成，其表面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A． B．C．D．【答案】A【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個(gè)圓柱底面半徑為2高為4，上邊放一個(gè)長為4寬為2高為2長方體，故其體積為=，故選A．3．如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】原毛坯的體積SKIPIF1<0，由三視圖可知該零件為兩個(gè)圓柱的組合體，其體積SKIPIF1<0，故所求比值為SKIPIF1<0．4．正三棱柱SKIPIF1<0的底面邊長為2，側(cè)棱長為SKIPIF1<0，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為A．3B．SKIPIF1<0C．1D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意可知SKIPIF1<0，由面面垂直的性質(zhì)定理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選C．5．已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的SKIPIF1<0，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】由圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則小圓錐的高為SKIPIF1<0，大圓錐的高為SKIPIF1<0，所以比值為SKIPIF1<0．6.如圖，長方體SKIPIF1<0的體積是120，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是.【答案】10【解析】因?yàn)殚L方體SKIPIF1<0的體積是120，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.7．已知圓錐的頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，母線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，SKIPIF1<0與圓錐底面所成角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的體積為__________．【答案】8π【詳解】：如下圖所示，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以該圓錐的體積為SKIPIF1<0.8．如圖，圓形紙片的圓心為SKIPIF1<0，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為折痕折起SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合，得到三棱錐。當(dāng)SKIPIF1<0的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：SKIPIF1<0)的最大值為_______?！窘馕觥咳鐖D連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，設(shè)等邊三角形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由題意可知三棱錐的高SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，三棱錐的體積為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．9.如圖，SKIPIF1<0為圓錐的頂點(diǎn)，SKIPIF1<0是圓錐底面的圓心，SKIPIF1<0是底面的內(nèi)接正三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=SKIPIF1<0，圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，求三棱錐P?ABC的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0為圓錐頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為底面圓心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓內(nèi)接正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）設(shè)圓錐的母線為SKIPIF1<0，底面半徑為SKIPIF1<0，圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.10.如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=SKIPIF1<0，求四棱錐B–EB1C1F的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）24.【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0在等邊SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則SKIPIF1<0又SKIPIF1<0側(cè)面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0