寒假作業(yè)01 一元二次方程與實際運用（20道經(jīng)典題型+4道中考真題）

完成時間：月日天氣：寒假作業(yè)01一元二次方程與實際運用積累運用1.一元二次方程的概念：只含有一個未知數(shù)的整式方程，且都可以化為(a、b、c為常數(shù)）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是(a、b、c為常數(shù)），其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.3.一元二次方程的根：能使一元二次方程成立的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解（根）.4.一元二次方程的解法：①直接開平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.因式分解的主要方法：提取公因式法、乘法公式、十字相乘法.5.一元二次方程根的判別式(=b2－4ac)：=1\*GB3①當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；=2\*GB3②當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；=3\*GB3③當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根.6.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）設(shè)是一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0)的兩根，則，.注意：對于而言，當(dāng)滿足且時，才能用韋達(dá)定理.7.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟=1\*GB3①根據(jù)題意和實際問題涉及的類型，建立等量關(guān)系式；=2\*GB3②以利于表示等量關(guān)系式為原則，設(shè)未知數(shù)x；=3\*GB3③依據(jù)等量關(guān)系式和未知數(shù)x建立方程；=4\*GB3④解方程并解答.注：一元二次方程通常有兩解，但是，應(yīng)檢驗方程的兩個根是否都符合實際情況.8.一元二次方程應(yīng)用題常見類型：=1\*GB3①面積問題；=2\*GB3②平均變化率問題；=3\*GB3③銷售利潤問題；④傳播問題；⑤循環(huán)問題；⑥數(shù)字問題.基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列關(guān)于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．52.已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，則代數(shù)式1+6m﹣2m2的值為（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣33．下列關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝04．已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是2，則另一個根是（）A． B． C．3 D．5．如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園（圍墻最長可利用），現(xiàn)在用長為的材料砌墻，若設(shè)計一種砌法，使矩形花園的面積為，則的長度為（）A．15m B．10m C．10m或15m D．12.5m6．我國古代數(shù)學(xué)專著《增減算法統(tǒng)宗》中記載“圓中方形”問題，其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外，圓內(nèi)可耕地的面積恰好為72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn)．如果你能求出正方形的邊長，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長是步，則列出方程正確的是（

）A． B． C． D．7．新型冠狀病毒(COVID-19)是一種傳染性極高的病毒，它可以通過飛沫、接觸，甚至是有病毒株的污染源傳播．在M市人群密集區(qū)因缺乏必要的預(yù)防措施，某新冠肺炎零號病人一天能傳染人，如果統(tǒng)計得到兩天內(nèi)共有225人因此患病，求平均每天一人傳染了人．列出方程為（）A． B． C． D．8．已知是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式______．9．解下列一元二次方程：（1）； （2）；（3）； （4）.10.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+m=0．（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若方程的兩實數(shù)根分別為x1，x2，且滿足3x1-2x2=5，求實數(shù)m的值．11．參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會？設(shè)共有x家公司參加商品交易會．（1）用含x的代數(shù)式表示：每家公司與其他____________家公司都簽訂一份合同，由于甲公司與乙公司簽訂的合同和乙公司與甲公司簽訂的合同是同一份合同，所以所有公司共簽訂了______份合同；（2）列出方程并完成本題解答．能力提升練12．設(shè)方程有兩個根和，且，那么方程的較小根的范圍為A． B． C． D．13．已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根.（1）直接寫出m的取值范圍；（2）若，滿足，求m的值；（3）若，求證：.14．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是這個方程的一個根，求k的值和它的另一個根；（2）求證：無論k取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；（3）若等腰三角形的一邊長為5，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長．15．閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項式x2+bx+c變形為（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2?x?4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）填空：將多項式x2﹣2x+3變形為（x+m）2+n的形式，并判斷x2﹣2x+3與0的大小關(guān)系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣______）2+______，∴x2﹣2x+3______0（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）將多項式x2+6x﹣9變形為（x+m）2+n的形式，并求出多項式的最小值；（3）求證：x、y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．16．某超市經(jīng)營一款新電動玩具，其進(jìn)貨單價是15元．在1個月的試銷階段，售價是20元，銷售量是200件．根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價若每再漲1元，1個月就會少售出5件．（1）若超市在1個月獲得了2250元銷售利潤，求這款玩具的銷售單價定為多少元時，顧客更容易接受？（2）若玩具生產(chǎn)廠家規(guī)定銷售單價不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的銷售任務(wù)，設(shè)銷售單價為y（y為正整數(shù)）元，求該超市銷售這款玩具有哪幾種方案？哪一種方案利潤最高？拓展培優(yōu)練17．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，書中有一個關(guān)于門和竹竿的問題，簡譯為：今有一扇門，不知門的高和寬．另有一竹竿，也不知竹竿的長短．竹竿橫著放時比門的寬長4尺，竹竿豎著放時比門的高長2尺，竹竿斜著放時與門的對角線恰好相等，求門的對角線長．若設(shè)門的對角線長為尺，則可列方程為()A． B．C． D．18．定義：如果一個一元二次方程的兩個實數(shù)根的比值與另一個一元二次方程的兩個實數(shù)根的比值相等，我們稱這兩個方程為“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的實數(shù)根是3或6，x2﹣3x+2＝0的實數(shù)根是1或2，3：6＝1：2，則一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0與x2﹣3x+2＝0為相似方程．下列各組方程不是相似方程的是（）A．x2﹣16＝0與x2＝25 B．（x﹣6）2＝0與x2+4x+4＝0 C．x2﹣7x＝0與x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0與x2﹣5x+4＝019．在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思想，比如，將化成分?jǐn)?shù)，設(shè)，則有，，解得，類比上述方法及思想，則____________．20．關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)時，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實數(shù)a，b滿足：，且，求ab的值；（3）已知兩個不相等的實數(shù)p，q滿足：，求的值．中考真題練21．（2023年浙江湖州中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了萬輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x，那么可列出方程是（

）A． B． C． D．22．（2023年山東濟(jì)南中考真題）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的值可以是____________（寫出一個即可）．23．（2023年湖北黃岡中考真題）如圖是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設(shè)圖中，，連接，若與的面積相等，則____________．24．（2023年四川南充中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程.（1）求證：無論m為何值，方程總有實數(shù)根；（2）若是方程的兩個實數(shù)根，且，求m的值．

寒假作業(yè)01一元二次方程與實際運用參考答案基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列關(guān)于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】①當(dāng)a＝0時，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程；②是分式方程，不是一元二次方程；③x2＝0是一元二次方程；④x＝3x2是一元二次方程；⑤（x＋1）（x?1）＝x2＋4x，整理后不含x的二次項，不是一元二次方程．故選A．2.已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，則代數(shù)式1+6m﹣2m2的值為（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【答案】D【解析】∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴m2﹣3m﹣2＝0，∴m2﹣3m＝2，∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，故選D．3．下列關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0【答案】C【解析】A、∵＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0沒有實數(shù)根；B、方程變形為x2﹣2x+1＝0，∵＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有兩個相等的實數(shù)根；C、方程變形為x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，∵＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有兩個不相等的實數(shù)根；D、∵＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2+1＝0沒有實數(shù)根．故選C．4．已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是2，則另一個根是（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】關(guān)于的一元二次方程的一個根是2，設(shè)另一個根是，則，，故選A．5．如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園（圍墻最長可利用），現(xiàn)在用長為的材料砌墻，若設(shè)計一種砌法，使矩形花園的面積為，則的長度為（）A．15m B．10m C．10m或15m D．12.5m【答案】A【解析】設(shè)AB=x米，則BC=（50-2x）米．根據(jù)題意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15，當(dāng)x=10時，BC=50-10-10=30＞25，故x1=10不合題意，舍去，故選A．6．我國古代數(shù)學(xué)專著《增減算法統(tǒng)宗》中記載“圓中方形”問題，其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外，圓內(nèi)可耕地的面積恰好為72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn)．如果你能求出正方形的邊長，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長是步，則列出方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正方形的邊長是x步，則列出的方程是，故選B．7．新型冠狀病毒(COVID-19)是一種傳染性極高的病毒，它可以通過飛沫、接觸，甚至是有病毒株的污染源傳播．在M市人群密集區(qū)因缺乏必要的預(yù)防措施，某新冠肺炎零號病人一天能傳染人，如果統(tǒng)計得到兩天內(nèi)共有225人因此患病，求平均每天一人傳染了人．列出方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】平均一人傳染了x人，則第一天共有（x+1）人患病，第二天共有[x+1+（x+1）x]人患病，由題意得x+1+（x+1）x=225，整理得，故選A．8．已知是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式______．【答案】【解析】∵，是方程的兩個根，∴，，∴.故答案為.9．解下列一元二次方程：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1），∴，∴或，解得：.（2），∵a=2，b=-4，c=-7，∴=16-4×2×（-7）=72，∴x=，解得：.（3），∵a=1，b=1，c=-1，∴=1-4×1×（-1）=5，∴x=，解得：.（4），∴，∴或，解得：．10.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+m=0．（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若方程的兩實數(shù)根分別為x1，x2，且滿足3x1-2x2=5，求實數(shù)m的值．【解析】（1）∵一元二次方程有實數(shù)根，∴，∴，解得.（2）∵方程的兩實數(shù)根分別為x1，x2，∴，∴，∵3x1-2x2=5，∴，解得，∴，∵，∴m=6．11．參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會？設(shè)共有x家公司參加商品交易會．（1）用含x的代數(shù)式表示：每家公司與其他_____家公司都簽訂一份合同，由于甲公司與乙公司簽訂的合同和乙公司與甲公司簽訂的合同是同一份合同，所以所有公司共簽訂了_____份合同；（2）列出方程并完成本題解答．【解析】（1）每家公司與其他（x﹣1）家公司都簽訂一份合同，所有公司共簽訂了x（x﹣1）份合同，故答案為：（x﹣1），x（x﹣1）.（2）根據(jù)題意列方程得：x（x﹣1）＝45，解得x1＝10，x2＝﹣9（舍去），所以x＝10．答：共有10家公司參加商品交易會．能力提升練12．設(shè)方程有兩個根和，且，那么方程的較小根的范圍為A． B． C． D．【答案】D【解析】方程有兩個根和，，，設(shè)方程的兩根分別為，，則，，，，，方程的兩根分別為，，，，，，，，，方程的較小根的范圍為．故選D．13．已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根.（1）直接寫出m的取值范圍；（2）若，滿足，求m的值；（3）若，求證：.【解析】（1）∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即.（2）∵，且，，∴，整理得，解得，，由（1）知，∴.檢驗：當(dāng)時，，故.（3）把和代入，得，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即．14．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是這個方程的一個根，求k的值和它的另一個根；（2）求證：無論k取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；（3）若等腰三角形的一邊長為5，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長．【解析】（1）把x＝1代入x2﹣（k+2）x+2k＝0，得1﹣k﹣2+2k＝0，解得k＝1．設(shè)方程的另一個根為t，則t＝2k＝2，k=1，故k的值為1，方程的另一個根為2.（2）∵，∴對于任意實數(shù)k，原方程一定有實數(shù)根.（3）由x2﹣（k+2）x+2k＝0得（x﹣2）（x﹣k）＝0，此方程的兩根分別為，.若，則，此等腰三角形的三邊長分別為5，5，2，周長為12．若，等腰三角形的三邊長分別為2，2，5，不存在此三角形，所以這個等腰三角形的周長為12．15．閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項式x2+bx+c變形為（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2?x?4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）填空：將多項式x2﹣2x+3變形為（x+m）2+n的形式，并判斷x2﹣2x+3與0的大小關(guān)系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣_____）2+_____，∴x2﹣2x+3_____0（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）將多項式x2+6x﹣9變形為（x+m）2+n的形式，并求出多項式的最小值；（3）求證：x、y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．【解析】（1）x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+2＞0，∴x2﹣2x+3＞0，故答案為：1；2；＞.（2）x2+6x﹣9＝x2+6x+9﹣18＝（x+3）2﹣18，∵（x+3）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣3時，x2+6x﹣9有最小值，最小值為﹣18.（3）x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1＞0，∴x、y取任何實數(shù)時，多項式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．16．某超市經(jīng)營一款新電動玩具，其進(jìn)貨單價是15元．在1個月的試銷階段，售價是20元，銷售量是200件．根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價若每再漲1元，1個月就會少售出5件．（1）若超市在1個月獲得了2250元銷售利潤，求這款玩具的銷售單價定為多少元時，顧客更容易接受？（2）若玩具生產(chǎn)廠家規(guī)定銷售單價不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的銷售任務(wù)，設(shè)銷售單價為y（y為正整數(shù)）元，求該超市銷售這款玩具有哪幾種方案？哪一種方案利潤最高？【解析】（1）設(shè)銷售單價為x元，由題意得，解得，，，∵，∴銷售單價定為30元時，顧客更容易接受.（2）由題意得，解得，因為y取正整數(shù)，所以y取22或23或24，所以有三種銷售方案：方案一：銷售價為22元，銷售利潤為（元），方案二：銷售價為23元，銷售利潤為（元），方案三，銷售價為24元，銷售利潤為（元），∵，∴當(dāng)銷售單價定為24元時，利潤最高，為1620元．拓展培優(yōu)練17．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，書中有一個關(guān)于門和竹竿的問題，簡譯為：今有一扇門，不知門的高和寬．另有一竹竿，也不知竹竿的長短．竹竿橫著放時比門的寬長4尺，竹竿豎著放時比門的高長2尺，竹竿斜著放時與門的對角線恰好相等，求門的對角線長．若設(shè)門的對角線長為尺，則可列方程為()A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)門的對角線長為尺，則可列方程為：.故選C．18．定義：如果一個一元二次方程的兩個實數(shù)根的比值與另一個一元二次方程的兩個實數(shù)根的比值相等，我們稱這兩個方程為“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的實數(shù)根是3或6，x2﹣3x+2＝0的實數(shù)根是1或2，3：6＝1：2，則一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0與x2﹣3x+2＝0為相似方程．下列各組方程不是相似方程的是（）A．x2﹣16＝0與x2＝25 B．（x﹣6）2＝0與x2+4x+4＝0 C．x2﹣7x＝0與x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0與x2﹣5x+4＝0【答案】C【解析】A、方程x2﹣16＝0的實數(shù)根是±4，x2＝25的實數(shù)根是±5，∵4：（﹣4）＝5：（﹣5），∴一元二次方程x2﹣16＝0與x2＝25為相似方程；B、方程（x﹣6）2＝0的實數(shù)根是6，x2+4x+4＝0的實數(shù)根是﹣2，∵6：6＝﹣2：﹣2，∴一元二次方程（x﹣6）2＝0與x2+4x+4＝0為相似方程；C、方程x2﹣7x＝0的實數(shù)根是0或7，x2+x﹣6＝0的實數(shù)根是﹣3或2，∵0：7≠﹣3：2，∴一元二次方程x2﹣7x＝0與x2+x﹣6＝0不是相似方程；D、方程（x+2）（x+8）＝0的實數(shù)根是﹣2或﹣8，x2﹣5x+4＝0的實數(shù)根是1或4，∵﹣2：﹣8＝1：4，∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0與x2﹣5x+4＝0為相似方程.故選C．19．在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思想，比如，將化成分?jǐn)?shù)，設(shè)，則有，，解得，類比上述方法及思想，則_____．【答案】4【解析】