數(shù)學(xué)學(xué)案：互動課堂第三講三平面與圓錐面的截線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂重難突破一、在空間中，取直線l為軸,直線l′與l相交于O點(diǎn)，其夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn),l′為母線的圓錐面.任取平面π，若它與軸l交角為β（π與l平行,記β＝0），則（1）,平面π與圓錐的交線為圓；(2）β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓；（3）β＝α,平面π與圓錐的交線為拋物線;（4）β＜α，平面π與圓錐的交線為雙曲線。圖3—3—1二、刨根問底問題橢圓為封閉圖形，雙曲線、拋物線為不封閉圖形,其圖形不一樣,但它們都可以用平面截對頂圓錐面得到,它們都滿足曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù),即離心率e,定義上的統(tǒng)一，必然也蘊(yùn)含著圖形統(tǒng)一，應(yīng)該如何解釋這種現(xiàn)象呢?探究:我們知道,橢圓時離心率e越大，橢圓越扁；雙曲線時離心率e越大，雙曲線開口越大。隨著e的增大,橢圓越變越扁,但左半部分開口越來越大，左頂點(diǎn)離l越來越近,而右頂點(diǎn)離F點(diǎn)越來越遠(yuǎn)；當(dāng)e趨近于1時，左頂點(diǎn)趨近于F與l間的中點(diǎn)，而右頂點(diǎn)趨向無窮遠(yuǎn)處;當(dāng)e=1時，我們可以大膽地認(rèn)為右頂點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處,此時曲線變?yōu)閽佄锞€;當(dāng)e＞1時，開口越來越大，右頂點(diǎn)超過無窮遠(yuǎn)處并開始返回，此時曲線變?yōu)殡p曲線兩支,或認(rèn)為雙曲線兩支無限延伸交于無窮遠(yuǎn)處，如圖3—3-3。圖3—3-3于是我們可以猜想：三條圓錐曲線都為封閉圖形，其形狀都為橢圓，所以,圓錐曲線在圖形上依然存在著統(tǒng)一。這是一種無限的思想，所以我們可更大膽猜想如果人一直往前走,當(dāng)生命允許的話，最終會走到自己的背后。我們可以在理論上對圖形的統(tǒng)一性進(jìn)行探索。因?yàn)轫旤c(diǎn)（曲線與兩個坐標(biāo)軸的交點(diǎn))如A1是圓錐曲線上的點(diǎn)，所以滿足=e，當(dāng)e→1時，A1向中點(diǎn)靠近；當(dāng)e=1時，A1位于中點(diǎn);當(dāng)e→+∞時，A1向N靠近。這里A1只是的內(nèi)分點(diǎn),其實(shí)滿足的還有一個外分點(diǎn),即另一頂點(diǎn)A2,滿足.當(dāng)e〈1時，圓錐曲線為橢圓，所以它的外分點(diǎn)A2位于NF的延長線上;當(dāng)e→1時，A2離F點(diǎn)越遠(yuǎn);當(dāng)e=1時,外分點(diǎn)不存在，或者我們就可以理解為A2位于無窮遠(yuǎn)處,所以拋物線只有一個頂點(diǎn);當(dāng)e>1時，圓錐曲線為雙曲線,外分點(diǎn)A2位于NF的反向延長線上；e→+∞時，A2從左側(cè)向N靠近.這也揭示了為什么橢圓有兩個頂點(diǎn)，拋物線只有一個頂點(diǎn)，雙曲線有兩個頂點(diǎn)，及它們之間的區(qū)別,你可以由此進(jìn)一步理解圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一性。活學(xué)巧用【例1】利用Dandelin雙球(這兩個球位于圓錐的內(nèi)部,一個位于平面π的上方，一個位于平面π的下方,并且與平面π及圓錐均相切）證明β＞α,平面π與圓錐的交線為橢圓。圖3—3-2思路解析：點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比小于1。證法一:利用橢圓第一定義，證明FA+AE=BA+AC=定值,詳見課本.證法二:①上面一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面平行，記這個圓所在平面為π′；②如果平面π與平面π′的交線為m，在圖中橢圓上任取一點(diǎn)A，該Dandelin球與平面π的切點(diǎn)為F，則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比是（小于1）（稱點(diǎn)F為這個橢圓的焦點(diǎn)，直線m為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)為離心率e）.【例2】一動圓與已知圓O1:（x+3）2+y2=1外切，圓O2：(x—3）2+y2=81內(nèi)切,試求動圓圓心的軌跡方程。思路解析:兩圓相切時,圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān)，可以找到動圓圓心滿足的條件.解：兩定圓的圓心和半徑分別為O1（—3，0），r1=1；O2（3,0)，r2=9.設(shè)動圓圓心為M（x,y)，半徑為R,則由題設(shè)條件可得|MO1｜=1+R,|MO2｜=9-R?！鄚MO1|+|MO2