第14講立體幾何初步(九種求外接球與內(nèi)切球模型)-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)分類培優(yōu)講義(2019)(原卷版)

第14講九種求外接球與內(nèi)切球模型【必備知識】模型一:墻角模型墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決.外接球的直徑等于長方體的體對角線長.使用范圍:3組或3條棱兩兩垂直;或可在長方體中畫出該圖且各頂點(diǎn)與長方體的頂點(diǎn)重合推導(dǎo)過程:長方體的體對角線就是外接球的直徑公式:找三條兩兩垂直的線段,直接用公式,即2R,求出.【典例剖析】1．四面體的每個頂點(diǎn)都在球的球面上，兩兩垂直，且，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF，將ADE，CDF，BEF分別沿DE，DF，EF折起，使三點(diǎn)重合，得到三棱錐ODEF，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．3 B． C．6 D．243．已知P，A，B，C為球O的球面上的四個點(diǎn)，若平面，，，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．4．如圖，在矩形中，，E為中點(diǎn)，把和分別沿折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P，若三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．5．將一個邊長為的正三角形沿其中線折成一個直二面角，則所得三棱錐的外接球的體積為_________.模型二:對棱相等模型使用范圍:對棱相等的三棱錐推導(dǎo)過程:通過對棱相等,可以將其補(bǔ)全為長方體,補(bǔ)全的長方體體對角線為外接球直徑,設(shè)長方體的長寬高為別為【典例剖析】1．如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為三邊中點(diǎn)，將分別沿向上折起，使A，B，C重合為點(diǎn)P，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．2．在△ABC中，，將△ABC繞BC旋轉(zhuǎn)至△BCD的位置，使得，如圖所示，則三棱錐外接球的體積為_____________．3．已知三棱錐的每條側(cè)棱與它所對的底面邊長相等，且，，則該三棱錐的外接球的表面積為______．4．已知四面體ABCD的棱長滿足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，現(xiàn)將四面體ABCD放入一個軸截面為等邊三角形的圓錐中，使得四面體ABCD可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動，則圓錐側(cè)面積的最小值為________．5．在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積是______．模型三:漢堡模型適用范圍:有一條側(cè)棱垂直于底面的柱體推導(dǎo)過程:如圖,直三棱柱內(nèi)接于球(同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形).第一步:確定球心的位置,是的外心,則平面.第二步:算出小圓的半徑也是圓柱的高).第三步:勾股定理:,求出.公式:【典例剖析】1．已知某圓柱的高為，體積為，則該圓柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．已知三棱柱的各個側(cè)面均垂直于底面，底面為正三角形，側(cè)棱長與底面邊長之比為3：2，頂點(diǎn)都在一個球面上，若三棱柱的側(cè)面積為162，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．3．已知三棱柱的6個頂點(diǎn)都在球的表面上，，，則球的表面積是（

）A． B． C． D．4．直三棱柱所有頂點(diǎn)都在球的表面上，且，，，則球的表面積為________．5．在四面體中，，，且，，異面直線，所成角為，則該四面體外接球的表面積為______.模型四:垂面模型適用范圍:有一條棱垂直于底面的椎體推導(dǎo)過程:第一步:將畫在小圓面上,為小圓直徑的一個端點(diǎn),作小圓的直徑,連接,則必過球心.第二步:為的外心,所以平面,算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法:利用正弦定理.第三步:利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:(1);(2).公式:【典例剖析】1．已知三棱錐，其中平面，，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．已知四面體的每個頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，是正三角形，是等腰三角形，則球的體積為（

）A． B．C． D．3．已知四棱錐的五個頂點(diǎn)在球O的球面上，底面，，，，，且四邊形的面積為，則球O的表面積為___________.模型五:斗笠模型使用范圍:正棱雉或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上推導(dǎo)過程:取底面的外心,連接頂點(diǎn)與外心,該線為空間幾何體的高,在上取一點(diǎn)作為球心0,根據(jù)勾股定理公式:【典例剖析】1.已知一個圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．2.在三棱錐中，側(cè)棱，，，則此三棱錐外接球的表面積為_______．3.已知正四面體的棱長為4，則此四面體的外接球的表面積是為________類型六:切瓜模型使用范圍:有兩個平面互相垂直的棱雉推導(dǎo)過程:分別在兩個互相垂直的平面上取外心、過兩個外心做兩個垂面的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)即為球心0,取BC的中點(diǎn)為,連接、、、為矩形由勾股可得公式:【典例剖析】1.已知四棱錐中，底面為邊長為的正方形，側(cè)面底面，且為等邊三角形，則該四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2.已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐的外接球的體積為________.3.已知四面體ABCD中，△ABD和△BDC是等邊三角形，二面角A﹣BD﹣C為直二面角.若AB＝，則四面體ABCD外接球的表面積為__________________.4.已知在三棱錐中，平面平面和均是邊長為的正三角形，則該三棱錐的外接球體積為___________.模型七:折疊模型使用范圍:兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折疊.推導(dǎo)過程:兩個全等的三角形或者等腰拼在一起,或者菱形折疊,設(shè)折疊的二面角.如圖,作左圖的二面角剖面圖如右圖:和分別為外心,故.公式:【典例剖析】1.已知菱形中,,對角線與的交點(diǎn)為,把菱形沿對角線折起,使得,則折得的幾何體的外接球的表面積為()A.B.C.D.2.在三棱雉中,,則三棱雉的外接球的表面積為()A.B.C.D.3.在邊長為的菱形中,,沿對角線折成二面角為的四面體,則此四面體的外接球表面積為________.模型八:最值模型最值問題的解法有兩種方法:一種是幾何法,即在運(yùn)動變化過?中得到最值,從而轉(zhuǎn)化為定值問題求解.另一種是代數(shù)方法,即建立目標(biāo)函數(shù),從而求目標(biāo)函數(shù)的最值.【典例剖析】1．在邊長為6的菱形中，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，且，，底面ABCD是邊長為2的正方形，設(shè)P為該四棱錐外接球表面上的動點(diǎn)，則三棱錐的最大體積為（

）A． B． C． D．3．已知，，，，都在同一個球面上，平面平面，是邊長為2的正方形，，當(dāng)四棱錐的體積最大時，該球的半徑為______．4．，，，四點(diǎn)均在同一球面上，，是邊長為的等邊三角形，則面積的最大值為__________，四面體體積最大時球的表面積為___________．模型九:內(nèi)切球模型以三棱雉為例,求其內(nèi)切球的半徑推導(dǎo)過程:等體積法,三棱雉體積等于內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱雉的體積之和.第一步:先求出四個表面的面積和整個雉體體積;第二步:設(shè)內(nèi)切球的半徑為,球心為,建立等式:第三步:解出.公式:【典例剖析】1．已知點(diǎn)O到直三棱柱各面的距離都相等，球O是直三棱柱的內(nèi)切球，若球O的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．2．在《九章算術(shù)·商功》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖在鱉臑中，平面，，，則鱉臑內(nèi)切球的表面積為（

）A． B．C． D．4．《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD為矩形，，則四棱錐和三棱錐的內(nèi)切球半徑比為___________.【過關(guān)檢測】單選題1．如圖，在三棱錐中，，，，且直線AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．2．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，若四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，且，，則該陽馬的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．4．如圖所示，正方體的棱長為，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體為正八面體，那么該正八面體的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．5．已知三棱錐中，，，D是的中點(diǎn)，平面ABC，點(diǎn)P，A，B，C在球心為O的球面上，若三棱錐的體積是，則球O的半徑為（

）A． B．1 C． D．6．已知三棱錐的棱底面，若，則其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．在三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱錐P—ABC體積為6，則三棱錐P—ABC外接球的表面積為（

）A．18π B．24π C．36π D．40π8．已知三棱錐所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，若，則球的表面積為（

）A． B． C． D．9．在三棱錐中，平面ABC，，與的外接圓圓心分別為，，若三棱錐的外接球的表面積為，設(shè)，，則的最大值是（

）A． B． C． D．10．已知三棱錐的四個頂點(diǎn)均在同一個球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的半徑為（

）．A．1 B．2 C．3 D．二、填空題11．四面體ABCD中，平面ABC，，，，∠BAC=90°．若A，B，C，D四點(diǎn)都在同一個球面上，則該球面面積等于______．12．如圖，在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為___________.13．在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點(diǎn)，以AD為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，則過A，B，C，D四點(diǎn)的球的表面積為_____________.14．空間四面體中，，，，直線和所成的角為，則該四面體的外接球的表面積為__.15．已知，，，四點(diǎn)在半徑為的球面上，且，，，則三棱錐的體積是__________.16．已知正三棱柱的底面積為，點(diǎn)為的中心，直線和底面所成