卷09數(shù)列通項求和范圍與最值問題

卷09數(shù)列通項、求和、范圍與最值問題難度：★★★★☆建議用時：30分鐘正確率：/30一、單選題1．（2023·河南平頂山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，均為等差數(shù)列，且，，，則數(shù)列的前5項和為（

）A．35 B．40 C．45 D．50【答案】B【解析】由題知，均為等差數(shù)列，且，，，所以，得，所以數(shù)列的前5項和為．故選：B2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項積為，若，，且，則使最大的正整數(shù)n的值為（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】B【解析】易知，因?yàn)?，，所以，，將其代入，得，所以，即?shù)列是以128為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，，，當(dāng)時，，所以，因?yàn)榫∮?，即，，故最大.故選：B．3．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃?shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】由題可知，，得，∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，∴.故選：B.4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】[方法一]:常規(guī)解法因?yàn)椋?，，得到，同理，可得，又因?yàn)椋?，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)則故D正確.5．（2023·全國·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，解得，所以，?dāng)x為正整數(shù)且奇數(shù)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x為正整數(shù)且偶數(shù)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以時，取得最大值，當(dāng)時，取得最小值，所以，解得.故選：B.6．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和都相等，便得到一個3階幻方.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和都相等，這個正方形叫作n階幻方.記n階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為，如，那么下列說法錯誤的是（

）A．B．7階幻方第4行第4列的數(shù)字為25C．8階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為260D．9階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為396【答案】D【解析】根據(jù)n階幻方的定義，n階幻方的數(shù)列有項，為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故，每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為.對A，，A對；對B，7階幻方有7行7列，故第4行第4列的數(shù)字該數(shù)列的中間值，即，B對；對C，8階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為，C對；對D，9階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為，D錯.故選：D7．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記數(shù)列的前n項和為．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前n項和（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以等比?shù)列的公比，所以，則，由，可知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．故選：D．8．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，若，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．9【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，若，則由題意知，，成等比數(shù)列，則，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即，時等號成立，則的最小值為.當(dāng)時，由，可得，所以，故的最小值為.故選：B.9．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）將一個頂角為120°的等腰三角形（含邊界和內(nèi)部）的底邊三等分，挖去由兩個等分點(diǎn)和上頂點(diǎn)構(gòu)成的等邊三角形，得到與原三角形相似的兩個全等三角形，再對余下的所有三角形重復(fù)這一操作．如果這個操作過程無限繼續(xù)下去…，最后挖剩下的就是一條“雪花”狀的Koch曲線，如圖所示已知最初等腰三角形的面積為1，則經(jīng)過4次操作之后所得圖形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可知，每次挖去的三角形面積是被挖三角形面積的，所以每一次操作之后所得圖形的面積是上一次三角形面積的，由此可得，第次操作之后所得圖形的面積是，即經(jīng)過4次操作之后所得圖形的面積是.故選：A10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前n項積，已知，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【解析】1、當(dāng)時，，，；2、當(dāng)時，有，代入，得，化簡得：，則，.故選：D11．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，則公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方法1：∵為等差數(shù)列，，∴，；方法2：∵為等差數(shù)列，，∴，∴.故選：A.12．（2023·河南·長葛市第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正項數(shù)列中，，，記．整數(shù)滿足，則數(shù)列的前項和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以是?為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，整?shù)滿足，所以，的前120項和為.故選：B.二、填空題13．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①③④【解析】由題意可知，，，當(dāng)時，，可得；當(dāng)時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因?yàn)椋獾?，①對；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；當(dāng)時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設(shè)對任意的，，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.故答案為：①③④.14．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的前n項和______.【答案】【解析】數(shù)列的前n項和為，，，當(dāng)時，，兩式相減得：，即，而，解得，因此數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，，所以.故答案為：15．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在等比數(shù)列中，若，，則當(dāng)取得最大值時，_______________．【答案】6【解析】在等比數(shù)列中，，