數(shù)值計(jì)算方法教案數(shù)值積分(有添加哦)

第四章數(shù)值積分一．問(wèn)題提出：（1）針對(duì)定積分SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0,a=0,b=1，即有SKIPIF1<0，但當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，時(shí)，很難找到其原函數(shù)。（2）被積函數(shù)并沒(méi)有具體的解析形式，即SKIPIF1<0僅為一數(shù)表。二．定積分的幾何意義定積分SKIPIF1<0的幾何意義為，在平面坐標(biāo)系中I的值即為四條曲線(xiàn)所圍圖形的面積，這四條曲線(xiàn)分別是SKIPIF1<0，y=0，x=a，x=b。SKIPIF1<0三．機(jī)械求積公式1.中矩形公式SKIPIF1<0；幾何意義：用以下矩形面積替代曲邊梯形面積。SKIPIF1<02.梯形公式SKIPIF1<0梯形公式的幾何意義：用以下梯形面積替代曲邊梯形的面積：SKIPIF1<03.辛普生公式SKIPIF1<0辛普生公式的幾何意義：陰影部分的面積為拋物線(xiàn)曲邊梯形，該拋物線(xiàn)由SKIPIF1<0三點(diǎn)構(gòu)成。SKIPIF1<04.求積公式的一般形式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，SKIPIF1<0稱(chēng)為求積系數(shù)，或權(quán)。5.求積公式的代數(shù)精度（衡量求積公式準(zhǔn)確度的一種方法）含義：衡量一個(gè)積分公式的好壞，要用具體的函數(shù)來(lái)衡量，尋找怎樣的函數(shù)來(lái)衡量呢？簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)是一個(gè)理想的標(biāo)準(zhǔn)。定義：若某積分公式對(duì)于SKIPIF1<0均能準(zhǔn)確成立，但對(duì)于SKIPIF1<0不能準(zhǔn)確成立。則稱(chēng)該公式具有m次代數(shù)精度。解釋?zhuān)捍鷶?shù)精度只是衡量積分公式好壞的1種標(biāo)準(zhǔn)。例1．研究中矩形公式SKIPIF1<0的代數(shù)精度及幾何意義。解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左SKIPIF1<0右；故中矩形公式具有1次代數(shù)精度。從定積分的幾何意義可以看出，當(dāng)被積函數(shù)為一條直線(xiàn)時(shí)，中矩形公式是嚴(yán)格成立的，中矩形面積與梯形面積相等，如下圖所示。SKIPIF1<0例2．研究梯形公式SKIPIF1<0的代數(shù)精度及幾何意義。解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左SKIPIF1<0右。故梯形公式也具有1次代數(shù)精度。從定積分的幾何意義知，當(dāng)被積函數(shù)為一條直線(xiàn)時(shí)，其積分值本身就是一個(gè)梯形的面積，如下圖所示。SKIPIF1<0例3．研究辛普生公式SKIPIF1<0的代數(shù)精度及幾何意義。解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，左SKIPIF1<0右；故梯形公式具有3次代數(shù)精度。當(dāng)被積函數(shù)為一條直線(xiàn)或一條拋物線(xiàn)時(shí)，過(guò)其曲線(xiàn)上3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造的拋物線(xiàn)就是其本身曲線(xiàn)，所以積分公式嚴(yán)格成立。當(dāng)被積函數(shù)為3次多項(xiàng)式時(shí)，辛普生公式也嚴(yán)格成立，如下圖所示，兩個(gè)曲邊梯形面積剛好相等。SKIPIF1<06.求積公式的確定方法一：待定系數(shù)法。例1.構(gòu)造一個(gè)至少具有一次代數(shù)精度的積分公式。分析：構(gòu)造一次代數(shù)精度的公式，即當(dāng)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0時(shí)，公式嚴(yán)格成立，故有2個(gè)約束條件，于是可以確定具有2個(gè)參數(shù)的積分公式。解：設(shè)積分公式為：SKIPIF1<0。針對(duì)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，代入積分公式的左邊和右邊，有：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是有積分公式：SKIPIF1<0。該公式即為梯形求積公式。例2.構(gòu)造一個(gè)至少具有2次代數(shù)精度的求積公式。解：設(shè)積分公式為SKIPIF1<0。針對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，代入積分公式的左邊和右邊，有：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0積分公式為：SKIPIF1<0該公式即為辛普生公式，需要注意的是，該公式的代數(shù)精度并不是2次，而是3次的。方法二，插值法（插值型求積公式），即過(guò)函數(shù)f(x)的n+1節(jié)點(diǎn)x0，x1，……，xn，作n次多項(xiàng)式函數(shù)SKIPIF1<0，根據(jù)拉格朗日公式：SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<0代數(shù)精度的分析：若被積函數(shù)SKIPIF1<0是次數(shù)小于n的多項(xiàng)式函數(shù)，那么由其曲線(xiàn)上的n+1節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的n次多項(xiàng)式函數(shù)SKIPIF1<0即是被積函數(shù)SKIPIF1<0本身。則：插值型積分公式具有至少n次代數(shù)精度。解釋?zhuān)喝鬝KIPIF1<0是一條直線(xiàn)，那么過(guò)其曲線(xiàn)上3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造的拋物線(xiàn)SKIPIF1<0，其中必有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；同理，若SKIPIF1<0是一條拋物線(xiàn)，那么過(guò)其曲線(xiàn)上4個(gè)點(diǎn)構(gòu)造的3次多項(xiàng)式函數(shù)SKIPIF1<0，其中必有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。四．牛頓-柯特斯公式1.牛頓－柯特斯公式（等間距的插值型求積公式）把區(qū)間[a，b]分為n等份，步長(zhǎng)為hh＝（b－a）/n則n+1個(gè)點(diǎn)分別為：SKIPIF1<0。由這n＋1個(gè)點(diǎn)構(gòu)造的插值型求積公式為：SKIPIF1<0該公式稱(chēng)為牛頓－柯特斯公式，SKIPIF1<0稱(chēng)為柯特斯系數(shù)，SKIPIF1<0當(dāng)n＝1時(shí)（即2個(gè)點(diǎn)，1等份），有梯形公式（1次代數(shù)精度）：SKIPIF1<0當(dāng)n＝2時(shí)（即3個(gè)點(diǎn)，2等份），有公式辛普生公式（3次代數(shù)精度）：SKIPIF1<0當(dāng)n＝4時(shí)（即5個(gè)點(diǎn)，4等份），有柯特斯公式（5次代數(shù)精度）SKIPIF1<0SKIPIF1<02.復(fù)化求積公式1.復(fù)化梯形求積公式SKIPIF1<02.復(fù)化辛普生公式SKIPIF1<03.變步長(zhǎng)算法梯形公式的逐次分半算法含義：把區(qū)間[a，b]分成n等份計(jì)算其n個(gè)小梯形面積SKIPIF1<0；再把區(qū)間[a，b]分成2n等份計(jì)算其2n個(gè)小梯形面積SKIPIF1<0。預(yù)備知識(shí)：SKIPIF1<0則有：SKIPIF1<0先計(jì)算SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，再計(jì)算SKIPIF1<0，……直到SKIPIF1<0為止，則SKIPIF1<0就是答案。4.龍貝格求積公式復(fù)化積分的誤差公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0龍貝格公式推導(dǎo)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0公式SKIPIF1<0稱(chēng)為龍貝格公式，龍貝格公式不是牛頓－柯特斯公式。龍貝格公式求積算法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R25.高斯公式（1）.含義：積分公式的一般形式；SKIPIF1<0以前的節(jié)點(diǎn)是按等間距來(lái)選擇，為了獲得更高的代數(shù)精度節(jié)點(diǎn)也可以作為待定值。（2）.一點(diǎn)高斯公式設(shè)一點(diǎn)高斯公式的形式為：SKIPIF1<0其實(shí)SKIPIF1<0都是需要待定的值。根據(jù)代數(shù)精度概念，令SKIPIF1<0，使積分公式準(zhǔn)確成立，有SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故一點(diǎn)高斯公式為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即為中矩形公式，它具有1次代數(shù)精度。（3）.二點(diǎn)高斯公式設(shè)一點(diǎn)高斯公式的形式為：SKIPIF1<0其實(shí)SKIPIF1<0都是需要待定的值。根據(jù)代數(shù)精度概念，令SKIPIF1<0，使積分公式準(zhǔn)確成立，有SKIPIF1<0該方程組不是線(xiàn)性方程組，故其求解比較困難，最后解得：解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故二點(diǎn)高斯公式為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，它具有3次代數(shù)精度。n點(diǎn)高斯公式具有至少2n－1次代數(shù)精度。（4）.勒讓德多項(xiàng)式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。。。。。?？梢宰C明，勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)可以作為節(jié)點(diǎn)來(lái)構(gòu)造高斯公式：SKIPIF1<0（5）.三點(diǎn)高斯公式確定公式SKIPIF1<0中的6個(gè)參數(shù)。分析3次勒讓德多項(xiàng)式SKIPIF1<0則其零點(diǎn)為：SKIPIF1<0。令SKIPIF1<0，使積分公