專題04 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講精練+實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練）

專題04指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學(xué)考要求 1基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1考點(diǎn)精講講練 5考點(diǎn)一：指數(shù) 5考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念 6考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 7考點(diǎn)四：對(duì)數(shù) 9考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 10考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 10考點(diǎn)七：不同函數(shù)增長(zhǎng)差異 12考點(diǎn)八：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解 14考點(diǎn)九：函數(shù)模型的應(yīng)用 15實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練 17明晰學(xué)考要求1、了解指數(shù)冪的拓展過(guò)程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；2、了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念；3、能用描點(diǎn)法畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；4、理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；5、了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；6、能用描點(diǎn)法畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；；7、指導(dǎo)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（且）基礎(chǔ)知識(shí)梳理1、根式的概念及性質(zhì)（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開(kāi)方數(shù)．（2）性質(zhì)：①(且)；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．3、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①；②；③.4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)(，且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)底數(shù)圖象性質(zhì)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)閳D象過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有在定義域上為增函數(shù)在定義域上為減函數(shù)注意指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象和性質(zhì)與的取值有關(guān)，應(yīng)分與來(lái)研究5、對(duì)數(shù)的概念（1）對(duì)數(shù)：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).（2）牢記兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)，以10為底的對(duì)數(shù)；自然對(duì)數(shù)，以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對(duì)數(shù).（3）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：.6、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，知對(duì)數(shù)具有以下性質(zhì)：①負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)，即；②1的對(duì)數(shù)等于0，即；③底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即；④對(duì)數(shù)恒等式.（2）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么：①；②；③.（3）對(duì)數(shù)的換底公式對(duì)數(shù)的換底公式：.換底公式將底數(shù)不同的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時(shí)究竟換成什么為底，由已知條件來(lái)確定，一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù)或以為底的自然對(duì)數(shù).換底公式的變形及推廣：①；②；7、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義形如(，且)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過(guò)點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)8、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于一般函數(shù)，我們把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．注意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).9、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．10、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的根.注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).11、常見(jiàn)函數(shù)模型（1）指數(shù)函數(shù)模型（且，）（2）對(duì)數(shù)函數(shù)模型（且，）12、指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度先慢后快，指數(shù)爆炸先快后慢，增長(zhǎng)平緩介于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間,相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，圖象與軸接近平行隨x的增大，圖象與軸接近平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)一：指數(shù)【典型例題】例題1．（2022天津）已知，，則的值為（

）A． B．2 C．8 D．15例題2．（多選）（2024浙江）下列各式一定成立的是（

）A． B．C． D．例題3．（2023山西）．【即時(shí)演練】1．已知，，化簡(jiǎn)：．2．若代數(shù)式有意義，則．3．計(jì)算：(1)；(2)（，）.考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念【典型例題】例題1．（2024安徽）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A． B．C．或 D．，且例題2．（2023新疆）設(shè)函數(shù)（且），滿足.(1)求的值；(2)若，求使不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立的的取值范圍．例題3．（2022江蘇）已知定義在上的奇函數(shù)f（x）滿足：時(shí)，.(1)求的表達(dá)式；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.【即時(shí)演練】1．已知函數(shù)（且）是奇函數(shù)，則（

）A．2 B．3 C． D．42．已知指數(shù)函數(shù)，則的值為.3．已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)判斷并證明的單調(diào)性；(3)若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求的取值范圍．考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【典型例題】例題1．（2024北京）在區(qū)間上，的最大值是其最小值的倍，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．例題2．（2024云南）函數(shù)的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例題3．（2024浙江）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若對(duì)任意，，均有恒成立，則下列情形可能成立的是（

）A． B． C． D．例題4．（2023海南）已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；(3)若對(duì)于任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍例題5．（2020貴州）已知定義在上的函數(shù).（1）寫出的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，對(duì)所有，恒成立，求的取值范圍.【即時(shí)演練】1．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．2．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．3．函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為.4．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義加以證明；(3)若對(duì)任意的，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域．考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)【典型例題】例題1．（2024云南）已知.若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3例題2．（2024福建）若，，則等于（

）A． B． C． D．例題3．（2024湖北）已知，則.例題4．（2021江蘇）計(jì)算【即時(shí)演練】1．計(jì)算：（

）A．8 B． C． D．2．計(jì)算：.3．計(jì)算：.4．計(jì)算：．考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念【典型例題】例題1．（2024北京）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例題2．（多選）（2024浙江）若函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．定義域?yàn)?B．值域?yàn)镃．圖象過(guò)定點(diǎn) D．在定義域上單調(diào)遞增例題3．（2023云南）函數(shù)的定義域是（用區(qū)間表示）【即時(shí)演練】1．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．3．函數(shù)的定義域?yàn)椋键c(diǎn)六：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【典型例題】例題1．（2024北京）在下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．例題2．（2024湖北）如圖，是函數(shù)的圖象，是由經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的函數(shù)圖象，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式分別是（

）A．B．C．D．例題3．（2023吉林）已知，，，則（

）A． B．C． D．例題4．（2023遼寧）已知為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．求：(1)時(shí)，的解析式；(2)不等式的解集．例題5．（2024湖北）已知函數(shù)，且.(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；(2)對(duì)給定的非零常數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【即時(shí)演練】1．已知，，，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．3．已知且，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)．4．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．5．已知（，且），且．(1)求a的值及的定義域；(2)求在上的最小值．考點(diǎn)七：不同函數(shù)增長(zhǎng)差異【典型例題】例題1．（多選）已知函數(shù)，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．隨著的逐漸增大，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快于B．隨著的逐漸增大，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快于C．當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)速度一直快于D．當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)速度有時(shí)快于例題2．已知實(shí)數(shù)滿足.則下列關(guān)系式中可能成立的是.（填序號(hào)）①

②

③

④

⑤【即時(shí)演練】1．“紅豆生南國(guó)，春來(lái)發(fā)幾枝”，如圖給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t（月）與枝數(shù)y（枝）的散點(diǎn)圖，那么最適合擬合紅豆的枝數(shù)與生長(zhǎng)時(shí)間的關(guān)系的函數(shù)是（

）

A．指數(shù)函數(shù) B．對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2tC．冪函數(shù)y=t3 D．二次函數(shù)y=2t22．（1）（2）（3）分別是與在不同范圍內(nèi)的圖象，估算出使的的取值范圍是.（參考數(shù)據(jù)：，）考點(diǎn)八：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解【典型例題】例題1．（2022河北）已知函數(shù)，若，且，則（

）A． B． C． D．或例題2．（2024福建）已知x=1是函數(shù)的零點(diǎn)，則m為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題3．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求f1(2)求函數(shù)的零點(diǎn)．例題4．（2024福建）已知函數(shù)且．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【即時(shí)演練】1．若為函數(shù)的零點(diǎn)，則所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下部分對(duì)應(yīng)值表：123456136.115.610.9判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．已知函數(shù)(1)若a=2，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)九：函數(shù)模型的應(yīng)用【典型例題】例題1．（2024湖北）復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法，即把前一期的利息與本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息.按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為10000元，每期利率為，本利和為（單位：元），存期數(shù)為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．例題2．（2024浙江）有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表，則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是（）

234561.402.565.311121.30A． B．C． D．例題3．（2023甘肅）心理學(xué)家有時(shí)間用函數(shù)測(cè)定在時(shí)間（單位：min）內(nèi)能夠記憶的量，其中表示需要記憶的量，表示記憶率.假設(shè)一個(gè)學(xué)生需要記憶的量為200個(gè)單詞，此時(shí)表示在時(shí)間內(nèi)該生能夠記憶的單詞個(gè)數(shù).已知該生在5min內(nèi)能夠記憶20個(gè)單詞，則的值約為（，）（

）A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661例題4．（2024廣東）某城市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用電采用階梯電價(jià)的收費(fèi)方式，即每戶用電量不超過(guò)的部分按0.6元收費(fèi)，超過(guò)的部分，按1.2元收費(fèi).設(shè)某用戶的用電量為，對(duì)應(yīng)電費(fèi)為元.(1)請(qǐng)寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)某居民本月的用電量為，求此用戶本月應(yīng)繳納的電費(fèi).【即時(shí)演練】1．你見(jiàn)過(guò)古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹(shù)銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹(shù)千光照，花焰七枝開(kāi)”.煙花，雖然是沒(méi)有根的花，是虛幻的花，卻在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂，用其燦爛的一秒換來(lái)人們真心的喝彩，已知某種煙花距地面的高度h（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花爆裂的高度是（

）A．56.6米 B．57.6米C．58.6米 D．59.6米2．下列函數(shù)中，當(dāng)x充分大時(shí)，增長(zhǎng)速度最快的是（

）A． B． C． D．3．已知甲地下停車庫(kù)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：（1）停車不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)；（2）超過(guò)1小時(shí)且不超過(guò)3小時(shí)，收費(fèi)5元；（3）超過(guò)3小時(shí)且不超過(guò)6小時(shí)，收費(fèi)10元；（4）超過(guò)6小時(shí)且不超過(guò)9小時(shí)，收費(fèi)15元；（5）超過(guò)9小時(shí)且不超過(guò)12小時(shí)，收費(fèi)18元；（6）超過(guò)12小時(shí)且不超過(guò)24小時(shí)，收費(fèi)24元．小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫(kù)，若他在當(dāng)天18：30將車開(kāi)出車庫(kù)，則他需交的停車費(fèi)為．乙地下停車庫(kù)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每小時(shí)2元，不到1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)費(fèi)．若小林將車停入乙車庫(kù)（停車時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)24小時(shí)），要使得車停在乙車庫(kù)比甲車庫(kù)更優(yōu)惠，則小林停車時(shí)長(zhǎng)的最大值為．4．學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的研究調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)與聽(tīng)課時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象，當(dāng)時(shí)，圖象是二次函數(shù)的一部分，頂點(diǎn)為，聽(tīng)課時(shí)間為12分鐘與聽(tīng)課時(shí)間為8分鐘的的注意力指數(shù)都為78，聽(tīng)課時(shí)間為4分鐘的注意力指數(shù)為62；當(dāng)時(shí)，圖象是線段，其中．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí)，學(xué)習(xí)效果最佳，要使學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，教師安排核心內(nèi)容應(yīng)在什么時(shí)間段？實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練一、單選題1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是區(qū)間上的增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．設(shè)，下列計(jì)算中正確的是（

）A． B．C． D．3．已知，則.（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．25．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．6．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．某工程需要向一個(gè)容器內(nèi)源源不斷地注入某種液體，有三種方案可以選擇，這三種方案的注入量隨時(shí)間變化如下圖所示：

橫軸為時(shí)間（單位：小時(shí)），縱軸為注入量，根據(jù)以上信息，若使注入量最多，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．注入時(shí)間在小時(shí)以內(nèi)（含小時(shí)），采用方案一B．注