期末典例專練10含圓的不規(guī)則組合陰影圖形的面積“奧數(shù)思維訓(xùn)練版”-2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題人教版

20232024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列期末典例專練10：含圓的不規(guī)則、組合、陰影圖形的面積“奧數(shù)思維訓(xùn)練版”[]1．求圖中陰影部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】6cm2【分析】陰影部分的面積＝直徑3cm的半圓面積＋直徑4cm的半圓面積＋直角三角形的面積－直徑5cm的半圓面積，半圓的面積＝圓周率×半徑的平方÷2，三角形面積＝底×高÷2，據(jù)此列式計(jì)算。【詳解】3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋6－3.14×2.52÷2＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6－3.14×6.25÷2＝3.5325＋6.28＋6－9.8125＝6（cm2）圖中陰影部分的面積是6cm2。2．求涂色部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）

【答案】30.5cm2【分析】

如上圖，空白1的面積是長(zhǎng)方形面積減半徑為6的圓的面積的；涂色部分面積是半徑為8厘米圓的面積的減去空白1的面積。長(zhǎng)方形面積＝長(zhǎng)×寬，圓的面積＝半徑×半徑×3.14，將數(shù)值代入計(jì)算即可?！驹斀狻靠瞻?的面積：6×8－3.14×62÷4＝48－28.26＝19.74（cm2）涂色部分的面積：3.14×82÷4－19.74＝50.24－19.74＝30.5（cm2）【點(diǎn)睛】本題考查了圓的面積與長(zhǎng)方形面積的應(yīng)用。將不規(guī)則的空白1面積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形面積減圓面積的，是解答本題的關(guān)鍵。3．下圖中，底邊和高都是6厘米的等腰三角形，分別以高的長(zhǎng)為直徑畫圓，以底的一半長(zhǎng)為直徑畫兩個(gè)半圓，求陰影部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】17.325平方厘米【分析】由題意可知：陰影部分的面積＝大圓的面積＋小半圓的面積×2（小圓的面積）－三角形的面積，大圓的直徑＝6厘米，兩個(gè)小圓的直徑之和也是6厘米，三角形的底和高都是6厘米，據(jù)此代入數(shù)據(jù)即可求解。【詳解】根據(jù)分析可得：3.14×（6÷2）2＋3.14×（6÷2÷2）2－6×6×＝3.14×32＋3.14×1.52－18＝3.14×9＋3.14×2.25－18＝28.26＋7.065－18＝17.325（平方厘米）所以，陰影部分的面積是17.325平方厘米。4．如下圖，小半圓的直徑是4cm，求陰影部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】25.12cm2【分析】陰影部分的面積可以用大圓的面積減去4個(gè)小半圓的面積，小半圓的半徑是2，大圓的半徑是4，根據(jù)面積公式計(jì)算即可。【詳解】（cm）（cm2）5．求下面正方形中陰影部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】2.28cm2【分析】將陰影部分分成相等的兩部分，根據(jù)正方形和圓的性質(zhì)，我們可以知道1、2、3部分面積完全相等。求陰影部分的面積就是求1、3部分的面積和。陰影部分的面積＝直徑為4cm的半圓面積－底為4cm、高為2cm的三角形面積【詳解】3.14×（4÷2）2÷2＝12.56÷2＝6.28（cm2）4×（4÷2）÷2＝4×2÷2＝4（cm2）6.28－4＝2.28（cm2）【點(diǎn)睛】本題考查求陰影部分的面積，注意圖形的轉(zhuǎn)換。圓的面積：S＝πr2，三角形面積＝底×高÷2。6．如圖，從這張三角形紙上剪下3個(gè)扇形。這3個(gè)扇形的面積之和是多少？（單位：cm）（π取3.14）【答案】157平方厘米【分析】從圖中得知：此三角形為等腰直角三角形，所以把這3個(gè)扇形拼在一起，能得到半徑為10厘米的半圓，由此得出這3個(gè)扇形的面積和是半徑為10厘米的半圓的面積；所以利用圓的面積公式S＝πr2進(jìn)行解答?！驹斀狻?.14×102÷2＝3.14×100÷2＝157（平方厘米）7．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)E在BC上，四邊形EBGF也是正方形，邊長(zhǎng)為2cm，以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧AC，連接AF，CF，求圖中陰影部分面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】28.26平方厘米【分析】陰影部分的面積等于四分之一圓的面積加上梯形FGBC的面積，再減去三角形AFG的面積，據(jù)此列式計(jì)算出陰影部分的面積即可?！驹斀狻?.14×62÷4＋（2＋6）×2÷2－2×（2＋6）÷2＝28.26＋8－8＝28.26（平方厘米）8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6厘米，以CD為直徑作圓，點(diǎn)E為半圓周上的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，求陰影部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】18.63平方厘米【分析】如圖：連接BE，三角形ABE的底AB長(zhǎng)6cm，高是正方形的邊長(zhǎng)加上圓的半徑長(zhǎng)，半徑長(zhǎng)等于正方形邊長(zhǎng)的一半，即6＋3＝9cm，根據(jù)三角形的面積公式可以得出：三角形ABE的面積：6×9÷2＝27cm2；三角形BFE的底是正方形邊長(zhǎng)BC的一半3cm，高是圓的半徑3cm，三角形BFE的面積：3×3÷2＝4.5cm2；四邊形ABCD的面積：6×6＝36cm2，半圓DCE的面積：3.14×3×3÷2＝14.13cm2；陰影部分面積＝四邊形ABCD的面積＋半圓DCE的面積－三角形ABE的面積－三角形BFE的面積。由此計(jì)算即可?！驹斀狻窟B接BE，三角形ABE的面積：6×（6＋6÷2）÷2＝6×9÷2＝27（平方厘米），三角形BFE的面積：（6÷2）×（6÷2）÷2＝3×3÷2＝4.5（平方厘米），四邊形ABCD的面積：6×6＝36（平方厘米），半圓DCE的面積：3.14×（6÷2）×（6÷2）÷2＝3.14×3×3÷2＝28.26÷2＝14.13（平方厘米）36＋14.13－27－4.5＝50.13－27－4.5＝23.13－4.5＝18.63（平方厘米）9．如圖，O為圓心，AB＝BC＝8厘米，求陰影部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】20.56平方厘米【分析】如圖，將陰影部分進(jìn)行拆分，先計(jì)算弓形面積，再計(jì)算三角形面積，相加的陰影部分的面積。【詳解】如圖所示，弓形面積可以用圓的面積減去三角形面積，右圖三角形面積直接利用底和高來計(jì)算；（厘米）（平方厘米）10．求下圖中陰影部分面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】257【分析】圖中圓的面積減去菱形的面積能得到四周四個(gè)陰影部分的面積，有2個(gè)陰影部分在平行四邊形內(nèi)部，所以求出的面積除以2，再加上平行四邊形面積減去菱形面積即可求出陰影部分面積?！驹斀狻繄A內(nèi)部陰影部分面積的：3.14×－20×20÷2＝3.14×100－200＝114114÷2＝57平行四邊形內(nèi)部陰影部分面積：20×20－20×20÷2＝400－200＝200陰影部分面積：200＋57＝257故陰影部分的面積為257?！军c(diǎn)睛】本題主要考查圓的面積，同時(shí)要注意平行四邊形中的陰影部分面積包含了2個(gè)圓四周的陰影部分面積。11．求圖中陰影部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】28.5平方厘米【分析】我們可以把空白部分對(duì)角線用虛線連接，這時(shí)虛線的長(zhǎng)度剛好等于圓的半徑。兩條虛線把空白面積分成了4個(gè)等腰直角三角形。可以通過三角形的面積公式求出一個(gè)三角形的面積再乘4，即可求出空白部分的面積。最后用圓的面積減去空白部分的面積即可求出答案。【詳解】作兩條對(duì)角線的輔助線。由圖可知：虛線的長(zhǎng)度＝圓的半徑＝10厘米，虛線一半的長(zhǎng)度剛好等于是三角形的底和高：10÷2＝5（厘米）。所以三角形的面積：5×5÷2＝25÷2＝12.5（平方厘米）4個(gè)三角形的面積：12.5×4＝50（平方厘米）；圓的面積：×（3.14×102）＝×（3.14×100）＝×314＝78.5（平方厘米）陰影部分面積：78.5－50＝28.5（平方厘米）【點(diǎn)睛】此題考查的是陰影部分面積的題目，關(guān)鍵作輔助線變成四個(gè)等腰直角三角形。12．如圖，△ABC是等腰直角三角形，以直角邊AB為直徑作半圓，與斜邊AC交于D，且AB=20厘米，求陰影部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】100平方厘米【詳解】試題分析：如圖所示，連接BD，則圖中陰影①和空白②的面積相等，陰影不部分就成了三角形ABC的一半，從而可以求出其面積．解：陰影部分的面積：20×20÷2÷2，=400÷2÷2，=100（平方厘米）；答：陰影部分的面積是100平方厘米．點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，將陰影部分轉(zhuǎn)化到三角形中，即可得解．13．如圖，已知圖中陰部分的面積是57平方厘米，請(qǐng)求出這個(gè)正方形ABCD的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】400平方厘米【詳解】試題分析：根據(jù)題意和圖形可知，陰影部分是由以正方形的邊長(zhǎng)為直徑的兩個(gè)半圓經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的，因此，設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2x（因?yàn)橐婕暗角髨A的面積，所以將圓的半徑看作為x，則正方形的邊長(zhǎng)為2x．），兩個(gè)半圓的面積減去兩個(gè)陰影部分的面積=正方形面積的一半，可以將陰影部分的面積平均分成兩半，分別旋轉(zhuǎn)移動(dòng)到如圖的位置，列方程求出半圓的半徑；再求出正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形的面積公式解答即可．解：設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2x（因?yàn)橐婕暗角髨A的面積，所以將圓的半徑看作為x，則正方形的邊長(zhǎng)為2x．），兩個(gè)半圓的面積減去兩個(gè)陰影部分的面積=正方形面積的一半．可以將陰影部分的面積平均分成兩半，分別旋轉(zhuǎn)移動(dòng)到如圖的位置．則：3.14×x×x﹣57×2=2x×2x÷2，3.14×x2﹣114=2x2，3.14x2﹣2x2=114，1.14x2=114，x2=100，x=10；2x=2×10=20，則正方形的邊長(zhǎng)為20厘米，這個(gè)正方形的面積是：20×20=400（平方厘米）；答：這個(gè)正方形的面積是400平方厘米．點(diǎn)評(píng)：此題解答關(guān)鍵是運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”，將陰影部分看成是由以正方形的邊長(zhǎng)為直徑的兩個(gè)半圓經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的圖形，求出正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)正方形的面積公式解答．14．計(jì)算下面陰影部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】25.12平方厘米；28.26平方厘米?！痉治觥浚?）把三個(gè)陰影部分進(jìn)行拼接，剛才可以得到一個(gè)半圓，通過圓的面積除以2即可得到解答；（2）將第二個(gè)正方形進(jìn)行上下翻轉(zhuǎn)，這時(shí)兩個(gè)陰影部分的面積剛好對(duì)稱，用大半圓的面積減去一個(gè)小圓的面積即可解答。【詳解】（1）3.14×4×4÷2＝3.14×16÷2＝3.14×8＝25.12（平方厘米）；（2）3.14×6×6÷2－3.14×（6÷2）×（6÷2）＝3.14×36÷2－3.14×3×3＝3.14×18－3.14×9＝3.14×（18－9）＝3.14×9＝28.26（平方厘米）【點(diǎn)睛】此題的考查的是求陰影部分面積，關(guān)鍵在于對(duì)陰影部分面積的拼接和翻轉(zhuǎn)的方法。15．求陰影部分面積。（單位：cm）（π取3.14）（1）

（2）【答案】（1）16平方厘米；（2）22平方厘米【分析】（1）將右半部分的不規(guī)則陰影部分繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°然后再平移，陰影部分的面積相當(dāng)于底是8厘米、高是4厘米的平行四邊形面積的一半，根據(jù)平行四邊形的面積公式：平行四邊形的面積＝底×高，用8×（8÷2）÷2即可求出陰影部分的面積。（2）將左上部分陰影填補(bǔ)到中間空白處，那么陰影部分的面積恰好是上底為4，下底為7，高為4的梯形的面積，梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2?！驹斀狻浚?）8×4÷2＝32÷2＝16（平方厘米）陰影部分的面積是16平方厘米。（2）（4＋7）×4÷2＝44÷2＝22（平方厘米）陰影部分的面積是22平方厘米。16．計(jì)算陰影部分的周長(zhǎng)和面積。（單位：cm）（π取3.14）（1）（2）【答案】（1）周長(zhǎng)：47.lcm面積：78.5cm2（2）周長(zhǎng)：22.28cm面積：12.56cm2【分析】（1）根據(jù)上圖可知，陰影部分的周長(zhǎng)＝半徑為10厘米的圓的周長(zhǎng)的＋直徑為10厘米的圓的周長(zhǎng)；通過旋轉(zhuǎn)后得出陰影部分的面積正好是半徑為10厘米的圓的面積的；（2）通過觀察上圖發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)陰影部分都是半徑為4厘米的扇形并且圓心角的和180°－90°＝90°，90°÷360°＝，那么它們的周長(zhǎng)的和是半徑為4厘米圓周長(zhǎng)的＋4個(gè)半徑；面積和為：整圓面積的，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）周長(zhǎng)：3.14×10×2×＋3.14×10＝31.4×2×＋31.4＝15.7＋31.4＝47.l（cm）面積：3.14×102×＝314×＝78.5（cm2）（2）周長(zhǎng)：3.14×4×2×＋4×4＝12.56×2×＋16＝6.28＋16＝22.28（cm）面積：3.14×42×＝50.24×＝12.56（cm2）【點(diǎn)睛】是明確弄清楚陰影部分的面積可以由哪些圖形的面積和或差求解。17．求下面圖形中涂色部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】25.12平方厘米；48平方厘米【分析】圓環(huán)面積＝大圓面積－小圓面積，根據(jù)S＝πr2，將數(shù)值代入計(jì)算；將原圖割補(bǔ)后如圖所示：涂色部分的面積＝梯形的面積，根據(jù)梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2，將數(shù)值代入計(jì)算即可?！驹斀狻繄A環(huán)面積：3.14×（6÷2）2－3.14×（2÷2）2＝3.14×9－3.14＝25.12（平方厘米）梯形涂色面積：（6＋10）×6÷2＝16×6÷2＝48（平方厘米）18．求下面圖形中涂色部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】39.25cm2；36cm2【分析】第一個(gè)圖形的陰影部分面積，觀察圖形可知，陰影部分面積就是直徑為5厘米的圓的面積的一半×4，根據(jù)圓的面積公式：π×半徑2，代入數(shù)據(jù)即可解答；第二個(gè)陰影部分面積，觀察圖形可知，用底邊為12cm，高為12cm的三角形面積減去底邊為12cm，高為6cm三角形面積，根據(jù)三角形面積公式：底×高÷2，即可解答?！驹斀狻?.14×（10÷2÷2）2÷2×4＝3.14×2.52÷2×4＝3.14×6.25÷2×4＝19.625÷2×4＝9.8125×4＝39.25（cm2）12×12÷2－12×（12÷2）÷2＝144÷2－12×6÷2＝72－72÷2＝72－36＝36（cm2）19．求下面陰影部分的面積。（單位：cm）（π取3.14）【答案】18.84cm2；15cm2【分析】（1）算出直徑是（6＋4）厘米的半圓的面積分別減去直徑是6厘米和4厘米的半圓的面積就是陰影部分的面積，根據(jù)圓的面積＝π，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；（2）算出兩個(gè)底是5厘米，高是5厘米的三角形的面積，再減去兩個(gè)底是5厘米，高是2厘米的三角形的面積