862直線與平面垂直的性質(zhì)定理（第2課時(shí)）（精講）（原卷版）

8.6.2直線與平面垂直的性質(zhì)定理（第2課時(shí)）目錄一、必備知識(shí)分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:利用直線與平面垂直證明線線平行題型2：利用直線與平面垂直證明線線垂直題型3：直線與平面垂直的性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用題型3：空間中的距離問(wèn)題角度1：點(diǎn)面距角度2：線面距角度3：面面距題型4：直線與平面所成角探索性問(wèn)題三、高考（模擬）題體驗(yàn)一、必備知識(shí)分層透析知識(shí)點(diǎn)1：直線與平面垂直的性質(zhì)定理(定義)（1）定義轉(zhuǎn)化性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，那么直線垂直于平面內(nèi)所有直線.（2）符合語(yǔ)言：，.（3）圖形語(yǔ)言：（4）定理應(yīng)用：線面垂直線線垂直.知識(shí)點(diǎn)2：直線與平面垂直的性質(zhì)定理（1）性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.（2）符合語(yǔ)言：，（3）圖形語(yǔ)言：（4）定理應(yīng)用：垂直與平行的轉(zhuǎn)換①線面垂直線線平行②作平行線知識(shí)點(diǎn)3：點(diǎn)面距、線面距、面面距（1）點(diǎn)到平面的距離過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.①圖形語(yǔ)言：如圖，線段的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離.②點(diǎn)面距的范圍：.③常用方法：等體積法（2）直線到平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.①圖形語(yǔ)言：線段的長(zhǎng)度就是直線到平面的距離.②當(dāng)直線與平面相交或時(shí)，直線到平面的距離為0.（3）平面到平面的距離如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.①圖形語(yǔ)言：線段的長(zhǎng)度就是平面到平面的距離(2)當(dāng)平與平相交時(shí)，平面到平面的距離是0.二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:利用直線與平面垂直證明線線平行典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線平面，直線平面，則直線與直線的位置關(guān)系為（

）A．異面 B．相交 C．平行 D．平行或異面例題2．（多選）（2022春·河北邯鄲·高二大名縣第一中學(xué)?？计谀┮阎?，，是三條直線，是一個(gè)平面，下列命題不正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點(diǎn)，滿足，，現(xiàn)將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：例題4．（2022春·四川南充·高二閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間幾何體中，，是全等的正三角形，平面平面，平面平面.(1)若，求證：；(2)證明：.同類題型演練1．（2022·四川·高三統(tǒng)考對(duì)口高考）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線．給出下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則．其中正確的命題是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點(diǎn)E，l⊥平面PCD．求證：l∥AE．4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，，，求證：．題型2：利用直線與平面垂直證明線線垂直典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如題圖，正方體中，為棱上一點(diǎn)．(1)試過(guò)點(diǎn)在平面上作直線，寫(xiě)出作法，并說(shuō)明理由；(2)若為棱中點(diǎn)，是棱中點(diǎn)，求異面直線與所成角的大?。}2．（2023秋·北京順義·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，，且，底面，為中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：平面例題3．（2023秋·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級(jí)中學(xué)校考期末）如圖所示，已知平面，，分別是，的中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求證：；例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知空間幾何體中，與均為等邊三角形，平面平面平面．求證：.例題5．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，，，點(diǎn)在棱上，平面平面.(1)證明：；(2)若平面，求三棱錐的體積.同類題型演練1．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面，，，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱CD．(1)求四棱錐P－ABCD的表面積；(2)求證：．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐EABCD中，EA=EB，AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD．(1)求證：AB⊥ED；(2)線段EA上是否存在點(diǎn)F，使DF//平面BCE？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，底面，，,，．證明：.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，、分別是、的中點(diǎn)，是的重心，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)．證明：.5．（2023·上海·高二專題練習(xí)）如圖，三棱柱中，是底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐．（1）求證：；（2）若異面直線與所成的角為，求三棱錐的體積．題型3：直線與平面垂直的性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)都等于1的三棱錐中，是上的一點(diǎn)，過(guò)作平行于棱和棱的截面，分別交，，于，，．(1)證明截面是矩形；(2)在的什么位置時(shí)，截面面積最大，說(shuō)明理由．例題2．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)在底面上的射影為棱的中點(diǎn)，且與底面所成角為，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn).(1)證明：；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.例題3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，三棱臺(tái)中，，，四邊形為等腰梯形，，平面平面.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，、分別是棱、的中點(diǎn).(1)證明：；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．同類題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．求證：(1)；(2)平面ABE．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐A-BCD中，且AD⊥DC，AC⊥CB，面ABD⊥面BCD，AD＝CD＝BC，E為AC的中點(diǎn)，H為BD的中點(diǎn).(1)求證：AD⊥BC；(2)在直線CH上確定一點(diǎn)F，使得AF∥面BDE，求AF與面BCD所成角的度數(shù).3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面底面，底面為平行四邊形，.(1)求證：；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是矩形，E為側(cè)棱的中點(diǎn)，側(cè)面是正三角形，且側(cè)面底面．(1)求證：平面；(2)當(dāng)為何值時(shí)，使得？題型3：空間中的距離問(wèn)題角度1：點(diǎn)面距典型例題例題1．（2023秋·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）校考期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┤鐖D，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是側(cè)面的中心，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)校考期末）在正四棱柱中，，，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)____.例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的高為分別為的中點(diǎn)，若平面，平面，平面相交于點(diǎn)，則到平面的距離為_(kāi)__________.例題5．（2023秋·河北唐山·高二唐山市第二中學(xué)校考期末）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．已知在鱉臑中，平面，．為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____．角度2：線面距典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，與底面所成角的大小為60°，則到底面的距離為（

）A． B．1 C．2 D．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則到平面的距離是________．例題3．（2023·上海·高二專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，直線到平面的距離為_(kāi)__________.例題4．（2023秋·重慶巫山·高二校考期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，的中點(diǎn)為.(1)求證：平面；(2)求直線到面的距離.例題5．（2023·上海·高二專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，且異面直線與所成的角等于，設(shè)；（1）求的值；（2）求直線到平面的距離.角度3：面面距典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用六個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六面體的棱長(zhǎng)為，則平面與平面間的距離為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是與的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面之間的距離.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面之間的距離．例題4．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，正方體中，.（1）求證：平面平面；（2）求兩平面與之間的距離.題型3同類題型演練1．（2022秋·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）若四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，且，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·上海黃浦·高二?？计谀┤鐖D，在三棱柱中，，，，側(cè)棱的長(zhǎng)為1，則該三棱柱的高等于________3．（2022秋·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，，E為的中點(diǎn)，則到平面EAC的距離為_(kāi)_______．4．（2022春·安徽安慶·高二安慶市第二中學(xué)?？计谀┠持袑W(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，對(duì)棱長(zhǎng)為3的正方體木塊進(jìn)行加工.如圖，學(xué)生需要分別過(guò)頂點(diǎn)A和對(duì)角線BD對(duì)正方體木塊進(jìn)行平面切割，兩個(gè)切割面與棱，，，分別交于點(diǎn)M，F(xiàn)，E，N，要求兩次切割所得到的截面平行，且，則兩個(gè)截面間的距離為_(kāi)____________.5．（2022秋·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方體中，為底面正方形的中心.(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面之間的距離.題型4：直線與平面所成角探索性問(wèn)題典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正三棱柱中，，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，當(dāng)與平面所成的角的正切值為時(shí)，求三棱錐的體積．例題2．（2022秋·上海浦東新·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的菱形所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)在底面上的射影是與的交點(diǎn)，已知，是等邊三角形.(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并說(shuō)明點(diǎn)此時(shí)所在的位置.例題3．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面，是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個(gè)側(cè)面是正三角形．(1)求證：；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使與面所成角為？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．同類題型演練1．（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）如圖，三棱錐中，，，．(1)AB上是否存在點(diǎn)Q，使得．若存在，求出點(diǎn)Q的位置并證明，若不存在，說(shuō)明理由；(2)若，求直線AB與平面PAC所成角的正弦值．2．（2022秋·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面ABC；(2)若E是棱AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求SC與平面SDE所成角的余弦值.3．（2022·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，的面積為，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，，且．(1)求證：平面平面．(2)E為線段上的點(diǎn)，若與面所成的角為，求的長(zhǎng)度．三、高考（模擬）題體驗(yàn)1．（2022·貴州貴陽(yáng)·貴陽(yáng)六中校考一模）在三棱柱中，底面，，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，，若截面分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為（

）A． B． C． D．2．（2022·上海