重難點(diǎn)專題01數(shù)列通項(xiàng)公式的12種常見求法-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練（人教A版2019選擇性）

重難點(diǎn)專題01數(shù)列通項(xiàng)公式的12種常見求法備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識(shí)歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：判斷或?qū)懗鰯?shù)列中的項(xiàng)；觀察法求通項(xiàng)公式；等差數(shù)列公式法求通項(xiàng)公式；等比數(shù)列公式法求通項(xiàng)公式；累加法求通項(xiàng)公式；累乘法求通項(xiàng)公式；遞推公式為與的關(guān)系式；構(gòu)造等比數(shù)列法求通項(xiàng)公式；構(gòu)造等差數(shù)列法求通項(xiàng)公式；倒數(shù)求通項(xiàng)公式；對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)公式；前n項(xiàng)積通項(xiàng)公式課堂知識(shí)小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識(shí)歸納求通項(xiàng)公式的方法：(1)觀察法：找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，然后猜想檢驗(yàn)，即得通項(xiàng)公式an；(2)利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,Sn－Sn－1))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1，,n≥2；))(3)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式；1、等差數(shù)列公式推論公式：a2.推論公式：an(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累積法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；(5)轉(zhuǎn)化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．等考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：判斷或?qū)懗鰯?shù)列中的項(xiàng)例1．（多選題）下列數(shù)中，是數(shù)列中的一項(xiàng)的是（

）A．90 B．29 C．30 D．23【答案】AC【詳解】因?yàn)楸貫榕紨?shù)，故排除B與D令，即，解得或（舍去）所以是的第9項(xiàng)，故A正確令，即，解得或（舍去）所以是的第項(xiàng)，故C正確故選：AC【方法技巧】必為偶數(shù)，故排除B與D，再分別令，看方程是否有正整數(shù)解即可【變式訓(xùn)練】1．若一數(shù)列為1，，，，…，則是這個(gè)數(shù)列的（

）．A．不在此數(shù)列中 B．第13項(xiàng) C．第14項(xiàng) D．第15項(xiàng)【答案】D【分析】根據(jù)給定的4項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式即可計(jì)算作答.【詳解】因，因此符合題意的一個(gè)通項(xiàng)公式為，由解得：，所以是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).故選：D2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為．則12是該數(shù)列的第（

）項(xiàng)．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用通項(xiàng)公式直接求解.【詳解】令，解得：（舍去）.故選：B3．?dāng)?shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系得出數(shù)列前幾項(xiàng)，歸納可知數(shù)列具有周期性，利用周期求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，，…，所以?shù)列是周期數(shù)列，周期為3，所以，所以.故選：A.考點(diǎn)2：觀察法求通項(xiàng)公式例2．寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)．(1)，，，；(2)，，，；(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．【分析】（1）（2）（3）（4）觀察給定的4項(xiàng)，結(jié)合數(shù)據(jù)特征寫出一個(gè)通項(xiàng)作答.解：（1）4個(gè)項(xiàng)都是分?jǐn)?shù)，它們的分子依次為，分母是正奇數(shù)，依次為，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（2）4個(gè)項(xiàng)按先負(fù)數(shù)，后正數(shù)，正負(fù)相間排列，其絕對(duì)值的分子依次為，分母比對(duì)應(yīng)分子多1，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（3）4個(gè)項(xiàng)是第1，3項(xiàng)均為3，第2，4項(xiàng)均為4，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.（4）4個(gè)項(xiàng)，所有項(xiàng)都是由數(shù)字6組成的正整數(shù)，其中6的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)一致，依次可寫為，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.【方法技巧】通過(guò)觀察找出規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式。【變式訓(xùn)練】1．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為______．【答案】【分析】先寫出,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為，從而可求2，0，2，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式.【詳解】解：,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為，故2，0，2，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故答案為:.2．將正奇數(shù)排列如下表，其中第i行第j個(gè)數(shù)表示，例如，若，則______．【答案】67【分析】找到每行最后一個(gè)數(shù)的規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式，確定位于第行，再確定其所在的列數(shù)，從而求出答案.【詳解】每行最后一個(gè)數(shù)的排列為1,5,11,19,29，第行最后一個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式為，其中，，所以位于第行，且，所以位于第行，第22列，所以.故答案為：673．?dāng)?shù)列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一個(gè)通項(xiàng)公式______．【答案】【分析】根據(jù)規(guī)律猜想求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列0.1，0.01，0.001，0.0001，…，所以，其通項(xiàng)公式可以為：.故答案為：考點(diǎn)3：等差數(shù)列公式法求通項(xiàng)公式例3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，列方程組求出即得解.【詳解】解：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題得，所以.所以數(shù)列的通項(xiàng)為.故選：A【方法技巧】等差數(shù)列公式推論公式：a【變式訓(xùn)練】1．在數(shù)列中，，則等于___________.【答案】2012【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義推知數(shù)列的首項(xiàng)是1，公差是1的等差數(shù)列，即可得到通項(xiàng)公式并解答.【詳解】由，得,又，數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，故.故答案為：2012.2．若數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，則___________，___________.【答案】

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【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求出，進(jìn)而求出和.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，所以，故.故答案為：；.考點(diǎn)4：等比數(shù)列公式法求通項(xiàng)公式例4．在數(shù)列中，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知確定數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得結(jié)論．【詳解】∵，∴，．是公比為的等比數(shù)列，∴．故選：B．【方法技巧】推論公式：an【變式訓(xùn)練】1．若一個(gè)等比數(shù)列的公比為3，且首項(xiàng)為2，則該數(shù)列的第4項(xiàng)為（

）A．18 B．36 C．54 D．162【答案】C【分析】由已知利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則它的通項(xiàng)，由已知可得：，，則該數(shù)列的第4項(xiàng)．故選：C．2．正項(xiàng)數(shù)列滿足，則=_________.【答案】【分析】先對(duì)變形得到，設(shè)，求出，得到為等比數(shù)列，求出答案.【詳解】因?yàn)椋?，即，設(shè)，則，解得：或，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，故，所以為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，所以故答案為：考點(diǎn)5：累加法求通項(xiàng)公式例5．在數(shù)列中，，，則（

）．A．659 B．661 C．663 D．665【答案】D【分析】由累加法和等差數(shù)列的前項(xiàng)和可求出，代入化簡(jiǎn)即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，，…，，所以，故．故選：D.【方法技巧】累加法：如an＋1－an＝f(n)【變式訓(xùn)練】1．已知數(shù)列，，且，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式________；【答案】.【分析】由得，利用累加法求即可.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，，……，，相加得，所以，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.故答案為：.2．已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【分析】由已知條件可得，再由遞推及可得，最后再檢驗(yàn)即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，…，所以累加可得．又，所以，所以．?jīng)檢驗(yàn)，，也符合上式，所以．考點(diǎn)6：累乘法求通項(xiàng)公式例6．在數(shù)列中，（n∈N*），且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.【答案】【分析】由，得，再利用累乘法即可得出答案.【詳解】解：由，得，則，，，，累乘得，所以.故答案為：.【方法技巧】累積法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；【變式訓(xùn)練】1．設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式_________【答案】【分析】由已知條件化簡(jiǎn)可得，再由遞推累乘法可得，最后檢驗(yàn)是否符合即可.【詳解】依題意，，所以，又因?yàn)椋?，所以，，所以，?jīng)檢驗(yàn)，也符合上式.所以.綜上所述，.故答案為：.2．?dāng)?shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)________________.【答案】【分析】根據(jù)，，得到，然后利用累加法求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，所以，，，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)，故答案為：考點(diǎn)7：遞推公式為與的關(guān)系式。例7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？【答案】是等差數(shù)列，首項(xiàng)和公差分別是和2.【分析】利用得出通項(xiàng)，最后不忘檢驗(yàn)是否適合通項(xiàng)即可.【詳解】解:①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),由得又，滿足，所以此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.因?yàn)椋源藬?shù)列是首項(xiàng)為,公差為2的等差數(shù)列.【方法技巧】解法：這種類型一般利用【變式訓(xùn)練】1．已知數(shù)列滿足條件，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【分析】由即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，兩式相減得：，化簡(jiǎn)得：，不符合.所以故答案為：2．已知數(shù)列滿足（且），且，則___________．【答案】【分析】利用項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，，∴，∴，即又，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴.故答案為：.3．在數(shù)列中，點(diǎn)在直線上，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．求證：數(shù)列是等比數(shù)列．【答案】證明見解析【分析】利用得到bn＝bn－1，再利用等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列是等比數(shù)列.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)(bn，Tn)在直線y＝－x＋1上，所以Tn＝－bn＋1①.所以Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)②.①②兩式相減，得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)．所以bn＝bn－1，所以bn＝bn－1.由①，令n＝1，得b1＝－b1＋1，所以b1＝.所以數(shù)列{bn}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．考點(diǎn)8：構(gòu)造等比數(shù)列法求通項(xiàng)公式例8．已知數(shù)列，，求數(shù)列【分析】（1）由題設(shè)，根據(jù)等比數(shù)列的定義寫出的通項(xiàng)公式，解：(1)由題設(shè)，而，所以是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，則，所以，【方法技巧】(其中p，q均為常數(shù)，且)?！咀兪接?xùn)練】1．已知數(shù)列中，，，則通項(xiàng)公式____________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：.2．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則___________.【答案】【分析】化簡(jiǎn)，判斷出為等比數(shù)列，從而計(jì)算出.【詳解】由得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：考點(diǎn)9：構(gòu)造等差數(shù)列法求通項(xiàng)公式例9．?dāng)?shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為___________.【答案】．【分析】已知式兩邊同除以，構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論．【詳解】∵，所以，即，∴是等差數(shù)列，而，所以，所以．故答案為：．【方法技巧】【變式訓(xùn)練】1．已知數(shù)列滿足，，則_______.【答案】50【分析】令，則是常數(shù)列，進(jìn)而求出，故可求得，代入即可求得.【詳解】根據(jù)題意，令，得因?yàn)椋?，又，所以是首?xiàng)為的常數(shù)列，故，即，故，所以.故答案為：50.2.已知數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：由，可得=1，則數(shù)列是首項(xiàng)為=1，公差為1的等差數(shù)列，則=，即；考點(diǎn)10：倒數(shù)求通項(xiàng)公式例10．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列__________【答案】【分析】由兩邊取倒數(shù)，即可得到數(shù)列是等差數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式，即可得解；【詳解】解：由兩邊取倒數(shù)可得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，所以，所以；故答案為：【方法技巧】一般地形如、等形式的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法將其變形為我們熟悉的形式來(lái)求通項(xiàng)公式?！咀兪接?xùn)練】1．?dāng)?shù)列中，，，則是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)（

）A．100項(xiàng) B．101項(xiàng) C．102項(xiàng) D．103項(xiàng)【答案】A【解析】由條件可得，則，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，令，求出值即可.【詳解】解：由，得，則，，令，得.故選：A.2.（2022·湖北·高三三模）已知數(shù)列滿足，（）.求證數(shù)列為等差數(shù)列；【解析】(1)由已知可得，即，即，是等差數(shù)列.考點(diǎn)11：對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)公式例11.若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁.解析：∵=3且（n是正整數(shù)）∴兩邊取對(duì)數(shù)的lgan+1=2lgan∴l(xiāng)gan+1/lgan=2∴數(shù)列｛lgan｝是以lg3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列∴l(xiāng)gan=lg3×2n1考點(diǎn)12：前n項(xiàng)積通項(xiàng)公式例12．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相除得故答案為：【方法技巧】由已知可得，進(jìn)而計(jì)算即可得出結(jié)果.【變式訓(xùn)練】1.（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)與的等式，求得的通項(xiàng)公式即得解.【詳解】則，代入，化簡(jiǎn)得：，則.故選:C.2.（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B【解析】【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問(wèn)題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié)求通項(xiàng)公式的方法：(1)觀察法：找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，然后猜想檢驗(yàn)，即得通項(xiàng)公式an；(2)利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,Sn－Sn－1))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1，,n≥2；))(3)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式；1、等差數(shù)列公式推論公式：a2.推論公式：an(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累積法，如eq\f(an＋1,an)＝f(n)；(5)轉(zhuǎn)化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．等鞏固提升鞏固提升一、單選題1．在等比數(shù)列中，已知前n項(xiàng)和，則a的值為（

）A．1 B．1 C．2 D．2【答案】B【分析】利用成等比數(shù)列列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】，由于是等比數(shù)列，所以，即.故選：B2．?dāng)?shù)列3，5，9，17，33，…的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由規(guī)律即可寫出通項(xiàng)公式.【詳解】由數(shù)列3，5，9，17，33，…的前5項(xiàng)可知，每一項(xiàng)都滿足．故選：B.3．已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（

）A．第1011項(xiàng) B．第1012項(xiàng) C．第1013項(xiàng) D．第1014項(xiàng)【答案】B【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列的通項(xiàng)，再令，解之即可得解.【詳解】解：由數(shù)列，可得，令，解得，所以是這個(gè)數(shù)列的第1012項(xiàng).故選：B.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用與的關(guān)系求出即可.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴（）.當(dāng)時(shí)，也適合上式，.故選：A.5．已知數(shù)列為遞增數(shù)列，前項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可求，要使為遞增數(shù)列只需滿足即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故為遞增數(shù)列只需滿足，即故選：B6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)作差可得，再由，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故選：A7．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知向量，，若，且，則對(duì)于任意的，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到，再根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，?dāng)時(shí)，又，所以，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以，，又，故A、B錯(cuò)誤；又，所以，即，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：D8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的關(guān)系求出的通項(xiàng)公式，繼而求出的通項(xiàng)公式，再用裂項(xiàng)相消法求出，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列中，，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以的取值范圍為．故選：A．二、多選題9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由題，由通項(xiàng)求出至，再由定義求出即可判斷【詳解】由題，，故A錯(cuò)；，故B對(duì)；，故C對(duì)；，故D錯(cuò).故選：BC10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商業(yè)功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三次有6個(gè)球，…，以此類推.設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（