61分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（基礎(chǔ)知識基本題型）（含解析）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教A版2019選擇性）

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（基礎(chǔ)知識+基本題型）知識點一分類加法計數(shù)原理1．概念：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．2．推廣：完成一件事有類不同的方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法……在第類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．提示（1）分類加法計數(shù)原理中的“完成一件事情有兩類不同方案”，是指完成這件事的所有方法可以分成兩類，即任何一類中的任何一種方法都可以完成這件事，兩類中沒有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類中．（2）對問題進行“分類”時的思路首先，分類時要根據(jù)問題的特點確定一個分類標(biāo)準(zhǔn)．一般地，標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同．其次，分類時要注意滿足一個基本要求：完成這件事的任何一種方法必須屬于且只能屬于某一類方案．簡單地說，就是應(yīng)用分類加法計數(shù)原理時要做到“不重不漏”．知識點二分步乘法計數(shù)原理1．概念：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．2．推廣：完成一件事需要個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法……做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．提示（1）分步乘法計數(shù)原理中的“完成一件事需要兩個步驟”，是指完成這件事的任何一種方法都要分成兩個步驟，在每一個步驟中任取一種方法，然后相繼完成這兩個步驟就能完成這件事，即各個步驟是相互依存的，每個步驟都要做完才能完成這件事，這就是說，每個步驟都不足以完成這件事，兩個步驟彼此間也不能有重復(fù)和遺漏．（2）對問題進行“分步”時的思路：分步時，要根據(jù)問題的特點確定分步標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)不同，分成的步驟數(shù)也會不同．一個合理的分步應(yīng)滿足：①完成這件事必須且只需連續(xù)做完所分步驟，即分別從各個步驟中選一種完成該步驟的方法，將各步驟方法依次串聯(lián)在一起就得到完成這件事的一種方法；②完成任何一個步驟可選用的方法數(shù)與其他步驟選用的方法無關(guān)．簡單地說，就是應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時要做到“步驟完整”．知識點三分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1．聯(lián)系分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題，它們都是把一個原始事件分解成若干個事件來完成．2．區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事，共有類辦法，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事，共分步驟，關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法都能獨立第完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的都是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步都只是中間過程，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步就不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復(fù)知識點四應(yīng)用兩個計數(shù)原理解應(yīng)用題的方法1．枚舉法枚舉法就是指完成一件事的方法種樹有限，可以先一一列舉出來，再一種一種地數(shù)，進而確定完成這件事共有多少種方法．有些列式困難或數(shù)目較少的問題都可以用此種方法．列表和畫樹形圖是枚舉法的常用手段．2．字典排序法字典排序法就是把所有的字母分前后，先排前面的字母，前面的字母排完后，再依次排后面的字母，最后的字母排完，則排列結(jié)束．利用字典排序法并結(jié)合分布乘法計數(shù)原理可以解決與排列順序有關(guān)的計數(shù)問題，利用字典排序法還可以把這些排列不重不漏地一一列舉出來．3．模型法模型法就是通過構(gòu)造圖形，利用形象、直觀的圖形幫助我們分析解決問題的方法．知識點五分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前明確問題中的“完成一件事”指的是什么，再仔細分析需要分類還是分步，依據(jù)是能否獨立完成一件事．(1)分類要做到“補充不漏”．分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”．完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理．把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．提示（1）有些計數(shù)問題既需要進行“分類”，又需要進行“分步”，此時就要注意綜合運用兩個計數(shù)原理解決這類問題．解決這類問題時，首先要明確是先“分類”后“分步”，還是先“分步”后“分類”；其次在“分類”和“分步”的過程中，均要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)和分步程序．(2)在急需要分類又需要分步的題目中，可以先根據(jù)對題意的理解，合理地畫出示意圖（如樹形圖）或列出表格，使問題的實際能直觀的表示出來．考點一分類加法計數(shù)原理 例1.如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個．【思路點撥】首要問題是搞清與正八邊形有公共邊的三角形有幾類?！窘馕觥堪雅c正八邊形有公共邊的三角形分為兩類:第一類,有一條公共邊的三角形共有(個)；第二類,有兩條公共邊的三角形共有.由分類加法計數(shù)原理知,共有(個).【總結(jié)升華】應(yīng)用分類計數(shù)原理，應(yīng)注意：①分類時，要按一個標(biāo)準(zhǔn)來分，最忌采用雙重或多重標(biāo)準(zhǔn)分類；②每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務(wù)；它的起點、終點就是完成這件事情的開始和結(jié)束；考點二、分步乘法計數(shù)原理例2.體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，某學(xué)生到該體育場練跑步，則他進出門的方案有（）A．12種B．7種C．24種D．49種【思路點撥】首先弄明白完成一次進出門需分兩步走，先進再出?！窘馕觥垮e解：學(xué)生進出體育場大門需分兩類，一類從北邊的4個門進，一類從南側(cè)的3個門進，由分類計數(shù)原理，共有7種方案.∴選B錯因:沒有審清題意．本題不僅要考慮從哪個門進，還需考慮從哪個門出，應(yīng)該用分步計數(shù)原理去解題.正解：學(xué)生進門有7種選擇，同樣出門也有7種選擇，由分步計數(shù)原理，該學(xué)生的進出門方案有7×7＝49種.∴應(yīng)選D．【總結(jié)升華】解決這類問題的關(guān)鍵是搞清分類還是分步．用分步乘法計數(shù)原理解決問題時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個分步的可行標(biāo)準(zhǔn)；其次還要注意完成這件事情必須且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事情才算圓滿完成，這時才能使用分步乘法計數(shù)原理．同時，要弄清每一步驟中完成本步驟的方法種數(shù)．考點三、兩個原理的對比應(yīng)用例3.一個口袋內(nèi)裝有5個小球，另一個口袋內(nèi)裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同．（1）從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？（2）從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？【思路點撥】欲完成從兩個口袋內(nèi)任取一個小球這件事，可有兩類辦法：從第一個口袋內(nèi)取，或從第二個口袋內(nèi)取，都能完成這件事，所以第（1）題可用分類加法計數(shù)原理來解．欲完成從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，需分兩個步驟：第一步，在第一個口袋內(nèi)任取1個小球；第二步，在第二個口袋內(nèi)任取1個小球，兩個步驟都完成了這件事就完成了，因此第（2）題用分步乘法計數(shù)原理．【解析】（1）從兩個口袋內(nèi)i任取1個小球，有兩類辦法：第一類辦法是從第一個口袋內(nèi)任取1個小球，可以從5個小球中任取1個，有5種方法；第二類辦法是從第二個口袋內(nèi)任取1個小球，可以從4個小球中任取1個，有4種方激根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法有N=5+4=9（種）．（2）從兩個口袋內(nèi)各取1個小球，可以分成兩個步驟來完成：第一步，從第一個口袋內(nèi)取1個小球，有5種方法；第二步，從第二個口袋內(nèi)取1個小球，有4種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的取法有N=5×4=20（種）．【總結(jié)升華】在用兩個原理解決問題時，一定要分清完成這件事，是有，l類辦法還是需分成n個步驟．應(yīng)用分類加法計數(shù)原理必須要求各類中的每一種方法都保證完成這件事．應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理則是需各步均是完成這件事必須經(jīng)由的若干彼此獨立的步驟．考點四、兩個原理的綜合應(yīng)用例4.用數(shù)字0，1，2，3，4組成數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)，其中有幾個偶數(shù)？【思路點撥】組成的偶數(shù)可以有3類情況：個位數(shù)字為0、2、4，而在每一類情況中又需分二個步驟才能完成?！窘馕觥浚?）第一類：當(dāng)個位數(shù)字為0時，分兩個步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從數(shù)字：1、2、3、4中任選一個，有4種不同方法；第二步確定十位上的數(shù)字，從5個數(shù)字中任選一個，有5種不同方法；共有種不同方法。（2）第二類：當(dāng)個位數(shù)字為2時，分兩個步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從數(shù)字：1、2、3、4中任選一個，有4種不同方法；第二步確定十位上的數(shù)字，從5個數(shù)字中任選一個，有5種不同方法；共有種不同方法。（3）第三類：當(dāng)個位數(shù)字為4時，分兩個步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從數(shù)字：1、2、3、4中任選一個，有4種不同方法；第二步確定十位上的數(shù)字，從5個數(shù)字中任選一個，有5種不同方法；共有種不同方法。故不同的偶數(shù)的個數(shù)是：4×5+4×5+4×5=60（種）。【總結(jié)升華】當(dāng)完成事件中既有分類也有分步時，一般先分類，然后再在每一類中分步。考點五、枚舉法例5.某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．球隊打完15場，積33分，若不考慮順序，該隊勝、負、平的情形有（）．A．3種B．4種C．5種D．6種【思路點撥】可題意列方程組，討論方程組的解，求得非負整數(shù)解的組數(shù)即為問題的解，考慮到所給解答的范圍較?。ā?），故可用枚舉法，分類討論．【解析】設(shè)該隊勝z場，平y(tǒng)場，負z場，且x、y、z是非負整數(shù)，則．因為不考慮勝、平、負的順序，所以問題轉(zhuǎn)化為求此方程組的不同非負整數(shù)解的組數(shù)．解法一：由②式，得y=3(11－x)，代入①式，整理，得x=2(x－9)．由0≤y≤15，0≤z≤15，可知．所以這個不等式組的解為9≤x≤11．因為x是非負整數(shù)，即x最多只能取9，10，11三個值，對應(yīng)的y值也只能取6，3，0三個值，對應(yīng)的z值也只能取0，2，4三個值，從而由①②組成的方程組有且只有三組不同的非負整數(shù)解．故選A．解法二：由②式，得．因為x是非負整數(shù)，所以y必須是3的倍數(shù)．將上式代入①，得．因為z≥0，y≥0且都是整數(shù)，所以可知y的值只能取0，3，6三種情況，對應(yīng)著：只能取4，2，0，z只能取11，10，9，即方