2021年人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案：第五章 相交線與平行線

5.1相交線

5.1.1相交線

1.理解對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念，能在圖形中辨認(rèn)；（重點(diǎn)）

2.掌握對(duì)頂角相等的性質(zhì)和它的推證過程；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

3.通過在圖形中辨認(rèn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力.

一、情境導(dǎo)入

同學(xué)們，你們看這座宏偉的大橋，它的兩端有很多斜拉的平行鋼索，橋的側(cè)面有許多相

交鋼索組成的圖案；圍棋棋盤的縱線相互平行，橫線相互平行，縱線和橫線相交.這些都給

我們以相交線、平行線的形象.在我們生活中，蘊(yùn)涵著大量的相交線和平行線.那么兩條直

線相交形成哪些角？這些角又有什么特征？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念

【類型一］對(duì)頂角的識(shí)別

（HII下列圖形中/I與N2互為對(duì)頂角的是（）

解析：觀察/I與/2的位置特征，只有C中/I和/2同時(shí)滿足有公共頂點(diǎn)，且/I的

兩邊是N2的兩邊的反向延長(zhǎng)線.故選C.

方法總結(jié)：判斷對(duì)頂角只看兩點(diǎn)：①有公共頂點(diǎn)；②一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩

邊的反向延長(zhǎng)線.

【類型二】鄰補(bǔ)角的識(shí)別

陶?如圖所示，直線和CD相交所成的四個(gè)角中，/I的鄰補(bǔ)角是.

C1D

解析：根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念判斷：有一個(gè)公共頂點(diǎn)、一條公共邊，另一邊互為延長(zhǎng)線.Z1

和/2、Z1和N4都滿足有一個(gè)公共頂點(diǎn)和一條公共邊，另一邊互為延長(zhǎng)線，故為鄰補(bǔ)角.故

答案為N2和N4.

方法總結(jié)：鄰補(bǔ)角的定義包含了兩層含義：相鄰且互補(bǔ).但需要注意的是：互為鄰補(bǔ)角

的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的角不一定是鄰補(bǔ)角.

探究點(diǎn)二：對(duì)頂角的性質(zhì)

［類型—］利用對(duì)頂角的性質(zhì)求角的度數(shù)

囪?如圖，直線A3、相交于點(diǎn)。，若NBOD=42°,平分/COE,求/DOE

的度數(shù).

解析：根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，可得NAOC與的關(guān)系，根據(jù)。4平分NCOE,可得

/COE與NAOC的關(guān)系，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，可得答案.

解：由對(duì)頂角相等得NAOC=N3OD=42°平分NCOE,；./COE=2NAOC=

84°.由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得/。0片=180°-ZCOE=180°-84。=96。.

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是在圖中找出對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，根據(jù)兩種角的性質(zhì)找出

已知角和未知角之間的數(shù)量關(guān)系.

［類型二］結(jié)合方程思想求角度

Oil如圖，直線AC,EP相交于點(diǎn)。，0。是NAOB的平分線，0E在/BOC內(nèi)，Z

BOE^ZEOC,/DOE=12°,求NA0P的度數(shù).

解析：因?yàn)橐阎颗c未知量的關(guān)系較復(fù)雜，所以想到列方程解答，根據(jù)觀察可設(shè)NBOE

=尤，則NAOF=NEOC=2x,然后根據(jù)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角找到等量關(guān)系，列方程.

解：設(shè)N20E=x,則NAOF=/EOC=2x.：/AOB與NBOC互為鄰補(bǔ)角，/.ZAOB

一13

=180°—3x.：O￡>平分。AOB,.?.N￡)OB=2/AOB=90°—于：：/DOE=72°,：.90°—

3

］x+x=72°,解得尤=36°".NAOf'=2x=72°.

方法總結(jié)：在相交線中求角的度數(shù)時(shí)，就要考慮使用對(duì)頂角相等或鄰補(bǔ)角互補(bǔ).若已知

關(guān)系較復(fù)雜，比如出現(xiàn)比例或倍分關(guān)系時(shí)，可列方程解決角度問題.

［類型三］應(yīng)用對(duì)頂角的性質(zhì)解決實(shí)際問題

陶@如圖，要測(cè)量?jī)啥聣λ纬傻腘AOB的度數(shù)，但人不能進(jìn)入圍墻，如何測(cè)量？請(qǐng)

你寫出測(cè)量方法，并說明幾何道理.

O

解析：可以利用對(duì)頂角相等的性質(zhì)，把/A08轉(zhuǎn)化到另外一個(gè)角上.

解：反向延長(zhǎng)射線。2到E,反向延長(zhǎng)射線04到F則/E。尸和NA02是對(duì)頂角，所

以可以測(cè)量出NE。尸的度數(shù)，/EOF的度數(shù)就是NAOB的度數(shù).

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)把不能測(cè)量的角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

探究點(diǎn)三：與對(duì)頂角有關(guān)的探究問題

囪@我們知道：兩直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角有2對(duì)；三條直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角有6對(duì);

四條直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角有12對(duì)……

(1)10條直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角有對(duì)；

(2)〃(”22)條直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角有對(duì).

解析：(1)仔細(xì)觀察計(jì)算對(duì)頂角對(duì)數(shù)的式子，發(fā)現(xiàn)式子不變的部分及變的部分的規(guī)律，

(4—2)X4

得出結(jié)論，代入數(shù)據(jù)求解.如圖①，兩條直線交于一點(diǎn)，圖中共有------------=2對(duì)對(duì)頂

角；如圖②，三條直線交于一點(diǎn)，圖中共有一^一：)，6=6對(duì)對(duì)頂角；如圖③，四條直線

-9)義g

交于一點(diǎn)，圖中共有-----1-------'=12對(duì)對(duì)頂角……按這樣的規(guī)律，10條直線交于一點(diǎn)，那

(2Q—2)x20

么對(duì)頂角共有々~=——J=90(對(duì)).故答案為90;

(2)利用⑴中規(guī)律得出答案即可.由⑴得w(〃22)條直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角的對(duì)數(shù)為

—n(n—1).故答案為—1).

方法總結(jié)：解決探索規(guī)律的問題，應(yīng)全面分析所給的數(shù)據(jù)，特別要注意觀察符號(hào)的變化

規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化特征.

一鄰補(bǔ)角'

兩條直線相交1對(duì)頂角求角的大小

、對(duì)頂角相等,

本節(jié)課通過對(duì)學(xué)生身邊熟悉的事物引入，讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與我們

的生活密不可分;學(xué)生經(jīng)歷合作探究過程獲得新知，并能用所學(xué)的新知識(shí)來解決實(shí)際問題.這

樣教學(xué)更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生的能力，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展

5.1.1相交線

教學(xué)目標(biāo)

1.理解對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念，能在圖形中辨認(rèn).

2.掌握對(duì)頂角相等的性質(zhì)和它的推證過程.

3.通過在圖形中辨認(rèn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力.

重點(diǎn)：在較復(fù)雜的圖形中準(zhǔn)確辨認(rèn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角.

難點(diǎn)：在較復(fù)雜的圖形中準(zhǔn)確辨認(rèn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角.

教學(xué)過程【教學(xué)備注】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題：請(qǐng)同學(xué)們觀察下面的圖片，說一說那些道路是

交錯(cuò)的，那些是平行的？

教師導(dǎo)入：圖中的道路是有寬度的，是有限長(zhǎng)的，而

且也不是完全直的，當(dāng)我們把它們看成直線時(shí)，這些

直線有些是相交線，有些是平行線.相交線、平行線

都有許多重要性質(zhì)，并且在生產(chǎn)和生活中有廣泛應(yīng)

用.所以研究這些問題對(duì)今后的工作和學(xué)習(xí)都是有用的，也將為后面的學(xué)習(xí)做些準(zhǔn)

備.我們先研究直線相交的問題.

二、目標(biāo)導(dǎo)學(xué)，探索新知

目標(biāo)導(dǎo)學(xué)1：理解對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念，并會(huì)在圖形中進(jìn)行辨別

1.觀察圖片，注意剪刀剪開布片過程中有關(guān)角的變化.

2.將剪刀抽象為幾何圖形并畫一畫.

答：如圖：

C

幾何語(yǔ)言描述圖形：直線AB、CD相交于點(diǎn)0.

概念：如果兩條直線有一個(gè)公共點(diǎn)，就說這兩條直線相交，公共點(diǎn)叫做這兩條直線

的交點(diǎn)。

3.觀察上圖，同桌討論。

(1)兩條直線相交組成幾個(gè)角？

(2)這兩條直線相交得到哪幾對(duì)角？

(3)每對(duì)角中兩個(gè)角的位置有怎樣的關(guān)系？

⑷根據(jù)它們的位置和度數(shù)的關(guān)系將這幾對(duì)角進(jìn)行分類.

【教師提示】教師

統(tǒng)一學(xué)生觀點(diǎn)并板

兩直線相交所形成的角分類書.

Z1和N2N2和N亙

C\2O^BZ1Z2

N勢(shì)N土

Z3Z4Z1和N3

J4、D

Z2fllZj_

4.概念歸納

(1)Z1與N3是直線AB、CD相交得到的，它們有一個(gè)公共頂

點(diǎn)0,沒有公共邊，像這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.*

(2)N1與N2是直線AB、CD相交得到的，有公共頂點(diǎn)。，且有一條公共邊，像

這樣的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角.

5.概念深化

(1)找一找上圖中還有沒有對(duì)頂角，如果有，是哪兩個(gè)角？

(2)找一找上圖中還有沒有鄰補(bǔ)角，如果有，是哪兩個(gè)角？

學(xué)生口答：/2和/4再也是對(duì)頂角.N3與/2、N1與/4、N3與/4也互為鄰補(bǔ)

角。

6.初步應(yīng)用

例1：(1)下列圖中的N1與/2是鄰補(bǔ)角嗎？為什么？

(1)(2)

【教師強(qiáng)調(diào)】鄰補(bǔ)角的特點(diǎn)：①頂點(diǎn)相同；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線;

③成對(duì)出現(xiàn)。

（2）下列各圖中/1、/2是對(duì)頂角嗎？

（1）（2）（3）（4）

【教師強(qiáng)調(diào)】對(duì)頂角的特點(diǎn)：①頂點(diǎn)相同；②角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線；③成對(duì)出現(xiàn)

的。

（3）請(qǐng)分別畫出下圖中/1的對(duì)頂角和N2的鄰補(bǔ)角.

*▽

學(xué)習(xí)目標(biāo)2：掌握對(duì)頂角的性質(zhì)并會(huì)推導(dǎo)

問題：我們?cè)趫D形中能準(zhǔn)確地辨認(rèn)對(duì)頂角，那么對(duì)頂角有什么性質(zhì)呢？

1.動(dòng)手操作，推出性質(zhì)

已知，直線AB與CD相交于。點(diǎn)（如圖）,試猜想N1、/3的大小關(guān)系，并借助量角

器或其他方式驗(yàn)證你的想法.

答：Z1=Z3.

【教學(xué)提示】學(xué)生

思考：你能用說理的方法推出嗎？

N1=/3以小組為單位展開

討論，選代表發(fā)言，

解：???/?!與N2互補(bǔ)，N3與/2互補(bǔ)（鄰補(bǔ)角定義），

并口答為什么.例

題比較簡(jiǎn)單，教師

/.ZI=Z3（同角的補(bǔ)角相等）.

不做任何提示，讓

學(xué)生在練習(xí)本上獨(dú)

或?qū)懗桑篤Z1=180°-Z2,Z3=180°-Z2（鄰補(bǔ)角定義），

立完成解題過程，

.\Z1=Z3（等量代換）.請(qǐng)一個(gè)學(xué)生板演。

教師提醒：NI與N2互補(bǔ)不是給出的已知條件，而是分析圖形得到的；所以括號(hào)內(nèi)

不填已知，而填鄰補(bǔ)角定義.

2.性質(zhì)歸納：對(duì)頂角相等.

3初.步應(yīng)用

例1：如圖，直線a、b相交，Z1=40s,求N2,Z3,N4的度數(shù).【教學(xué)說明】要求

學(xué)生能用文字語(yǔ)言

解：：N1=N3（對(duì)頂角相等）,N1=40。（已知）說理，并讓學(xué)生寫

，Z3=40。.出推理過程，由于

本階段對(duì)于推理的

又；/1+/2=180。（鄰補(bǔ)角定義），N1=40。（己知）要求處在入門階

段，因此形式上可

/2=/4（對(duì)頂角相等）不做過分要求。

Z4=Z2=180e-Z1=1401

4.變式練習(xí)

學(xué)生活動(dòng)：讓學(xué)生把例題中N1=40。這個(gè)條件換成其他條件，而結(jié)論不變，自編幾道

題.

變式1：把/1=40。變?yōu)?2—/1=40。

變式2：把/1=40。變?yōu)?2是NI的3倍

變式3：把/1=40。變?yōu)镹1：Z2=2：9.A/

【教學(xué)提示】表格

三、鞏固訓(xùn)練，熟練技能

C中的結(jié)論均由學(xué)生

自己口答填出.

1.（1）若與N2是對(duì)頂角，Z1=16s,則/2=2；

⑵若N3與N4是鄰補(bǔ)角，則/3+/4=s.

2.若N1與N2為對(duì)頂角，N1與/3互補(bǔ)，則/2+/3=2.

3.要測(cè)量?jī)啥聡鷫λ纬傻腘A。B的度數(shù)，但人不能進(jìn)入圍墻，如何測(cè)量？

四、歸納總結(jié)，板書設(shè)計(jì)

角的華寺征性相同點(diǎn)不同點(diǎn)

質(zhì)

名稱

對(duì)①兩條直線相交①都是兩條直①有無(wú)公共邊

形成的角；對(duì)頂

頂角相線相交而成的

②有公共頂點(diǎn)；角；

等

角3殳有公共邊②兩直線相

交時(shí),對(duì)頂

②都有一個(gè)公

鄰角只有兩對(duì)，

①兩條直線相交共頂點(diǎn)：

而成；蝌卜鄰樸角有四

補(bǔ)對(duì)

②有公共頂點(diǎn)；角互③都是成對(duì)出

角③有一條公共邊補(bǔ)王見的

五、課后作業(yè)，目標(biāo)檢測(cè)

見本教輔同步內(nèi)容

教學(xué)反思

成功之處：本節(jié)課是在七年級(jí)上冊(cè)學(xué)過線、角的有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究?jī)芍本€位置關(guān)系的第一課

時(shí).對(duì)頂角是幾何求解、證明中的一個(gè)基本圖形，其中對(duì)頂角相等也是證明中常用的結(jié)論，以此實(shí)現(xiàn)角之間

的相互轉(zhuǎn)化.內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，但又非常重要。對(duì)頂角的概念出來后，立即找到生活原型，以加強(qiáng)認(rèn)識(shí)，聯(lián)系

生活.在辨別給出圖形是否為對(duì)頂角的一組題目中，果然如課前所料，學(xué)生的幾何語(yǔ)言運(yùn)用不夠熟練、嚴(yán)謹(jǐn)，

我耐心地糾正，原因是幾何開始一定要讓學(xué)生重視幾何語(yǔ)言的表述，養(yǎng)成學(xué)習(xí)幾何的好習(xí)慣.在這個(gè)題目中

我始終讓學(xué)生對(duì)照定義辨別，加強(qiáng)認(rèn)識(shí).探究對(duì)頂角相等這個(gè)性質(zhì)是本課時(shí)的重難點(diǎn)，所以我的設(shè)計(jì)是先畫

圖量角，讓學(xué)生有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到度量是有誤差的，所以叫學(xué)生記下讀數(shù)，提出可不可

以根據(jù)一個(gè)角的度數(shù)，計(jì)算出其對(duì)頂角的度數(shù)這樣一個(gè)問題，其實(shí)這個(gè)問題設(shè)計(jì)是承上啟下的，因?yàn)樵谧C

明時(shí)我聽到他們說出“和剛才計(jì)算一樣”的話.練習(xí)題的設(shè)置一來是鞏固，二來時(shí)讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想.

不足之處：本節(jié)課通過對(duì)比教學(xué)，學(xué)生對(duì)概念的理解及簡(jiǎn)單的一些推理說明基本能掌握，但可能是課堂上

沒有照顧到所有的學(xué)生導(dǎo)致部分學(xué)習(xí)有困難的孩子對(duì)推理說明類似的題目在解題過程中出現(xiàn)亂、繁等現(xiàn)象

（個(gè)別學(xué)生甚至無(wú)法下手）.課后要根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)差補(bǔ)缺，爭(zhēng)取不讓一個(gè)孩子掉對(duì).

5.1.2垂線

1.理解垂線、垂線段的概念，會(huì)用三角尺或量角器過一點(diǎn)畫已知直線的垂線；（重點(diǎn)）

2.掌握點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；

3.掌握垂線的性質(zhì)，并會(huì)利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.（難點(diǎn)）

鰭婕

一、情境導(dǎo)入

大家都看到過跳水比賽，下面幾幅圖片中是幾種不同的入水方式，你知道哪個(gè)圖片中運(yùn)

在獲得分?jǐn)?shù)最高的圖片中你知道運(yùn)動(dòng)員的身體和水面之間的關(guān)系嗎？這節(jié)課我們將要

學(xué)習(xí)有關(guān)這種關(guān)系的知識(shí).

二、合作探究

探究點(diǎn)一：垂線的概念

［類型—］利用垂直的定義求角的度數(shù)

（HU如圖，已知點(diǎn)。在直線上，CO_LDO于點(diǎn)O,若/1=150°,則/3的度數(shù)

為（）

B

D/

A.30°B.40°C.50°D.60°

解析：先根據(jù)鄰補(bǔ)角關(guān)系求出N2=180°-150°=30°,再由CO_L。。得出

=90°,最后由互余關(guān)系求出/3=90°—/2=90°-30°=60°.故選D.

方法總結(jié)：兩條直線垂直時(shí)，其夾角為90。；由一個(gè)角是90。也能得到這個(gè)角的兩條

邊是互相垂直的.

［類型二］垂直與對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角結(jié)合求角的度數(shù)

囪?如圖，Zl=30°,ABLCD,垂足為O,EF經(jīng)過點(diǎn)。.求/2、/3的度數(shù).

解析：首先根據(jù)垂直的概念得到/8。。=90°,然后根據(jù)/I與N3是對(duì)頂角，N2與

/3互為余角，從而求出角的度數(shù).

解：由題意得/3=/1=30°（對(duì)頂角相等）...,AB_LCZ）（已知），.?./8。。=90°,（垂

直的定義），/.Z3+Z2=90°,即30。+/2=90。，AZ2=60°.

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直的概念，得到度數(shù)為90。的角，然后根據(jù)對(duì)頂

角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)解決.

探究點(diǎn)二：垂線的畫法

陶?（1）如圖①，過點(diǎn)尸畫AB的垂線；

（2）如圖②，過點(diǎn)尸分別畫。4、的垂線;

方法總結(jié)：垂線的畫法需要三步完成：一落：讓三角板的一條直角邊落在已知直線上，

使其與已知直線重合；二移：沿直線移動(dòng)三角板，使其另一直角邊經(jīng)過所給的點(diǎn)；三畫：沿

此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線.

探究點(diǎn)三：垂線的性質(zhì)（垂線段最短）

Oil如圖，是一條河，C是河邊AB外一點(diǎn).現(xiàn)欲用水管從河邊將水引到C處，請(qǐng)

在圖上畫出應(yīng)該如何鋪設(shè)水管能讓路線最短，并說明理由.

A--------------------B

解析：根據(jù)垂線的性質(zhì)可解，即過C作CE_LAB,根據(jù)“垂線段最短”可得CE最短.

解：如圖所示，沿CE鋪設(shè)水管能讓路線最短，因?yàn)榇咕€段最短.

方法總結(jié)：在利用垂線的性質(zhì)解決生活中最近、最短距離的問題時(shí)，要依據(jù)“兩點(diǎn)之間,

線段最短”和“垂線段最短”來解決.

探究點(diǎn)四：點(diǎn)到直線的距離

（SB如圖，在△ABC中，過點(diǎn)C作O5_LAB,垂足為￡）,則點(diǎn)C到直線A2的距離是（）

A

A.線段CA的長(zhǎng)B.線段CD

C.線段A。的長(zhǎng)D.線段。的長(zhǎng)

解析：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的

距離，可得點(diǎn)C到直線AB的距離是線段CD的長(zhǎng).故選D.

方法總結(jié)：點(diǎn)到直線的距離是直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，而不是垂線段.

三、板書設(shè)計(jì)

r垂線的定義

,一落

垂線的作法1二移

垂線〈

＞求最短距離

、三畫

垂線的性質(zhì)：垂線段最短

本節(jié)課主要研究?jī)蓷l直線相交時(shí)的特殊情況——垂直，可類比前面兩條直線相交時(shí)的一

般情況學(xué)習(xí)新知識(shí).經(jīng)歷合作探究過程獲得新知，并能用所學(xué)的新知識(shí)來解決實(shí)際問題.這

樣教學(xué)更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使每個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上都能得到不同的發(fā)展

5.1.2垂線

教學(xué)目標(biāo)

1.了解垂直概念；

2.能說出垂線的性質(zhì)”經(jīng)過一點(diǎn)；能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線

3.會(huì)用三角尺或量角器過一點(diǎn)畫一條直線的垂線.

重點(diǎn)：兩直線互相垂直的有關(guān)性質(zhì).

難點(diǎn)：過直線上（外）一點(diǎn)作已知直線的垂線.

教學(xué)過程【教學(xué)備注】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

生活中的垂線

■J4二曜I

二、目標(biāo)導(dǎo)學(xué)，探索新知

目標(biāo)導(dǎo)學(xué)1垂直的定義

活動(dòng)1在相交線的模型中，固定木條a,轉(zhuǎn)動(dòng)木條b,當(dāng)

b的位置變化時(shí)，a、b所成的角a也會(huì)發(fā)生變化.

當(dāng)a=90°時(shí),a與b垂直.當(dāng)a#900時(shí),a與b

不垂直，叫斜交.

【教學(xué)提示】引導(dǎo)

1.垂直定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)學(xué)生通過木條的轉(zhuǎn)

角是直角（90°）時(shí)，這兩條直線互相垂直，其中一條直動(dòng)過程得出垂線的

線叫另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足。定義。

（說明）從垂直的定義可知，判斷兩條直線互相垂直的關(guān)鍵：只要找到兩條直線相交

時(shí)四個(gè)交角中有一個(gè)角是直角。

2.垂直的表示：用“_L”和直線字母表示垂直ab

例如、如圖，a、b互相垂直，垂足為O,則記為：a，b或b°

±a,若要強(qiáng)調(diào)垂足，則記為：a±b,垂足為。.或2，13于0.

實(shí)際應(yīng)用：日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見，說出圖中的一些互相垂直的

線條.你能再舉出其他例子嗎？

方格本的橫線和豎線鉛垂線和水平線

試一試:

1、下面四種判定兩條直線垂直的方法，正確的有（）個(gè)

（1）兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，則這兩條直線互相垂直

（2）兩條直線相交，只要有一組鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線互相垂直

（3）兩條直線相交,所成的四個(gè)角相等，這兩條直線互相垂直

（4）兩條直線相交,有一組對(duì)頂角互補(bǔ)，則這兩條直線互相垂直

(A)4(B)3(C)2(D)1

2.如圖，已知AOB為一直線，ZA0D：ZB0D=3：1,0D平分/COB,

（1）求NAOC的度數(shù)；（2）判斷AB與0C的位置關(guān)系.

C

目標(biāo)導(dǎo)學(xué)2：垂線的書寫形式

當(dāng)直線AB與CD相交于。點(diǎn)，ZAOD=90°時(shí)，AB±CD,垂足為0.

書寫形式1：因?yàn)镹AOD=90°（已知）

所以ABLCD（垂直的定義）反之，若直線AB與CD垂直，垂足為0,那么，ZA

00=90°

書寫形式2：.如圖.直線AB、CD相交于點(diǎn)O,0ELAB于0,0B平分/D0F,

ZDOE=50°,求/AOC、ZEOF、ZCOF的度數(shù).

垂線的定義

定義圖示文字語(yǔ)言幾何語(yǔ)言兩層含義

當(dāng)兩條直

AAB±CD,含義L

線所成的L

四個(gè)角中直線AB垂0為垂VABXCD

足.

有一個(gè)角J直于直線/.Zl=90°【教學(xué)提示】對(duì)垂

是直角時(shí)，ODCD,0為(垂直用線概念進(jìn)行小結(jié)。

含義2：

我們就說c垂足.符號(hào)“_L”

這兩條直來表示，VZ1=9O°

B

線互相垂讀祚“垂直AABXCD

直.于“)

學(xué)習(xí)目標(biāo)3：垂線的畫法和垂線性質(zhì)1

活動(dòng)2(一)畫已知直線的垂線

(1)如圖1,已知直線m,作m的垂線。

(1)靠:把三角板的一直角邊靠在直線上；

(2)移:移動(dòng)三角板到已知點(diǎn)；

(3)畫線:沿著三角板的另一直角邊畫出垂線.

【教學(xué)提示】通過

思考：

畫垂線的過程，引

(1)畫已知直線m的垂線能畫幾條？

導(dǎo)學(xué)生思考，得出

(2)過直線m上的一點(diǎn)A畫m的垂線，這樣的垂線能畫幾條？

性質(zhì)1.

(3)過直線m外的一點(diǎn)A畫m的垂線，這樣的垂線能畫幾條？

試一試：

過點(diǎn)p向線段AB所在直線引垂線，正確的是().

ABCD

垂線的性質(zhì)1過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

說明：（1）“過一點(diǎn)”包括幾種情況？線上和線外；（2）“有且只有”是什

么意思？存在性與唯一性。

（-）過點(diǎn)P作線段或射線所在直線的垂線

⑴(2)

注意:過一點(diǎn)畫已知線段（或射線）的垂線，就是畫這條線段（或射線）所在直線的垂線.畫

線段（或射線）的垂線時(shí)，有時(shí)要將線段延長(zhǎng)（或?qū)⑸渚€反向延長(zhǎng)）后再畫垂線.

試一試：

1.如圖，分別過A、B、C,作BC、AC、AB的垂線。

2.如圖，過P分別作OA、0B的垂線。

學(xué)習(xí)目標(biāo)3：垂線的性質(zhì)

活動(dòng)3比較過直線m外一點(diǎn)。與m相交的所有線段中，哪一條最短?

垂線的性質(zhì)2直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中.垂線段最短.即：

垂線段最短.

點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段的長(zhǎng)度就叫做點(diǎn)到直線的距離.

應(yīng)用：在體育課上，老師是怎樣測(cè)量同學(xué)們的跳遠(yuǎn)成績(jī)的？你能嘗試說明其中的

理由嗎？

踏板

沙坑

做法：將尺子拉直與踏板邊所在直線垂直，取最近的腳印后跟與踏板邊沿之間的

距離就是跳遠(yuǎn)成績(jī).

理由：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短.

四、垂線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用

1.如圖.直線AB、CD相交于點(diǎn)O,0ELAB于0,0B平分/DOF,Z

DOE=50°,求NAOC、ZEOF、ZCOF

的度數(shù).

解：因?yàn)锳BLOE（已知）

所以ZEOB=90°（垂直的定義）

因?yàn)镹DOE=50°（已知）

所以NDOB=40°（互余的定義）

所以/AOC=ZDOB=40°（對(duì)頂角相等）

又因?yàn)?B平分/DOF

所以NBOF=ZDOB=40°（角平分線定

義）

所以/EOF=ZEOB+ZBOF=90°+40°=130°

所以/COF=/COD—/DOF=180°—80°=100°（鄰補(bǔ)角定義）

2.如圖，一輛汽車在一段筆直的公路上從A村開往B村,P村不在路AB上.

（1）如果有一人想在A、B兩村之間下車，前往P村，他在哪里下車走的路程最

短？請(qǐng)畫出圖形,并說明原因.

（2）汽車在哪一段路上行駛時(shí)，與P村的距離越來越近？汽車在哪一段路上行駛

時(shí)，與P村的距離越來越遠(yuǎn)？

答案：（1）在。點(diǎn)下車走的路程最短.

原因：垂線段最短.

（2）在A。路段上行駛時(shí)，與P村的距離

越來越近，在0B路段上行駛時(shí)，與P

村的距離越來越遠(yuǎn).

3.下面四種判定兩條直線的垂直的方法.正確的個(gè)數(shù)為（）

①兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角.則這兩條直線互相垂直

②兩條直線相交.只要有一組鄰補(bǔ)角相等.則這兩條直線互相垂直

③兩條直線相交.所成的四個(gè)角相等.這兩條直線互相垂直

④兩條直線相交.有一組對(duì)頂角互補(bǔ).則這兩條直線互相垂直

A.5B.4C.3D.2

三、鞏固訓(xùn)練，熟練技能

1..兩條直線相交所成的四個(gè)角中，下列條件中能判定兩條直線垂直的是（）

（A）有兩個(gè)角相等（B）有兩對(duì)角相等

（C）有三個(gè)角相等（D）有四對(duì)鄰補(bǔ)角

2.如圖所示，在Z\ABC中,ZABC=90,

①過點(diǎn)B作三角形ABC的AC邊上的高BD,

過D點(diǎn)作三角形

ABD的AB邊上的高DE?

②點(diǎn)A到直線BC的距離是線段

的長(zhǎng)度.

點(diǎn)B到直線AC的距離是線段

的長(zhǎng)度.

點(diǎn)D到直線AB的距離是線段的長(zhǎng)度

線段AD的長(zhǎng)度是點(diǎn)到直線的距離.

?如圖ABXCD垂足為O,/COF=56°,求

ZAOE.

4.如圖：直線AB和CD相交于點(diǎn)QOELABQFLCD,N

BOF=40。,求/DOE和NAOC的度數(shù).

1

AOQB

四、歸納總結(jié)，板書設(shè)計(jì)

1垂.直的概念：如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)是直角就說這兩條直線互

相垂直.

2.垂線的性質(zhì)1：同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

3.垂線的性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中.1，線段最短.

五、課后作業(yè)，目標(biāo)檢測(cè)

見本教輔同步內(nèi)容

教學(xué)反思

垂線是平面幾何所要研究的基本內(nèi)容之一.垂線的概念、畫法和性質(zhì)是重要的基礎(chǔ)知

識(shí)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系、三角形的高、切線的性質(zhì)和判定、以及空間里的垂直關(guān)

系等知識(shí)的基礎(chǔ)，與其他數(shù)學(xué)知識(shí)一樣，它在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用.垂線的概念和性

質(zhì)，蘊(yùn)含著“從一般到特殊”的認(rèn)識(shí)規(guī)律，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要內(nèi)容之一.垂線的概

念和性質(zhì)是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是全章的內(nèi)容之一；經(jīng)過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，是本節(jié)課的

一個(gè)難點(diǎn)，在這個(gè)地方應(yīng)讓學(xué)生多觀察，多思考.讓學(xué)生動(dòng)手畫一畫，試一試.鼓勵(lì)學(xué)生思考

并在小組內(nèi)交流，全班交流.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)以上兩個(gè)結(jié)論.全班內(nèi)交流成果.教師板書

學(xué)生的結(jié)論:經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.引導(dǎo)學(xué)生分清“互相垂直”

與“垂線”的區(qū)別與聯(lián)系：（1）“互相垂直”指兩條直線的位置關(guān)系；（2）“垂線”是

指其中一條直線對(duì)另一條直線的命名.如果說兩條直線“互相垂直”時(shí)，其中一條必定是

另一條的“垂線”，如果一條直線是另一條直線的“垂線”，則它們必定“互相垂直”.

5.1.3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

尊凰國(guó)糠

1.理解“三線八角”中沒有公共頂點(diǎn)的角的位置關(guān)系，知道什么是同位角、內(nèi)錯(cuò)角、

同旁內(nèi)角；

2.通過比較、觀察、掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的特征；（重點(diǎn)）

3.能在復(fù)雜圖形中正確識(shí)別圖形中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

一、情境導(dǎo)入

上一節(jié)課中我們主要學(xué)習(xí)兩條直線相交的情況，兩條直線相交時(shí)，可以形成哪幾種角？

如果兩條直線被第三條直線所截時(shí)，還能形成以上的角嗎？是否還有其他類型的角呢？你能

說出它們的名字嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：識(shí)別同位角

［類型—］判斷同位角及截線

陶⑼如圖，/I和/2是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？/I和

Z3是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？

解析：識(shí)別同位角要弄清哪兩條直線被哪一條直線所截.也就是說，在辨別這些角之前,

要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線.

解：N1和/2是直線EE、0c被直線AB所截形成的同位角，/I和/3是直線48、

CD被直線EF所截形成的同位角.

方法總結(jié)：①同位角中的“同”字有兩層含義：一同是指兩角在截線的同旁，二同是指

它們?cè)诒唤貎芍本€同方向；②在表述“三線八角”中某種位置關(guān)系的角時(shí)，可用以下方法：

“/X和/X是直線義和直線X被直線X所截形成的X角”.

［類型二］在圖形中判斷同位角

畫?下列圖形中，/I和N2不是同位角的是（）

解析：選項(xiàng)A、B、D中，Z1與/2在截線的同側(cè)，并且在被截線的同一方向，是同

位角，即在圖中可找到形如“F”的模型；選項(xiàng)C中，N1與/2的兩條邊都不在同一條直線

上，不是同位角.故選C.

方法總結(jié)：確定兩個(gè)角的位置關(guān)系的有效方法一描圖法：①把兩個(gè)角在圖中“描畫”

出來；②找到兩個(gè)角的公共直線；③觀察所描的角，判斷所屬“字母”類型，同位角為“F”

型.

【類型三】數(shù)同位角的對(duì)數(shù)

陶?如圖，直線/1,，2被所截，則同位角共有（

5V6

8\7

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

解析：圖中同位角有：N1和N5,N2和/6,N3和/7,N4和/8,共4對(duì).故選

方法總結(jié)：數(shù)同位角的個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)從各個(gè)方向逐一觀察，避免重復(fù)或漏數(shù).

探究點(diǎn)二：識(shí)別內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

畫?如圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.NA與NB是同旁內(nèi)角

B.N3與/I是同旁內(nèi)角

C.N2與/3是內(nèi)錯(cuò)角

D.N1與N2是同位角

解析：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的基本模型判斷.A中/A與形成“U”型，

是同旁內(nèi)南；B中N3與N1形成“U”型，是同旁內(nèi)角；C中/2與/3形成“Z”型，是內(nèi)

錯(cuò)角；D中N1與N2是鄰補(bǔ)角，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.故選D.

方法總結(jié)：在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有

兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為

被截的線.同位角的邊構(gòu)成“F”型，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”型，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”型.

酗如圖所示，直線。E與的兩邊相交，則/。的同位角是,/8的同旁

內(nèi)角是?

D\,A

解析：直線。E與N。的兩邊相交，則NO的同位角是/5和N2,N8的同旁內(nèi)角是N1

和NO.故答案為/5和N2,N1和NO.

易錯(cuò)點(diǎn)撥：找某角的同位角、同旁內(nèi)角時(shí)，應(yīng)從各個(gè)方位觀察，避免漏數(shù).

三、板書設(shè)計(jì)

’同位角“F”型

三線八角＜內(nèi)錯(cuò)角“Z”型

.同旁內(nèi)角“U”型

頒簪底恩

本節(jié)課以學(xué)生交流、合作、探究貫穿始終，在教學(xué)過程中，給學(xué)生的思考留下了足夠的

時(shí)間和空間，由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論.學(xué)生在經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的過程中，

對(duì)“三線八角”的概念準(zhǔn)確理解并掌握.培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、合作、概括能力，同時(shí)也提高思維

水平和探究能力

5.2平行線及其判定

5.2.1平行線

1.了解平行線的概念及平面內(nèi)兩條直線相交或平行的兩種位置關(guān)系；

2.掌握平行公理以及平行公理的推論；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

3.會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表示平行公理推論，會(huì)用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線

的平行線.（重點(diǎn)）

一、情境導(dǎo)入

數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，觀察下面的圖片，你發(fā)現(xiàn)了什么？

以上的圖片都有兩條相互平行的直線，這將是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

二、合作探究

探究點(diǎn)一：平行線的概念

（9D下列說法中正確的有：.

（1）在同一平面內(nèi)不相交的兩條線段必平行；

（2）在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線必平行；

（3）在同一平面內(nèi)不平行的兩條線段必相交；

（4）在同一平面內(nèi)不平行的兩條直線必相交；

（5）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和垂直.

解析：根據(jù)平行線的概念進(jìn)行判斷.線段不相交，延長(zhǎng)后不一定不相交，（1）錯(cuò)誤；同

一平面內(nèi)，直線只有平行和相交兩種位置關(guān)系，（2）（4）正確，（5）錯(cuò)誤；線段是有長(zhǎng)度的，不

平行也可以不相交，（3）錯(cuò)誤.故答案為（2）（4）.

方法總結(jié)：同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：平行和相交.兩條線段平行、

兩條射線平行是指它們所在的直線平行，因此，兩條線段不相交不意味著它們所在的直線不

相交，也就無(wú)法判斷它們是否平行.

探究點(diǎn)二：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線

陶?如圖所示，在NAOB內(nèi)有一點(diǎn)P.

⑴過點(diǎn)尸畫/1〃。4;

⑵過點(diǎn)尸畫b〃03;

（3）用量角器量一量Zi與L相交的角與的大小有怎樣的關(guān)系.

解析：用兩個(gè)三角板，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”來畫平行線，然后用量角器量

一量Zi與L相交的角，該角與N。的關(guān)系為相等或互補(bǔ).

解：⑴⑵如圖所示；

（3）/1與L夾角有兩個(gè)：ZI,Z2；Nl=/。，/2+/。=180°,所以/i和/2的夾角與

相等或互補(bǔ).

易錯(cuò)點(diǎn)撥：注意N2與N0是互補(bǔ)關(guān)系，解答時(shí)容易漏掉.

探究點(diǎn)三：平行公理及其推論

［類型—］應(yīng)用平行公理及其推論進(jìn)行判斷

00有下列四種說法：（1）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；（2）同一平

面內(nèi)，過一點(diǎn)能且只能作一條直線與已知直線垂直；（3）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所

有線段中，垂線段最短;（4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：根據(jù)平行公理、垂線的性質(zhì)進(jìn)行判斷.（1）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這

條直線平行，正確；（2）同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)能且只能作一條直線與已知直線垂直，正確；（3）

直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，正確；（4）平行于同一條直線的

兩條直線互相平行，正確；正確的有4個(gè).故答案為D.

方法總結(jié)：平行線公理和垂線的性質(zhì)兩者比較相近，兩者區(qū)別在于：對(duì)于平行線公理中，

必須是過直線外一點(diǎn)可以作已知直線的平行線，但過直線上一點(diǎn)不能作已知直線的平行線，

垂線的性質(zhì)中，無(wú)論點(diǎn)在何處都能作出已知直線的垂線.

［類型二］應(yīng)用平行公理的推論進(jìn)行論證

（SE1四條直線a,b,c,d互不重合，如果b//c,c//d,那直線a,d的位置關(guān)

系為.

解析：由于b//c,根據(jù)平行公理的推論得到a〃c,品c〃d,所以?！╠故答案

為?！╠.

方法總結(jié)：平行公理的推論是證明兩條直線相互平行的理論依據(jù).

［類型三］平行公理推論的實(shí)際應(yīng)用

（SB將一張長(zhǎng)方形的硬紙片ABC。對(duì)折后打開，折痕為EF把長(zhǎng)方形A3E尸平攤在桌

面上，另一面CDFE無(wú)論怎樣改變位置，總有CZ)〃AB存在，為什么？

解析：根據(jù)平行公理的推論得出答案即可.

角生,：CD//EF,EF//AB,J.CD//AB.

方法總結(jié)：利用平行公理的推論進(jìn)行證明時(shí)，關(guān)鍵是找到與要證的兩邊都平行的第三條

邊進(jìn)行說明.

三、板書設(shè)計(jì)

「概念

兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交

平行線〈

［平行公理

性質(zhì)I〔平行公理的推論

本節(jié)課以學(xué)生身邊熟悉的事物引入，讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與我們的生

活密不可分.經(jīng)歷觀察多媒體的演示和通過畫圖等操作，交流歸納與活動(dòng)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生

的空間想象能力

5.2.1平行線

教學(xué)任務(wù)分析

（1）在豐富的現(xiàn)實(shí)情境中，進(jìn)一步了解兩條直線的平行關(guān)系，掌握有

關(guān)的符號(hào)表示.

知識(shí)技能

（2）會(huì)用三角尺、方格紙等畫平行線，積累操作活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).

（3）在操作活動(dòng)中，探索并了解平行線的有關(guān)性質(zhì)（基本事實(shí)）

教

在探究新知的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，感受從具體到抽象的

學(xué)數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)過程.

目

標(biāo)

解決問題能夠獨(dú)立解決畫平行線的問題，理解平行線的基本事實(shí).

情感態(tài)度培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，以及邏輯推理能力，體驗(yàn)成功的快樂.

1.了解平行線的定義，并能用符號(hào)表示.能借助三角板，方格紙等畫平行線.

重點(diǎn)

2.探索平行線的基本性質(zhì)（基本事實(shí)）.

難點(diǎn)探索平行線的基本性質(zhì)

教學(xué)流程安排

活動(dòng)流程圖活動(dòng)內(nèi)容和目的

活動(dòng)1平行線的概念通過演示木條的各個(gè)情況使學(xué)生歸納平行線的定義.

活動(dòng)2生活中的平行線