2021年人教版七年級數(shù)學(xué)下冊教案：第五章 相交線與平行線

5.1相交線

5.1.1相交線

1.理解對頂角和鄰補(bǔ)角的概念，能在圖形中辨認(rèn)；（重點）

2.掌握對頂角相等的性質(zhì)和它的推證過程；（重點、難點）

3.通過在圖形中辨認(rèn)對頂角和鄰補(bǔ)角，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力.

一、情境導(dǎo)入

同學(xué)們，你們看這座宏偉的大橋，它的兩端有很多斜拉的平行鋼索，橋的側(cè)面有許多相

交鋼索組成的圖案；圍棋棋盤的縱線相互平行，橫線相互平行，縱線和橫線相交.這些都給

我們以相交線、平行線的形象.在我們生活中，蘊(yùn)涵著大量的相交線和平行線.那么兩條直

線相交形成哪些角？這些角又有什么特征？

二、合作探究

探究點一：對頂角和鄰補(bǔ)角的概念

【類型一］對頂角的識別

（HII下列圖形中/I與N2互為對頂角的是（）

解析：觀察/I與/2的位置特征，只有C中/I和/2同時滿足有公共頂點，且/I的

兩邊是N2的兩邊的反向延長線.故選C.

方法總結(jié)：判斷對頂角只看兩點：①有公共頂點；②一個角的兩邊分別是另一個角的兩

邊的反向延長線.

【類型二】鄰補(bǔ)角的識別

陶?如圖所示，直線和CD相交所成的四個角中，/I的鄰補(bǔ)角是.

C1D

解析：根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念判斷：有一個公共頂點、一條公共邊，另一邊互為延長線.Z1

和/2、Z1和N4都滿足有一個公共頂點和一條公共邊，另一邊互為延長線，故為鄰補(bǔ)角.故

答案為N2和N4.

方法總結(jié)：鄰補(bǔ)角的定義包含了兩層含義：相鄰且互補(bǔ).但需要注意的是：互為鄰補(bǔ)角

的兩個角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的角不一定是鄰補(bǔ)角.

探究點二：對頂角的性質(zhì)

［類型—］利用對頂角的性質(zhì)求角的度數(shù)

囪?如圖，直線A3、相交于點。，若NBOD=42°,平分/COE,求/DOE

的度數(shù).

解析：根據(jù)對頂角的性質(zhì)，可得NAOC與的關(guān)系，根據(jù)。4平分NCOE,可得

/COE與NAOC的關(guān)系，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，可得答案.

解：由對頂角相等得NAOC=N3OD=42°平分NCOE,；./COE=2NAOC=

84°.由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得/。0片=180°-ZCOE=180°-84。=96。.

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是在圖中找出對頂角和鄰補(bǔ)角，根據(jù)兩種角的性質(zhì)找出

已知角和未知角之間的數(shù)量關(guān)系.

［類型二］結(jié)合方程思想求角度

Oil如圖，直線AC,EP相交于點。，0。是NAOB的平分線，0E在/BOC內(nèi)，Z

BOE^ZEOC,/DOE=12°,求NA0P的度數(shù).

解析：因為已知量與未知量的關(guān)系較復(fù)雜，所以想到列方程解答，根據(jù)觀察可設(shè)NBOE

=尤，則NAOF=NEOC=2x,然后根據(jù)對頂角和鄰補(bǔ)角找到等量關(guān)系，列方程.

解：設(shè)N20E=x,則NAOF=/EOC=2x.：/AOB與NBOC互為鄰補(bǔ)角，/.ZAOB

一13

=180°—3x.：O￡>平分。AOB,.?.N￡)OB=2/AOB=90°—于：：/DOE=72°,：.90°—

3

］x+x=72°,解得尤=36°".NAOf'=2x=72°.

方法總結(jié)：在相交線中求角的度數(shù)時，就要考慮使用對頂角相等或鄰補(bǔ)角互補(bǔ).若已知

關(guān)系較復(fù)雜，比如出現(xiàn)比例或倍分關(guān)系時，可列方程解決角度問題.

［類型三］應(yīng)用對頂角的性質(zhì)解決實際問題

陶@如圖，要測量兩堵墻所形成的NAOB的度數(shù)，但人不能進(jìn)入圍墻，如何測量？請

你寫出測量方法，并說明幾何道理.

O

解析：可以利用對頂角相等的性質(zhì)，把/A08轉(zhuǎn)化到另外一個角上.

解：反向延長射線。2到E,反向延長射線04到F則/E。尸和NA02是對頂角，所

以可以測量出NE。尸的度數(shù)，/EOF的度數(shù)就是NAOB的度數(shù).

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)對頂角的性質(zhì)把不能測量的角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

探究點三：與對頂角有關(guān)的探究問題

囪@我們知道：兩直線交于一點，對頂角有2對；三條直線交于一點，對頂角有6對;

四條直線交于一點，對頂角有12對……

(1)10條直線交于一點，對頂角有對；

(2)〃(”22)條直線交于一點，對頂角有對.

解析：(1)仔細(xì)觀察計算對頂角對數(shù)的式子，發(fā)現(xiàn)式子不變的部分及變的部分的規(guī)律，

(4—2)X4

得出結(jié)論，代入數(shù)據(jù)求解.如圖①，兩條直線交于一點，圖中共有------------=2對對頂

角；如圖②，三條直線交于一點，圖中共有一^一：)，6=6對對頂角；如圖③，四條直線

-9)義g

交于一點，圖中共有-----1-------'=12對對頂角……按這樣的規(guī)律，10條直線交于一點，那

(2Q—2)x20

么對頂角共有々~=——J=90(對).故答案為90;

(2)利用⑴中規(guī)律得出答案即可.由⑴得w(〃22)條直線交于一點，對頂角的對數(shù)為

—n(n—1).故答案為—1).

方法總結(jié)：解決探索規(guī)律的問題，應(yīng)全面分析所給的數(shù)據(jù)，特別要注意觀察符號的變化

規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化特征.

一鄰補(bǔ)角'

兩條直線相交1對頂角求角的大小

、對頂角相等,

本節(jié)課通過對學(xué)生身邊熟悉的事物引入，讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與我們

的生活密不可分;學(xué)生經(jīng)歷合作探究過程獲得新知，并能用所學(xué)的新知識來解決實際問題.這

樣教學(xué)更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生的能力，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展

5.1.1相交線

教學(xué)目標(biāo)

1.理解對頂角和鄰補(bǔ)角的概念，能在圖形中辨認(rèn).

2.掌握對頂角相等的性質(zhì)和它的推證過程.

3.通過在圖形中辨認(rèn)對頂角和鄰補(bǔ)角，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力.

重點：在較復(fù)雜的圖形中準(zhǔn)確辨認(rèn)對頂角和鄰補(bǔ)角.

難點：在較復(fù)雜的圖形中準(zhǔn)確辨認(rèn)對頂角和鄰補(bǔ)角.

教學(xué)過程【教學(xué)備注】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題：請同學(xué)們觀察下面的圖片，說一說那些道路是

交錯的，那些是平行的？

教師導(dǎo)入：圖中的道路是有寬度的，是有限長的，而

且也不是完全直的，當(dāng)我們把它們看成直線時，這些

直線有些是相交線，有些是平行線.相交線、平行線

都有許多重要性質(zhì)，并且在生產(chǎn)和生活中有廣泛應(yīng)

用.所以研究這些問題對今后的工作和學(xué)習(xí)都是有用的，也將為后面的學(xué)習(xí)做些準(zhǔn)

備.我們先研究直線相交的問題.

二、目標(biāo)導(dǎo)學(xué)，探索新知

目標(biāo)導(dǎo)學(xué)1：理解對頂角和鄰補(bǔ)角的概念，并會在圖形中進(jìn)行辨別

1.觀察圖片，注意剪刀剪開布片過程中有關(guān)角的變化.

2.將剪刀抽象為幾何圖形并畫一畫.

答：如圖：

C

幾何語言描述圖形：直線AB、CD相交于點0.

概念：如果兩條直線有一個公共點，就說這兩條直線相交，公共點叫做這兩條直線

的交點。

3.觀察上圖，同桌討論。

(1)兩條直線相交組成幾個角？

(2)這兩條直線相交得到哪幾對角？

(3)每對角中兩個角的位置有怎樣的關(guān)系？

⑷根據(jù)它們的位置和度數(shù)的關(guān)系將這幾對角進(jìn)行分類.

【教師提示】教師

統(tǒng)一學(xué)生觀點并板

兩直線相交所形成的角分類書.

Z1和N2N2和N亙

C\2O^BZ1Z2

N勢N土

Z3Z4Z1和N3

J4、D

Z2fllZj_

4.概念歸納

(1)Z1與N3是直線AB、CD相交得到的，它們有一個公共頂

點0,沒有公共邊，像這樣的兩個角叫做對頂角.*

(2)N1與N2是直線AB、CD相交得到的，有公共頂點。，且有一條公共邊，像

這樣的兩個角叫做鄰補(bǔ)角.

5.概念深化

(1)找一找上圖中還有沒有對頂角，如果有，是哪兩個角？

(2)找一找上圖中還有沒有鄰補(bǔ)角，如果有，是哪兩個角？

學(xué)生口答：/2和/4再也是對頂角.N3與/2、N1與/4、N3與/4也互為鄰補(bǔ)

角。

6.初步應(yīng)用

例1：(1)下列圖中的N1與/2是鄰補(bǔ)角嗎？為什么？

(1)(2)

【教師強(qiáng)調(diào)】鄰補(bǔ)角的特點：①頂點相同；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長線;

③成對出現(xiàn)。

（2）下列各圖中/1、/2是對頂角嗎？

（1）（2）（3）（4）

【教師強(qiáng)調(diào)】對頂角的特點：①頂點相同；②角的兩邊互為反向延長線；③成對出現(xiàn)

的。

（3）請分別畫出下圖中/1的對頂角和N2的鄰補(bǔ)角.

*▽

學(xué)習(xí)目標(biāo)2：掌握對頂角的性質(zhì)并會推導(dǎo)

問題：我們在圖形中能準(zhǔn)確地辨認(rèn)對頂角，那么對頂角有什么性質(zhì)呢？

1.動手操作，推出性質(zhì)

已知，直線AB與CD相交于。點（如圖）,試猜想N1、/3的大小關(guān)系，并借助量角

器或其他方式驗證你的想法.

答：Z1=Z3.

【教學(xué)提示】學(xué)生

思考：你能用說理的方法推出嗎？

N1=/3以小組為單位展開

討論，選代表發(fā)言，

解：???/?!與N2互補(bǔ)，N3與/2互補(bǔ)（鄰補(bǔ)角定義），

并口答為什么.例

題比較簡單，教師

/.ZI=Z3（同角的補(bǔ)角相等）.

不做任何提示，讓

學(xué)生在練習(xí)本上獨

或?qū)懗桑篤Z1=180°-Z2,Z3=180°-Z2（鄰補(bǔ)角定義），

立完成解題過程，

.\Z1=Z3（等量代換）.請一個學(xué)生板演。

教師提醒：NI與N2互補(bǔ)不是給出的已知條件，而是分析圖形得到的；所以括號內(nèi)

不填已知，而填鄰補(bǔ)角定義.

2.性質(zhì)歸納：對頂角相等.

3初.步應(yīng)用

例1：如圖，直線a、b相交，Z1=40s,求N2,Z3,N4的度數(shù).【教學(xué)說明】要求

學(xué)生能用文字語言

解：：N1=N3（對頂角相等）,N1=40。（已知）說理，并讓學(xué)生寫

，Z3=40。.出推理過程，由于

本階段對于推理的

又；/1+/2=180。（鄰補(bǔ)角定義），N1=40。（己知）要求處在入門階

段，因此形式上可

/2=/4（對頂角相等）不做過分要求。

Z4=Z2=180e-Z1=1401

4.變式練習(xí)

學(xué)生活動：讓學(xué)生把例題中N1=40。這個條件換成其他條件，而結(jié)論不變，自編幾道

題.

變式1：把/1=40。變?yōu)?2—/1=40。

變式2：把/1=40。變?yōu)?2是NI的3倍

變式3：把/1=40。變?yōu)镹1：Z2=2：9.A/

【教學(xué)提示】表格

三、鞏固訓(xùn)練，熟練技能

C中的結(jié)論均由學(xué)生

自己口答填出.

1.（1）若與N2是對頂角，Z1=16s,則/2=2；

⑵若N3與N4是鄰補(bǔ)角，則/3+/4=s.

2.若N1與N2為對頂角，N1與/3互補(bǔ)，則/2+/3=2.

3.要測量兩堵圍墻所形成的NA。B的度數(shù)，但人不能進(jìn)入圍墻，如何測量？

四、歸納總結(jié)，板書設(shè)計

角的華寺征性相同點不同點

質(zhì)

名稱

對①兩條直線相交①都是兩條直①有無公共邊

形成的角；對頂

頂角相線相交而成的

②有公共頂點；角；

等

角3殳有公共邊②兩直線相

交時,對頂

②都有一個公

鄰角只有兩對，

①兩條直線相交共頂點：

而成；蝌卜鄰樸角有四

補(bǔ)對

②有公共頂點；角互③都是成對出

角③有一條公共邊補(bǔ)王見的

五、課后作業(yè)，目標(biāo)檢測

見本教輔同步內(nèi)容

教學(xué)反思

成功之處：本節(jié)課是在七年級上冊學(xué)過線、角的有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究兩直線位置關(guān)系的第一課

時.對頂角是幾何求解、證明中的一個基本圖形，其中對頂角相等也是證明中常用的結(jié)論，以此實現(xiàn)角之間

的相互轉(zhuǎn)化.內(nèi)容相對簡單，但又非常重要。對頂角的概念出來后，立即找到生活原型，以加強(qiáng)認(rèn)識，聯(lián)系

生活.在辨別給出圖形是否為對頂角的一組題目中，果然如課前所料，學(xué)生的幾何語言運(yùn)用不夠熟練、嚴(yán)謹(jǐn)，

我耐心地糾正，原因是幾何開始一定要讓學(xué)生重視幾何語言的表述，養(yǎng)成學(xué)習(xí)幾何的好習(xí)慣.在這個題目中

我始終讓學(xué)生對照定義辨別，加強(qiáng)認(rèn)識.探究對頂角相等這個性質(zhì)是本課時的重難點，所以我的設(shè)計是先畫

圖量角，讓學(xué)生有一個感性認(rèn)識，同時讓學(xué)生認(rèn)識到度量是有誤差的，所以叫學(xué)生記下讀數(shù)，提出可不可

以根據(jù)一個角的度數(shù)，計算出其對頂角的度數(shù)這樣一個問題，其實這個問題設(shè)計是承上啟下的，因為在證

明時我聽到他們說出“和剛才計算一樣”的話.練習(xí)題的設(shè)置一來是鞏固，二來時讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化思想.

不足之處：本節(jié)課通過對比教學(xué)，學(xué)生對概念的理解及簡單的一些推理說明基本能掌握，但可能是課堂上

沒有照顧到所有的學(xué)生導(dǎo)致部分學(xué)習(xí)有困難的孩子對推理說明類似的題目在解題過程中出現(xiàn)亂、繁等現(xiàn)象

（個別學(xué)生甚至無法下手）.課后要根據(jù)實際情況及時進(jìn)行補(bǔ)差補(bǔ)缺，爭取不讓一個孩子掉對.

5.1.2垂線

1.理解垂線、垂線段的概念，會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；（重點）

2.掌握點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；

3.掌握垂線的性質(zhì)，并會利用所學(xué)知識進(jìn)行簡單的推理.（難點）

鰭婕

一、情境導(dǎo)入

大家都看到過跳水比賽，下面幾幅圖片中是幾種不同的入水方式，你知道哪個圖片中運(yùn)

在獲得分?jǐn)?shù)最高的圖片中你知道運(yùn)動員的身體和水面之間的關(guān)系嗎？這節(jié)課我們將要

學(xué)習(xí)有關(guān)這種關(guān)系的知識.

二、合作探究

探究點一：垂線的概念

［類型—］利用垂直的定義求角的度數(shù)

（HU如圖，已知點。在直線上，CO_LDO于點O,若/1=150°,則/3的度數(shù)

為（）

B

D/

A.30°B.40°C.50°D.60°

解析：先根據(jù)鄰補(bǔ)角關(guān)系求出N2=180°-150°=30°,再由CO_L。。得出

=90°,最后由互余關(guān)系求出/3=90°—/2=90°-30°=60°.故選D.

方法總結(jié)：兩條直線垂直時，其夾角為90。；由一個角是90。也能得到這個角的兩條

邊是互相垂直的.

［類型二］垂直與對頂角、鄰補(bǔ)角結(jié)合求角的度數(shù)

囪?如圖，Zl=30°,ABLCD,垂足為O,EF經(jīng)過點。.求/2、/3的度數(shù).

解析：首先根據(jù)垂直的概念得到/8。。=90°,然后根據(jù)/I與N3是對頂角，N2與

/3互為余角，從而求出角的度數(shù).

解：由題意得/3=/1=30°（對頂角相等）...,AB_LCZ）（已知），.?./8。。=90°,（垂

直的定義），/.Z3+Z2=90°,即30。+/2=90。，AZ2=60°.

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直的概念，得到度數(shù)為90。的角，然后根據(jù)對頂

角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)解決.

探究點二：垂線的畫法

陶?（1）如圖①，過點尸畫AB的垂線；

（2）如圖②，過點尸分別畫。4、的垂線;

方法總結(jié)：垂線的畫法需要三步完成：一落：讓三角板的一條直角邊落在已知直線上，

使其與已知直線重合；二移：沿直線移動三角板，使其另一直角邊經(jīng)過所給的點；三畫：沿

此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線.

探究點三：垂線的性質(zhì)（垂線段最短）

Oil如圖，是一條河，C是河邊AB外一點.現(xiàn)欲用水管從河邊將水引到C處，請

在圖上畫出應(yīng)該如何鋪設(shè)水管能讓路線最短，并說明理由.

A--------------------B

解析：根據(jù)垂線的性質(zhì)可解，即過C作CE_LAB,根據(jù)“垂線段最短”可得CE最短.

解：如圖所示，沿CE鋪設(shè)水管能讓路線最短，因為垂線段最短.

方法總結(jié)：在利用垂線的性質(zhì)解決生活中最近、最短距離的問題時，要依據(jù)“兩點之間,

線段最短”和“垂線段最短”來解決.

探究點四：點到直線的距離

（SB如圖，在△ABC中，過點C作O5_LAB,垂足為￡）,則點C到直線A2的距離是（）

A

A.線段CA的長B.線段CD

C.線段A。的長D.線段。的長

解析：根據(jù)點到直線的距離的定義：直線外一點到直線的垂線段的長度叫做點到直線的

距離，可得點C到直線AB的距離是線段CD的長.故選D.

方法總結(jié)：點到直線的距離是直線外一點到直線的垂線段的長度，而不是垂線段.

三、板書設(shè)計

r垂線的定義

,一落

垂線的作法1二移

垂線〈

＞求最短距離

、三畫

垂線的性質(zhì)：垂線段最短

本節(jié)課主要研究兩條直線相交時的特殊情況——垂直，可類比前面兩條直線相交時的一

般情況學(xué)習(xí)新知識.經(jīng)歷合作探究過程獲得新知，并能用所學(xué)的新知識來解決實際問題.這

樣教學(xué)更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使每個學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上都能得到不同的發(fā)展

5.1.2垂線

教學(xué)目標(biāo)

1.了解垂直概念；

2.能說出垂線的性質(zhì)”經(jīng)過一點；能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線

3.會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線.

重點：兩直線互相垂直的有關(guān)性質(zhì).

難點：過直線上（外）一點作已知直線的垂線.

教學(xué)過程【教學(xué)備注】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

生活中的垂線

■J4二曜I

二、目標(biāo)導(dǎo)學(xué)，探索新知

目標(biāo)導(dǎo)學(xué)1垂直的定義

活動1在相交線的模型中，固定木條a,轉(zhuǎn)動木條b,當(dāng)

b的位置變化時，a、b所成的角a也會發(fā)生變化.

當(dāng)a=90°時,a與b垂直.當(dāng)a#900時,a與b

不垂直，叫斜交.

【教學(xué)提示】引導(dǎo)

1.垂直定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個學(xué)生通過木條的轉(zhuǎn)

角是直角（90°）時，這兩條直線互相垂直，其中一條直動過程得出垂線的

線叫另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足。定義。

（說明）從垂直的定義可知，判斷兩條直線互相垂直的關(guān)鍵：只要找到兩條直線相交

時四個交角中有一個角是直角。

2.垂直的表示：用“_L”和直線字母表示垂直ab

例如、如圖，a、b互相垂直，垂足為O,則記為：a，b或b°

±a,若要強(qiáng)調(diào)垂足，則記為：a±b,垂足為。.或2，13于0.

實際應(yīng)用：日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見，說出圖中的一些互相垂直的

線條.你能再舉出其他例子嗎？

方格本的橫線和豎線鉛垂線和水平線

試一試:

1、下面四種判定兩條直線垂直的方法，正確的有（）個

（1）兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直

（2）兩條直線相交，只要有一組鄰補(bǔ)角相等，則這兩條直線互相垂直

（3）兩條直線相交,所成的四個角相等，這兩條直線互相垂直

（4）兩條直線相交,有一組對頂角互補(bǔ)，則這兩條直線互相垂直

(A)4(B)3(C)2(D)1

2.如圖，已知AOB為一直線，ZA0D：ZB0D=3：1,0D平分/COB,

（1）求NAOC的度數(shù)；（2）判斷AB與0C的位置關(guān)系.

C

目標(biāo)導(dǎo)學(xué)2：垂線的書寫形式

當(dāng)直線AB與CD相交于。點，ZAOD=90°時，AB±CD,垂足為0.

書寫形式1：因為NAOD=90°（已知）

所以ABLCD（垂直的定義）反之，若直線AB與CD垂直，垂足為0,那么，ZA

00=90°

書寫形式2：.如圖.直線AB、CD相交于點O,0ELAB于0,0B平分/D0F,

ZDOE=50°,求/AOC、ZEOF、ZCOF的度數(shù).

垂線的定義

定義圖示文字語言幾何語言兩層含義

當(dāng)兩條直

AAB±CD,含義L

線所成的L

四個角中直線AB垂0為垂VABXCD

足.

有一個角J直于直線/.Zl=90°【教學(xué)提示】對垂

是直角時，ODCD,0為(垂直用線概念進(jìn)行小結(jié)。

含義2：

我們就說c垂足.符號“_L”

這兩條直來表示，VZ1=9O°

B

線互相垂讀祚“垂直AABXCD

直.于“)

學(xué)習(xí)目標(biāo)3：垂線的畫法和垂線性質(zhì)1

活動2(一)畫已知直線的垂線

(1)如圖1,已知直線m,作m的垂線。

(1)靠:把三角板的一直角邊靠在直線上；

(2)移:移動三角板到已知點；

(3)畫線:沿著三角板的另一直角邊畫出垂線.

【教學(xué)提示】通過

思考：

畫垂線的過程，引

(1)畫已知直線m的垂線能畫幾條？

導(dǎo)學(xué)生思考，得出

(2)過直線m上的一點A畫m的垂線，這樣的垂線能畫幾條？

性質(zhì)1.

(3)過直線m外的一點A畫m的垂線，這樣的垂線能畫幾條？

試一試：

過點p向線段AB所在直線引垂線，正確的是().

ABCD

垂線的性質(zhì)1過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

說明：（1）“過一點”包括幾種情況？線上和線外；（2）“有且只有”是什

么意思？存在性與唯一性。

（-）過點P作線段或射線所在直線的垂線

⑴(2)

注意:過一點畫已知線段（或射線）的垂線，就是畫這條線段（或射線）所在直線的垂線.畫

線段（或射線）的垂線時，有時要將線段延長（或?qū)⑸渚€反向延長）后再畫垂線.

試一試：

1.如圖，分別過A、B、C,作BC、AC、AB的垂線。

2.如圖，過P分別作OA、0B的垂線。

學(xué)習(xí)目標(biāo)3：垂線的性質(zhì)

活動3比較過直線m外一點。與m相交的所有線段中，哪一條最短?

垂線的性質(zhì)2直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中.垂線段最短.即：

垂線段最短.

點到直線的距離直線外一點到已知直線的垂線段的長度就叫做點到直線的距離.

應(yīng)用：在體育課上，老師是怎樣測量同學(xué)們的跳遠(yuǎn)成績的？你能嘗試說明其中的

理由嗎？

踏板

沙坑

做法：將尺子拉直與踏板邊所在直線垂直，取最近的腳印后跟與踏板邊沿之間的

距離就是跳遠(yuǎn)成績.

理由：直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中，垂線段最短.

四、垂線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用

1.如圖.直線AB、CD相交于點O,0ELAB于0,0B平分/DOF,Z

DOE=50°,求NAOC、ZEOF、ZCOF

的度數(shù).

解：因為ABLOE（已知）

所以ZEOB=90°（垂直的定義）

因為NDOE=50°（已知）

所以NDOB=40°（互余的定義）

所以/AOC=ZDOB=40°（對頂角相等）

又因為0B平分/DOF

所以NBOF=ZDOB=40°（角平分線定

義）

所以/EOF=ZEOB+ZBOF=90°+40°=130°

所以/COF=/COD—/DOF=180°—80°=100°（鄰補(bǔ)角定義）

2.如圖，一輛汽車在一段筆直的公路上從A村開往B村,P村不在路AB上.

（1）如果有一人想在A、B兩村之間下車，前往P村，他在哪里下車走的路程最

短？請畫出圖形,并說明原因.

（2）汽車在哪一段路上行駛時，與P村的距離越來越近？汽車在哪一段路上行駛

時，與P村的距離越來越遠(yuǎn)？

答案：（1）在。點下車走的路程最短.

原因：垂線段最短.

（2）在A。路段上行駛時，與P村的距離

越來越近，在0B路段上行駛時，與P

村的距離越來越遠(yuǎn).

3.下面四種判定兩條直線的垂直的方法.正確的個數(shù)為（）

①兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角.則這兩條直線互相垂直

②兩條直線相交.只要有一組鄰補(bǔ)角相等.則這兩條直線互相垂直

③兩條直線相交.所成的四個角相等.這兩條直線互相垂直

④兩條直線相交.有一組對頂角互補(bǔ).則這兩條直線互相垂直

A.5B.4C.3D.2

三、鞏固訓(xùn)練，熟練技能

1..兩條直線相交所成的四個角中，下列條件中能判定兩條直線垂直的是（）

（A）有兩個角相等（B）有兩對角相等

（C）有三個角相等（D）有四對鄰補(bǔ)角

2.如圖所示，在Z\ABC中,ZABC=90,

①過點B作三角形ABC的AC邊上的高BD,

過D點作三角形

ABD的AB邊上的高DE?

②點A到直線BC的距離是線段

的長度.

點B到直線AC的距離是線段

的長度.

點D到直線AB的距離是線段的長度

線段AD的長度是點到直線的距離.

?如圖ABXCD垂足為O,/COF=56°,求

ZAOE.

4.如圖：直線AB和CD相交于點QOELABQFLCD,N

BOF=40。,求/DOE和NAOC的度數(shù).

1

AOQB

四、歸納總結(jié)，板書設(shè)計

1垂.直的概念：如果兩條直線相交所成的四個角中，有一個是直角就說這兩條直線互

相垂直.

2.垂線的性質(zhì)1：同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

3.垂線的性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中.1，線段最短.

五、課后作業(yè)，目標(biāo)檢測

見本教輔同步內(nèi)容

教學(xué)反思

垂線是平面幾何所要研究的基本內(nèi)容之一.垂線的概念、畫法和性質(zhì)是重要的基礎(chǔ)知

識，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系、三角形的高、切線的性質(zhì)和判定、以及空間里的垂直關(guān)

系等知識的基礎(chǔ)，與其他數(shù)學(xué)知識一樣，它在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用.垂線的概念和性

質(zhì)，蘊(yùn)含著“從一般到特殊”的認(rèn)識規(guī)律，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要內(nèi)容之一.垂線的概

念和性質(zhì)是本節(jié)課的重點，也是全章的內(nèi)容之一；經(jīng)過一點畫已知直線的垂線，是本節(jié)課的

一個難點，在這個地方應(yīng)讓學(xué)生多觀察，多思考.讓學(xué)生動手畫一畫，試一試.鼓勵學(xué)生思考

并在小組內(nèi)交流，全班交流.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)以上兩個結(jié)論.全班內(nèi)交流成果.教師板書

學(xué)生的結(jié)論:經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直.引導(dǎo)學(xué)生分清“互相垂直”

與“垂線”的區(qū)別與聯(lián)系：（1）“互相垂直”指兩條直線的位置關(guān)系；（2）“垂線”是

指其中一條直線對另一條直線的命名.如果說兩條直線“互相垂直”時，其中一條必定是

另一條的“垂線”，如果一條直線是另一條直線的“垂線”，則它們必定“互相垂直”.

5.1.3同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

尊凰國糠

1.理解“三線八角”中沒有公共頂點的角的位置關(guān)系，知道什么是同位角、內(nèi)錯角、

同旁內(nèi)角；

2.通過比較、觀察、掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的特征；（重點）

3.能在復(fù)雜圖形中正確識別圖形中的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角.（重點、難點）

一、情境導(dǎo)入

上一節(jié)課中我們主要學(xué)習(xí)兩條直線相交的情況，兩條直線相交時，可以形成哪幾種角？

如果兩條直線被第三條直線所截時，還能形成以上的角嗎？是否還有其他類型的角呢？你能

說出它們的名字嗎？

二、合作探究

探究點一：識別同位角

［類型—］判斷同位角及截線

陶⑼如圖，/I和/2是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？/I和

Z3是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？

解析：識別同位角要弄清哪兩條直線被哪一條直線所截.也就是說，在辨別這些角之前,

要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線.

解：N1和/2是直線EE、0c被直線AB所截形成的同位角，/I和/3是直線48、

CD被直線EF所截形成的同位角.

方法總結(jié)：①同位角中的“同”字有兩層含義：一同是指兩角在截線的同旁，二同是指

它們在被截兩直線同方向；②在表述“三線八角”中某種位置關(guān)系的角時，可用以下方法：

“/X和/X是直線義和直線X被直線X所截形成的X角”.

［類型二］在圖形中判斷同位角

畫?下列圖形中，/I和N2不是同位角的是（）

解析：選項A、B、D中，Z1與/2在截線的同側(cè)，并且在被截線的同一方向，是同

位角，即在圖中可找到形如“F”的模型；選項C中，N1與/2的兩條邊都不在同一條直線

上，不是同位角.故選C.

方法總結(jié)：確定兩個角的位置關(guān)系的有效方法一描圖法：①把兩個角在圖中“描畫”

出來；②找到兩個角的公共直線；③觀察所描的角，判斷所屬“字母”類型，同位角為“F”

型.

【類型三】數(shù)同位角的對數(shù)

陶?如圖，直線/1,，2被所截，則同位角共有（

5V6

8\7

A.1對B.2對C.3對D.4對

解析：圖中同位角有：N1和N5,N2和/6,N3和/7,N4和/8,共4對.故選

方法總結(jié)：數(shù)同位角的個數(shù)時，應(yīng)從各個方向逐一觀察，避免重復(fù)或漏數(shù).

探究點二：識別內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

畫?如圖，下列說法錯誤的是（）

A.NA與NB是同旁內(nèi)角

B.N3與/I是同旁內(nèi)角

C.N2與/3是內(nèi)錯角

D.N1與N2是同位角

解析：根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的基本模型判斷.A中/A與形成“U”型，

是同旁內(nèi)南；B中N3與N1形成“U”型，是同旁內(nèi)角；C中/2與/3形成“Z”型，是內(nèi)

錯角；D中N1與N2是鄰補(bǔ)角，該選項說法錯誤.故選D.

方法總結(jié)：在復(fù)雜的圖形中判別三類角時，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有

兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為

被截的線.同位角的邊構(gòu)成“F”型，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z”型，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”型.

酗如圖所示，直線。E與的兩邊相交，則/。的同位角是,/8的同旁

內(nèi)角是?

D\,A

解析：直線。E與N。的兩邊相交，則NO的同位角是/5和N2,N8的同旁內(nèi)角是N1

和NO.故答案為/5和N2,N1和NO.

易錯點撥：找某角的同位角、同旁內(nèi)角時，應(yīng)從各個方位觀察，避免漏數(shù).

三、板書設(shè)計

’同位角“F”型

三線八角＜內(nèi)錯角“Z”型

.同旁內(nèi)角“U”型

頒簪底恩

本節(jié)課以學(xué)生交流、合作、探究貫穿始終，在教學(xué)過程中，給學(xué)生的思考留下了足夠的

時間和空間，由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論.學(xué)生在經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的過程中，

對“三線八角”的概念準(zhǔn)確理解并掌握.培養(yǎng)學(xué)生動手、合作、概括能力，同時也提高思維

水平和探究能力

5.2平行線及其判定

5.2.1平行線

1.了解平行線的概念及平面內(nèi)兩條直線相交或平行的兩種位置關(guān)系；

2.掌握平行公理以及平行公理的推論；（重點、難點）

3.會用符號語言表示平行公理推論，會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線

的平行線.（重點）

一、情境導(dǎo)入

數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，觀察下面的圖片，你發(fā)現(xiàn)了什么？

以上的圖片都有兩條相互平行的直線，這將是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

二、合作探究

探究點一：平行線的概念

（9D下列說法中正確的有：.

（1）在同一平面內(nèi)不相交的兩條線段必平行；

（2）在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線必平行；

（3）在同一平面內(nèi)不平行的兩條線段必相交；

（4）在同一平面內(nèi)不平行的兩條直線必相交；

（5）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和垂直.

解析：根據(jù)平行線的概念進(jìn)行判斷.線段不相交，延長后不一定不相交，（1）錯誤；同

一平面內(nèi)，直線只有平行和相交兩種位置關(guān)系，（2）（4）正確，（5）錯誤；線段是有長度的，不

平行也可以不相交，（3）錯誤.故答案為（2）（4）.

方法總結(jié)：同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：平行和相交.兩條線段平行、

兩條射線平行是指它們所在的直線平行，因此，兩條線段不相交不意味著它們所在的直線不

相交，也就無法判斷它們是否平行.

探究點二：過直線外一點畫已知直線的平行線

陶?如圖所示，在NAOB內(nèi)有一點P.

⑴過點尸畫/1〃。4;

⑵過點尸畫b〃03;

（3）用量角器量一量Zi與L相交的角與的大小有怎樣的關(guān)系.

解析：用兩個三角板，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”來畫平行線，然后用量角器量

一量Zi與L相交的角，該角與N。的關(guān)系為相等或互補(bǔ).

解：⑴⑵如圖所示；

（3）/1與L夾角有兩個：ZI,Z2；Nl=/。，/2+/。=180°,所以/i和/2的夾角與

相等或互補(bǔ).

易錯點撥：注意N2與N0是互補(bǔ)關(guān)系，解答時容易漏掉.

探究點三：平行公理及其推論

［類型—］應(yīng)用平行公理及其推論進(jìn)行判斷

00有下列四種說法：（1）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；（2）同一平

面內(nèi)，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直；（3）直線外一點與直線上各點連接的所

有線段中，垂線段最短;（4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行.其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：根據(jù)平行公理、垂線的性質(zhì)進(jìn)行判斷.（1）過直線外一點有且只有一條直線與這

條直線平行，正確；（2）同一平面內(nèi)，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直，正確；（3）

直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，正確；（4）平行于同一條直線的

兩條直線互相平行，正確；正確的有4個.故答案為D.

方法總結(jié)：平行線公理和垂線的性質(zhì)兩者比較相近，兩者區(qū)別在于：對于平行線公理中，

必須是過直線外一點可以作已知直線的平行線，但過直線上一點不能作已知直線的平行線，

垂線的性質(zhì)中，無論點在何處都能作出已知直線的垂線.

［類型二］應(yīng)用平行公理的推論進(jìn)行論證

（SE1四條直線a,b,c,d互不重合，如果b//c,c//d,那直線a,d的位置關(guān)

系為.

解析：由于b//c,根據(jù)平行公理的推論得到a〃c,品c〃d,所以。〃d故答案

為。〃d.

方法總結(jié)：平行公理的推論是證明兩條直線相互平行的理論依據(jù).

［類型三］平行公理推論的實際應(yīng)用

（SB將一張長方形的硬紙片ABC。對折后打開，折痕為EF把長方形A3E尸平攤在桌

面上，另一面CDFE無論怎樣改變位置，總有CZ)〃AB存在，為什么？

解析：根據(jù)平行公理的推論得出答案即可.

角生,：CD//EF,EF//AB,J.CD//AB.

方法總結(jié)：利用平行公理的推論進(jìn)行證明時，關(guān)鍵是找到與要證的兩邊都平行的第三條

邊進(jìn)行說明.

三、板書設(shè)計

「概念

兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交

平行線〈

［平行公理

性質(zhì)I〔平行公理的推論

本節(jié)課以學(xué)生身邊熟悉的事物引入，讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與我們的生

活密不可分.經(jīng)歷觀察多媒體的演示和通過畫圖等操作，交流歸納與活動，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生

的空間想象能力

5.2.1平行線

教學(xué)任務(wù)分析

（1）在豐富的現(xiàn)實情境中，進(jìn)一步了解兩條直線的平行關(guān)系，掌握有

關(guān)的符號表示.

知識技能

（2）會用三角尺、方格紙等畫平行線，積累操作活動的經(jīng)驗.

（3）在操作活動中，探索并了解平行線的有關(guān)性質(zhì)（基本事實）

教

在探究新知的過程中體驗數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，感受從具體到抽象的

學(xué)數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)過程.

目

標(biāo)

解決問題能夠獨立解決畫平行線的問題，理解平行線的基本事實.

情感態(tài)度培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，以及邏輯推理能力，體驗成功的快樂.

1.了解平行線的定義，并能用符號表示.能借助三角板，方格紙等畫平行線.

重點

2.探索平行線的基本性質(zhì)（基本事實）.

難點探索平行線的基本性質(zhì)

教學(xué)流程安排

活動流程圖活動內(nèi)容和目的

活動1平行線的概念通過演示木條的各個情況使學(xué)生歸納平行線的定義.

活動2生活中的平行線