2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【分類(lèi)討論】等腰三角形中的分類(lèi)討論思想（解析版）

等腰三角形中的分類(lèi)討論思想知識(shí)方法精講1．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開(kāi)始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．4．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．5．等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．7.分類(lèi)討論思想每個(gè)HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問(wèn)題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會(huì)影響問(wèn)題的解決，由上述幾類(lèi)問(wèn)題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類(lèi)，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這種按不同情況分類(lèi)，然后再逐一研究解決的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)思想，稱之為分類(lèi)討論思想。一．選擇題（共7小題）1．（2021秋?昌平區(qū)期末）如圖，已知中，，，在直線上取一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】等腰三角形的判定【分析】分三種情況，，，．【解答】解：分三種情況，如圖：，，，當(dāng)時(shí)，以為圓形，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線于，兩個(gè)點(diǎn)，，，是等邊三角形，，當(dāng)時(shí)，以為圓形，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線于，當(dāng)時(shí)，作的垂直平分線，交直線于，綜上所述，在直線上取一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有2個(gè)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題目的已知畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．2．（2021秋?綦江區(qū)期末）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)，是小正方形的頂點(diǎn)，如果點(diǎn)是小正方形的頂點(diǎn)，且使是等腰三角形，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)】等腰三角形的判定【分析】當(dāng)是腰長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個(gè)小正方形與、頂點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)，連接即可得到等腰三角形；當(dāng)是底邊時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，垂直平分線上的格點(diǎn)都可以作為點(diǎn)，然后相加即可得解．【解答】解：如圖，分情況討論：①為等腰的底邊時(shí)，符合條件的點(diǎn)有4個(gè)；②為等腰其中的一條腰時(shí)，符合條件的點(diǎn)有4個(gè)．所以是等腰三角形，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8個(gè)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫(huà)出符合實(shí)際條件的圖形．分類(lèi)討論思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．3．（2021春?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）若等腰三角形的一個(gè)角是，則此等腰三角形的頂角為A． B． C．或 D．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)【分析】可分兩種情況：當(dāng)角為頂角時(shí)；當(dāng)角為底角時(shí)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，利用三角形的內(nèi)角和定理分別求解即可．【解答】解：當(dāng)角為頂角時(shí)，則等腰三角形的頂角為；當(dāng)角為底角時(shí)，等腰三角形的頂角為，即此等腰三角形的頂角為或．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?長(zhǎng)春期末）若中剛好有，則稱此三角形為“可愛(ài)三角形”，并且稱作“可愛(ài)角”．現(xiàn)有一個(gè)“可愛(ài)且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個(gè)三角形的“可愛(ài)角”應(yīng)該是A．或 B．或 C．或 D．或或【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理【分析】分設(shè)三角形底角為，頂角為或設(shè)三角形的底角為，頂角為，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，得出答案．【解答】解：①設(shè)三角形底角為，頂角為，則，解得：，②設(shè)三角形的底角為，頂角為，則，解得：，，三角形的“可愛(ài)角”應(yīng)該是或，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題是新定義題，主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用分類(lèi)思想是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?洪山區(qū)期末）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱作格點(diǎn)，圖中、在格點(diǎn)上，則圖中滿足為等腰三角形的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．7 B．8 C．9 D．10【考點(diǎn)】等腰三角形的判定【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以、為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，作的垂直平分線，即可確定點(diǎn)的位置．【解答】解：如圖所示：分三種情況：①以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則圓弧經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)，，即為點(diǎn)的位置；②以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則圓弧經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)，，，，，即為點(diǎn)的位置；③作的垂直平分線，垂直平分線沒(méi)有經(jīng)過(guò)格點(diǎn)；為等腰三角形的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：8，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，利用兩圓一線來(lái)解答是解題的關(guān)鍵．6．（2019秋?蜀山區(qū)期末）在中，與相鄰的外角是，要使為等腰三角形，則的度數(shù)是A． B． C．或 D．或或【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定【分析】依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，．的度數(shù)為或或，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2020秋?河池期中）已知等腰三角形的一個(gè)外角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為A． B． C．或 D．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)定理即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，可以得到：（1）當(dāng)這個(gè)的外角為頂角的外角時(shí)，則這個(gè)等腰三角形的頂角為；（2）當(dāng)這個(gè)的外角為底角的外角時(shí)，可以得到這個(gè)等腰三角形的頂角為．【解答】解：分為兩種情況：（1）當(dāng)這個(gè)的外角為頂角的外角時(shí)，則這個(gè)等腰三角形的頂角為；（2）當(dāng)這個(gè)的外角為底角的外角時(shí)，可以得到這個(gè)等腰三角形的頂角為；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角性質(zhì)定理即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．二．填空題（共2小題）8．（2021秋?淮南月考）如圖，已知的半徑為2．弦的長(zhǎng)度為2，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，若為等腰三角形，則的長(zhǎng)為或12或4．【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)【分析】當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分兩種情況：①如圖1，，在的兩側(cè)各有一個(gè)符合條件的點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；②如圖2，當(dāng)時(shí)，連接，，交于，則，根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)和勾股定理，垂徑定理可得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分以下兩種情況：①如圖1，以為底邊時(shí)，，連接，，則過(guò)圓心，，，，，，，，；②如圖2，以為腰時(shí)，，連接，，交于，則，，，△是等邊三角形，，，，，，綜上，或12或4．故答案為：或12或4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?鹽池縣期末）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為20．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為和，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：，，腰長(zhǎng)不能為，只能為，等腰三角形的周長(zhǎng)．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共10小題）10．（2021?婺城區(qū)模擬）在矩形中，，點(diǎn)是直線上（不與點(diǎn)重合）的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交直線、直線于點(diǎn)、，連結(jié)．（1）如圖，當(dāng)，點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，①若與相似，求的長(zhǎng)．②若是等腰三角形，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】相似形綜合題【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及同角的余角相等可得，再運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求得答案；（2）①根據(jù)與相似，是公共斜邊，可得或與，分兩種情況討論即可；③由是等腰三角形，可得或或，分三種情況進(jìn)行討論．【解答】解：（1）四邊形是矩形，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，．（2）①與相似，是公共斜邊，或，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，．當(dāng)時(shí)，如圖2，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，與，，，在和中，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，，，，，，，，，即，，，綜上所述，或．②是等腰三角形，或或，當(dāng)時(shí)，如圖3，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，如圖4，設(shè)，則，，，，，，，，，，，即，，，，，，，，即，；當(dāng)時(shí)，如圖5，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，即，，，，，，解得：，；綜上所述，的長(zhǎng)為4或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角函數(shù)定義等，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想是解題關(guān)鍵．11．（2021?高郵市二模）如圖，是的高，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），于點(diǎn)，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則；（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，①的值為；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線段最??？最小值是多少？③當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】三角形綜合題【分析】（1）如圖1，設(shè)，根據(jù)三角形的中位線定理得，根據(jù)正切定義得，得，，根據(jù)，列方程可得的值，最后根據(jù)勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)；（2）①過(guò)點(diǎn)作于，證明四邊形為矩形，得，，根據(jù)三角函數(shù)定義可得，可得結(jié)論；②由①得：，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理計(jì)算，根據(jù)平方的非負(fù)性可得當(dāng)時(shí)，取最小值為，由平行線分線段成比例定理得，計(jì)算的長(zhǎng)，可得結(jié)論；③設(shè)，，，根據(jù)勾股定理計(jì)算和的長(zhǎng)，為等腰三角形，分三種情況：，，，列方程可解答．【解答】解：（1）如圖1，設(shè)，，，，，，，是的中位線，，，即，，，，，，，，，，，，；故答案：；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，，，，四邊形為矩形，，，，，故答案為：8；②由①得：，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)，，，，，中，由勾股定理得：，，當(dāng)時(shí)，線段最小，最小值是；③設(shè)，，，，，，，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，存在以下三種情況：，則，解得：，；，，，，，；，則，，解得：（舍，，；綜上所述，的長(zhǎng)為或或．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，解答本題主要應(yīng)用了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線定理，二次根式的計(jì)算，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握平行線分線段成比例定理是關(guān)鍵，并結(jié)合方程思想和分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．12．（2021秋?南沙區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的半徑為3．（1）試判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系，并加以說(shuō)明．（2）若直線與相交，求的取值范圍．（3）若直線與相交于點(diǎn)，．點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）計(jì)算與半徑3進(jìn)行比較即可；（2）當(dāng)直線與相切于點(diǎn)時(shí)，求出的長(zhǎng)度，即可得出相交時(shí)的范圍；（3）首先得出，，分，，三種情形，分別計(jì)算即可．【解答】解：（1），，，點(diǎn)在外；（2）如圖，當(dāng)直線與相切于點(diǎn)時(shí)，連接，則，，，直線與相交時(shí)，；（3）直線與相交于點(diǎn)，．，，，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，軸，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或或．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，主要考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)思想是解題的關(guān)鍵．13．（2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在紙片中，，，，按圖所示的方法將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求折痕長(zhǎng)．（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，．求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域．（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】三角形綜合題【分析】（1）由翻折可知：，，設(shè)，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．（2）利用勾股定理即可解決問(wèn)題．（3）分三種情形：①，②，③當(dāng)時(shí)，分別求解即可．【解答】解：（1）如圖1中，由翻折可知：，，設(shè)，在中，，，解得，．（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)，，則，，．當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)，同理可得．關(guān)于的函數(shù)解析式為．（3）如圖3中，①當(dāng)時(shí)，設(shè)，在中，，，解得，．②當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上．如圖4，．綜上所述，滿足條件的的值為或或6．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)由分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．14．（2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線軸，且直線分別與反比例函數(shù)和的圖象交于、兩點(diǎn)，，．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若軸上有一點(diǎn)，使得為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題【分析】（1）由．得，設(shè)，代入反比例函數(shù)中即可；（2）首先利用勾股定理得，當(dāng)若，則或；若，則，則；若，設(shè)點(diǎn)，則，從而解決問(wèn)題．【解答】解：（1），，，，，，反比例函數(shù)的解析式為，，軸，，，設(shè)，，（負(fù)值舍去），點(diǎn)的坐標(biāo)為，，（2），若為等腰三角形，可分三種情況：①若，則或；②若，則，則；③若，設(shè)點(diǎn)，則，解得：，，，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，或或．【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，的幾何意義，等腰三角形等知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．15．（2020秋?沈北新區(qū)校級(jí)期末）如圖1，在中，，，，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)處沿射線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）用含的代數(shù)式分別表示線段和的長(zhǎng)度．則，．（2）若為等腰三角形，求值．（3）如圖2，以為對(duì)角線作正方形，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若正方形的一邊恰好落在的一邊上，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的值．【考點(diǎn)】四邊形綜合題【分析】（1）由運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系，直接可求；（2）分三種情況求解：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，即；③當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，即；分別求出的值即可；（3）分四種情況求解：①當(dāng)在上時(shí)，，再由，可得，可求；②當(dāng)在上時(shí)，，，即，可求；③當(dāng)在上時(shí)，，由，可求；④當(dāng)在上時(shí)，，由，可求．【解答】解：（1）由題意可得，，故答案為：，；（2）①當(dāng)時(shí)，，；②如圖1，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，在中，，，；③如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，在中，，，；綜上所述：若為等腰三角形，的值為或2或；（3）如圖3，當(dāng)在上時(shí)，，，，，，在中，，，；②如圖4，當(dāng)在上時(shí)，在中，，，，，，，；③如圖5，當(dāng)在上時(shí)，在中，，，，，；④如圖6，當(dāng)在上時(shí)，在中，，，，，；綜上所述：的值為或或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合，熟練掌握正方形的性質(zhì)，角的直角三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．16．（2020秋?虹口區(qū)期末）如圖，中，，，的平分線與線段交于點(diǎn)，且有，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），聯(lián)結(jié)，設(shè)，．（1）求的度數(shù)；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式（無(wú)需寫(xiě)出定義域）；（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】三角形綜合題【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出；（2）作于，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算求出關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）分、兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：（1），，是的平分線，，，，；（2）如圖，作于，在中，，，，，，，，，在中，，，在中，，即，解得：；（3）在中，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得：，即，點(diǎn)與、不重合，，綜上所述：當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想、勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．（2021秋?雞冠區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的斜邊在軸上，點(diǎn)在軸上，，、的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)根，且．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)的直線與軸平行，直線交邊或邊于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】三角形綜合題【分析】（1）解一元二次方程求出、，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法分別求出直線、直線的解析式，分點(diǎn)在線段上、點(diǎn)在線段上兩種情況，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）分、、三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：（1）解方程，可得，，、的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)根，且，，，，，，又，，，即，解得，；（2）由（1）可知，，，設(shè)直線解析式為，，解得，直線的解析式為，同理可求得直線解析式為，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，即時(shí)，則點(diǎn)在直線上，點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，即時(shí)，則點(diǎn)在直線上，點(diǎn)坐標(biāo)為，；綜上可知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；（3）存在．由勾股定理得，，當(dāng)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，如圖，，在中，，即，解得，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，綜上所述，為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或或，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的解法、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．18．（2021秋?金牛區(qū)期末）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)，點(diǎn)，，連接．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立即停止，速度為每秒個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)的解析式；（2）在（1）的條件下，若第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)時(shí)，同時(shí)有點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿直