2024年中考數(shù)學復習重難點精講練專題02 整式（學生版）

知識點01：同類項及合并同類項【高頻考點精講】1．同類項判定（1）定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項叫做同類項。（2）注意事項：①所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同，兩者缺一不可；②同類項與系數(shù)的大小無關；③同類項與它們所含的字母順序無關；④所有常數(shù)項都是同類項。2．合并同類項（1）定義：把多項式中的同類項合成一項，叫做合并同類項。（2）法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。知識點02：列代數(shù)式及求值【高頻考點精講】1．列代數(shù)式（1）在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量。（2）要注意書寫的規(guī)范性，用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫。（3）在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面。（4）含有字母的除法，一般不用“÷”，而是寫成分數(shù)的形式。2．代數(shù)式求值（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結果叫做代數(shù)式的值。（2）代數(shù)式求值步驟：①代入；②計算。如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值。知識點03：數(shù)字及圖形變化規(guī)律【高頻考點精講】1．數(shù)字變化規(guī)律（1）探尋數(shù)列規(guī)律：將數(shù)字與序號建立數(shù)量關系或者與前后數(shù)字進行簡單運算，從而得出通項公式。（2）利用方程解決問題：當問題中有多個未知數(shù)時，可先設出其中一個為x，再利用它們之間的關系，設出其他未知數(shù)，然后列方程。2．圖形變化規(guī)律找出圖形哪些部分發(fā)生變化，按照什么規(guī)律發(fā)生變化，通過分析，找到各部分變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。知識點04：單項式及多項式【高頻考點精講】1．單項式（1）定義：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項式，單獨的一個數(shù)或一個字母也叫做單項式。用字母表示的數(shù)，同一個字母在不同的式子中可以有不同的含義，相同的字母在同一個式子中表示相同的含義。（2）單項式的系數(shù)、次數(shù)單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，一個單項式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)。在判別單項式的系數(shù)時，要注意數(shù)字前面的符號，形如a或﹣a的系數(shù)是1或﹣1，不能誤以為沒有系數(shù)，一個單項式的次數(shù)是幾，通常稱這個單項式為幾次單項式。2．多項式（1）定義：幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項。多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)。（2）多項式的每一項都是一個單項式，單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù)，如果一個多項式含有a個單項式，次數(shù)是b，那么這個多項式就叫b次a項式。知識點05：冪的運算【高頻考點精講】（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。am?an＝am+n（m，n是正整數(shù)），拓展：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）（2）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）（3）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）（4）同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減。am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）知識點06：完全平方公式及其幾何背景【高頻考點精講】1．完全平方公式（1）（a±b）2＝a2±2ab+b2；（2）特征①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，為正；中間一項是兩項積的2倍，符號與左邊的運算符號相同。2．驗證完全平方公式的幾何圖形（a+b）2＝a2+2ab+b2大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個小正方形與兩個長、寬分別是a、b的長方形的面積之和。知識點07：平方差公式及其幾何背景【高頻考點精講】1．平方差公式（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）特征①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)。②右邊是相同項的平方減去相反項的平方。2．驗證平方差公式的幾何圖形知識點08：整式混合運算【高頻考點精講】1．有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算。2．“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，此時應注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來。知識點09：因式分解意義【高頻考點精講】1．分解因式的定義把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式。因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式。因式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項式的表現(xiàn)形式。 知識點10：提公因式法【高頻考點精講】1．提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。2．具體方法（1）當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)，字母應取各項相同的字母，字母的指數(shù)應取次數(shù)最低的。取相同的多項式，多項式的次數(shù)應取最低的。（2）如果多項式的第一項為負，一般要提出“﹣”，使括號內第一項的系數(shù)為正，提出“﹣”時，多項式的各項都要變號。知識點11：公式法【高頻考點精講】1．如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫做公式法。平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2．概括整合（1）能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反。（2）能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍。知識點12：十字相乘法【高頻考點精講】1．x2+（p+q）x+pq型式子（1）式子特點：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積。（2）x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）2．ax2+bx+c（a≠0）型式子（1）把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1、a2的積a1?a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1、c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1=b。（2）ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．知識點12：因式分解的應用【高頻考點精講】利用因式分解解決求值問題。利用因式分解解決證明問題。3．利用因式分解簡化計算問題。檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.54一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?廣州）下列運算正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．a8÷a2＝a4（a≠0） C．a3?a5＝a8 D．（2a）﹣1＝（a≠0）2．（2分）（2023?鞍山）下列運算正確的是（）A．（4ab）2＝8a2b2 B．2a2+a2＝3a4 C．a6÷a4＝a2 D．（a+b）2＝a2+b23．（2分）（2023?黃石）下列運算正確的是（）A．3x2+2x2＝6x4 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6 C．x3?x2＝x6 D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y4．（2分）（2023?吉林）下列各式運算結果為a5的是（）A．a2+a3 B．a2a3 C．（a2）3 D．a10÷a25．（2分）（2023?黑龍江）下列運算正確的是（）A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 D．（a5）2＝a76．（2分）（2023?重慶）在多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列說法：①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（2分）（2023?衢州）下列運算，結果正確的是（）A．3a+2a＝5a2 B．3a﹣2a＝1 C．a2?a3＝a5 D．a÷a2＝a8．（2分）（2023?鎮(zhèn)江）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出2x個球放入乙袋，再從乙袋中取出（2x+2y）個球放入丙袋，最后從丙袋中取出2y個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)都相同，則2x+y的值等于（）A．128 B．64 C．32 D．169．（2分）（2023?湘西州）下列運算正確的是（）A． B．（3a）2＝6a2 C． D．（a+b）2＝a2+b210．（2分）（2023?湛江二模）定義：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記做x＝logaN．例如：因為72＝49，所以log749＝2；因為53＝125，所以log5125＝3．則下列說法正確的個數(shù)為（）①log61＝0；②log323＝3log32；③若log2（3﹣a）＝log827，則a＝0；④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．A．4 B．3 C．2 D．1二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?涼山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，則m的值是．12．（2分）（2022?成都）計算：（﹣a3）2＝．13．（2分）（2021?河北）現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）．（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片塊．14．（2分）（2021?廣安）若x、y滿足，則代數(shù)式x2﹣4y2的值為．15．（2分）（2022?益陽）已知m，n同時滿足2m+n＝3與2m﹣n＝1，則4m2﹣n2的值是．16．（2分）（2023?金華）如圖是一塊矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面積為s（m2），現(xiàn)將邊AB增加1m．（1）如圖1，若a＝5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是．（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個a的值，使得到的矩形面積為2s（m2），則s的值是．17．（2分）（2020?長沙）某數(shù)學老師在課外活動中做了一個有趣的游戲：首先發(fā)給A、B、C三個同學相同數(shù)量的撲克牌（假定發(fā)到每個同學手中的撲克牌數(shù)量足夠多），然后依次完成以下三個步驟：第一步，A同學拿出二張撲克牌給B同學；第二步，C同學拿出三張撲克牌給B同學；第三步，A同學手中此時有多少張撲克牌，B同學就拿出多少張撲克牌給A同學．請你確定，最終B同學手中剩余的撲克牌的張數(shù)為．18．（2分）（2018?玉林）已知ab＝a+b+1，則（a﹣1）（b﹣1）＝．19．（2分）（2017?青海）觀察下列各式的規(guī)律：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…可得到（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝；一般地（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝．20．（2分）（2023?重慶）對于一個四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為；一個“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，記P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?長沙）先化簡，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．22．（6分）（2022?河北）發(fā)現(xiàn)兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和．驗證如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10為偶數(shù)．請把10的一半表示為兩個正整數(shù)的平方和；探究設“發(fā)現(xiàn)”中的兩個已知正整數(shù)為m，n，請論證“發(fā)現(xiàn)”中的結論正確．（8分）（2022?梧州）（1）計算：﹣5+（﹣3）×（﹣2）2．化簡：3a+2（a2﹣a）﹣2a?3a．24．（8分）（2021?涼山州）閱讀以下材料：蘇格蘭數(shù)學家納皮爾（J．Npler，1550﹣1617年）是對數(shù)的創(chuàng)始人．他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉（Evler，1707﹣1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．對數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式24＝16可以轉化為對數(shù)式4＝log216，對數(shù)式2＝log39可以轉化為指數(shù)式32＝9．我們根據對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質：loga（M?N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：設logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，∴M?N＝am?an＝am+n，由對數(shù)的定義得m+n＝loga（M?N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴l(xiāng)oga（M?N）＝logaM+logaN．根據上述材料，結合你所學的知識，解答下列問題：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求證：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展運用：計算log5125+log56﹣log530．25．（8分）（2023?河北）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖所示（a＞1）．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形（不重疊無縫隙），如表2和表3，其面積分別為S1，S2．表2表3（1）請用含a的式子分別表示S1，S2，當a＝2時，求S1+S2的值；（2）比較S1與S2的大小，并說明理由．26．（8分）（2018?衢州）有一張邊長為a厘米的正方形桌面，因為實際需要，需將正方形邊長增加b厘米，木工師傅設計了如圖所示的三種方案：小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗證公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，對于方案一，小明是這樣驗證的：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2請你根據方案二、方案三，寫出公式的驗證過程．方案二：方案三：27．（8分）（2018?自貢）閱讀以下材料：對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學家納皮爾（J．Nplcr，1550﹣1617年），納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直