2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)精講練專(zhuān)題02 整式（學(xué)生版）

知識(shí)點(diǎn)01：同類(lèi)項(xiàng)及合并同類(lèi)項(xiàng)【高頻考點(diǎn)精講】1．同類(lèi)項(xiàng)判定（1）定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)。（2）注意事項(xiàng)：①所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同，兩者缺一不可；②同類(lèi)項(xiàng)與系數(shù)的大小無(wú)關(guān)；③同類(lèi)項(xiàng)與它們所含的字母順序無(wú)關(guān)；④所有常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng)。2．合并同類(lèi)項(xiàng)（1）定義：把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng)。（2）法則：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。知識(shí)點(diǎn)02：列代數(shù)式及求值【高頻考點(diǎn)精講】1．列代數(shù)式（1）在同一個(gè)式子或具體問(wèn)題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量。（2）要注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性，用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡(jiǎn)寫(xiě)作“?”或者省略不寫(xiě)。（3）在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫(xiě)在字母的前面。（4）含有字母的除法，一般不用“÷”，而是寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式。2．代數(shù)式求值（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。（2）代數(shù)式求值步驟：①代入；②計(jì)算。如果給出的代數(shù)式可以化簡(jiǎn)，要先化簡(jiǎn)再求值。知識(shí)點(diǎn)03：數(shù)字及圖形變化規(guī)律【高頻考點(diǎn)精講】1．?dāng)?shù)字變化規(guī)律（1）探尋數(shù)列規(guī)律：將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式。（2）利用方程解決問(wèn)題：當(dāng)問(wèn)題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程。2．圖形變化規(guī)律找出圖形哪些部分發(fā)生變化，按照什么規(guī)律發(fā)生變化，通過(guò)分析，找到各部分變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。知識(shí)點(diǎn)04：?jiǎn)雾?xiàng)式及多項(xiàng)式【高頻考點(diǎn)精講】1．單項(xiàng)式（1）定義：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫做單項(xiàng)式。用字母表示的數(shù)，同一個(gè)字母在不同的式子中可以有不同的含義，相同的字母在同一個(gè)式子中表示相同的含義。（2）單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。在判別單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，要注意數(shù)字前面的符號(hào)，形如a或﹣a的系數(shù)是1或﹣1，不能誤以為沒(méi)有系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)是幾，通常稱(chēng)這個(gè)單項(xiàng)式為幾次單項(xiàng)式。2．多項(xiàng)式（1）定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù)。（2）多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都是一個(gè)單項(xiàng)式，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，如果一個(gè)多項(xiàng)式含有a個(gè)單項(xiàng)式，次數(shù)是b，那么這個(gè)多項(xiàng)式就叫b次a項(xiàng)式。知識(shí)點(diǎn)05：冪的運(yùn)算【高頻考點(diǎn)精講】（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。am?an＝am+n（m，n是正整數(shù)），拓展：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）（2）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）（3）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）（4）同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減。am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）知識(shí)點(diǎn)06：完全平方公式及其幾何背景【高頻考點(diǎn)精講】1．完全平方公式（1）（a±b）2＝a2±2ab+b2；（2）特征①左邊是兩個(gè)數(shù)的和的平方；②右邊是三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是兩項(xiàng)的平方，為正；中間一項(xiàng)是兩項(xiàng)積的2倍，符號(hào)與左邊的運(yùn)算符號(hào)相同。2．驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形（a+b）2＝a2+2ab+b2大正方形的面積等于邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的兩個(gè)小正方形與兩個(gè)長(zhǎng)、寬分別是a、b的長(zhǎng)方形的面積之和。知識(shí)點(diǎn)07：平方差公式及其幾何背景【高頻考點(diǎn)精講】1．平方差公式（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）特征①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)。②右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。2．驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形知識(shí)點(diǎn)08：整式混合運(yùn)算【高頻考點(diǎn)精講】1．有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算。2．“整體”思想在整式運(yùn)算中較為常見(jiàn)，適時(shí)采用整體思想可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，此時(shí)應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號(hào)括起來(lái)。知識(shí)點(diǎn)09：因式分解意義【高頻考點(diǎn)精講】1．分解因式的定義把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式。因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式。因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式。 知識(shí)點(diǎn)10：提公因式法【高頻考點(diǎn)精講】1．提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。2．具體方法（1）當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，字母應(yīng)取各項(xiàng)相同的字母，字母的指數(shù)應(yīng)取次數(shù)最低的。取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)應(yīng)取最低的。（2）如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)為負(fù)，一般要提出“﹣”，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)的系數(shù)為正，提出“﹣”時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。知識(shí)點(diǎn)11：公式法【高頻考點(diǎn)精講】1．如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫做公式法。平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2．概括整合（1）能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫(xiě)成平方的形式，且符號(hào)相反。（2）能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或式）的積的2倍。知識(shí)點(diǎn)12：十字相乘法【高頻考點(diǎn)精講】1．x2+（p+q）x+pq型式子（1）式子特點(diǎn)：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積。（2）x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）2．a(chǎn)x2+bx+c（a≠0）型式子（1）把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1、a2的積a1?a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1、c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1=b。（2）ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．知識(shí)點(diǎn)12：因式分解的應(yīng)用【高頻考點(diǎn)精講】利用因式分解解決求值問(wèn)題。利用因式分解解決證明問(wèn)題。3．利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿(mǎn)分：100分難度系數(shù)：0.54一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?廣州）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．a(chǎn)8÷a2＝a4（a≠0） C．a(chǎn)3?a5＝a8 D．（2a）﹣1＝（a≠0）2．（2分）（2023?鞍山）下列運(yùn)算正確的是（）A．（4ab）2＝8a2b2 B．2a2+a2＝3a4 C．a(chǎn)6÷a4＝a2 D．（a+b）2＝a2+b23．（2分）（2023?黃石）下列運(yùn)算正確的是（）A．3x2+2x2＝6x4 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6 C．x3?x2＝x6 D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y4．（2分）（2023?吉林）下列各式運(yùn)算結(jié)果為a5的是（）A．a(chǎn)2+a3 B．a(chǎn)2a3 C．（a2）3 D．a(chǎn)10÷a25．（2分）（2023?黑龍江）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 D．（a5）2＝a76．（2分）（2023?重慶）在多項(xiàng)式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間任意添加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱(chēng)此為“絕對(duì)操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列說(shuō)法：①存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；②不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（2分）（2023?衢州）下列運(yùn)算，結(jié)果正確的是（）A．3a+2a＝5a2 B．3a﹣2a＝1 C．a(chǎn)2?a3＝a5 D．a(chǎn)÷a2＝a8．（2分）（2023?鎮(zhèn)江）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個(gè)、29個(gè)、5個(gè)，先從甲袋中取出2x個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥〕觯?x+2y）個(gè)球放入丙袋，最后從丙袋中取出2y個(gè)球放入甲袋，此時(shí)三只袋中球的個(gè)數(shù)都相同，則2x+y的值等于（）A．128 B．64 C．32 D．169．（2分）（2023?湘西州）下列運(yùn)算正確的是（）A． B．（3a）2＝6a2 C． D．（a+b）2＝a2+b210．（2分）（2023?湛江二模）定義：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記做x＝logaN．例如：因?yàn)?2＝49，所以log749＝2；因?yàn)?3＝125，所以log5125＝3．則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）①log61＝0；②log323＝3log32；③若log2（3﹣a）＝log827，則a＝0；④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．A．4 B．3 C．2 D．1二．填空題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?涼山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，則m的值是．12．（2分）（2022?成都）計(jì)算：（﹣a3）2＝．13．（2分）（2021?河北）現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長(zhǎng)如圖）．（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片塊．14．（2分）（2021?廣安）若x、y滿(mǎn)足，則代數(shù)式x2﹣4y2的值為．15．（2分）（2022?益陽(yáng)）已知m，n同時(shí)滿(mǎn)足2m+n＝3與2m﹣n＝1，則4m2﹣n2的值是．16．（2分）（2023?金華）如圖是一塊矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面積為s（m2），現(xiàn)將邊AB增加1m．（1）如圖1，若a＝5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是．（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個(gè)a的值，使得到的矩形面積為2s（m2），則s的值是．17．（2分）（2020?長(zhǎng)沙）某數(shù)學(xué)老師在課外活動(dòng)中做了一個(gè)有趣的游戲：首先發(fā)給A、B、C三個(gè)同學(xué)相同數(shù)量的撲克牌（假定發(fā)到每個(gè)同學(xué)手中的撲克牌數(shù)量足夠多），然后依次完成以下三個(gè)步驟：第一步，A同學(xué)拿出二張撲克牌給B同學(xué)；第二步，C同學(xué)拿出三張撲克牌給B同學(xué)；第三步，A同學(xué)手中此時(shí)有多少?gòu)垞淇伺?，B同學(xué)就拿出多少?gòu)垞淇伺平oA同學(xué)．請(qǐng)你確定，最終B同學(xué)手中剩余的撲克牌的張數(shù)為．18．（2分）（2018?玉林）已知ab＝a+b+1，則（a﹣1）（b﹣1）＝．19．（2分）（2017?青海）觀察下列各式的規(guī)律：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…可得到（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝；一般地（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝．20．（2分）（2023?重慶）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱(chēng)M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為；一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，則滿(mǎn)足條件的M的最大值為．三．解答題（共8小題，滿(mǎn)分60分）21．（6分）（2023?長(zhǎng)沙）先化簡(jiǎn)，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．22．（6分）（2022?河北）發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．驗(yàn)證如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10為偶數(shù)．請(qǐng)把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和；探究設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，請(qǐng)論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．（8分）（2022?梧州）（1）計(jì)算：﹣5+（﹣3）×（﹣2）2．化簡(jiǎn)：3a+2（a2﹣a）﹣2a?3a．24．（8分）（2021?涼山州）閱讀以下材料：蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Npler，1550﹣1617年）是對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人．他發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evler，1707﹣1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式24＝16可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4＝log216，對(duì)數(shù)式2＝log39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32＝9．我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：loga（M?N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：設(shè)logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，∴M?N＝am?an＝am+n，由對(duì)數(shù)的定義得m+n＝loga（M?N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴l(xiāng)oga（M?N）＝logaM+logaN．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，解答下列問(wèn)題：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求證：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算log5125+log56﹣log530．25．（8分）（2023?河北）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長(zhǎng)如圖所示（a＞1）．某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），如表2和表3，其面積分別為S1，S2．表2表3（1）請(qǐng)用含a的式子分別表示S1，S2，當(dāng)a＝2時(shí)，求S1+S2的值；（2）比較S1與S2的大小，并說(shuō)明理由．26．（8分）（2018?衢州）有一張邊長(zhǎng)為a厘米的正方形桌面，因?yàn)閷?shí)際需要，需將正方形邊長(zhǎng)增加b厘米，木工師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的三種方案：小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗(yàn)證公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，對(duì)于方案一，小明是這樣驗(yàn)證的：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2請(qǐng)你根據(jù)方案二、方案三，寫(xiě)出公式的驗(yàn)證過(guò)程．方案二：方案三：27．（8分）（2018?自貢）閱讀以下材料：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Nplcr，1550﹣1617年），納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前，直