第02講 常用邏輯用語(yǔ)（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第02講常用邏輯用語(yǔ)【人教A版2019】模塊一模塊一充分條件與必要條件1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題"若p,則q"是假命題推出關(guān)系及符號(hào)表示由p通過(guò)推理可得出q，記作：p?q由條件p不能推出結(jié)論q，記作：條件關(guān)系p是q的充分條件

q是p的必要條件p不是q的充分條件

q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時(shí)p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．【注】：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．3．充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.4．從集合與集合之間的關(guān)系上看充分、必要條件設(shè).(1)若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；(2)若，則是的必要條件，是的充分條件；(3)若，則與互為充要條件.【題型1充分條件與必要條件的判斷】【例1.1】（23-24高一上·河北唐山·期中）下列結(jié)論中不正確的是（

）A．“x<4”是“x<B．在△ABC中，“AB2+AC．若a,b∈R，則“a2+b2D．“x為無(wú)理數(shù)”是“x2【例1.2】（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）已知x∈R，則“x3>8”是“x>2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1.1】（23-24高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x表示不超過(guò)x的最大整數(shù).例如3.27=3，0.6=0.那么“x?y<1”是“[x]=[y]A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1.2】（23-24高一上·廣東江門(mén)·期中）設(shè)m,n∈R，當(dāng)mn≥0時(shí)m?n=m+n；當(dāng)mn<0時(shí)m?n=m+n.例如?6?4=2，則“a=0，b=?1或a=?1，b=0”是“a?b=?1”的（A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【題型2充分條件和必要條件逆向求參問(wèn)題】【例2.1】（23-24高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知p：?2≤x≤10，q：1?m≤x≤1+m（m>0），若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．0<m≤3 B．0≤m≤3C．m<3 D．m≤3【例2.2】（23-24高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知不等式x?m<1成立的充分不必要條件是13<x<12A．?∞,?1C．?34,【變式2.1】（23-24高一下·浙江·期末）已知條件p:|x+1|>2，條件q:x>a，且?p是?q的充分不必要條件，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)≥?1 D．a(chǎn)≤?3【變式2.2】（23-24高三上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)p:x?a≤3，q:2x2+x?1≤0，若p是qA．?52,2 B．?52,2【題型3充要條件的證明】【例3.1】（23-24高一上·廣東珠?！るA段練習(xí)）設(shè)a，b，c∈R，求證：關(guān)于x的方程ax2【例3.2】（23-24高一上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知集合A=x|x2+(m+1)x+4=0，B=x∈Z|x(2)求證：A至少有2個(gè)子集的充要條件是m≤?5，或m≥3．【變式3.1】（23-24高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)a，b，c分別是三角形ABC的三條邊長(zhǎng)，且a≤b≤c，請(qǐng)利用邊長(zhǎng)a，b，【變式3.2】（23-24高二上·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知一元二次方程ax（1）若x1=1,x2=?1（2）求證：“x=0是方程ax2+bx+c=0(a≠0,b∈R,c∈R)模塊二模塊二全稱量詞與存在量詞1．命題及相關(guān)概念2．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給符號(hào)?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”3．存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有些、有的符號(hào)表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”【注】常用的全稱量詞有：“所有”、“每一個(gè)”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部”,表示整體或全部的含義.常用的存在量詞有：“有些”、“有一個(gè)”、“存在”、“某個(gè)”、“有的”,表示個(gè)別或一部分的含義.4．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)命題的否定一般地，對(duì)命題p加以否定，就得到一個(gè)新的命題，記作?p，讀作“非p”或“p的否定”.若p是真命題，則?p必是假命題；若p是假命題，則?p必是真命題.(2)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．5．全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x證明其成立；要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x0，使得其不成立即可，這就是通常所說(shuō)的舉一個(gè)反例.(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個(gè)x0使之成立即可，否則這個(gè)存在量詞命題就是假命題.【題型4全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】【例4.1】（23-24高一上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．?x∈R,x2=xC．?x∈Z,|x|∈N D．?x∈R,x2?2x+3=0【例4.2】（24-25高三上·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）已知命題p：?x∈R，x+x>0；命題q：?x>0A．p和q都是真命題 B．p和?q都是真命題C．?p和q都是真命題 D．?p和?q都是真命題【變式4.1】（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：?x∈R，x2+1＜0；p2：?x∈R，x+|x|＞0；p3：?x∈Z，|x|∈N；p4：?x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命題為（）A．p1 B．p2 C．p3 D．p4【變式4.2】（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）下列命題中，既是真命題又是全稱量詞命題的是（

）A．至少有一個(gè)x∈Z，使得x2<3成立C．?x∈R，x2=x D．對(duì)任意a，b∈R【題型5全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】【例5.1】（23-24高二下·陜西西安·期末）若命題p:?x∈R,1x?2<0，則?pA．?x∈R,1x?2≥0C．?x∈R,1x?2>0或x=2 D．【例5.2】（23-24高一上·天津和平·期末）命題“?x∈R，x2+x+1<0”的否定為（A．?x∈R，x2+x+1≥0 B．?x?RC．?x∈R，x2+x+1≥0 D．?x?R【變式5.1】（23-24高一上·青海海東·階段練習(xí)）寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷命題的否定的真假．(1)?x∈R，x4(2)有一個(gè)素?cái)?shù)是偶數(shù)；(3)任意兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)和底邊對(duì)應(yīng)的高的長(zhǎng)度相等，那么這兩個(gè)三角形相似．【變式5.2】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知命題p:?1≤x≤2，x≤a2+1，命題q：?1≤x≤2，一次函數(shù)y=x+a(1)若命題p的否定為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若命題p為真命題，命題q的否定也為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【題型6命題與量詞的逆向求參問(wèn)題】【例6.1】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合A=x?3≤x≤10，B=x(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【例6.2】（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知集合A=x∣6≤x≤20，集合B=x∣x≤2a，命題p:?x∈A,x∈B，命題q:?x∈R(1)若命題p為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若命題p和命題q至少有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式6.1】（2024·浙江溫州·一模）已知命題p：方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根；命題q：方程(1)若命題?p為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題p，q中有且僅有一個(gè)為真一個(gè)為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【變式6.2】（23-24高一上·湖北黃岡·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈R，a2?1x(1)若“?2?3t≤a≤2t?1”是p成立的充分條件，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)若命題p和q有且只有一個(gè)為假，求實(shí)數(shù)a．【題型7常用邏輯用語(yǔ)與集合綜合】【例7.1】（23-24高一上·上海寶山·階段練習(xí)）已知集合A=(1)判斷8，9，10是否屬于集合A；(2)已知集合B=x|x=2k+1,k∈Z，證明：“x∈A”的充分條件是“x∈B”；但“x∈B”不是“(3)寫(xiě)出所有滿足集合A的偶數(shù).【例7.2】（24-25高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知集合A={x|?2≤x?1≤5}、集合B={x|m+1≤x≤2m?1}（m∈R(1)若A∩B=?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)命題p：x∈A；命題q：x∈B，若命題p是命題q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【變式7.1】（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知集合A=(1)若A∪B≠A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)命題q：“?x∈A，使得x∈B”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【變式7.2】（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）設(shè)集合A=x?1≤x≤2，集合(1)若“?x∈R，x∈(A∩B)”為假命題，求實(shí)數(shù)m(2)若A∩B中有只有三個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.一、單選題1．（24-25高二上·湖南郴州·開(kāi)學(xué)考試）已知命題甲：“實(shí)數(shù)x，y滿足yx=xy”，乙“實(shí)數(shù)x，y滿足A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（23-24高一上·廣東·階段練習(xí)）命題“?x∈1,2,xA．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≥4 C．a(chǎn)≤3 D．a(chǎn)≥53．（24-25高三上·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知命題p:?x∈R,x?1<1，命題A．命題p和命題q都是真命題B．命題p的否定和命題q都是真命題C．命題q的否定和命題p都是真命題D．命題p的否定和命題q的否定都是真命題4．（23-24高一上·重慶·期末）若“x>2a2?3”是“1≤x≤4”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)aA．?2,2 B．?2,25．（2024·四川·一模）已知集合A=x?1≤x≤2，B=x?a≤x≤a+1，則“a=1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．（23-24高一上·上海松江·期末）設(shè)x∈R，用x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y=x稱為“取整函數(shù)”，如：1.6=1，?1.6=?2.現(xiàn)有關(guān)于“取整函數(shù)”的兩個(gè)命題：①集合A=x|x2A．①②都是真命題 B．①是真命題②是假命題C．①是假命題②是真命題 D．①②都是假命題7．（24-25高二上·山西·開(kāi)學(xué)考試）已知p：?2≤x≤10，q：1?m≤x≤1+m（m>0），若p的充分不必要條件是q，則實(shí)數(shù)mA．0<m≤3 B．0≤m≤3C．m<3 D．m≤38．（23-24高一上·廣東深圳·期中）已知命題p：任意x∈1,2,x2?a≥0，命題q：存在x0∈R,A．?∞,?2 B．?∞,1 C．二、多選題9．（23-24高二下·河南安陽(yáng)·期末）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．命題“存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上”的否定是真命題.B．命題“對(duì)?x∈Z，x2C．梯形ABCD是等腰梯形的充要條件是AC=BD.D．設(shè)a,b,c∈R，則a2+b210．（23-24高一上·安徽·期中）下列命題中，正確的是（

）A．“a<b<0”是“1aB．“?2≤λ≤3”是“?1≤λ≤3”的必要不充分條件C．“x2≠yD．“x∈(A∪B)∩C”是“x∈(A∩B)∪C”的必要不充分條件11．（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，條件A：“開(kāi)關(guān)S1閉合”；條件B：“燈泡L亮”，則A是B的必要條件的圖為（

）A．

B．

C．

D．

三、填空題12．（23-24高一上·重慶合川·階段練習(xí)）已知命題p:m∈R且m+1≤0，命題q:?x∈R,x2+mx+1≠0恒成立，若p與q不同時(shí)為真命題，則13．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知集合A={x∈Z|點(diǎn)(x?1,x?a)不在第一、三象限}，集合B=t1≤t<3，若“y∈B”是“y∈A”的必要條件，則實(shí)數(shù)14．（23-24高一上·重慶北碚·