第一章 三角形的證明 綜合檢測(cè)

第一章三角形的證明綜合檢測(cè)(滿分100分，限時(shí)60分鐘)一、選擇題(每小題3分，共30分)1.(2023廣東惠州期中)在△ABC中，已知AB=1，BC=2，AC=3，則()A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D.∠A=60°2.(2022新疆吐魯番期末)如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，則判定△ABD和△ACD全等的依據(jù)是()A.SSS B.ASA C.SAS D.HL3.已知Rt△ABC中，∠B=90°，若∠C比∠A大20°，則∠A等于()A.35° B.55° C.60° D.40°4.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AC，交BC于點(diǎn)D，AD=4，則BC的長為()A.8 B.4 C.12 D.65.(2023廣東汕頭一模)如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，AB=4，DE=2，則△ABD的面積為()A.2 B.3 C.4 D.6 6.(2022浙江臺(tái)州二模)如圖，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)，連接AB，CD，AC，BC，AD，BD，A.CD⊥AB，但CD不一定平分ABB.CD垂直平分AB，但AB不一定垂直平分CDC.AC⊥BC且AC=BCD.CD與AB互相垂直平分7.下列命題的逆命題是假命題的是()A.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) B.直角三角形的兩銳角互余C.如果xy=0，那么x=0或y=0 D.如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等8.(2023浙江杭州二模)如圖，△ABC中，∠BAC=70°，AB的垂直平分線與∠BAC的平分線交于點(diǎn)O，則∠ABO的度數(shù)為()A.35° B.30° C.25° D.20°9.(2023內(nèi)蒙古包頭一模)如圖，在△ABC中，∠B=28°，∠C=40°，按以下步驟作圖：(1)分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)(2)作直線EF交BC邊于點(diǎn)M，連接AM；(3)以點(diǎn)C為圓心，CA的長為半徑作弧，與BC邊相交于點(diǎn)N，連接AN.則∠MAN的度數(shù)為()A.28° B.20° C.15° D.14°10.(2022河北承德平泉期末)如圖，∠BOC=8°，點(diǎn)A在OB上，且OA=1.按下列要求畫圖：以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得第3條線段A2A3；……這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n的值是()A.9 B.10 C.11 D.12二、填空題(每小題4分，共28分)11.用反證法證明“等腰三角形三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角”，應(yīng)先假設(shè).

12.如圖，∠AOB=50°，PD⊥OA，PC⊥OB，垂足分別為D，C，若PC=PD，則∠AOP=°.13.(2023河南登封告成第一初中第一次月考)如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高線，E為AC上一點(diǎn)，且有AE=AD.已知∠EDC=12°，則∠B=°.

14.△ABC中，BC=6，∠A=∠B=60°，那么△ABC的面積是.

15.如圖，∠A=52°，O是AB，AC的垂直平分線的交點(diǎn)，那么∠OCB=°.16.(2023陜西西安鐵一中學(xué)期中)如圖，∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP，若∠BAC=62°，則∠PAC等于度.

17.(2023廣東茂名三中第一次月考)在如圖所示的方格紙中，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，4)，則OA=，若△OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，點(diǎn)B為格點(diǎn)且點(diǎn)B在x軸上，則滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

三、解答題(共42分)18.(6分)如圖，已知點(diǎn)D、E在△ABC的BC邊上，且BD=CE，∠ADC=∠AEB.求證：∠1=∠2.19.(8分)已知AD，AF分別是鈍角△ABC和鈍角△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE.(1)求證：BC=BE；(2)若∠DBF=∠BAC=30°，AC=2，求AD的長.20.(8分)如圖，已知BE⊥AE，∠A=∠EBC=60°，AB=4，BC2=12，CD2=3，DE=3.求證：(1)△BEC為等邊三角形；(2)ED⊥CD.21.(2023廣東揭陽普寧二中第一次月考)(10分)在△ABC中，AC<AB<BC.(1)如圖①，已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，連接AP，求證：∠APC=2∠B；(2)如圖②，以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點(diǎn)Q，連接AQ，若∠AQC=3∠B，求∠B的度數(shù). 22.(2023遼寧本溪十二中第一次月考)(10分)已知：如圖，在△ABC中，120°<∠BAC<180°，直線AD為邊BC的垂直平分線，以AC為邊作等邊三角形ACE，△ACE與△ABC在直線AC的異側(cè)，直線BE交直線DA于點(diǎn)F，連接FC交AE于點(diǎn)M.(1)求證：∠FEA=∠FBA；(2)求∠EFC的度數(shù)；(3)猜想線段FE，F(xiàn)A，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

第一章三角形的證明綜合檢測(cè)答案全解全析1.A在△ABC中，已知AB=1，BC=2，AC=3，∴AB2+AC2=12+(3)2=4=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°，故選A.2.B在△ABD和△ACD中，∠1=∠2,AD=AD,∠3=∠4,∴△ABD≌△ACD(ASA)3.A∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠A+∠C=90°，∵∠C比∠A大20°，∴∠A+∠A+20°=90°，解得∠A=35°，故選A.4.C∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∴∠BAC=120°，∵AD⊥AC，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴∠BAD=∠B，∴BD=AD=4，在Rt△ADC中，∵∠C=30°，AD=4，∴CD=2AD=8，∴BC=BD+DC=4+8=12.故選C.5.C過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，如圖所示，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE=2，∴DF=DE=2，∵AB=4，∴△ABD的面積=12AB·DF=12×4×2=46.D由作圖方法可知CD垂直平分AB，AC=BC=AD=BD，∴AB垂直平分CD，∴CD與AB互相垂直平分，∴D選項(xiàng)符合題意，故選D.7.DA.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的逆命題是同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，該逆命題是真命題，不符合題意；B.直角三角形的兩銳角互余的逆命題是兩銳角互余的三角形是直角三角形，該逆命題是真命題，不符合題意；C.如果xy=0，那么x=0或y=0的逆命題是如果x=0或y=0，那么xy=0，該逆命題是真命題，不符合題意；D.如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等的逆命題是如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角，該逆命題是假命題，符合題意.故選D.8.A∵AO平分∠BAC，∴∠BAO=12∠BAC=35°∵OD垂直平分AB，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=35°，故選A.9.D∵∠B=28°，∠C=40°，∴∠BAC=180°-28°-40°=112°，根據(jù)作圖步驟可知，EF是AB的垂直平分線，AC=NC，∴AM=BM，∠CAN=∠CNA=12×(180°-40°)=70°∴∠BAM=∠B=28°，∴∠MAN=112°-28°-70°=14°，故選D.10.C由題意可知AO=A1A，A1A=A2A1，……，則∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，……，∵∠BOC=8°，∴∠A1A2A=∠A2AA1=16°=2×8°，∴∠A3A1A2=24°=3×8°，同理∠A4A2A3=32°=4×8°，∠A5A3A4=40°=5×8°，……，∠An+1An-1An=n×8°<90°，解得n<1114∵n為整數(shù)，∴n=11.故選C.11.三角形的三個(gè)內(nèi)角中有兩個(gè)角大于或等于90°解析用反證法證明第一步應(yīng)先提出與結(jié)論相反的假設(shè).12.25解析∵PC⊥OB，PD⊥OA，PC=PD，∴OP平分∠AOB，∴∠AOP=25°.13.66解析∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠EDC=12°，∴∠ADE=∠AED=78°，∴∠C=∠AED-∠EDC=78°-12°=66°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=66°，故答案為66.14.93解析∵在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC=6，如圖，過A作AD⊥BC于D，則BD=CD=3，∴AD=AB∴△ABC的面積=12AD·BC=12×33×6=915.38解析如圖，連接OA，OB，∵O是AB，AC的垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA=OB=OC，∴∠1=∠2，∠5=∠6，∠3=∠4，∴2∠1+2∠3+2∠6=180°，∴2∠6=180°-2∠BAC=180°-2×52°=76°，∴∠OCB=∠6=38°.16.59解析如圖，過點(diǎn)P作PN⊥BD于點(diǎn)N，PF⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)F，PM⊥AC于點(diǎn)M，∵∠BAC=62°，∴∠FAC=180°-∠BAC=180°-62°=118°，∵BP平分∠FBD，CP平分∠ACD，∴PF=PN，PM=PN，∴PF=PM，∵PF⊥BA，PM⊥AC，∴AP平分∠FAC，∴∠PAC=12∠FAC=117.5；(6，0)或(5，0)或(-5，0)解析如圖，過A作AH⊥x軸于H，則OH=3，AH=4，∴OA=OH2+A①若OA=AB，∵AH⊥x軸，∴t=2OH=6，則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(6，0)；②若OA=OB，則|t|=5，∴t=±5，∴點(diǎn)B2的坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)B3的坐標(biāo)為(-5，0).∴符合條件的B點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，0)或(5，0)或(-5，0).18.證明∵∠ADC=∠AEB，∠ADC+∠ADB=180°，∠AEB+∠AEC=180°，∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠1=∠2.19.解析(1)證明：∵AD，AF分別是鈍角△ABC和鈍角△ABE的高，且AC=AE，AD=AF，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴CD=EF.∵AB=AB，AD=AF，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF，即BC=BE.(2)∵AD，AF分別是鈍角△ABC和鈍角△ABE的高，AD=AF，∴AB平分∠DBF，∴∠ABC=12∠DBF=15°，∴∠ACD=∠ABC+∠BAC=45°，∴AD=CD在Rt△ACD中，AC=2，AC2=AD2+CD2，∴2AD2=4，∴AD=2.20.證明(1)∵∠A=60°，∠AEB=90°，∴∠ABE=30°.∵AB=4，∴AE=12AB=2∴BE2=AB2-AE2=12，又∵BC2=12，∴BE=BC.又∵∠CBE=60°，∴△BEC為等邊三角形.(2)∵△BEC為等邊三角形，∴EC2=BC2=12，又∵DE2=9，CD2=3，∴DE2+CD2=12=EC2，∴△CDE為直角三角形，且∠D=90°，∴ED⊥CD.21.解析(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)P在AB的垂直平分線上，所以PA=PB，所以∠PAB=∠B，所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.(2)根據(jù)題意得BQ=BA，所以∠BAQ=∠BQA，設(shè)∠B=x，所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，所以∠BAQ=∠BQA=2x，在△ABQ中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠B=36°.22.解析(1)證明：∵直線AD為邊BC的垂直平分線，∴AB=AC，∵△ACE為等邊三角形，∴AC=AE，∴AB=AE，∴∠FEA=∠FBA.(2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵直線AD垂直平分BC，∴FB=FC，∴∠FBC=∠FCB，∴∠FBC-∠ABC=∠FCB-∠ACB，即∠ABE=∠ACF，∵∠ABE=∠AEF，∴∠AEF=∠ACF，∵∠FME=∠CMA，∴∠EFC=∠CAE，∵△ACE是等邊三角形，∴∠CAE=60°，∴∠EFC=60°.(3)FE+FA=2FD