湘教版八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題19解題技巧專題：二次根式中的化簡求值壓軸題七種模型全攻略(原卷版+解析)

專題19解題技巧專題：二次根式中的化簡求值壓軸題七種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用二次根式的非負性求值】 1【類型二利用乘法公式進行計算】 5【類型三整體代入求值】 7【類型四新定義型運算】 11【類型五與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究問題】 14【類型六二次根式的分母有理化】 22【類型七復(fù)合二次根式的化簡】 26【典型例題】【類型一利用二次根式的非負性求值】例題：（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期末）已知則的值是．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東肇慶·七年級?？计谥校┮阎瑒t的算術(shù)平方根是．2．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如果實數(shù)、滿足，則的平方根為．3．（2023春·廣東東莞·八年級校考階段練習(xí)）若實數(shù)滿足，則代數(shù)式的值是．4．（2023秋·山東濟南·八年級?？茧A段練習(xí)）已知a，b都是實數(shù)，若，則．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若實數(shù)x，y滿足，則．6．（2023春·湖北孝感·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，求的值．7．（2023春·江西南昌·七年級?？计谀┮阎猘、b、c為的三邊長，且b、c滿足，a為方程的解，求的周長，并判斷的形狀．【類型二利用乘法公式進行計算】例題：（2023春·寧夏吳忠·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·青海果洛·八年級統(tǒng)考期末）計算：．2．（2023春·安徽滁州·八年級?？计谥校┯嬎悖海?．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）計算：4．（2023春·黑龍江大慶·七年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．5．（2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．【類型三整體代入求值】例題：（2023春·山東臨沂·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，求．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）如果，，那么．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知，那么的值等于．3．（2023春·廣東東莞·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：，求的值．4．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知，．求：(1)和的值；(2)求的值．5．（2023秋·貴州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，則(1)______；______；______．(2)根據(jù)以上的計算結(jié)果，利用整體代入的數(shù)學(xué)方法，計算式子的值．【類型四新定義型運算】例題：（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）對于任意的正數(shù)m，n，定義一種新的運算“*”：，則計算的結(jié)果為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西南寧·七年級校聯(lián)考期中）對于兩個不相等的實數(shù)a、b，定義一種新的運算如下，，如：，那么．2．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復(fù)進行，例如，取，第三次“F運算”的結(jié)果是11．

若，（1）第一次“F運算”的結(jié)果為；第二次“F運算”的結(jié)果為；（2）照這樣運算下去，第2022次“F運算”的結(jié)果為．3．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）對于任意的正實數(shù)和，我們定義新運算：，如：，求：的值．4．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市第十六中學(xué)?？计谥校┒x：我們將與稱為一對“對偶式”．因為，可以有效的去掉根號，所以有一些題可以通過構(gòu)造“對偶式”來解決．例如：已知，求的值，可以這樣解答：因為，所以．(1)已知：，求：①________；②結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：；(2)代數(shù)式中的取值范圍是________，最大值是________，最小值是_________；(3)計算：．【類型五與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究問題】例題：（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列各式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：；；；…(1)填空：______，______；(2)計算（寫出計算過程）：；(3)用含自然數(shù)的等式把你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列等式及驗證，解答后面的問題：第1個等式：，驗證：；第2個等式：，驗證：；第3個等式：，驗證：．(1)請寫出第4個等式，并驗證；(2)按照以上各等式反映的規(guī)律，猜想第個為正整數(shù)，且等式，并通過計算驗證你的猜想．2．（2023秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察下列各式：；；；(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：______；(2)請用（為正整數(shù)）來表示含有上述規(guī)律的等式，并證明該等式成立.3．（2023春·河北滄州·七年級?？计谥校┫扔^察等式，再解答問題：①；②；③．(1)請你根據(jù)以上三個等式提供的信息，猜想的結(jié)果，并驗證；(2)請你按照以上各等式反映的規(guī)律，試寫出用含的式子表示的等式（為正整數(shù)）．4．（2023秋·遼寧沈陽·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)第6個等式：______；(2)計算：；(3)寫出你猜想的第n個等式，并證明其正確性（用含n的式子表示）；(4)若符合上述規(guī)律，請直接寫出代數(shù)式的值．5．（2023秋·北京海淀·八年級北京市十一學(xué)校?？茧A段練習(xí)）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．下面是小紅的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：__________________（填寫一個符合上述運算特征的例子）．(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：____________．(3)證明你的猜想．(4)應(yīng)用運算規(guī)律．①化簡：______；②若（a，b均為正整數(shù)），則的值為______．【類型六二次根式的分母有理化】例題：（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學(xué)校考期中）閱讀材料，并解決問題．定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．如：將分母有理化，解：原式．運用以上方法解決問題：(1)將分母有理化；(2)觀察上面的解題過程，請直接寫出結(jié)果：______．(3)計算的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）像，，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式．進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：(1)化簡：；(2)計算：；(3)比較與的大小，并說明理由．2．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面解題過程．例：化簡．解：．請回答下列問題．(1)歸納：請直接寫出下列各式的結(jié)果：①__________；②__________．(2)應(yīng)用：化簡．(3)拓展：__________．含的式子表示，為正整數(shù)）3．（2023春·河北邢臺·八年級?？计谥校鹃喿x材料】在二次根式中，如：，，它們的積不含根號，我們稱這樣的兩個二次根式互為有理化因式．于是我們可以利用這樣的兩個二次根式，進行分母有理化（通過分子、分母同乘一個式子，把分母中的根號轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程），例如：，．【解決問題】(1)化簡的結(jié)果為______；(2)已知，．①化簡______，______；②求的值；(3)計算：．【類型七復(fù)合二次根式的化簡】例題：（2023春·湖南郴州·八年級?？奸_學(xué)考試）先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡經(jīng)過思考，小張解決這個問題的過程如下：①②③④在上述化簡過程中，第________步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結(jié)果為________；（2）化簡；（3）請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南信陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀材料：把根式進行化簡，若能找到兩個數(shù)，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：∵∴；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：(1)；(2)2．（2023春·全國·八年級期中）像，……這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡，如：；再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)請你嘗試化簡：①______；②______．(2)若，且，，為正整數(shù)，求的值．3．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）像這樣的根式叫做復(fù)合二次根式有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡．例1：；例2：請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：；(2)化簡：；(3)若，且為正整數(shù)，求a的值．

專題19解題技巧專題：二次根式中的化簡求值壓軸題七種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用二次根式的非負性求值】 1【類型二利用乘法公式進行計算】 5【類型三整體代入求值】 7【類型四新定義型運算】 11【類型五與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究問題】 14【類型六二次根式的分母有理化】 22【類型七復(fù)合二次根式的化簡】 26【典型例題】【類型一利用二次根式的非負性求值】例題：（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期末）已知則的值是．【答案】9【分析】根據(jù)根式的非負性結(jié)合非負式子和為0，它們分別等于0，即可得到答案；【詳解】解：∵，，，∴，，解得：，，∴．故答案為：9．【點睛】本題考查根式的非負性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握非負式子和為0，它們分別等于0．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東肇慶·七年級?？计谥校┮阎瑒t的算術(shù)平方根是．【答案】4【分析】由非負數(shù)的性質(zhì)得出a和b的值，代入再求算術(shù)平方根即可．【詳解】解：∵，∴，解得：，則，∴的算術(shù)平方根是4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)和算術(shù)平方根，正確求出a和b的值是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如果實數(shù)、滿足，則的平方根為．【答案】/3或/或3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負性，求得的值，進而得出，代入代數(shù)式，然后再求平方根即可求解．【詳解】解：∵實數(shù)、滿足，∴，∴，∴，∴的平方根為，故答案為：．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負性，求一個數(shù)的平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的非負性，平方根的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東東莞·八年級?？茧A段練習(xí)）若實數(shù)滿足，則代數(shù)式的值是．【答案】2【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和偶次方的非負性可得，再代入計算即可得．【詳解】解：，，解得，則，故答案為：2．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根和偶次方的非負性、二次根式的乘法，熟練掌握算術(shù)平方根的非負性是解題關(guān)鍵．4．（2023秋·山東濟南·八年級?？茧A段練習(xí)）已知a，b都是實數(shù)，若，則．【答案】【分析】根據(jù)絕對值和二次根式被開方數(shù)的非負性，得出a和b的值，將其代入進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了絕對值和二次根式被開方數(shù)的非負性，解題的關(guān)鍵是掌握幾個非負性相加和為0，則這幾個非負數(shù)分別為0．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若實數(shù)x，y滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)絕對值和平方的非負性求出和的值，然后代入化簡求值即可．【詳解】∵，∴，解得，∴，故答案為．【點睛】本題考查了絕對值和平方的非負性，二次根式的化簡，根據(jù)題意求出和的值是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·湖北孝感·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，求的值．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式、算術(shù)平方根的非負數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于、的方程組，通過解該方程組求得、的值，然后將其代入所求的代數(shù)式求值即可．【詳解】解：由題意可得，解得，．當(dāng)時、時，原式．【點睛】本題綜合考查了完全平方公式、算術(shù)平方根的非負數(shù)的性質(zhì)、解二元一次方程組、二次根式有意義的條件、二次根式的混合運算．解題的關(guān)鍵是掌握式子叫二次根式．二次根式的性質(zhì)是：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．另外，幾個非負數(shù)的和為0，這幾個非負數(shù)都為0．7．（2023春·江西南昌·七年級?？计谀┮阎猘、b、c為的三邊長，且b、c滿足，a為方程的解，求的周長，并判斷的形狀．【答案】的周長為17，是等腰三角形．【分析】依據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，即可得到b和c的值，再根據(jù)a為方程的解，即可得到或1，依據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可得到，進而得出的周長，以及的形狀．【詳解】解：∵，∴，解得，∵a為方程的解，∴或1，當(dāng)時，，不能組成三角形，故不合題意；∴，∴的周長，∵，∴是等腰三角形．【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系以及非負數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的定義，掌握非負數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【類型二利用乘法公式進行計算】例題：（2023春·寧夏吳忠·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】先計算平方差和完全平方差，再計算減法，化簡即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了二次根式的運算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解題關(guān)鍵是牢記公式．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·青海果洛·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】先根據(jù)完全平方公式展開，再根據(jù)二次根式的加減運算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，正確計算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽滁州·八年級?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮?【分析】根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可．【詳解】原式．【點睛】本題考查二次根式的混合運算法則，正確計算是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）計算：【答案】【分析】原式根據(jù)完全平方公式和平方差公式進行計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了二次根式的除法，熟練掌握除法法則是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·黑龍江大慶·七年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡各二次根式，然后合并同類二次根式即可；（2）先根據(jù)平方差和完全平方公式計算，然后合并同類二次根式即可．【詳解】（1）原式．（2）原式．【點睛】本題是對二次根式的混合運算的考查，熟練掌握二次根式的化簡及運算法則是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先計算零指數(shù)冪、開平方，然后計算乘法，最后從左往右依次計算，即可得到答案；（2）利用完全平方公式和平方差公式進行計算，再合并即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合運算、二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【類型三整體代入求值】例題：（2023春·山東臨沂·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，求．【答案】【分析】將進行平方，再將整體代入求值即可．【詳解】解：將代入得：∴故答案為：【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解決本題的關(guān)鍵是整體代入法求值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）如果，，那么．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再合并同類二次根式，最后將式子的值代入即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知，那么的值等于．【答案】【分析】通過完全平方公式求出，把待求式的被開方數(shù)都用的代數(shù)式表示，然后再進行計算．【詳解】解：∵，∴，∴∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，難度不大，關(guān)鍵是把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用的代數(shù)式表示．3．（2023春·廣東東莞·八年級校考階段練習(xí)）已知：，求的值．【答案】【分析】根據(jù)進行計算求解即可．【詳解】解：∵，∴．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式的變形求值，正確根據(jù)完全平方公式得到是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知，．求：(1)和的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)二次根式的加法法則即可求出，根據(jù)二次根式的乘法法則即可求出；（2）先根據(jù)完全平方公式變成，再代入求出答案即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，．∴的值為，的值為．（2）∵，，．∴的值為．【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，完全平方公式，平方差公式．能正確根據(jù)二次根式的運算法則進行計算是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·貴州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，則(1)______；______；______．(2)根據(jù)以上的計算結(jié)果，利用整體代入的數(shù)學(xué)方法，計算式子的值．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減法計算和的值，利用平方差公式計算的值；（2）先根據(jù)完全平方公式變形得出原式，然后再利用整體代入法計算．【詳解】（1）解：∵，，∴，，．故答案為：；；（2）原式，把，代入，可得：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值問題，正確對所求式子變形是解本題的關(guān)鍵．【類型四新定義型運算】例題：（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）對于任意的正數(shù)m，n，定義一種新的運算“*”：，則計算的結(jié)果為．【答案】/【分析】根據(jù)新定義把所求的式子化為二次根式運算，再進行二次根式的運算即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的計算，理解新定義，將式子轉(zhuǎn)化為二次根式的計算，并正確進行二次根式計算是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西南寧·七年級校聯(lián)考期中）對于兩個不相等的實數(shù)a、b，定義一種新的運算如下，，如：，那么．【答案】3【分析】根據(jù)定義的新運輸，將，代入化簡即可得出答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，在解題時要先明確新的運算表示的含義是本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復(fù)進行，例如，取，第三次“F運算”的結(jié)果是11．

若，（1）第一次“F運算”的結(jié)果為；第二次“F運算”的結(jié)果為；（2）照這樣運算下去，第2022次“F運算”的結(jié)果為．【答案】1【分析】（1）若，根據(jù)題意進行計算即可得；（2）由（1）得，若，第一次“F運算”的結(jié)果為；第二次“F運算”的結(jié)果為，再算出第三次運算結(jié)果，第四次運算結(jié)果，第五次運算結(jié)果，第六次運算結(jié)果，根據(jù)所得規(guī)律進行計算即可得．【詳解】解：（1）若，第一次“F運算”的結(jié)果為：，第二次“F運算”的結(jié)果為：，故答案為：，；（2）由（1）得，若，第一次“F運算”的結(jié)果為；第二次“F運算”的結(jié)果為，第三次運算結(jié)果為：，第四次運算結(jié)果為：，第五次運算結(jié)果為：，第六次運算結(jié)果為：，∵∴第2022次“F運算”的結(jié)果為1，故答案為：1．【點睛】本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解題意，發(fā)現(xiàn)結(jié)果的變化規(guī)律．3．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）對于任意的正實數(shù)和，我們定義新運算：，如：，求：的值．【答案】【分析】原式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，∴根據(jù)題中的新定義得：，即：．【點睛】此題考查了二次根式的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市第十六中學(xué)?？计谥校┒x：我們將與稱為一對“對偶式”．因為，可以有效的去掉根號，所以有一些題可以通過構(gòu)造“對偶式”來解決．例如：已知，求的值，可以這樣解答：因為，所以．(1)已知：，求：①________；②結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：；(2)代數(shù)式中的取值范圍是________，最大值是________，最小值是_________；(3)計算：．【答案】(1)①2；②(2)，10，2(3)【分析】（1）仿照題意，進行計算即可得到答案；（2）根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式組，解不等式組即可得到答案；（3）利用原題的過程，對原式進行變形后，即可得到答案．【詳解】（1）解：①∵，∴；故答案為：2②由①得，已知，兩式相加得到，，即，則，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，即方程的解是；（2）解：由二根式有意義的條件得到，解得，即的取值范圍是，x的最大值是10，x的最小值是2；故答案為：，10，2（3）【點睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)和混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則和靈活變形是解題的關(guān)鍵．【類型五與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究問題】例題：（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列各式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：；；；…(1)填空：______，______；(2)計算（寫出計算過程）：；(3)用含自然數(shù)的等式把你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）結(jié)合題意和前三項的結(jié)論，以此類推計算；（2）即可先通分，再根據(jù)積的算術(shù)平方根性質(zhì)計算即可；（3）結(jié)合（1）和（2）的結(jié)論，歸納規(guī)律表示代數(shù)式即可．【詳解】（1）解：∵；；；；，；故答案為：，．（2）解：；（3）解：結(jié)合（1）和（2）的結(jié)論，得：．【點睛】本題主要考查了二次根式的運算、數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)等知識點，根據(jù)二次根式計算、歸納規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列等式及驗證，解答后面的問題：第1個等式：，驗證：；第2個等式：，驗證：；第3個等式：，驗證：．(1)請寫出第4個等式，并驗證；(2)按照以上各等式反映的規(guī)律，猜想第個為正整數(shù)，且等式，并通過計算驗證你的猜想．【答案】(1)，見解析(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進行求解并驗證即可解答；（2）分析所給的等式的形式，再進行總結(jié)，把等式左邊的式子進行整理即可驗證．【詳解】（1）解：第4個等式：，驗驗：．（2）解：第個等式：，驗證：．【點睛】本題主要考查了分式的運算、二次根式的性質(zhì)、數(shù)字的變化規(guī)律等知識點，要求學(xué)生通過觀察數(shù)字，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察下列各式：；；；(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：______；(2)請用（為正整數(shù)）來表示含有上述規(guī)律的等式，并證明該等式成立.【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)及二次根式乘法運算法則直接求解即可得到答案；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)及二次根式乘法運算法則直接求解即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，，故答案為：；（2）解：，證明如下，證明：∵，∴，∴；【點睛】本題考查二次根式性質(zhì)及乘法運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：，．3．（2023春·河北滄州·七年級?？计谥校┫扔^察等式，再解答問題：①；②；③．(1)請你根據(jù)以上三個等式提供的信息，猜想的結(jié)果，并驗證；(2)請你按照以上各等式反映的規(guī)律，試寫出用含的式子表示的等式（為正整數(shù)）．【答案】(1)，驗證過程見詳解；(2)【分析】（1）利用題中等式的計算規(guī)律得到的結(jié)果為，；（2）第n個等式的左邊為，等式右邊為1與的和．【詳解】（1）解：的結(jié)果為；驗證：．（2）．【點睛】本題考查了二次根式的加減法：解題的關(guān)鍵是掌握二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．4．（2023秋·遼寧沈陽·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)第6個等式：______；(2)計算：；(3)寫出你猜想的第n個等式，并證明其正確性（用含n的式子表示）；(4)若符合上述規(guī)律，請直接寫出代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析(4)的值為2或30【分析】（1）結(jié)合題目所給等式即可求得答案；（2）結(jié)合所給等式利用二次根式的乘法法則計算即可；（3）結(jié)合所給等式猜想第n個等式，然后進行證明即可；（4）將原式變形后根據(jù)所得規(guī)律求得a，b的值，將其代入中計算即可．【詳解】（1）解：由題干中所給等式可得第6個等式為：，故答案為：；（2）解：原式；（3）解：第n個等式為：，證明如下：；（4）解：，即，符合所得規(guī)律，，解得：或，，那么或，即的值為2或30．【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，寫出相應(yīng)的等式，并證明猜想的正確性．5．（2023秋·北京海淀·八年級北京市十一學(xué)校?？茧A段練習(xí)）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．下面是小紅的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：__________________（填寫一個符合上述運算特征的例子）．(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：____________．(3)證明你的猜想．(4)應(yīng)用運算規(guī)律．①化簡：______；②若（a，b均為正整數(shù)），則的值為______．【答案】(1)；（答案不唯一）(2)(3)見解析(4)①；②18【分析】（1）根據(jù)所給的特例的形式進行求解即可；（2）分析所給的等式的形式進行總結(jié)即可；（3）對（2）的等式的左邊進行整理，即可求證；（4）利用（2）中的規(guī)律進行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，故答案為：；（2）解：特例，特例，特例，，用含的式子表示為：，故答案為：；（3）解：等式左邊右邊，故猜想成立；（4）解：①；故答案為：．②∵，又∵，∴設(shè)，則，，解得：，，∴．故答案為：18．【點睛】本題主要考查二次根式混合運算，數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的式子總結(jié)出規(guī)律．【類型六二次根式的分母有理化】例題：（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學(xué)?？计谥校╅喿x材料，并解決問題．定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．如：將分母有理化，解：原式．運用以上方法解決問題：(1)將分母有理化；(2)觀察上面的解題過程，請直接寫出結(jié)果：______．(3)計算的值．【答案】(1)(2)(3)2022【分析】（1）根據(jù)平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；（2）根據(jù)平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；（3）先分母有理化，最后合并即可．【詳解】（1）解：==；（2）解：；故答案為：；（3）解：原式．【點睛】本題考查了分母有理化，平方差公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確進行分母有理化．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）像，，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式．進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：(1)化簡：；(2)計算：；(3)比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）利用有理化因式，化去分母中的根號即可；（2）利用有理化因式，化去分母中的根號，再進行加減運算即可；（3）利用有理化因式，化去分母中的根號，再進行比較即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∵∴，【點睛】本題考查分母有理化，掌握二次根式的運算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面解題過程．例：化簡．解：．請回答下列問題．(1)歸納：請直接寫出下列各式的結(jié)果：①__________；②__________．(2)應(yīng)用：化簡．(3)拓展：__________．含的式子表示，為正整數(shù)）【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】（1）①分子分母都乘以可得答案；②分子分母都乘以可得答案；（2）把分母中的二次根號去掉，再合并同類二次根式即可；（3）把分母中的二次根號去掉，再結(jié)合分配律，合并同類二次根式即可；【詳解】（1）解：①；②；（2）；（3）．【點睛】本題考查的是二次根式的混合運算，二次根式的運算中的規(guī)律探究，熟練的分母有理化是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北邢臺·八年級校考期中）【閱讀材料】在二次根式中，如：，，它們的積不含根號，我們稱這樣的兩個二次根式互為有理化因式．于是我們可以利用這樣的兩個二次根式，進行分母有理化（通過分子、分母同乘一個式子，把分母中的根號轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程），例如：，．【解決問題】(1)化簡的結(jié)果為______；(2)已知，．①化簡______，______；②求的值；(3)計算：．【答案】(1)(2)①；；②(3)【分析】（1）結(jié)合題意，利用分母有理化、平方