隨機(jī)事件的概率解析

隨機(jī)事件的概率1．事件的分類確定事件必然事件在條件下，一定會發(fā)生的事件叫作相對于條件的必然事件不可能事件在條件下，一定不會發(fā)生的事件叫作相對于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫作相對于條件的隨機(jī)事件2．頻率和概率（1）在相同的條件下重復(fù)次試驗(yàn)，觀察某一事件是否出現(xiàn)，稱次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率．（2）對于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計(jì)概率．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B________事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的________(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則事件A與事件B互斥3．事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號表示互斥事件若A∩B為不可能事件，則事件A與事件B互斥對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件4．概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：_0≤P(A)≤1_________．(2)必然事件的概率_1_____．(3)不可能事件的概率__0____．(4)互斥事件概率的加法公式①若、互斥，則P(A)＋P(B);②若、對立，則1．1．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．【答案】A【解析】甲不輸?shù)母怕蕿椋?．有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個方向前進(jìn)，每人一個方向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是（）A．互斥但非對立事件 B．對立事件C．相互獨(dú)立事件 D．以上都不對【答案】A【解析】由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件，故選A．3．先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣三次，則至少一次正面向上的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】至少一次正向向上的對立事件是全部為反面向上，全部為反面向上的概率為，則至少一次正面向上的概率是．4．若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會均等，則甲或乙被錄用的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】總的可能性有10種，甲和乙都沒有被錄用的可能性1種，∴甲或乙被錄用的概率．考點(diǎn)一事件關(guān)系的判斷【例1】從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”【答案】D【解析】A中的兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關(guān)系．【方法技巧】互斥、對立事件的兩點(diǎn)注意(1)準(zhǔn)確把握互斥事件與對立事件的概念①互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可以同時不發(fā)生．②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．(2)判別互斥、對立事件的方法判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．【變式】一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“兩次都不中靶”的對立事件是（）A．兩次都中靶B．至多有一次中靶C．恰有一次中靶D．至少有一次中靶【答案】D考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率【例2】隨機(jī)抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；(2)某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動會，估計(jì)運(yùn)動會期間不下雨的概率．【解析】(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計(jì)概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為.(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)．這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為.以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動會期間不下雨的概率為.【方法技巧】概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．【變式】某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被奧運(yùn)會指定為乒乓球比賽專用球，目前有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測，檢查結(jié)果如下表所示：抽取球數(shù)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)45921944709541902優(yōu)等品頻率(1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)【解析】(1)表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是，，，，，．(2)由(1)知，抽取的球數(shù)不同，計(jì)算得到的頻率值不同，但隨著抽取球數(shù)的增多，頻率在常數(shù)的附近擺動，所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率約為．考點(diǎn)三互斥事件、對立事件的概率【例3】某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為、、，求：(1)，，；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．【解析】(1)，，.故事件的概率分別為，，.(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為，則.∵兩兩互斥，∴.故1張獎券的中獎概率約為.(3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，∴.故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.