專項04 相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專項04相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用類型一求線段長1.(2023陜西中考)如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，DF=2BF，連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M.若BC=6，則線段CM的長為()A.132 B.7 C.1522.(2023安徽淮北月考)如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E是BC邊的中點，連接AE，過點E作EF⊥AE交CD于點F，連接AF，則AF的長為()A.254 B.132 3.(2022甘肅武威中考)如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于點G，若G是EF的中點，則BG的長為cm.4.(2023山西晉中模擬)如圖，在菱形ABCD中，AB=10，對角線BD=16，過點C作CE⊥AD于點E，CE與BD交于點F，則EF的長為.類型二求比值5.(2023廣東廣州增城二模)如圖，點D，E都是△ABC邊上的點，DE∥AC，AE交DC于點F，若S△DEFS△A.15 B.14 6.(2023遼寧遼陽白塔一模)如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AEED=DFFCA.13 B.54 7.(2021福建龍巖上杭模擬)將含30°角且大小不等的兩個三角板按如圖所示的方式擺放，使直角頂點重合，連接AE、BD，則AEBD=類型三求角度8.(2021遼寧沈陽月考)如圖，在△ABC和△ADE中，ABAD=BCDE=9.如圖，在△ABC中，AB=AC，AB⊥AC，點D是AC的中點，AE⊥BD于點E.(M9227004)(1)求證：AD2=DE·BD；(2)求證：△DEC∽△DCB；(3)求∠AEC的大小.類型四證明比例式或等積式10.(2022山東濱州中考)如圖，已知AC為☉O的直徑，直線PA與☉O相切于點A，直線PD經(jīng)過☉O上的點B且∠CBD=∠CAB，連接OP交AB于點M.求證：(1)PD是☉O的切線；(2)AM2=OM·PM.11.(2023上海楊浦期末)已知等腰△ABC中，AB=AC，點D、E分別是邊BC、AC上的點，且CD=3BD，連接AD、BE，交點為F.(1)若AF=4DF，求AEEC的值(2)若BD2=DF·AD，求證：BC2=4CE·AC.

專項04相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用答案全解全析1.C∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC=12×6=3，∴△DEF∽△BMF2.A∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=6，∴AB=CD=4，BC=AD=6，∠D=∠C=∠B=90°，∵點E是BC邊的中點，∴BE=EC=3.∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEC=90°，又∵∠EAB+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴ABEC3.13解析∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC.∵AE=2cm，∴BE=AB-AE=6-2=4(cm).∵G是EF的中點，∴EG=BG=12EF，∴∠BEG=∠ABD，∴∠BEG=∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴EBDC=BFCB,∴4.21解析如圖，連接AC交BD于點O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=10，AC⊥BD，OB=OD=12BD=12×16=8,OA=OC,∴OA=OC=AB2-OB2=6，∴AC=12.∵CE⊥AD，∴菱形ABCD的面積=AD·CE=12AC·BD，5.C∵DE∥AC，∴△DEF∽△CAF，∵S△DEFS△ACF=19,∴DEAC6.D如圖，延長BE交CD延長線于M，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD=BC=AB，∵AEED=DFFC=31，∴AE=DF，DE=FC.設(shè)DE=x，則DF=3x，AD=4x，∵ED∥BC，∴△MED∽△MBC，∴MD∶MC=ED∶BC=1∶4，∴MDMD+7.3解析∵△EDC與△ACB中，∠DEC=∠BAC=30°，∠ACB=∠ECD=90°，∴AB=2BC，AC=3BC,DE=2DC,CE=3CD,∴CEAC=3CD38.解析∵ABAD=BC∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE.∵∠DAC=2∠DAB=2∠CAE，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=4∠CAE，∵∠BAE=80°，∴∠CAE=20°.9.解析(1)證明：∵AB⊥AC，AE⊥BD，∴∠BAD=∠AED=90°，∵∠ADE=∠BDA，∴△AED∽△BAD，∴ADBD=DEAD(2)證明：∵點D為AC的中點，∴AD=CD，∵AD2=DE·BD，∴CD2=DE·BD，∴CDBD∵∠CDE=∠BDC，∴△DEC∽△DCB.(3)∵AB⊥AC，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=45°，∵△DEC∽△DCB，∴∠DEC=∠DCB=45°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠AEC=∠AED+∠DEC=90°+45°=135°.10.證明(1)連接OB，如圖所示，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC.∵AC是☉O的直徑，∴∠CBA=90°，∴∠CAB+∠OCB=90°.∵∠CBD=∠CAB，∴∠CBD+∠OBC=90°，∴∠OBD=90°，∴PD是☉O的切線.(2)由(1)知PD是☉O的切線，又直線PA與☉O相切，∴PO垂直平分AB，∴∠AMP=∠AMO=90°，∴∠APM+∠PAM=90°.∵∠OAP=90°，∴∠PAM+∠OAM=90°，∴∠APM=∠OAM，∴△OAM∽△APM，∴AMPM∴AM2=OM·PM.11.解析(1)解法一：作AG∥BC，交BE延長線于G，∵AG∥BC，∴△AGF∽△DBF，∵AF=4DF，∴AG=4BD.∵CD=3BD，∴BC=4BD，∴AG=BC，∵AG∥BC，∴△AGE∽△CBE，∴AEEC解法二：作CH∥AD，交BE延長線于H，∵CH∥AD，∴△BDF∽△BCH，∴DFCH∵CD=3BD，∴BC=4BD，∴CH=4DF.∵AF=4DF，∴AF=CH.∵CH∥AD，∴△AEF∽△CEH，∴AEEC(2)證明：∵BD2=DF·