考研數(shù)學一(解答題)高頻考點模擬試卷15(題后含答案及解析)

考研數(shù)學一（解答題）高頻考點模擬試卷15(題后含答案及解析)題型有：1.1．計算f(x+1)-f(x)，其中正確答案：由行列式的分解法可知=(n+1)xn。涉及知識點：行列式2．已知(1，a，2)T，(一1，4，6)T構(gòu)成齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，求a，b，s，t．正確答案：此齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系包含2個解，未知數(shù)有3個，則系數(shù)矩陣的秩為1，立刻得到s=2，t=一1．于是方程組為把(1，a，2)T，(一1，4，b)T代入，得a=2，b=1．涉及知識點：線性代數(shù)3．正確答案：涉及知識點：高等數(shù)學部分4．設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，且當x≥0時有f(x)F(x)=sin22x，又F(0)=1，F(xiàn)(x)≥0，求f(x)。正確答案：因為F’(x)=f(x)，所以F’(x)F(x)=sin22x。等式兩端積分，得∫F’(x)F(x)dx=∫sin22xdx，即∫F(x)dF(x)=∫sin22xdx，故有sin4x+C，由F(0)=1得，C=，因為F(x)≥0，所以涉及知識點：一元函數(shù)積分學5．證明：正確答案：因此，當時，g(x)＜0，即f’(x)＜0，故f(x)＜f(0)=1，得證．涉及知識點：一元函數(shù)微分學6．設(shè)A是n階矩陣，證明：A=0的充要條件是AA2=O.正確答案：設(shè)則若應(yīng)有，即aij=0(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n)，即A=O.反之，若A=O，顯然AAT=O涉及知識點：線性代數(shù)7．求從點A(10，0)到拋物線y2=4x之最短距離．正確答案：拋物線上點P(，y)到A(10，0)的距離的平方(如圖4．4)為問題是求d(y)在[0，+∞)上的最小值(d(y)在(一∞，+∞)為偶函數(shù))．由于在(0，+∞)解d′(y)=0得y=±于是d(±)=36，d(0)=100．又d(y)在[0，+∞)的最小值為36，即最短距離為6．涉及知識點：微分中值定理及其應(yīng)用8．求．正確答案：涉及知識點：高等數(shù)學9．求級數(shù)的收斂域與和函數(shù)．正確答案：涉及知識點：高等數(shù)學部分10．求微分方程xy”=y’2滿足初始條件y(0)=y’(0)=1的特解．正確答案：y=C2e—∫—dx=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解為y=ex．涉及知識點：高等數(shù)學11．正確答案：涉及知識點：線性代數(shù)部分12．求極限正確答案：涉及知識點：高等數(shù)學13．設(shè)A=，求A的特征值與特征向量，判斷矩陣A是否可對角化，若可對角化，求出可逆矩陣P及對角陣．正確答案：｜λE—A｜==(λ+A一1)(λ—a)(λ—a一1)=0，得矩陣A的特征值為λ1=1一a，λ2=a，λ3=1+a．(1)當1-a≠a，1一a≠1+a，a≠1＋a，即a≠0且a≠時，因為矩陣A有三個不同的特征值，所以A一定可以對角化．(2)當a=0時，λ1=λ3=1，因為r(E—A)=2，所以方程組(E一A)X=0的基礎(chǔ)解系只含有一個線性無關(guān)的解向量，故矩陣A不可以對角化．涉及知識點：線性代數(shù)設(shè)函數(shù)求：14．函數(shù)的定義域；正確答案：數(shù)的定義域是(-∞，0]∪(0，＋∞]，即(-∞，＋∞)；涉及知識點：函數(shù)、極限、連續(xù)15．f(0)，f(-1)，f(3)，f(a)，f(f(-1))正確答案：因0∈(-∞，0]，－1∈(-∞，0]由f(x)＝2＋x，得f(0)＝2＋0＝2，f(－1)＝2＋(-1)＝1因x∈(0，＋∞)，由f(x)＝2x，得f(3)＝23＝8當a≤0時，由f(x)＝2＋x得f(