專題14 二次函數(shù)的應(yīng)用（練習(xí)）（14題型）

第14講二次函數(shù)的應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u題型過關(guān)練 2題型01最大利潤(rùn)/銷量問題 2題型02方案選擇問題 3題型03拱橋問題 5題型04隧道問題 7題型05空中跳躍軌跡問題 9題型06球類飛行軌跡 11題型07噴泉問題 15題型08圖形問題 17題型09圖形運(yùn)動(dòng)問題 19題型10二次函數(shù)綜合問題-線段、周長(zhǎng)問題 21題型11二次函數(shù)綜合問題-面積周長(zhǎng)問題 24題型12二次函數(shù)綜合問題-角度問題 26題型13二次函數(shù)綜合問題-特殊三角形問題 27題型14二次函數(shù)綜合問題-特殊四邊形問題 28真題實(shí)戰(zhàn)練 31

題型過關(guān)練題型01最大利潤(rùn)/銷量問題1．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）李大爺每天到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種水果進(jìn)行銷售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購(gòu)買，一箱起售，每人一天購(gòu)買不超過10箱；當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為8.2元/千克，每多購(gòu)買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗(yàn)，這種水果售價(jià)為12元/千克時(shí)，每天可銷售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．(1)請(qǐng)求出這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每天購(gòu)進(jìn)的這種水果需當(dāng)天全部售完，請(qǐng)你計(jì)算，李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？2．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）為推進(jìn)“書香社區(qū)”建設(shè)，某社區(qū)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批圖書．已知購(gòu)買2本科技類圖書和3本文學(xué)類圖書需154元，購(gòu)買4本科技類圖書和5本文學(xué)類圖書需282元．(1)科技類圖書與文學(xué)類圖書的單價(jià)分別為多少元？(2)為了支持“書香社區(qū)”建設(shè)，助推科技發(fā)展，商家對(duì)科技類圖書推出銷售優(yōu)惠活動(dòng)（文學(xué)類圖書售價(jià)不變）：購(gòu)買科技類圖書超過40本但不超過50本時(shí)，每增加1本，單價(jià)降低1元；超過50本時(shí)，均按購(gòu)買50本時(shí)的單價(jià)銷售．社區(qū)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種圖書共計(jì)100本，其中科技類圖書不少于30本，但不超過60本．按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準(zhǔn)備多少購(gòu)書款？3．（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）為增加農(nóng)民收入，助力鄉(xiāng)村振興．某駐村干部指導(dǎo)農(nóng)戶進(jìn)行草莓種植和銷售，已知草莓的種植成本為8元/千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，今年五一期間草莓的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）（8≤x≤40）滿足的函數(shù)圖象如圖所示．

（1）根據(jù)圖象信息，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求五一期間銷售草莓獲得的最大利潤(rùn)．題型02方案選擇問題4．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）為響應(yīng)政府鞏固脫貧成果的號(hào)召，某商場(chǎng)與生產(chǎn)水果的脫貧鄉(xiāng)鎮(zhèn)簽訂支助協(xié)議，每月向該鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：銷售甲種水果每噸可獲利0.4萬元，銷售乙種水果獲利如下表所示：銷售x（噸）34567獲利y（萬元）0.91.11.31.51.7(1)分別求銷售甲、乙兩種水果獲利y1（萬元）、y2（萬元）與購(gòu)進(jìn)水果數(shù)量(2)若只允許商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)并銷售一種水果，選擇哪種水果獲利更高？(3)支助協(xié)議中約定，商場(chǎng)每個(gè)月向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為m、n噸，且m，n滿足n=20?15．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）2023年國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某經(jīng)銷商準(zhǔn)備采購(gòu)一批風(fēng)箏，已知用20000元采購(gòu)A型風(fēng)箏的只數(shù)是用8000元采購(gòu)B型風(fēng)箏的只數(shù)的2倍，一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)比一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)多20元．(1)求一只A，B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)分別為多少元？(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：A型風(fēng)箏售價(jià)的一半與A型風(fēng)箏銷量的和總是等于130，B型風(fēng)箏的售價(jià)為120元/只．該經(jīng)銷商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B型風(fēng)箏共300只，其中A型風(fēng)箏m50≤m≤1506．（2020·山西太原·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）垃圾分類作為一個(gè)公共管理的綜合系統(tǒng)工程，需要社會(huì)各個(gè)方面共同發(fā)力．洛陽市某超市計(jì)劃定制一款家用分類垃圾桶，獨(dú)家經(jīng)銷，生產(chǎn)廠家給出如下定制方案：不收設(shè)計(jì)費(fèi)，定制不超過200套時(shí)．每套費(fèi)用60元；超過200套后，超出的部分8折優(yōu)惠．已知該超市定制這款垃圾桶的平均費(fèi)用為56元1套(1)該超市定制了這款垃圾桶多少套？(2)超市經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)此款垃圾桶售價(jià)定為80/套時(shí)，平均每天可售出20套；售價(jià)每降低1元．平均每天可多售出2套，售價(jià)下降多少元時(shí)．可使該超市平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大？7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）某商家購(gòu)進(jìn)一批產(chǎn)品，成本為10元/件，現(xiàn)有線上和線下兩種銷售方式，售價(jià)均為x元/件（10<x<24）．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，線上的銷售量為600件；線下的銷售量y（單位：件）與售價(jià)x（單位：元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：x（元/件）1213141516y（件）120011001000900800(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，線上銷售利潤(rùn)與線下銷售利潤(rùn)相等；(3)若商家準(zhǔn)備從線上和線下兩種銷售方式中選一種，怎樣選擇才能使所獲利潤(rùn)較大．題型03拱橋問題8．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？家荒＃┤鐖D，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)水面寬AB=20m，當(dāng)水位上升3m時(shí)，水面寬(1)按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)有一條船以5km/?的速度向此橋徑直駛來，當(dāng)船距離此橋35km，橋下水位正好在AB處，之后水位每小時(shí)上漲0.25m，當(dāng)水位達(dá)到CD處時(shí)，將禁止船只通行．如果該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛9．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖1，某公園在入園處搭建了一道“氣球拱門”，拱門兩端落在地面上．若將拱門看作拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．拱門上的點(diǎn)距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x??)(1)拱門上的點(diǎn)的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x23681012豎直高度y45.47.26.440根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出“門高”（拱門的最高點(diǎn)到地面的距離），并求出拱門上的點(diǎn)滿足的函數(shù)關(guān)系y=a(x??)(2)一段時(shí)間后，公園重新維修拱門．新拱門上的點(diǎn)距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=?0.288(x?5)2+7.2，若記“原拱門”的跨度（跨度為拱門底部?jī)蓚€(gè)端點(diǎn)間的距離）為d1，“新拱門”的跨度為d2，則d1__________d210．（2023·廣東佛山·校考三模）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運(yùn)輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國(guó)橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．(1)某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，則這條橋主橋拱的半徑是______(2)某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬MN=10m，拱頂P（拋物線頂點(diǎn)）距離水面4(3)如圖③，某時(shí)橋A和橋B的橋下水位均上升了2m題型04隧道問題11．（2022·北京通州·統(tǒng)考一模）如圖1是某條公路的一個(gè)單向隧道的橫斷面．經(jīng)測(cè)量，兩側(cè)墻AD和與路面AB垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AB＝4米．為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點(diǎn)E，測(cè)量點(diǎn)E到墻面AD的距離和到隧道頂面的距離EF．設(shè)AE=x米，EF=y米．通過取點(diǎn)、測(cè)量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00(1)隧道頂面到路面AB的最大高度為______米；(2)請(qǐng)你幫助工程人員建立平面直角坐標(biāo)系，描出上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出可以表示隧道頂面的圖象．(3)今有寬為2.4米，高為3米的貨車準(zhǔn)備在隧道中間通過（如圖2）．根據(jù)隧道通行標(biāo)準(zhǔn)，其車廂最高點(diǎn)到隧道頂面的距離應(yīng)大于0.5米．結(jié)合所畫圖象，請(qǐng)判斷該貨車是否安全通過：______（填寫“是”或“否”）．12．（2023·河南信陽·二模）2023年3月15日新晉高速全線通車，它把山西往河南路程由2小時(shí)縮短為1小時(shí)前期規(guī)劃開挖一條雙向四車道隧道時(shí)，王師傅想把入口設(shè)計(jì)成拋物線形狀（如圖），入口底寬AB為16cm，入口最高處OC為12.8(1)求拋物線解析式；(2)王師傅實(shí)地考察后，發(fā)現(xiàn)施工難度大，有人建議拋物線的形狀不變，將隧道入口往左平移2m，最高處降為9.8(3)雙向四車道的地面寬至少要15米，則（2）中的建議是否符合要求？題型05空中跳躍軌跡問題13．（2022·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練，水面邊緣點(diǎn)E的坐標(biāo)為?32,?10．運(yùn)動(dòng)員（將運(yùn)動(dòng)員看成一點(diǎn)）在空中運(yùn)動(dòng)的路線是經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線．在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在空中最高處A(1)求運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)拋物線的解析式并求出入水處B點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，恰好距點(diǎn)E的水平距離為5米，問該運(yùn)動(dòng)員此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？通過計(jì)算說明理由；(3)在該運(yùn)動(dòng)員入水點(diǎn)的正前方有M，N兩點(diǎn)，且EM=212，EN=272，該運(yùn)動(dòng)員入水后運(yùn)動(dòng)路線對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為y=a（x??）2+k，且頂點(diǎn)C距水面4米，若該運(yùn)動(dòng)員出水點(diǎn)14．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）跳臺(tái)滑雪簡(jiǎn)稱：“跳雪”，選手不借助任何外力，從起滑臺(tái)P處起滑，在助滑道PE上加速，從跳臺(tái)E處起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．運(yùn)動(dòng)員從P點(diǎn)起滑，沿滑道加速，到達(dá)高度OE=42m的E點(diǎn)后起跳，運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線．建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，OM=38m，ON=114m，設(shè)MN

甲運(yùn)動(dòng)員起跳后，與跳臺(tái)OE水平距離xm、豎直高度y水平距離x010203040豎直高度y4248504842(1)求甲運(yùn)動(dòng)員空中運(yùn)動(dòng)軌跡拋物線的關(guān)系式；(2)運(yùn)動(dòng)員得分由距離得分＋動(dòng)作分＋風(fēng)速得分組成．距離得分：運(yùn)動(dòng)員著陸點(diǎn)到跳臺(tái)OE水平距離為50m，即得到60分，每比50m遠(yuǎn)1米多得2分；反之，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員著陸點(diǎn)每比50m近1米扣2分．距離分計(jì)算采取“2舍3入法”，如60.2米計(jì)為60米，60.3動(dòng)作得分：由裁判根據(jù)運(yùn)動(dòng)員空中動(dòng)作的優(yōu)美程度打分．風(fēng)速得分：由逆風(fēng)或者順風(fēng)決定．甲運(yùn)動(dòng)員動(dòng)作分、風(fēng)速加分如下表：距離分動(dòng)作分風(fēng)速加分50?2.5請(qǐng)你計(jì)算甲運(yùn)動(dòng)員本次比賽得分．15．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）某校開展“陽光體育”活動(dòng)，如圖①是學(xué)生在操場(chǎng)玩跳長(zhǎng)繩游戲的場(chǎng)景，在跳長(zhǎng)繩的過程中，繩甩到最高處時(shí)的形狀是拋物線型，如圖②所示是以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立的平面直角坐標(biāo)系（甲位于點(diǎn)O處，乙位于x軸的D處），正在甩繩的甲、乙兩名同學(xué)握繩的手分別設(shè)為A點(diǎn)、B點(diǎn)，且AB的水平距離為6米，他們到地面的距離AO與BD均為0.9米，繩子甩到最高點(diǎn)C處時(shí)，最高點(diǎn)距地面的垂直距離為1.8米．(1)請(qǐng)求出該拋物線的解析式；(2)跳繩者小明的身高為1.7米，當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)，求小明站在距甲同學(xué)多遠(yuǎn)時(shí)，繩子剛好過他的頭頂上方；(3)經(jīng)測(cè)定，多人跳長(zhǎng)繩時(shí)，參與者同方向站立時(shí)的腳跟之間距離不小于0.4米時(shí)才能安全起跳，小明與其他3位同學(xué)一起跳繩，如果這3名同學(xué)與小明身高相同，通過計(jì)算說明他們是否可以安全起跳？題型06球類飛行軌跡16．（2023·陜西西安·交大附中分校?？家荒＃┛ㄋ柺澜绫昝缆淠唬谝粓?chǎng)比賽中，球員甲在離對(duì)方球門30米處的O點(diǎn)起腳吊射（把球高高地挑過守門員的頭頂，射入球門），假如球飛行的路線是一條拋物線，在離球門14米時(shí)，足球達(dá)到最大高度8米．如圖所示，以球員甲所在位置O點(diǎn)為原點(diǎn)，球員甲與對(duì)方球門所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果葡萄牙球員C羅站在球員甲前3米處，C羅跳起后最高能達(dá)到2.88米，那么C羅能否在空中截住這次吊射？17．（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）手榴彈作為一種威力較大，體積較小，方便攜帶的武器，在戰(zhàn)爭(zhēng)中能發(fā)揮重要作用，然而想把手榴彈扔遠(yuǎn)，并不是一件容易的事．軍訓(xùn)中，借助小山坡的有利地勢(shì)，小剛在教官的指導(dǎo)下用模擬彈進(jìn)行一次試投：如圖所示，把小剛投出的手榴彈的運(yùn)動(dòng)路線看做一條拋物線，手榴彈飛行的最大高度為12米，此時(shí)它的水平飛行距離為6米，山坡OA的坡度為1:3．(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)山坡上A處的水平距離OE為9米，A處有一棵樹，樹高5米，則小剛投出的手榴彈能否越過這棵樹？請(qǐng)說明理由；(3)求飛行的過程中手榴彈離山坡的最大高度是多少米．18．（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）鷹眼系統(tǒng)能夠追蹤、記錄和預(yù)測(cè)球的軌跡，如圖分別為足球比賽中某一時(shí)刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測(cè)畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點(diǎn)O，守門員位于點(diǎn)A，OA的延長(zhǎng)線與球門線交于點(diǎn)B，且點(diǎn)A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．已知OB=28m，AB=8m，足球飛行的水平速度為15m/s，水平距離s（水平距離=水平速度×?xí)r間）與離地高度h的鷹眼數(shù)據(jù)如下表：s/m…912151821…h(huán)/m…4.24.854.84.2…(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)足球落地時(shí)，s=m；(2)求h關(guān)于s的函數(shù)解析式；(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應(yīng)，當(dāng)守門員位于足球正下方時(shí)，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功．已知守門員面對(duì)足球后退過程中速度為2.5m/s，最大防守高度為2.5m；背對(duì)足球向球門前進(jìn)過程中最大防守高度為1.8m．①若守門員選擇面對(duì)足球后退，能否成功防守？試計(jì)算加以說明；②若守門員背對(duì)足球向球門前進(jìn)并成功防守，求此過程守門員的最小速度．19．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，春節(jié)期間，某同學(xué)燃放一種手持煙花，煙花彈的飛行路徑是一段拋物線，噴射出時(shí)距地面2米，在與他水平距離是20米，達(dá)到最大高度18米時(shí)爆炸．若是啞彈（在空中沒有爆炸的煙花彈），會(huì)繼續(xù)按原有的拋物線飛落，在他的正前方33米處有一棟高15米的居民樓（截面矩形ABCD與拋物線在同一平面上）．(1)求拋物線的解析式（不必寫出x的取值范圍），請(qǐng)通過計(jì)算說明若是啞彈，會(huì)落在幾層居民樓的外墻或窗戶上（每層樓高按3米計(jì)算）；(2)該同學(xué)沿x軸負(fù)半軸至少后退幾米，才能避免啞彈落在居民樓的外墻或窗戶上？（結(jié)果保留根號(hào)）(3)若居民樓寬AB=CD=12m，該同學(xué)沿x軸向居民樓走n米，可使啞彈落在樓頂CD上（不含點(diǎn)C，D），直接寫出n20．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）小明發(fā)現(xiàn)某乒乓球發(fā)球器有“直發(fā)式”與“間發(fā)式”兩種模式．在“直發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線；在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條直線，球第一次接觸臺(tái)面到第二次接觸臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為一條拋物線．如圖1和圖2分別建立平面直角坐標(biāo)系xOy．

通過測(cè)量得到球距離臺(tái)面高度y（單位：dm）與球距離發(fā)球器出口的水平距離x（單位：dm）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：表1

直發(fā)式x02468101620…y3.843.9643.96m3.642.561.44…表2

間發(fā)式x024681012141618…y3.36n1.680.8401.402.4033.203…根據(jù)以上信息，回答問題：(1)表格中m=________，n=________；(2)求“直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺(tái)面前的運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式；(3)若“直發(fā)式”模式下球第一次接觸臺(tái)面時(shí)距離出球點(diǎn)的水平距離為d1“間發(fā)式”模式下球第二次接觸臺(tái)面時(shí)距離出球點(diǎn)的水平距離為d2，則d1題型07噴泉問題21．（2022·北京西城·統(tǒng)考一模）要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個(gè)噴水頭，記噴出的水與池中心的水平距離為xm，距地面的高度為ym．測(cè)量得到如下數(shù)值：x/m00.511.522.533.37y/m2.443.153.493.453.042.251.090小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)y是x的函數(shù)，并對(duì)y隨x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小騰的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x,y，并畫出函數(shù)的圖象；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，出水口距地面的高度為_______m，水達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)與池中心的水平距離約為_______m（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(3)為了使水柱落地點(diǎn)與池中心的距離不超過3.2m，如果只調(diào)整水管的高度，其他條件不變，結(jié)合函數(shù)圖象，估計(jì)出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．22．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為hm，如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到綠化帶的距離OD為dm．當(dāng)OH=1.5m，DE=3m，EF=0.5m時(shí)，解答下列問題：(1)①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，試求出d的取值范圍．題型08圖形問題23．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)12m）和21(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE=1m的水池且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？24．（2020·山東日照·中考真題）如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長(zhǎng)度不限）的矩形空地ABCD，為美化環(huán)境，用總長(zhǎng)為100m的籬笆圍成四塊矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計(jì)）．（1）若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE＝3BE；（2）在（1）的條件下，設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．25．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=ax2+3x+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(?2,0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0,8)，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CP,PB，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸l(1)求拋物線的解析式；(2)求直線BC的解析式；(3)求△BCP的面積最大值．26．（2023下·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）春回大地，萬物復(fù)蘇，又是一年花季到．某花圃基地計(jì)劃將如圖所示的一塊長(zhǎng)40m，寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動(dòng)區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A，B，C三種花卉．活動(dòng)區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長(zhǎng)是10m．A，B，C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元．(1)設(shè)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為xm，用含x的代數(shù)式表示下列各量：花卉A的種植面積是_____m2，花卉B的種植面積是______m2，花卉C的種植面積是_______(2)育苗區(qū)的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？(3)若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2，求A，B，題型09圖形運(yùn)動(dòng)問題27．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運(yùn)動(dòng)：同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積為2cm(2)求四邊形PQCA面積的最小值．28．（2021下·吉林·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)從C出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，以CP，CQ為鄰邊作矩形CPMQ．當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q繼續(xù)向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，CQ＝________，BP＝________（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)M落在AB邊上時(shí)，t＝_________s；（3）設(shè)矩形CPMQ與△ABC重合部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；29．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥DC，交AC于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1)當(dāng)E、Q重合時(shí)，求t的值；(2)設(shè)四邊形BQPE的面積為S，當(dāng)線段PE在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)BE∥PQ時(shí)，求(4)是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．30．（2023·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=6cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PQ⊥AB交直線AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊向左側(cè)作矩形PQMN，使QM=3PQ．設(shè)矩形PQMN與△ABC(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，求QM的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)點(diǎn)M在邊BC上時(shí)，求t的值；(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．(4)連接BQ，沿直線BQ將矩形PQMN剪開的兩部分可以拼成一個(gè)無縫隙也不重疊的三角形時(shí)，直接寫出t的值．題型10二次函數(shù)綜合問題-線段、周長(zhǎng)問題31．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx?3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)，點(diǎn)B(3,0)，與y(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使△ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．32．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸分別交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值．(3)動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．33．（2021·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=?12（1）求拋物線的解析式；（2）求證：△AOC∽△ACB；（3）點(diǎn)M3,2是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求PD+PM題型11二次函數(shù)綜合問題-面積周長(zhǎng)問題34．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A1,0，AB=4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ//BC交(1)求該拋物線的解析式；(2)求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．35．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．36．（2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖，OP交AB于點(diǎn)C，PD∥BO交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，題型12二次函數(shù)綜合問題-角度問題37．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)y=?14x2+12m?1x+m（m是常數(shù)，且m>0）的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸l(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示）；(2)當(dāng)PA+PC的最小值等于45時(shí)，求m的值及此時(shí)點(diǎn)P(3)當(dāng)m?。?）中的值時(shí)，若∠APC=2∠ABC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．38．（2022·廣東深圳·深圳中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知拋物線y=?13x2+bx+c交x軸于A?3,0，B4,0兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)連接OP，BP，若S△BOP=2S(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型13二次函數(shù)綜合問題-特殊三角形問題39．（2021上·云南紅河·九年級(jí)校考期中）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，y與軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．已知A(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M，使得MA+MC的值最小，求此點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在P點(diǎn)，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．40．（2020·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B，與y軸交于點(diǎn)C，且直線y=x?6過點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱．點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交直線BD（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)△MDB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q,M,N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．題型14二次函數(shù)綜合問題-特殊四邊形問題41．（2022·四川眉山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2?4x+c與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AC距離的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．42．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于A?1，0，B4(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過P作PE⊥BC于點(diǎn)E，過P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)G，求PE＋PG的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)(3)將拋物線y=12x2+bx+c沿射線CB方向平移，平移后的圖象經(jīng)過點(diǎn)H2,?1，點(diǎn)M為D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)Q為平移后的拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)Q在第一象限．在平面直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)R，使得以點(diǎn)M，N，Q，43．（2023·重慶江北·?？家荒＃┤鐖D，拋物線y=24x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A?2,0、B，與(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)A作AF⊥AD交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，在直線AF下方對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PE⊥DF交于點(diǎn)E，求PQ+PE最大值及此時(shí)點(diǎn)(3)將原拋物線沿著x軸正方向平移，使得新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)M是新拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為對(duì)角線的菱形，若存在，求所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．44．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)線段PE的長(zhǎng)度為h，請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示h；(3)如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥CE，垂足為F，當(dāng)CF＝EF時(shí)，請(qǐng)求出m的值；(4)如圖3，連接CP，當(dāng)四邊形OCPD是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使原點(diǎn)O關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)O′恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．真題實(shí)戰(zhàn)練1．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長(zhǎng)l為圖中粗線段P（?。┬藿ㄒ粋€(gè)“”型柵欄，如圖2，點(diǎn)P2，P3在拋物線AED上．設(shè)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m0<m≤6，求柵欄總長(zhǎng)l與m（ⅱ）現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時(shí)點(diǎn)P2．（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為?（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE=3m，豎直高度為EF的長(zhǎng)．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d(1)若?=1.5，EF=0.5m①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍；(2)若EF=1m．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接寫出?3．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種品牌粽子的進(jìn)價(jià)不變．第一次購(gòu)進(jìn)A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費(fèi)用為7000元；第二次購(gòu)進(jìn)A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費(fèi)用為8100元．(1)求A、B兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元；(2)當(dāng)B品牌粽子銷售價(jià)為每袋54元時(shí)，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對(duì)B品牌粽子進(jìn)行降價(jià)銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若每袋的銷售價(jià)每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低多少元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？4．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）某企業(yè)投入60萬元（只計(jì)入第一年成本）生產(chǎn)某種產(chǎn)品，按網(wǎng)上訂單生產(chǎn)并銷售（生產(chǎn)量等于銷售量）．經(jīng)測(cè)算，該產(chǎn)品網(wǎng)上每年的銷售量y（萬件）與售價(jià)x（元/件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝24－x，第一年除60萬元外其他成本為8元/件．(1)求該產(chǎn)品第一年的利潤(rùn)w（萬元）與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)該產(chǎn)品第一年利潤(rùn)為4萬元，第二年將它全部作為技改資金再次投入（只計(jì)入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求該產(chǎn)品第一年的售價(jià)；②若第二年售價(jià)不高于第一年，銷售量不超過13萬件，則第二年利潤(rùn)最少是多少萬元？5．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個(gè)小球同向運(yùn)動(dòng)，黑球在A處開始減速，此時(shí)白球在黑球前面70cm小聰測(cè)量黑球減速后的運(yùn)動(dòng)速度v（單位：cm/s）、運(yùn)動(dòng)距離y（單位：cm）隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)，整理得下表．運(yùn)動(dòng)時(shí)間t01234運(yùn)動(dòng)速度v109.598.58運(yùn)動(dòng)距離y09.751927.7536小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運(yùn)動(dòng)速度v與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間成一次函數(shù)關(guān)系，運(yùn)動(dòng)距離y與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間成二次函數(shù)關(guān)系．(1)直接寫出v關(guān)于t的函數(shù)解析式和y關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）(2)當(dāng)黑球減速后運(yùn)動(dòng)距離為64cm(3)若白球一直以2cm/s6．（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）科研人員為了研究彈射器的某項(xiàng)性能，利用無人機(jī)測(cè)量小鋼球豎直向上運(yùn)動(dòng)的相關(guān)數(shù)據(jù)．無人機(jī)上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時(shí)，在地面用彈射器（高度不計(jì)）豎直向上彈射一個(gè)小鋼球（忽路空氣阻力），在1秒時(shí)，它們距離地面都是35米，在6秒時(shí)，它們距離地面的高度也相同．其中無人機(jī)離地面高度y1（米）與小鋼球運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示；小鋼球離地面高度y2（米）與它的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（1）直接寫出y1與x（2）求出y2與x（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時(shí)，小鋼球和無人機(jī)的高度差最大是多少米？7．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）在“鄉(xiāng)村振興”行動(dòng)中，某村辦企業(yè)以A，B兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，A原料的單價(jià)是B原料單價(jià)的1.5倍，若用900元收購(gòu)A原料會(huì)比用900元收購(gòu)B原料少100kg．生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要A原料2kg和B原料（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本＝原料費(fèi)＋其他成本）；（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價(jià)是x元（x是整數(shù)），每天的利潤(rùn)是w元，求w關(guān)于x的函數(shù)解析式（不需要寫出自變量的取值范圍）；（3）若每盒產(chǎn)品的售價(jià)不超過a元（a是大于60的常數(shù)，且是整數(shù)），直接寫出每天的最大利潤(rùn)．8．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對(duì)外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對(duì)話：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出．如果每輛汽車的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元．乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元．說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤(rùn)=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利潤(rùn)差=月利潤(rùn)較高公司的利潤(rùn)-月利潤(rùn)較低公司的利潤(rùn)．在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：（1）當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是_______元；當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為_______輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等；（2）求兩公司月利潤(rùn)差的最大值；（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元a>0給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤(rùn)與乙公司月利潤(rùn)之差最大，求a的取值范圍．9．（2022·山東濰坊·中考真題）某市在鹽堿地種植海水稻獲得突破性進(jìn)展，小亮和小瑩到海水稻種植基地調(diào)研．小瑩根據(jù)水稻年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別在直角坐標(biāo)系中描出表示2017-2021年①號(hào)田和②號(hào)田年產(chǎn)量情況的點(diǎn)（記2017年為第1年度，橫軸表示年度，縱軸表示年產(chǎn)量），如下圖．小亮認(rèn)為，可以從y=kx+b(k>0)，y=mx(m>0)，y=?0.1x2+ax+c(1)小瑩認(rèn)為不能選y=m(2)請(qǐng)從小亮提供的函數(shù)模型中，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ头謩e模擬①號(hào)田和②號(hào)田的年產(chǎn)量變化趨勢(shì)，并求出函數(shù)表達(dá)式；(3)根據(jù)（2）中你選擇的函數(shù)模型，請(qǐng)預(yù)測(cè)①號(hào)田和②號(hào)田總年產(chǎn)量在哪一年最大？最大是多少？10．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）“八婺”菜場(chǎng)指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計(jì)售價(jià)與需求量的數(shù)據(jù)，通過描點(diǎn)（圖1），發(fā)現(xiàn)該蔬菜需求量y1（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)圖象可以看成拋物線，其表達(dá)式為y售價(jià)x（元/千克）…2.533.54…需求量y1…7.757.26.555.8…②該蔬菜供給量y2（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)表達(dá)式為y③1~7月份該蔬菜售價(jià)x1（元/千克），成本x2（元/千克）關(guān)于月份t的函數(shù)表達(dá)式分別為x1請(qǐng)解答下列問題：(1)求a，c的值．(2)根據(jù)圖2，哪個(gè)月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說明理由．(3)求該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)，以及按此價(jià)格出售獲得的總利潤(rùn)．11．（2021·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如今我國(guó)的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟．小明家的菜地上有一個(gè)長(zhǎng)為16米的蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端固定在離地面高2米的墻體B處，現(xiàn)對(duì)其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．已知大棚上某處離地面的高度y（米）與其離墻體A的水平距離x（米）之間的關(guān)系滿足y=?16x2+bx+c圖2（1）直接寫出b，c的值；（2）求大棚的最高處到地面的距離；（3）小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為372412．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．PQ交AC于點(diǎn)F，連接(1)當(dāng)EQ⊥AD時(shí)，求t的值；(2)設(shè)四邊形PCDQ的面積為S(cm2)，求S(3)是否存在某一時(shí)刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖1是一架菱形風(fēng)箏，它的骨架由如圖2的4條竹棒AC，BD，EF，GH組成，其中E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD四邊的中點(diǎn)，現(xiàn)有一根長(zhǎng)為80cm的竹棒，正好鋸成風(fēng)箏的四條骨架，設(shè)AC＝xcm，菱形ABCD(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：(2)為了使風(fēng)箏在空中有較好的穩(wěn)定性，要求25cm≤AC≤43BD14．（2023·安徽合肥·校考模擬預(yù)測(cè)）某公園要在小廣場(chǎng)上建造一個(gè)噴泉景觀．在小廣場(chǎng)中央O處垂直于地面安裝一個(gè)高為1.25米的花形柱子OA，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖1所示．為使水流形狀較為美觀，設(shè)計(jì)成水流在距OA的水平距離為1米時(shí)達(dá)到最大高度，此時(shí)離地面2.25米．(1)以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，水流到OA水平距離為x米，水流噴出的高度為y米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時(shí)他離花形柱子OA的距離為d米，求d的取值范圍；(3)為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45°角，如圖3所示，光線交匯點(diǎn)P在花形柱子OA的正上方，其中光線BP所在的直線解析式為y=?x+415．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）2022年的冬奧會(huì)在北京舉行，其中冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”深受人們喜愛，多地出現(xiàn)了“一墩難求”的場(chǎng)面，某紀(jì)念品商店在開始售賣當(dāng)天提供150個(gè)“冰墩墩”后很快就被搶購(gòu)一空．該店決定讓當(dāng)天未購(gòu)買到的顧客可通過預(yù)約在第二天優(yōu)先購(gòu)買，并且從第二天起，每天比前一天多供應(yīng)m個(gè)（m為正整數(shù)）經(jīng)過連續(xù)15天的銷售統(tǒng)計(jì)，得到第x天（1≤x≤15，且x為正整數(shù)）的供應(yīng)量y1（單位：個(gè)）和需求量y2（單位：個(gè)）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，其中需求量y2第x天12…6…11…15供應(yīng)量y1150150+m…150+5m…150+10m…150+14m需求量y2220229…245…220…164(1)直接寫出y1與x和y2與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出(2)已知從第10天開始，有需求的顧客都不需要預(yù)約就能購(gòu)買到（即前9天的總需求量超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量），求m的值；（參考數(shù)據(jù)：前9天的總需求量為2136個(gè)）(3)在第（2）問m取最小值的條件下，若每個(gè)“冰墩墩”售價(jià)為100元，求第4天與第12天的銷售額．16．（2021·天津·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°,BO=BA，頂點(diǎn)A4,0，點(diǎn)B在第一象限，矩形OCDE的頂點(diǎn)E?72,0，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（Ⅱ）將矩形OCDE沿x軸向右平移，得到矩形O'C'D'E'，點(diǎn)O，C，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O'，C'，D'，①如圖②，當(dāng)點(diǎn)E'在x軸正半軸上，且矩形O'C'D'E'與△OAB重疊部分為四邊形時(shí)，D'E'②當(dāng)52≤t≤917．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線y＝43x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為Bx＝﹣1．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形？若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=ax2+114x?6與x軸交于At,0，B8,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx－6經(jīng)過點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；(2)如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，求CQ+119．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：y=12x2+bx+c(1)求函數(shù)解析式；(2)平移拋物線使得新頂點(diǎn)為Pm,n（m①倘若S△OPB=3，且在x=k的右側(cè)，兩拋物線都上升，求②P在原拋物線上，新拋物線與y軸交于Q，∠BPQ=120°時(shí)，求20．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A?2,0、B8,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．并求出四邊形OADC的面積；(3)點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCB=∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線y=x2?x?2交x軸于A、B兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線y=?x+b與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出b的值；(3)P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥y軸交直線BC于點(diǎn)M，交圖象W于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)

第14講二次函數(shù)的應(yīng)用答案解析題型過關(guān)練題型01最大利潤(rùn)/銷量問題1．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）李大爺每天到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種水果進(jìn)行銷售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購(gòu)買，一箱起售，每人一天購(gòu)買不超過10箱；當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為8.2元/千克，每多購(gòu)買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗(yàn)，這種水果售價(jià)為12元/千克時(shí)，每天可銷售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．(1)請(qǐng)求出這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每天購(gòu)進(jìn)的這種水果需當(dāng)天全部售完，請(qǐng)你計(jì)算，李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)y=?0.2x+8.4(1≤x≤10且x為整數(shù))．(2)李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果7箱，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是140元．【分析】（1）根據(jù)題意列出y=8.2?0.2(x?1)，得到結(jié)果．（2）根據(jù)銷售利潤(rùn)=銷售量×（售價(jià)-進(jìn)價(jià)），利用（1）結(jié)果，列出銷售利潤(rùn)w與x的函數(shù)關(guān)系式，即可求出最大利潤(rùn)．【詳解】（1）解：由題意得y=8.2?0.2(x?1)=?0.2x+8.4∴批發(fā)價(jià)y與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=?0.2x+8.4(1≤x≤10，且x為整數(shù))．（2）解：設(shè)李大爺銷售這種水果每天獲得的利潤(rùn)為w元?jiǎng)tw=[12?0.5(x?1)?y]?10x=[12?0.5(x?1)?(?0.2x+8.4)]?10x=?3∵a=?3<0∴拋物線開口向下∵對(duì)稱軸是直線x=∴當(dāng)1≤x≤416時(shí)，w的值隨∵x為正整數(shù)，∴此時(shí)，當(dāng)x=6時(shí)，w當(dāng)416≤x≤10時(shí)，w的值隨∵x為正整數(shù)，∴此時(shí)，當(dāng)x=7時(shí)，w∵140>138∴李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果7箱，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是140元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，最大銷售利潤(rùn)的問題常利用二次函數(shù)的增減性來解答，解題關(guān)鍵是理解題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案進(jìn)行解決．2．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）為推進(jìn)“書香社區(qū)”建設(shè)，某社區(qū)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批圖書．已知購(gòu)買2本科技類圖書和3本文學(xué)類圖書需154元，購(gòu)買4本科技類圖書和5本文學(xué)類圖書需282元．(1)科技類圖書與文學(xué)類圖書的單價(jià)分別為多少元？(2)為了支持“書香社區(qū)”建設(shè)，助推科技發(fā)展，商家對(duì)科技類圖書推出銷售優(yōu)惠活動(dòng)（文學(xué)類圖書售價(jià)不變）：購(gòu)買科技類圖書超過40本但不超過50本時(shí)，每增加1本，單價(jià)降低1元；超過50本時(shí)，均按購(gòu)買50本時(shí)的單價(jià)銷售．社區(qū)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種圖書共計(jì)100本，其中科技類圖書不少于30本，但不超過60本．按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準(zhǔn)備多少購(gòu)書款？【答案】(1)科技類圖書的單價(jià)為38元，文學(xué)類圖書的單價(jià)為26元．(2)社區(qū)至少要準(zhǔn)備2700元購(gòu)書款．【分析】（1）設(shè)科技類圖書的單價(jià)為x元，文學(xué)類圖書的單價(jià)為y元，然后根據(jù)題意可列出方程組進(jìn)行求解；（2）設(shè)社區(qū)需要準(zhǔn)備w元購(gòu)書款，購(gòu)買科技類圖書m本，則文學(xué)類圖書有（100-m）本，由（1）及題意可分當(dāng)30≤m<40時(shí)，當(dāng)40≤m≤50時(shí)及當(dāng)50<m≤60時(shí)，進(jìn)而問題可分類求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)科技類圖書的單價(jià)為x元，文學(xué)類圖書的單價(jià)為y元，由題意得：2x+3y=1544x+5y=282，解得：x=38答：科技類圖書的單價(jià)為38元，文學(xué)類圖書的單價(jià)為26元．（2）解：設(shè)社區(qū)需要準(zhǔn)備w元購(gòu)書款，購(gòu)買科技類圖書m本，則文學(xué)類圖書有（100-m）本，由（1）可得：①當(dāng)30≤m<40時(shí)，則有：w=38m+26100?m∵12＞0，∴當(dāng)m=30時(shí)，w有最小值，即為w=360+2600=2960；②當(dāng)40≤m≤50時(shí)，則有：w=38?m+40∵-1＜0，對(duì)稱軸為直線m=26，∴當(dāng)40≤m≤50時(shí)，w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m=50時(shí)，w有最小值，即為w=?50③當(dāng)50<m≤60時(shí)，此時(shí)科技類圖書的單價(jià)為78?50=28（元），則有w=28m+26100?m∵2＞0，∴當(dāng)m=51時(shí)，w有最小值，即為w=102+2600=2702；綜上所述：社區(qū)至少要準(zhǔn)備2700元的購(gòu)書款．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，注意分類討論．3．（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）為增加農(nóng)民收入，助力鄉(xiāng)村振興．某駐村干部指導(dǎo)農(nóng)戶進(jìn)行草莓種植和銷售，已知草莓的種植成本為8元/千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，今年五一期間草莓的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）（8≤x≤40）滿足的函數(shù)圖象如圖所示．

（1）根據(jù)圖象信息，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求五一期間銷售草莓獲得的最大利潤(rùn)．【答案】（1）y=?3x+216(8≤x≤32)【分析】（1）分為8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；（2）根據(jù)“利潤(rùn)＝（售價(jià)?成本）×銷售量”列出利潤(rùn)的表達(dá)式，在根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)．【詳解】解：（1）當(dāng)8≤x≤32時(shí)，設(shè)y＝kx＋b（k≠0），則22k+b=15032k+b=120解得：k=?3b=216∴當(dāng)8≤x≤32時(shí)，y＝?3x＋216，當(dāng)32＜x≤40時(shí)，y＝120，∴y=?3x+216(8≤x≤32)（2）設(shè)利潤(rùn)為W，則：當(dāng)8≤x≤32時(shí)，W＝（x?8）y＝（x?8）（?3x＋216）＝?3（x?40）2＋3072，∵開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝40，∴當(dāng)8≤x≤32時(shí)，W隨x的增大而增大，∴x＝32時(shí)，W最大＝2880，當(dāng)32＜x≤40時(shí)，W＝（x?8）y＝120（x?8）＝120x?960，∵W隨x的增大而增大，∴x＝40時(shí)，W最大＝3840，∵3840＞2880，∴最大利潤(rùn)為3840元．【點(diǎn)睛】點(diǎn)評(píng)：本題以利潤(rùn)問題為背景，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、分段函數(shù)的表示、二次函數(shù)的性質(zhì)，本題解題的時(shí)候要注意分段函數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍和函數(shù)的增減性，先確定函數(shù)的增減性，才能求得利潤(rùn)的最大值．題型02方案選擇問題4．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）為響應(yīng)政府鞏固脫貧成果的號(hào)召，某商場(chǎng)與生產(chǎn)水果的脫貧鄉(xiāng)鎮(zhèn)簽訂支助協(xié)議，每月向該鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：銷售甲種水果每噸可獲利0.4萬元，銷售乙種水果獲利如下表所示：銷售x（噸）34567獲利y（萬元）0.91.11.31.51.7(1)分別求銷售甲、乙兩種水果獲利y1（萬元）、y2（萬元）與購(gòu)進(jìn)水果數(shù)量(2)若只允許商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)并銷售一種水果，選擇哪種水果獲利更高？(3)支助協(xié)議中約定，商場(chǎng)每個(gè)月向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為m、n噸，且m，n滿足n=20?1【答案】(1)y1=0.4x，(2)當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量小于1.5噸時(shí)，銷售乙種水果獲利大；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量等于1.5噸時(shí)，銷售兩種水果獲利一樣；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量大于1.5噸時(shí)，銷售甲種水果獲利大；(3)商場(chǎng)向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為2和18噸時(shí)，獲得利潤(rùn)最大為4.7萬元．【分析】（1）通過表格信息建立函數(shù)關(guān)系式即可；（2）通過購(gòu)買數(shù)量來選擇哪種水果即可；（3）建立二次函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問題即可．【詳解】解：（1）由題意得y1在直角坐標(biāo)系中描出以x,y坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，易得y2設(shè)y2=kx+b，則解得k=0.2b=0.3∴y（2）當(dāng)y1=y解得x=1.5；∴當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量小于1.5噸時(shí)，銷售乙種水果獲利大；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量等于1.5噸時(shí)，銷售兩種水果獲利一樣；當(dāng)進(jìn)貨數(shù)量大于1.5噸時(shí)，銷售甲種水果獲利大．（3）當(dāng)商場(chǎng)向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為m、n噸時(shí)，獲得利潤(rùn)：w=0.4m+0.2n+0.3=0.4m+0.220?即w=?0.1m2+0.4m+4.3當(dāng)m=2時(shí)，n=18，w有最大值，答：當(dāng)商場(chǎng)向鄉(xiāng)鎮(zhèn)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果的數(shù)量分別為2和18噸時(shí)，獲得利潤(rùn)最大為4.7萬元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意熟練掌握函數(shù)關(guān)系的建立，求出解析式．5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）2023年國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某經(jīng)銷商準(zhǔn)備采購(gòu)一批風(fēng)箏，已知用20000元采購(gòu)A型風(fēng)箏的只數(shù)是用8000元采購(gòu)B型風(fēng)箏的只數(shù)的2倍，一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)比一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)多20元．(1)求一只A，B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)分別為多少元？(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：A型風(fēng)箏售價(jià)的一半與A型風(fēng)箏銷量的和總是等于130，B型風(fēng)箏的售價(jià)為120元/只．該經(jīng)銷商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B型風(fēng)箏共300只，其中A型風(fēng)箏m50≤m≤150【答案】(1)一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為100元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為80元；(2)當(dāng)購(gòu)進(jìn)50只A型風(fēng)箏，80只B型風(fēng)箏時(shí)，銷售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為13000元．【分析】（1）設(shè)一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x+20元，根據(jù)“用20000元采購(gòu)A型風(fēng)箏的只數(shù)是用8000元采購(gòu)B型風(fēng)箏的只數(shù)的2倍”列分式方程，解之即可求解；（2）設(shè)銷售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得w=?2m?30【詳解】（1）解：設(shè)一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為x+20元，根據(jù)題意得20000x+20解得x=80，經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是所列方程的解，且符合題意，∴x+20=80+20=100，答：一只A型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為100元，一只B型風(fēng)箏的進(jìn)價(jià)為80元；（2）解：設(shè)銷售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得：w=[2(130?m)?100]m+120?80整理得w=?2m?30∵?2<0，50≤m≤150∴當(dāng)m=50時(shí)，w取得最大值，最大值為13000，此時(shí)130?m=130?50=80，答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)50只A型風(fēng)箏，80只B型風(fēng)箏時(shí)，銷售這批風(fēng)箏的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為13000元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)．6．（2020·山西太原·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）垃圾分類作為一個(gè)公共管理的綜合系統(tǒng)工程，需要社會(huì)各個(gè)方面共同發(fā)力．洛陽市某超市計(jì)劃定制一款家用分類垃圾桶，獨(dú)家經(jīng)銷，生產(chǎn)廠家給出如下定制方案：不收設(shè)計(jì)費(fèi)，定制不超過200套時(shí)．每套費(fèi)用60元；超過200套后，超出的部分8折優(yōu)惠．已知該超市定制這款垃圾桶的平均費(fèi)用為56元1套(1)該超市定制了這款垃圾桶多少套？(2)超市經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)此款垃圾桶售價(jià)定為80/套時(shí)，平均每天可售出20套；售價(jià)每降低1元．平均每天可多售出2套，售價(jià)下降多少元時(shí)．可使該超市平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大？【答案】(1)該超市定制這款垃圾桶300套(2)售價(jià)下降7元時(shí)，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大【分析】（1）設(shè)該超市定制了這款垃圾桶x套，根據(jù)題意，列出方程，即可；（2）設(shè)售價(jià)下降m元，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)為y元，根據(jù)題意，列出方程，解出方程，即可．【詳解】（1）設(shè)該超市定制了這款垃圾桶x套，∵56<60，∴x>200，∴60×200+60×x?200解得：x=300，答：該超市定制了這款垃圾桶300套．（2）設(shè)售價(jià)下降m元，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)為y元，∴y=80?56?my=?2m∵?2<0且0<m<24，∴當(dāng)m=7時(shí)，y有最大值，答：售價(jià)下降7元時(shí)，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤(rùn)最大．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程和二次函數(shù)的運(yùn)用，根據(jù)題意，列出等式．7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）某商家購(gòu)進(jìn)一批產(chǎn)品，成本為10元/件，現(xiàn)有線上和線下兩種銷售方式，售價(jià)均為x元/件（10<x<24）．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，線上的銷售量為600件；線下的銷售量y（單位：件）與售價(jià)x（單位：元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：x（元/件）1213141516y（件）120011001000900800(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，線上銷售利潤(rùn)與線下銷售利潤(rùn)相等；(3)若商家準(zhǔn)備從線上和線下兩種銷售方式中選一種，怎樣選擇才能使所獲利潤(rùn)較大．【答案】(1)y=?100x+2400(2)18元(3)當(dāng)10<x<18時(shí)選擇線上銷售利潤(rùn)大；當(dāng)18<x<24時(shí)選擇線下銷售利潤(rùn)大；當(dāng)x=18時(shí)候，兩種銷售方法利潤(rùn)一樣【分析】（1）根據(jù)表格可知y與x滿足一次函數(shù)的關(guān)系，再利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)即可；（2）利用銷售利潤(rùn)=銷售數(shù)量×（銷售單價(jià)?銷售成本），結(jié)合題意列代數(shù)式，即可解答；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和（2）中求得的結(jié)果，即可解答．【詳解】（1）解：∵y與x滿足一次函數(shù)的關(guān)系，∴設(shè)y=kx+bk≠0將x=14,y=1000；x=13,y=1100代入得：14k+b=100013k+b=1100解得：k=?100b=2400∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=?100x+2400；（2）解：根據(jù)題意得：線上銷售利潤(rùn)為W1線下銷售利潤(rùn)為W2當(dāng)W1=解得x1=18或答：當(dāng)售價(jià)為18元時(shí)，線上銷售利潤(rùn)與線下銷售利潤(rùn)相等；（3）解：由（2）知，當(dāng)10<x<18時(shí)，W1∴當(dāng)10<x<18時(shí)選擇線上銷售利潤(rùn)大；當(dāng)18<x<24時(shí)，W1∴當(dāng)18<x<24時(shí)選擇線下銷售利潤(rùn)大．綜上，當(dāng)10<x<18時(shí)選擇線上銷售利潤(rùn)大；當(dāng)18<x<24時(shí)選擇線下銷售利潤(rùn)大；當(dāng)x=18時(shí)候，兩種銷售方法利潤(rùn)一樣．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用（銷售問題），能結(jié)合題意列出正確的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．題型03拱橋問題8．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考一模）如圖，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)水面寬AB=20m，當(dāng)水位上升3m時(shí)，水面寬(1)按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)有一條船以5km/?的速度向此橋徑直駛來，當(dāng)船距離此橋35km，橋下水位正好在AB處，之后水位每小時(shí)上漲0.25m，當(dāng)水位達(dá)到CD處時(shí)，將禁止船只通行．如果該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛【答案】(1)y=?(2)水面寬是15m【分析】（1）以拱橋最頂端為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)設(shè)函數(shù)解析式為y=ax（2）計(jì)算出船行駛到橋下的時(shí)間，由這個(gè)時(shí)間按計(jì)算水位上升的高度，從而得出此時(shí)水面寬度，再比較就可以求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2(a不等于0)，橋拱最高點(diǎn)O到水面CD則D(5,??)，B(10,???3)∴25a=??100a=???3解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?1（2）解：由題意，得船行駛到橋下的時(shí)間為：35÷5=7小時(shí)，水位上升的高度為：0.25×7=1.75米．設(shè)此時(shí)水面寬為EF，，由（1）知：B10,?4∴F縱坐標(biāo)為?4+1.75=?2.25，把y=?2.25代入y=?1?2.25=?1解得：x1=?7.5，∴EF=7.5??7.5∵15m∴船的速度不變，它能安全通過此橋．答：該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛35km時(shí)，水面寬是15【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，行程問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，有理數(shù)大小的比較的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．9．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖1，某公園在入園處搭建了一道“氣球拱門”，拱門兩端落在地面上．若將拱門看作拋物線的一部分，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．拱門上的點(diǎn)距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x??)(1)拱門上的點(diǎn)的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x23681012豎直高度y45.47.26.440根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出“門高”（拱門的最高點(diǎn)到地面的距離），并求出拱門上的點(diǎn)滿足的函數(shù)關(guān)系y=a(x??)(2)一段時(shí)間后，公園重新維修拱門．新拱門上的點(diǎn)距地面的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=?0.288(x?5)2+7.2，若記“原拱門”的跨度（跨度為拱門底部?jī)蓚€(gè)端點(diǎn)間的距離）為d1，“新拱門”的跨度為d2，則d1__________d2【答案】(1)y=?0.2(2)>【分析】（1）由表格得當(dāng)x=2時(shí)，y=4，當(dāng)x=10時(shí)，y=4，從而可求頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；（2）由表格可以直接求出d1，由y=?0.288(x?5)2【詳解】（1）解：由表格得：∵6?2=10?6，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為6,7.2，∴y=a(x?6)∴a(2?6)解得：a=?0.2，∴y=?0.2(x?6)（2）解：由表格得當(dāng)x=12時(shí)，y=0，原拱門中：d1=12（新拱門中：當(dāng)y=0時(shí)，?0.288解得：x1=0，∴d2=∵12>10，∴d故答案：>．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解函數(shù)中自變量和應(yīng)變量的實(shí)際意義是解題的關(guān)鍵．10．（2023·廣東佛山·?？既＃┕磐駚恚瑯蚪o人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運(yùn)輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國(guó)橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．(1)某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，則這條橋主橋拱的半徑是______(2)某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬MN=10m，拱頂P（拋物線頂點(diǎn)）距離水面4(3)如圖③，某時(shí)橋A和橋B的橋下水位均上升了2m【答案】(1)25(2)y=?(3)此時(shí)橋A的水面寬度為821m，橋B【分析】（1）設(shè)ABC所在圓的圓心為點(diǎn)O，連接OA,OD，則OB⊥AC，AD=CD=20m，再設(shè)這條橋主橋拱的半徑是rm，則OA=OB=rm，OD=（2）以水面所在直線為x軸，MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，則N5,0（3）根據(jù)（1）可得OF=25m,OD=15m,OB⊥FG,DE=2m，利用勾股定理可求出EF的長(zhǎng)，再利用垂徑定理即可得此時(shí)橋A的水面寬度；根據(jù)（2）的結(jié)論求出y=2【詳解】（1）解：如圖，設(shè)ABC所在圓的圓心為點(diǎn)O，連接OA,OD，

由垂徑定理得：點(diǎn)O,D,B共線，則OB⊥AC，AD=CD=1設(shè)這條橋主橋拱的半徑是rm，則OA=OB=r∴OD=OB?BD=r?10在Rt△AOD中，AD2解得r=25，故答案為：25．（2）解：如圖，以水面所在直線為x軸，MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意得：N5,0則設(shè)橋拱拋物線的解析式為y=ax將點(diǎn)N5,0,P0,4代入得：25a+c=0所以橋拱拋物線的解析式為y=?4（3）解：如圖，橋A中，由（1）可知：OF=25m

由題意得：OB⊥FG,DE=2m∴OE=17m在Rt△EOF中，EF=由垂徑定理得：FG=2EF=821即此時(shí)橋A的水面寬度為821如圖，橋B中，y=?4

當(dāng)y=2時(shí)，?4解得x=522所以此時(shí)橋B的水面寬度為52答：此時(shí)橋A的水面寬度為821m，橋B的水面寬度為【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握垂徑定理和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型04隧道問題11．（2022·北京通州·統(tǒng)考一模）如圖1是某條公路的一個(gè)單向隧道的橫斷面．經(jīng)測(cè)量，兩側(cè)墻AD和與路面AB垂直，隧道內(nèi)側(cè)寬AB＝4米．為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點(diǎn)E，測(cè)量點(diǎn)E到墻面AD的距離和到隧道頂面的距離EF．設(shè)AE=x米，EF=y米．通過取點(diǎn)、測(cè)量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00(1)隧道頂面到路面AB的最大高度為______米；(2)請(qǐng)你幫助工程人員建立平面直角坐標(biāo)系，描出上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出可以表示隧道頂面的圖象．(3)今有寬為2.4米，高為3米的貨車準(zhǔn)備在隧道中間通過（如圖2）．根據(jù)隧道通行標(biāo)準(zhǔn)，其車廂最高點(diǎn)到隧道頂面的距離應(yīng)大于0.5米．結(jié)合所畫圖象，請(qǐng)判斷該貨車是否安全通過：______（填寫“是”或“否”）．【答案】(1)3.99(2)見解析(3)是【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值；（2）根據(jù)題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系；（3）在y=?0.2475x?22+3.99中，令x=0.8【詳解】（1）解：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為3.99；故答案為：3.99；（2）解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，（3）解：將D(0,3)代入y=ax?24a+3.99=3，解得：a=?0.2475，∴拋物線的表達(dá)式為y=?0.2475x?2在y=?0.2475x?22+3.99y=?0.24750.8?23.6336?3=0.6336>0.5∴車廂最高點(diǎn)到隧道頂面的距離大于0.5米，∴該貨車能安全通過；故答案為：是．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、理清題中的數(shù)量關(guān)系、熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．12．（2023·河南信陽·二模）2023年3月15日新晉高速全線通車，它把山西往河南路程由2小時(shí)縮短為1小時(shí)前期規(guī)劃開挖一條雙向四車道隧道時(shí)，王師傅想把入口設(shè)計(jì)成拋物線形狀（如圖），入口底寬AB為16cm，入口最高處OC為12.8(1)求拋物線解析式；(2)王師傅實(shí)地考察后，發(fā)現(xiàn)施工難度大，有人建議拋物線的形狀不變，將隧道入口往左平移2m，最高處降為9.8(3)雙向四車道的地面寬至少要15米，則（2）中的建議是否符合要求？【答案】(1)拋物線解析式為y=?0.2(2)拋物線解析式為y=?0.2(3)不符合要求，理由見解析【分析】（1）根據(jù)圖形和題意設(shè)出拋物線解析式，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)求拋物線解析式即可；（3）令（2）中解析式的y=0，解方程即可．【詳解】（1）由圖知，此拋物線對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)C(0,12.8)，故設(shè)拋物線解析式為y=ax把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得：64a+12.8=0，