專題12 圓壓軸（講練）

專題12圓壓軸考點(diǎn)要求命題預(yù)測(cè)實(shí)數(shù)的分類在中考中，涉及圓壓軸題的相關(guān)題目單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以解答題形式出現(xiàn)，常結(jié)合其它幾何圖形、銳角三角函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).考點(diǎn)圓壓軸真題演練題型01與圓有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）1．（2022·湖北武漢·中考真題）如圖，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，AB是一條弦，點(diǎn)C是APB上一點(diǎn)，與點(diǎn)D關(guān)于AB對(duì)稱，AD交⊙O于點(diǎn)E，CE與AB交于點(diǎn)F，且BD∥CE．給出下面四個(gè)結(jié)論：①CD平分∠BCE；

②BE=BD；

③AE2=AF×AB；

④BD為⊙O2．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE=3，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與⊙A交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個(gè)結(jié)論．（1）H是FK的中點(diǎn)；（2）△HGD≌△HEC；（3）S△AHG：S△DHC=9∶163．（2021·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，BE=8，⊙O為△BCE的外接圓，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線EF交AB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①AE=BC；②∠AED=∠CBD；③若∠DBE=40°，則DE的長(zhǎng)為8π9；④DFEF=EFBF4．（2020·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，AB為半⊙O的直徑，M，C是半圓上的三等分點(diǎn)，AB=8，BD與半⊙O相切于點(diǎn)B，點(diǎn)P為AM上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，M重合），直線PC交BD于點(diǎn)D，BE⊥OC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BE交PC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是______________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①PB=PD；②BC的長(zhǎng)為43π；③∠DBE=45°；④△BCF∽△PFB；⑤

題型02與圓有關(guān)的平移問(wèn)題1．（2022·湖北宜昌·中考真題）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，以BC為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)H，將△ABC沿射線AC平移得到△DEF，連接BE．(1)如圖1，DE與⊙O相切于點(diǎn)G．①求證：BE=EG；②求BE?CD的值；(2)如圖2，延長(zhǎng)HO與⊙O交于點(diǎn)K，將△DEF沿DE折疊，點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)F'恰好落在射線BK上．①求證：HK∥②若KF'=3，求AC的長(zhǎng)．2．（2023·四川樂(lè)山·中考真題）已知x1,y1,x2,(1)求b的值；(2)將拋物線C1平移后得到拋物線C探究下列問(wèn)題：①若拋物線C1與拋物線C2有一個(gè)交點(diǎn)，求②設(shè)拋物線C2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，△ABC外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對(duì)拋物線C1上的任意一點(diǎn)P，在拋物線C2上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、3．（2021·湖南株洲·中考真題）將一物體（視為邊長(zhǎng)為2π米的正方形ABCD）從地面PQ上挪到貨車車廂內(nèi)．如圖所示，剛開(kāi)始點(diǎn)B與斜面EF上的點(diǎn)E重合，先將該物體繞點(diǎn)BE按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至正方形A1BC1D1的位置，再將其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此時(shí)點(diǎn)B2與點(diǎn)G重合），最后將物體移到車廂平臺(tái)面（1）求線段FG的長(zhǎng)度；（2）求在此過(guò)程中點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A2題型03與圓有關(guān)的翻折問(wèn)題1．（2021·湖北武漢·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D．再將BD沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若BE=DE，設(shè)∠ABC=α，則A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°2．（2020·四川自貢·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E是AB上的一點(diǎn)，連接DE,將△ADE進(jìn)行翻折，恰好使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)F處，在DF上取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OF的長(zhǎng)為半徑作半圓與CD相切于點(diǎn)G;若AD=4,則圖中陰影部分的面積為_(kāi)___．3．（2018·云南曲靖·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，將BC沿直線BC翻折，使BC的中點(diǎn)D恰好與圓心O重合，連接OC，CD，BD，過(guò)點(diǎn)C的切線與線段BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接AD，在PB的另一側(cè)作∠MPB=∠ADC．(1)判斷PM與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若PC=3，求四邊形OCDB題型04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題1．（2023·浙江嘉興·中考真題）一副三角板ABC和DEF中，∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°，BC=EF=12．將它們疊合在一起，邊BC與EF重合，CD與AB相交于點(diǎn)G（如圖1），此時(shí)線段CG的長(zhǎng)是___________，現(xiàn)將△DEF繞點(diǎn)C(F)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），邊EF與AB相交于點(diǎn)H，連結(jié)DH，在旋轉(zhuǎn)0°到

2．（2023·四川·中考真題）如圖1，已知線段AB，AC，線段AC繞點(diǎn)A在直線AB上方旋轉(zhuǎn)，連接BC，以BC為邊在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°

(1)若∠BDC=90°，以AB為邊在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，連接DE，用等式表示線段AC與DE的數(shù)量關(guān)系是_____(2)如圖2，在(1)的條件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的長(zhǎng)；(3)如圖3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，當(dāng)AD的值最大時(shí)，求此時(shí)tan∠CBA3．（2022·山東濰坊·中考真題）筒車是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，車輪縛以竹簡(jiǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)低則舀水，高則瀉水．如圖，水力驅(qū)動(dòng)筒車按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，竹筒把水引至A處，水沿射線AD方向?yàn)a至水渠DE，水渠DE所在直線與水面PQ平行；設(shè)筒車為⊙O，⊙O與直線PQ交于P，Q兩點(diǎn)，與直線DE交于B，C兩點(diǎn)，恰有AD2=BD?CD(1)求證：AD為⊙O的切線；(2)筒車的半徑為3m，AC=BC,∠C=30°．當(dāng)水面上升，A，O，Q三點(diǎn)恰好共線時(shí)，求筒車在水面下的最大深度（精確到0.1m，參考值：2≈1.4,題型05與圓有關(guān)的最值問(wèn)題1．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)B處，點(diǎn)E處是該市的一個(gè)交通樞紐．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個(gè)半徑為30m的圓型環(huán)道⊙O；過(guò)圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點(diǎn)N．連接BN，點(diǎn)P在⊙O上，連接EP．其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時(shí)環(huán)道⊙O的圓心O到AB

2．（2023·重慶·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD

(1)如圖1，若AC=9，BD=3，求線段AD(2)如圖2，以CD為邊在CD上方作等邊△CDE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若∠G=∠BCE，求證：GF=BF+BE．(3)在CD取得最小值的條件下，以CD為邊在CD右側(cè)作等邊△CDE．點(diǎn)M為CD所在直線上一點(diǎn)，將△BEM沿BM所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BNM．連接AN，點(diǎn)P為AN的中點(diǎn)，連接CP，當(dāng)CP取最大值時(shí)，連接BP，將△BCP沿BC所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BCQ，請(qǐng)直接寫出此時(shí)NQCP3．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M(a,b),N.對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P向右(a≥0)或向左(a<0)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P'，點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為Q，稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)M(1,1),點(diǎn)N在線段OM的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)P(?2,0),點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．①在圖中畫出點(diǎn)Q；②連接PQ,交線段ON于點(diǎn)T.求證：NT=(2)⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，且ON=t(12<t<1)，若P為⊙O外一點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ.當(dāng)點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出PQ4．（2021·貴州遵義·中考真題）點(diǎn)A是半徑為23的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是⊙O外一定點(diǎn)，OB＝6．連接OA，AB．（1）【閱讀感知】如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，連接OC，求OC的最大值；將下列解答過(guò)程補(bǔ)充完整．解：將線段OB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到O′B，連接OO′，CO′．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等邊三角形．∴OO′＝BO＝6又∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC＝60°，AB＝BC∴∠OBO′＝∠ABC＝60°∴∠OBA＝∠O′BC在△OBA和△O′BC中，OB=O'B∠OBA=∠O'BC∴_____（SAS）∴OA＝O′C在△OO′C中，OC＜OO′+O′C當(dāng)O，O′，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在OO′的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC＝OO′+O′C即OC≤OO′+O′C∴當(dāng)O，O′，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在OO′的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC取最大值，最大值是_____．（2）【類比探究】如圖②，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，連接OC，求OC的最小值；（3）【理解運(yùn)用】如圖③，當(dāng)△ABC是以AB為腰，頂角為120°的等腰三角形時(shí)，連接OC，求OC的最小值，并直接寫出此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)．題型06與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，以邊AC為直徑作⊙O，與AB邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，連接DM

(1)求證：DM是⊙O的切線；(2)點(diǎn)P為直線BC上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接AP交⊙O于點(diǎn)Q，連接CQ．①當(dāng)tan∠BAP=13②求CQAP2．（2023·浙江·中考真題）小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁(yè)第5題后，進(jìn)行變式、探究與思考：如圖1，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且CE=8，DE=2．

(1)復(fù)習(xí)回顧：求AB的長(zhǎng)．(2)探究拓展：如圖2，連接AC，點(diǎn)G是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AG，延長(zhǎng)CG交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：∠GAF=∠F；②設(shè)CG=x，CF=y，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明理由；③如圖3，連接DF，BG，當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)計(jì)算3．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖1，點(diǎn)G為等邊△ABC的重心，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，連接GD并延長(zhǎng)至點(diǎn)O，使得DO=DG，連接GB，GC，OB，OC

(1)求證：四邊形BOCG為菱形．(2)如圖2，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OG為半徑作⊙O①判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并予以證明．②點(diǎn)M為劣弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），連接BM并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，連接CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，求證：AE+AF為定值．4．（2023·湖南·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上運(yùn)動(dòng)，滿足AB2=BC2+AC2，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使得∠DBC=∠CAB，點(diǎn)E是弦AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），過(guò)點(diǎn)E作弦AB的垂線，交AB于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，交

(1)BD是⊙O的切線嗎？請(qǐng)作出你的判斷并給出證明；(2)記△BDC，△ABC，△ADB的面積分別為S1(3)若⊙O的半徑為1，設(shè)FM=x，F(xiàn)E?FN?1BC?BN+1AE?AC=y，試求題型07與圓有關(guān)的新定義問(wèn)題1．（2023·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1．對(duì)于⊙O的弦AB和⊙O外一點(diǎn)C給出如下定義：若直線CA，CB中一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，另一條是⊙O的切線，則稱點(diǎn)C是弦AB的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．

(1)如圖，點(diǎn)A?1,0，B1①在點(diǎn)C1?1,1，C2(?2②若點(diǎn)C是弦AB2的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出(2)已知點(diǎn)M0,3，N655,0．對(duì)于線段MN上一點(diǎn)S，存在⊙O的弦PQ，使得點(diǎn)S是弦PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，記PQ的長(zhǎng)為t，當(dāng)點(diǎn)S2．（2023·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，如果點(diǎn)P到直線EF的距離等于圖形M上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí)，那么點(diǎn)P稱為直線EF的“伴隨點(diǎn)”．例如：如圖1，已知點(diǎn)A1,2，B3,2，P2,2在線段AB上，則點(diǎn)P是直線EF(1)如圖2，已知點(diǎn)A1,0，B3,0，P是線段AB上一點(diǎn)，直線EF過(guò)G?1,0，T0,33兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)(2)如圖3，x軸上方有一等邊三角形ABC，BC⊥y軸，頂點(diǎn)A在y軸上且在BC上方，OC=5，點(diǎn)P是△ABC上一點(diǎn)，且點(diǎn)P是直線EF：x軸的“伴隨點(diǎn)”．當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最小時(shí)，求等邊三角形ABC(3)如圖4，以A1,0，B2,0，C2,1為頂點(diǎn)的正方形ABCD上始終存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是直線EF：y=?x+b3．（2020·湖北咸寧·中考真題）定義：有一組對(duì)角互余的四邊形叫做對(duì)余四邊形．理解：（1）若四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，則∠A與∠C的度數(shù)之和為_(kāi)_____；證明：（2）如圖1，MN是⊙O的直徑，點(diǎn)A,B,C在⊙O上，AM，CN相交于點(diǎn)D．求證：四邊形ABCD是對(duì)余四邊形；探究：（3）如圖2，在對(duì)余四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，探究線段AD，CD和題型08與圓有關(guān)的閱讀理解問(wèn)題1．（2021·四川遂寧·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x0,y0）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點(diǎn)P到直線Ax＋By＋C＝0的距離例如：求點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因?yàn)橹本€y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：d=A根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)M（0，3）到直線y=3（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線y=3x+9的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長(zhǎng)為n，求2．（2019·山西·中考真題）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)地任務(wù)：萊昂哈德·歐拉(LeonhardEuler)是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，⊙I與AB相切分于點(diǎn)F，設(shè)⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點(diǎn)）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．下面是該定理的證明過(guò)程（部分）：延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所對(duì)的圓周角相等)，∴△MDI∽△ANI，∴IMIA∴IA?ID=IM?IN①，如圖2，在圖1(隱去MD，AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF，∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°，∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所對(duì)圓周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴IADE=IF任務(wù)：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：IM=R+d，IN=_(用含R，d的代數(shù)式表示)；(2)請(qǐng)判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)請(qǐng)觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)(1)，(2)的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；(4)應(yīng)用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內(nèi)切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為_(kāi)_________cm.

3．（2018·四川達(dá)州·中考真題）閱讀下列材料：已知：如圖1，等邊△A1A2A3內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是A1A2上的任意一點(diǎn)，連接PA1，PA2，PA3，可證：PA1+PA2=PA3（1）以下是小紅的一種證明方法，請(qǐng)?jiān)诜娇騼?nèi)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整；證明：如圖1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．∵△A1A2A3是等邊三角形，∴∠A3A1A2=60°，∴∠A3A1P=∠A2A1M又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，∴△A1A3P≌△A1A2M∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．∴PA（2）延伸：如圖2，把（1）中條件“等邊△A1A2A3”改為“正方形A1A2A3A4”，其余條件不變，請(qǐng)問(wèn)：PA（3）拓展：如圖3，把（1）中條件“等邊△A1A2A3”改為“正五邊形A1A2A3A4A5”，其余條件不變，則PA1+P題型09阿氏圓1．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷△BCE的形狀，并說(shuō)明理由；（3）如圖2，以C為圓心，2為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP＋12EP2．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)A?3,0,B

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點(diǎn)Px0,y0，其中y(3)若點(diǎn)D，E分別是線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．3．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,AB=4．拋物線的對(duì)稱軸x=3與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=kx?1交于點(diǎn)D，與x

(1)求直線AD及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+1題型10圓、幾何圖形、銳角三角函數(shù)綜合1．（2022·浙江寧波·中考真題）如圖1，⊙O為銳角三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D在BC上，AD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AE上，滿足∠AFB?∠BFD=∠ACB,FG∥AC交BC于點(diǎn)G，BE=FG，連結(jié)BD，DG．設(shè)∠ACB=α．(1)用含α的代數(shù)式表示∠BFD．(2)求證：△BDE≌△FDG．(3)如圖2，AD為⊙O的直徑．①當(dāng)AB的長(zhǎng)為2時(shí)，求AC的長(zhǎng)．②當(dāng)OF:OE=4:11時(shí)，求cosα2．（2023·浙江臺(tái)州·中考真題）我們可以通過(guò)中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置刻畫圓上點(diǎn)的位置，如圖，AB是⊙O的直徑，直線l是⊙O的切線，B為切點(diǎn)．P，Q是圓上兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合，且在直徑AB的同側(cè)），分別作射線AP，AQ交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)D．

(1)如圖1，當(dāng)AB=6，BP的長(zhǎng)為π時(shí)，求BC的長(zhǎng)．(2)如圖2，當(dāng)AQAB=34，(3)如圖3，當(dāng)sin∠BAQ=64，BC=CD時(shí)，連接BP，PQ3．（2021·廣西柳州·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,AD⊥AB,AD=AB=1,DC=5，以A為圓心，AD為半徑作圓，延長(zhǎng)CD交⊙A于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DA交⊙A于點(diǎn)E，連結(jié)BF，交DE（1）求證：BC為⊙A的切線；（2）求cos∠EDF（3）求線段BG的長(zhǎng)．題型11與圓有關(guān)的存在性問(wèn)題1．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點(diǎn)Pm,n在函數(shù)y=?(1)若m=?2，求n的值；(2)拋物線y=x?mx?n與x軸交于兩點(diǎn)M，N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G，記拋物線的頂點(diǎn)為①m為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；②設(shè)△GMN的外接圓圓心為C，⊙C與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F，當(dāng)m+n≠0時(shí)，是否存在四邊形FGEC為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2022·江蘇鹽城·中考真題）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律．【提出問(wèn)題】小明通過(guò)觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖像上．(1)【分析問(wèn)題】小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的橫線所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為_(kāi)__________．(2)【解決問(wèn)題】請(qǐng)幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立．(3)【深度思考】小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)P(0,m)，m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫⊙M，是否存在所描的點(diǎn)在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由．3．（2020·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，⊙M為△BCD的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為N，P，Q，DN＝4，BN＝6．（1）求BC，CD；（2）點(diǎn)H從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AD向點(diǎn)D以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)停止，過(guò)點(diǎn)H作HI∥BD交AC于點(diǎn)I，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①將△AHI沿AC翻折得△AH'I，是否存在時(shí)刻t，使點(diǎn)H②若點(diǎn)F為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△OFH為正三角形時(shí)，求t的值．題型12與圓有關(guān)的定值問(wèn)題1．（2023·海南·中考真題）如圖1，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=6，∠ABC=60°，點(diǎn)P為線段BO上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，O重合），連接CP并延長(zhǎng)交邊AB于點(diǎn)G，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．

(1)當(dāng)點(diǎn)G恰好為AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：△AGH≌△BGC；(2)求線段BD的長(zhǎng)；(3)當(dāng)△APH為直角三角形時(shí)，求HPPC(4)如圖2，作線段CG的垂直平分線，交BD于點(diǎn)N，交CG于點(diǎn)M，連接NG，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CGN的度數(shù)是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，P為AB上一點(diǎn)，PA＝1，PB＝m（m為常數(shù)，且m＞0）．過(guò)點(diǎn)P的弦CD⊥AB，Q為BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），AH⊥QD，垂足為H．連接AD、BQ．（1）若m＝3．①求證：∠OAD＝60°；②求BQDH（2）用含m的代數(shù)式表示BQDH（3）存在一個(gè)大小確定的⊙O，對(duì)于點(diǎn)Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一個(gè)定值，求此時(shí)∠Q的度數(shù)．核心知識(shí)點(diǎn)1.垂徑定理及推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.方法技巧方法技巧垂徑定理模型（知二得三）如圖，可得①AB過(guò)圓心②AB⊥CD③CE=DE④AC=AD【總結(jié)】垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過(guò)圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧，若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，簡(jiǎn)稱“知二得三”，解題過(guò)程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理.常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造Rt2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.【易錯(cuò)點(diǎn)】求兩條弦間的距離時(shí)要分類討論兩條弦與圓心的相對(duì)位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)．2.弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等.【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓心角、圓周角也都相等．運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化．3.圓周角定理圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.【補(bǔ)充】圓的一條弧（弦）只對(duì)著一個(gè)圓心角，對(duì)應(yīng)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，但圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)，這兩個(gè)度數(shù)和為180°【解題思路】1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化.2）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?3）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角．4）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過(guò)一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過(guò)兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等．4.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).2)圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.5.切線的性質(zhì)與判定定義線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這條直線叫圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．性質(zhì)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．（實(shí)際上過(guò)切點(diǎn)的半徑也可理解為過(guò)切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過(guò)切點(diǎn)與圓心的直線．）解題方法：當(dāng)題目已知一條直線切圓于某一點(diǎn)時(shí)，通常作的輔助線是連接切點(diǎn)與圓心（這是圓中作輔助線的一種方法）．根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關(guān)系進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算或證明．判定1）定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線是圓的切線.2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切.3)判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見(jiàn)輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時(shí)，1）若已知直線與圓的公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來(lái)，然后證明直線垂直于這條半徑，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”；3）若直線與圓的公共點(diǎn)沒(méi)有明確，可過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡(jiǎn)稱“作垂直，證半徑”．6.切線長(zhǎng)定理定義在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用問(wèn)題解題方法：切線長(zhǎng)定理經(jīng)常用來(lái)證明線段相等，通常要連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造直角三角形來(lái)求解．必刷好題一、單選題1．（2023·吉林·二模）如圖，將半徑為4的圓形紙片折疊使弧AB經(jīng)過(guò)圓心O，過(guò)點(diǎn)O作直徑CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P是半徑OD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的長(zhǎng)度不可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和．如圖，⊙O中有圓內(nèi)接四邊形ABCD，已知BD=8，CD=5，AB=6，∠BDC=60°，則AD=（

）

A．8227?5 B．822?673．（2023·河北保定·二模）嘉嘉與淇淇在討論下面的問(wèn)題：如圖，Rt△ABC中，AB=60，AC=45，∠BAC=90°．D，E分別是AC，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，DE=52，以DE為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ嘉嘉：當(dāng)點(diǎn)D，E分別在AC，AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)О到點(diǎn)A的距離為定值；淇淇：當(dāng)PQ為圓О的直徑時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)最大．關(guān)于上述問(wèn)題及兩人的討論，下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩人的說(shuō)法都正確，線段PQ的最大值為52B．嘉嘉的說(shuō)法正確，淇淇的說(shuō)法有問(wèn)題，線段PQ長(zhǎng)度的最大值為48C．淇淇的說(shuō)法有問(wèn)題，當(dāng)DE∥BC時(shí)，線段D．這道題目有問(wèn)題，PQ的長(zhǎng)度只有最小值，沒(méi)有最大值4．（2023·河北保定·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，BC=10，點(diǎn)O為AB上一點(diǎn)，以5為半徑作⊙O分別與BC，AC相切于D，E兩點(diǎn)，OB與⊙O交于點(diǎn)M，連接OC交⊙O于點(diǎn)F，連接ME，F(xiàn)E，若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①CO平分∠ACB；②點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)；③∠AME=22.5°；④MF的長(zhǎng)度為52

A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A，B，C為⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，C為AB的中點(diǎn)，連接OA，OB，AC，BC，以C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑的弧恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，若要在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率是________．6．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A15,8，點(diǎn)M是橫軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙P經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與AM相切于點(diǎn)M（1）當(dāng)AM⊥x軸時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)____________；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)____________（不用寫出自變量x的取值范圍）；（3）當(dāng)射線OP與直線AM相交時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)t的取值范圍是_____________7．（22-23九年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，已知A，B是拋物線y=x?22?10上的點(diǎn)，線段AB=6，且AB∥x軸，過(guò)A，B兩點(diǎn)作半徑為5的圓（圓心在AB下方），點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，連接AP，取AP的中點(diǎn)Q，將該拋物線AB下方的部分沿直線AB向上翻折，交y軸于點(diǎn)C，連接CQ三、解答題8．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AF為∠BAC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A，C及線段AB上一點(diǎn)E作圓O，交射線AF于點(diǎn)D．(1)求證：DE=DC．(2)試判斷ADBE(3)作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，當(dāng)點(diǎn)A'落在△ADE任一邊所在直線上時(shí)，求所有滿足條件的9．（2023·廣西北海·二模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題提出】（1）如圖1，在足球比賽場(chǎng)上，甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，乙已跟隨沖到B點(diǎn)，僅從射門角度大小考慮，甲是自己射門好，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好？假設(shè)球員對(duì)球門的視角越大，足球越容易被踢進(jìn)．請(qǐng)結(jié)合你所學(xué)知識(shí)，求證：∠MBN>∠MAN．【數(shù)學(xué)理解】德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題，對(duì)該問(wèn)題的一般描述是：如圖2，已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊OM上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是ON邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)△ABC的外接圓與ON邊相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大，人們稱這一命題為米勒定理．【問(wèn)題解決】（2）如圖3，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是0,1，0,3，C是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABC的外接圓⊙D與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大，當(dāng)∠ACB最大時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．10．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=AC，在AB邊上作等邊△ABD，直線CE∥(1)如圖1，若點(diǎn)E在線段AD上，AB=5，CE=132，S△ABC=10，求點(diǎn)(2)如圖2，若點(diǎn)E在△ABD的內(nèi)部，連接CD，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，交BC與點(diǎn)F．求證：AF+CD=3(3)如圖3，若點(diǎn)E在△ABD的外部，△AEC為等腰直角三角形，AE⊥AC，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CB，交EF的延長(zhǎng)線與點(diǎn)G，M為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．將△EAD繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至△EA'D'，且旋轉(zhuǎn)角0°<α<90°．若AE=1，AM=211．（2023·浙江寧波·三模）如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，滿足∠BCA=12∠D，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為點(diǎn)F，交⊙O

(1)求證：BA=BC；(2)若ABAC=5(3)求證：DF=AF+CD；(4)如圖3，若∠EBA=13∠EBC，AF=kCD，用含有k

專題12圓壓軸考點(diǎn)要求命題預(yù)測(cè)實(shí)數(shù)的分類在中考中，涉及圓壓軸題的相關(guān)題目單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以解答題形式出現(xiàn)，常結(jié)合其它幾何圖形、銳角三角函數(shù)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).考點(diǎn)一圓壓軸真題演練題型01與圓有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）1．（2022·湖北武漢·中考真題）如圖，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，AB是一條弦，點(diǎn)C是APB上一點(diǎn)，與點(diǎn)D關(guān)于AB對(duì)稱，AD交⊙O于點(diǎn)E，CE與AB交于點(diǎn)F，且BD∥CE．給出下面四個(gè)結(jié)論：①CD平分∠BCE；

②BE=BD；

③AE2=AF×AB；

④BD為⊙O【答案】①②④【分析】根據(jù)點(diǎn)AB為CD的垂直平分線，得出BD=BC，AD=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠BDC=∠BCD，利用平行線性質(zhì)可判斷①正確；利用△ADB≌△ACB（SSS）得出∠EAB=∠CAB，利用圓周角弧與弦關(guān)系可判斷②正確；根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得∠AEF≠∠ABE，從而可得△AEF與△ABE不相似，即可判斷③；連結(jié)OB，利用垂徑定理得出OB⊥CE，利用平行線性質(zhì)得出OB⊥BD，即可判斷④正確．【詳解】解：∵點(diǎn)C是APB上一點(diǎn)，與點(diǎn)D關(guān)于AB對(duì)稱，∴AB為CD的垂直平分線，∴BD=BC，AD=AC，∴∠BDC=∠BCD，∵BD∥CE，∴∠ECD=∠CDB，∴∠ECD=∠BCD，∴CD平分∠BCE，故①正確；在△ADB和△ACB中，∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，∴△ADB≌△ACB（SSS），∴∠EAB=∠CAB，∴BE=∴BE=BC=BD，故②正確；∵AC≠AE，∴AC≠AE，∴∠AEF≠∠ABE，∴△AEF與△ABE不相似，故③錯(cuò)誤；連結(jié)OB，∵BE=BC，∴OB⊥CE，∵BD∥CE，∴OB⊥BD，∴BD為⊙O的切線．故④正確，∴其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．故答案為①②④．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判斷于性質(zhì)，垂徑定理，切線判斷，掌握軸對(duì)稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判斷于性質(zhì)，垂徑定理，切線判斷是解題關(guān)鍵．2．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE=3，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與⊙A交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個(gè)結(jié)論．（1）H是FK的中點(diǎn)；（2）△HGD≌△HEC；（3）S△AHG：S△DHC=9∶16【答案】（1）（3）（4）．【分析】由正方形的性質(zhì)可證明△DAF≌△ABE，則可推出∠AHF=90°，利用垂徑定理即可證明結(jié)論（1）正確；過(guò)點(diǎn)H作MN//AB交BC于N，交AD于M，由三角形面積計(jì)算公式求出AH=125，再利用矩形的判定與性質(zhì)證得MG=NE，并根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)分別求出MH=4825，NH=5225，則最后利用銳角三角函數(shù)證明∠MGH≠∠HEN，即可證明結(jié)論（2）錯(cuò)誤；根據(jù)（2）中結(jié)論并利用相似三角形的性質(zhì)求得AM=36【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=4，∠DAF=∠ABE=90°．又∵AF=BE=3，∴△DAF≌△ABE．∴∠AFD=∠BEA．∵∠BEA+∠BAE=90°，∴∠AFD+∠BAE=90°，∴∠AHF=90°，∴AH⊥FK，∴FH=KH，即H是FK的中點(diǎn)；故結(jié)論（1）正確；（2）過(guò)點(diǎn)H作MN//AB交BC于N，交AD于M，由（1）得AH⊥FK，則12∵DF=A∴AH=12∵四邊形ABCD是正方形，MN//AB，∴∠DAB=∠ABC=∠AMN=90°．∴四邊形ABNM是矩形．∴MN=AB=4，AM=BN．∵AG=BE，∴AG?AM=BE?BN．即MG=NE．∵AD//BC，∴∠MAH=∠AEB．∵∠ABE=∠AMN=90°，∴△MAH～△BEA．∴AHAE即125解得MH=48則NH=4?MH=52∵tan∠MGH=MHMG∵M(jìn)G=NE，MH≠NH，∴MGMH∴∠MGH≠∠HEN．∴∠DGH≠∠CEH．∴△HGD與△HEC不全等，故結(jié)論（2）錯(cuò)誤；（3）∵△MAH～△BEA，∴AHAE即125解得AM=36由（2）得S△AHG=1∴S△AHG（4）由（1）得，H是FK的中點(diǎn)，∴DK=DF?2FH．由勾股定理得FH=A∴DK=5?2×9故答案為：（1）（3）（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的綜合問(wèn)題，掌握特殊四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，BE=8，⊙O為△BCE的外接圓，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線EF交AB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①AE=BC；②∠AED=∠CBD；③若∠DBE=40°，則DE的長(zhǎng)為8π9；④DFEF=EFBF【答案】②④⑤【分析】①根據(jù)線段垂直平分線定理，BE為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦，即可得出結(jié)論；②根據(jù)段垂直平分線得出∠A+∠AED=90°，再證∠A+∠ABC=90°，等量代換即可；③根據(jù)已知條件先得出∠EBC的度數(shù)，再利用圓周角定理得∠EOC=2∠EBC，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；④根據(jù)角角相似證明△EFD∽△BFE即可得出結(jié)論；⑤先根據(jù)勾股定理得出BF的長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法得出ED，根據(jù)角角相似證明Rt△ADE∽R(shí)t△ACB，得出ADAC【詳解】解:①∵DE是AB的垂直平分線∴AE=BE∵BE為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦∴BE>BC∴AE>BC．故①不正確．②∵DE是AB的垂直平分線∴DE⊥AB∴∠A+∠AED=90°∵∠C=90°∴∠A+∠ABC=90°∴∠AED=∠CBD故②正確．③連接OD∵∠DBE=40°∴∠EOD=2∠EBD=80°∵BE=8∴OE=OB=∴DE的長(zhǎng)為80故③錯(cuò)誤．④∵DE⊥AB，EF是⊙O的切線∴∠FEB=∠EDF=90°又∠EFD=∠EFD∴△EFD∽△BFE∴DFEF故④正確．⑤∵EF=6，BE=8∴BF=E∵1∴ED=在Rt△EDB中，BD=B∵DE是AB的垂直平分線，∴AD=DB=6.4，AE=BE=8，∵在Rt△ADE和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°∴Rt△ADE∽R(shí)t△ACB∴AD∴6.4∴AC=10.24又AE=BE=8∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24．故⑤正確．綜上所述：正確的有②④⑤．故答案為：②④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及定理、勾股定理、切線的性質(zhì)、等面積法是常用的計(jì)算邊長(zhǎng)的方法、靈活進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵4．（2020·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，AB為半⊙O的直徑，M，C是半圓上的三等分點(diǎn)，AB=8，BD與半⊙O相切于點(diǎn)B，點(diǎn)P為AM上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，M重合），直線PC交BD于點(diǎn)D，BE⊥OC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BE交PC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是______________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①PB=PD；②BC的長(zhǎng)為43π；③∠DBE=45°；④△BCF∽△PFB；⑤

【答案】②⑤【分析】①先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得∠ABD=90°，再根據(jù)半圓上的三等分點(diǎn)可得∠COB=60°，然后根據(jù)圓周角定理可得∠BPC=30°，最后假設(shè)PB=PD，根據(jù)角的和差、三角形的外角性質(zhì)可得∠AOP=30°，這與點(diǎn)P為AM上一動(dòng)點(diǎn)相矛盾，由此即可得；②根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得；③先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠OBE=30°，再根據(jù)角的和差即可得；④先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠PFB=∠BCF+∠CBF，從而可得對(duì)應(yīng)角∠PFB與∠BCF不可能相等，由此即可得；⑤先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得CFCB=CBCP，從而可得【詳解】如圖，連接OP∵BD與半⊙O相切于點(diǎn)B∴∠ABD=90°∵C是半圓上的三等分點(diǎn)∴∠COB=∵OB=OC∴△BOC是等邊三角形由圓周角定理得：∠BPC=假設(shè)PB=PD，則∠PBD=∠D=∴∠ABP=∠ABD?∠PBD=15°∴∠AOP=2∠ABP=30°又∵點(diǎn)P為AM上一動(dòng)點(diǎn)∴∠AOP不是一個(gè)定值，與∠AOP=30°相矛盾即PB與PD不一定相等，結(jié)論①錯(cuò)誤∵AB=8∴OB=OC=則BC的長(zhǎng)為60π×4180∵△BOC是等邊三角形，BE⊥OC∴∠OBE=∠CBE=∴∠DBE=∠ABD?∠OBE=90°?30°=60°，則結(jié)論③錯(cuò)誤∵∠PFB=∠BCF+∠CBF>∠BCF，即對(duì)應(yīng)角∠PFB與∠BCF不可能相等∴△BCF與△PFB不相似，則結(jié)論④錯(cuò)誤在△BCF和△PCB中，∠CBF=∠CPB=30°∴△BCF～△PCB∴CFCB又∵△BOC是等邊三角形，OB=4∴CB=OB=4∴CF?CP=即CF?CP為定值，結(jié)論⑤正確綜上，結(jié)論正確的是②⑤故答案為：②⑤．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的題①，先假設(shè)結(jié)論成立，再推出矛盾點(diǎn)是解題關(guān)鍵．題型02與圓有關(guān)的平移問(wèn)題1．（2022·湖北宜昌·中考真題）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，以BC為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)H，將△ABC沿射線AC平移得到△DEF，連接BE．(1)如圖1，DE與⊙O相切于點(diǎn)G．①求證：BE=EG；②求BE?CD的值；(2)如圖2，延長(zhǎng)HO與⊙O交于點(diǎn)K，將△DEF沿DE折疊，點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)F'恰好落在射線BK上．①求證：HK∥②若KF'=3，求AC的長(zhǎng)．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②BE?CD=9(2)①見(jiàn)解析；②AC的長(zhǎng)為2【分析】（1）①用切線的性質(zhì)定理或切線長(zhǎng)定理進(jìn)行證明即可；②連接OE，OD，OG，證明△ODG∽△EOG，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到；（2）①延長(zhǎng)HK交BE于點(diǎn)Q，設(shè)∠ABC=α，利用題目中平移，折疊的對(duì)應(yīng)角相等，∠BQO和∠BEF'用α表示出來(lái)，得到∠BQO=∠BEF'即可；②連接FF'，交DE于點(diǎn)N，證明△HBK≌△ENF，設(shè)BK=x，利用△HBK∽△FCB，算出x；在Rt△HBK中，sin∠BHK=BKKH=3【詳解】（1）①如圖1∵△ABC沿射線AC方向平移得到△DEF∴BE∵∠ACB=90°∴∠CBE=∠ACB=90°方法一：連接OG，OE∵DE與⊙O相切于點(diǎn)G∴∠OGE=90°∴∠OBE=∠OGE=90°∵OB=OG，OE為公共邊∴Rt△BOE≌Rt△GOE∴BE=GE方法二：∵BC是⊙O的直徑∴BE與⊙O相切于點(diǎn)B∵DE與⊙O相切于點(diǎn)G∴BE=GE②如圖2方法一：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BE于點(diǎn)M∴∠DMB=90°由（1）已證∠CBE=∠BCF=90°∴四邊形BCDM是矩形∴CD=BM，DM=BC由（1）已證：BE=GE同理可證：CD=DG設(shè)BE=x，CD=y在Rt△DME中，D∴x?y∴xy=9即BE?CD=9方法二：圖3，連接OE，OD，OG∵DE與⊙O相切于點(diǎn)G，BE與⊙O相切于點(diǎn)B，CD與⊙O相切于點(diǎn)C∴BE=GE，CD=DG，∠OEG=12∵BE∴∠BEG+∠CDG=180°∴∠OEG+∠ODG=90°∴∠EOD=90°∴∠DOG+∠GOE=90°又∵DE與⊙O相切于點(diǎn)G∴OG⊥DE∴∠DOG+∠ODG=90°∴∠GOE=∠ODG∴△ODG∽△EOG∴OGDG=∵⊙O的直徑為6∴OG=3∴BE?CD=9（2）①方法一：如圖4延長(zhǎng)HK交BE于點(diǎn)Q設(shè)∠ABC=α∵在⊙O中，OB=OH∴∠BHO=∠OBH=α∴∠BOQ=∠BHO+∠OBH=2α∴∠BQO=90°?2α∵△ABC沿射線AC方向平移得到△DEF，△DEF沿DE折疊得到△DEF'∴∠DEF=∠DEF'=∠ABC=α∴∠BEF'=90°?2α∴∠BQO=∠BEF'∴HK方法二：∵HK是⊙O的直徑，∴∠HBK=90°，設(shè)∠ABC=α，在⊙O中，OB=OH，∴∠BHO=∠OBH=α，∴∠HKF'=90°+α，∵△ABC沿射線AC方向平移得到△DEF，△DEF沿DE折疊得到△DEF'，∴∠DEF=∠DEF'=∠ABC=α，∴∠BEF'=90°?2α，∵∠EBF'=∠ABC=α，在△BEF'中，∠BF'E=180°?∠EBF'?∠BEF'=90°+α，∴∠HKF'=∠BF'E，∴HK∥方法三：如圖，延長(zhǎng)BF'交DN于點(diǎn)N∵△ABC沿射線AC方向平移得到△DEF∴AB∥DE∵△DEF沿DE折疊得到△DEF'∴△DEF'≌△DEF∴△DEF'≌△ABC∴∠ABC=∠DEF'，EF'=BC∵OB=OH，∴∠OBH=∠OHB，∴∠BHK=∠DEF'∵HK=BC∴EF'=HK∵HK是直徑∴∠ABK=90°∵AB∴∠ABK=∠BNE=90°∴△HBK≌△ENF'∴∠BKH=∠EF'N∴180°?∠BKH=180°?∠EF'N即∠HKF=∠EF'K∴HK②連接FF'，交DE于點(diǎn)N，如圖6∵△DEF沿DE折疊，點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為F'∴ED⊥FF'，F(xiàn)N=∵HK是⊙O的直徑∴∠HBK=90°，點(diǎn)F'恰好落在射線BK上∴BF'⊥AB∵△ABC沿射線AC方向平移得到△DEF∴AB∥DE∴點(diǎn)B在FF'的延長(zhǎng)線上∴點(diǎn)B，F(xiàn)'，F(xiàn)這三點(diǎn)在同一條直線上而B(niǎo)C為⊙O的直徑∴HK=BC=EF在△HBK和△ENF中∠HBK=∠ENF；∠BHO=∠NEF；HK=EF∴△HBK≌△ENF∴BK=NF設(shè)BK=x，則BF=BK+KF'+F'F=x+3+2x=3x+3∵OB=OK∴∠OBK=∠OKB而∠HBK=∠BCF=90°∴△HBK∽△FCB∴BK∴x解得：x1=3，∴BK=3在Rt△HBK中，sin∴∠BHK=30°∴∠ABC=30°在Rt△ABC中，tan∴AC=6?即AC的長(zhǎng)為2【點(diǎn)睛】本題考查了折疊，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)；巧妙構(gòu)造輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川樂(lè)山·中考真題）已知x1,y1,x2,(1)求b的值；(2)將拋物線C1平移后得到拋物線C探究下列問(wèn)題：①若拋物線C1與拋物線C2有一個(gè)交點(diǎn)，求②設(shè)拋物線C2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，△ABC外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對(duì)拋物線C1上的任意一點(diǎn)P，在拋物線C2上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、【答案】(1)0(2)①2≤m≤2+22②【分析】（1）根據(jù)y1=?14x（2）按照臨界情形，畫出圖象分情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由題可知：y∵x1+∴?1則14∴x2∴?bx2?∴b=0；（2）①注意到拋物線C2最大值和開(kāi)口大小不變，m（i）當(dāng)拋物線C2過(guò)點(diǎn)(0,0)此時(shí)，x=0,y=?14m2+1=0（ii）當(dāng)拋物線C2過(guò)點(diǎn)(2,?1)此時(shí)，x=2,y=?1解得m=2+22或2?2綜上，2≤m≤2+22②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：（i）當(dāng)拋物線C2過(guò)點(diǎn)(0,?1)此時(shí)，x=0,y=?14m2+1=?1（ii）當(dāng)拋物線C2過(guò)點(diǎn)(2,0)

此時(shí)，x=2,y=?14(2?m)綜上22如圖，由圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)E、F在線段AB的垂直平分線上．令y=?14(x?m)∴HB=m+2?m=2，∵FB=FC，∴FH設(shè)FH=t，∴t∴m∴m∵m≥2∴m∴m24∵22∴52≤t≤∵EF=FH+1，∴【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2021·湖南株洲·中考真題）將一物體（視為邊長(zhǎng)為2π米的正方形ABCD）從地面PQ上挪到貨車車廂內(nèi)．如圖所示，剛開(kāi)始點(diǎn)B與斜面EF上的點(diǎn)E重合，先將該物體繞點(diǎn)BE按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至正方形A1BC1D1的位置，再將其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此時(shí)點(diǎn)B2與點(diǎn)G重合），最后將物體移到車廂平臺(tái)面（1）求線段FG的長(zhǎng)度；（2）求在此過(guò)程中點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A2【答案】（1）23【分析】（1）利用直角三角形FGH即可求解；（2）連接A1A2，則必過(guò)點(diǎn)D1，分別求出A1A2和A1A的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)【詳解】解：（1）∵M(jìn)G∥PQ，∴∠FGM=∠FBP=30°．∴在Rt△FGH中，F(xiàn)G=2FH=2×1（2）連接A1A2，則必過(guò)點(diǎn)D1，且四邊形A1BGA2是矩形．∴A1A2=BG=BF-GF=4?2∵四邊形ABCD和四邊形A1BC1D1都是正方形，∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．∴l(xiāng)A∴在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至A2的路程為：lA【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì)、平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型03與圓有關(guān)的翻折問(wèn)題1．（2021·湖北武漢·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D．再將BD沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若BE=DE，設(shè)∠ABC=α，則A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°【答案】B【分析】將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，將⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，則⊙O、⊙O′、⊙O″為等圓．依據(jù)在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等可證明AC=DC=DE=EB，從而可得到弧【詳解】解：將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，將⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，則⊙O、⊙O′、⊙O″為等圓．∵⊙O與⊙O′為等圓，劣弧AC與劣弧CD所對(duì)的角均為∠ABC，∴AC=同理：DE=又∵F是劣弧BD的中點(diǎn)，∴DE=∴AC=∴弧AC的度數(shù)=180°÷4=45°．∴∠B=12∴α所在的范圍是22.3°<α<22.7°；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了翻折的性質(zhì)、弧、弦、圓周角之間的關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，找出圖形中的等弧是解題的關(guān)鍵．2．（2020·四川自貢·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E是AB上的一點(diǎn)，連接DE,將△ADE進(jìn)行翻折，恰好使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)F處，在DF上取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OF的長(zhǎng)為半徑作半圓與CD相切于點(diǎn)G;若AD=4,則圖中陰影部分的面積為_(kāi)___．【答案】23【分析】連接OG，證明△DOG∽△DFC，得出OGFC【詳解】解：連接OG，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥BC于H點(diǎn)，設(shè)圓O與BC交于Q點(diǎn)，如下圖所示：設(shè)圓的半徑為r，∵CD是圓的切線，∴OG⊥CD，∴△DOG∽△DFC，∴OGFC∵F是BC的中點(diǎn)，∴CF=BF=2，代入數(shù)據(jù)：∴r2∴r=4∴OD=DF?OF=8∴sin∠ODG=∴∠ODG=30°，∴∠DFC=60°，且OF=OQ，∴△OFQ是等邊三角形，∴∠DOQ=180°-60°=120°，同理△OGQ也為等邊三角形，∴OH=32OQ=233，且∴S==4故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，切線的性質(zhì)，翻折變換，熟練掌握基本圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2018·云南曲靖·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，將BC沿直線BC翻折，使BC的中點(diǎn)D恰好與圓心O重合，連接OC，CD，BD，過(guò)點(diǎn)C的切線與線段BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接AD，在PB的另一側(cè)作∠MPB=∠ADC．(1)判斷PM與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若PC=3，求四邊形OCDB【答案】(1)PM與⊙O相切，理由見(jiàn)解析；(2)3【分析】（1）連接DO并延長(zhǎng)交PM于E，如圖，利用折疊的性質(zhì)得OC=DC，BO=BD，則可判斷四邊形OBDC為菱形，所以O(shè)D⊥BC，△OCD和△OBD都是等邊三角形，從而計(jì)算出∠COP=∠EOP=60°，接著證明PM∥BC得到OE⊥PM，所以O(shè)E=12OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PC，則OC=（2）先在Rt△OPC中計(jì)算出OC=1，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式計(jì)算四邊形OCDB【詳解】（1）PM與⊙O相切．理由如下：連接DO并延長(zhǎng)交PM于E，如圖，∵BC沿直線BC翻折，使BC的中點(diǎn)D恰好與圓心O重合，∴OC=DC，BO=BD，∴OC=DC=BO=BD，∴四邊形OBDC為菱形，∴OD⊥BC，∴△OCD和△OBD都是等邊三角形，∴∠COD=∠BOD=60°，∴OE=OC∠COP=∠EOP=60°，∵∠MPB=∠ADC，而∠ADC=∠ABC，∴∠ABC=∠MPB，∴PM∥∴OE⊥PM，∴OE=1∵PC為⊙O的切線，∴OC⊥PC，∴OC=1∴OE=OC，而OE⊥PC，∴PM是⊙O的切線；（2）在Rt△OPC中，OC=∴四邊形OCDB的面積=2S【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了直線與圓的關(guān)系、圓周角定理和折疊的性質(zhì)．題型04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題1．（2023·浙江嘉興·中考真題）一副三角板ABC和DEF中，∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°，BC=EF=12．將它們疊合在一起，邊BC與EF重合，CD與AB相交于點(diǎn)G（如圖1），此時(shí)線段CG的長(zhǎng)是___________，現(xiàn)將△DEF繞點(diǎn)C(F)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），邊EF與AB相交于點(diǎn)H，連結(jié)DH，在旋轉(zhuǎn)0°到

【答案】66?6【分析】如圖1，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于H，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出BH=3GH，GH=CH，然后由BC=12可求出GH的長(zhǎng)，進(jìn)而可得線段CG的長(zhǎng)；如圖2，將△DEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△D1E1F，F(xiàn)E1與AB交于G1，連接D1D，AD1，△D2E2F是△DEF旋轉(zhuǎn)0°到60°的過(guò)程中任意位置，作DN⊥CD1于N，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥D1D交【詳解】解：如圖1，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于H，

∵∠ABC=30°，∠DEF=∠DFE=45°，∴BH=3GH，∵BC=BH+CH=3∴GH=63∴CG=2如圖2，將△DEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△D1E1F，F(xiàn)E1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠E1CB=∠DC∴△CDD∵∠ABC=30°，∴∠CG∴CG∵CE∴CG1=12∵△CD∴點(diǎn)D1在直線AB連接AD1，△D2E2F則線段DH掃過(guò)的面積是弓形D1D2∵BC=EF=12，∴DC=DB=2∴D1作DN⊥CD1于N，則∴DN=D過(guò)點(diǎn)B作BM⊥D1D交D1D∵∠D1DC=60°∴∠BDM=180°?∠D∴BM=1∴線段DH掃過(guò)的面積=S=S=60π?=12π?183故答案為：66?62

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)，作出圖形，證明點(diǎn)D1在直線AB2．（2023·四川·中考真題）如圖1，已知線段AB，AC，線段AC繞點(diǎn)A在直線AB上方旋轉(zhuǎn)，連接BC，以BC為邊在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°

(1)若∠BDC=90°，以AB為邊在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，連接DE，用等式表示線段AC與DE的數(shù)量關(guān)系是_____(2)如圖2，在(1)的條件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的長(zhǎng)；(3)如圖3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，當(dāng)AD的值最大時(shí)，求此時(shí)tan∠CBA【答案】(1)AC=(2)BC=2(3)3【分析】（1）在Rt△BDC中，∠DBC=30°，Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，可得△ABE∽△CBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出ABBC=BE（2）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F，如圖所示，在Rt△AEF中，求得EF,AF，進(jìn)而求得BF的長(zhǎng)，根據(jù)（1）的結(jié)論，得出DE=3，在Rt△BFD中，勾股定理求得BD（3）如圖所示，以AB為邊在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB=90°，∠EBA=30°，連接BE，EA，ED,EC，同（1）可得△BDE∽△BCA，進(jìn)而得出D在以E為圓心，433為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A,E,D三點(diǎn)共線時(shí)，AD的值最大，進(jìn)而求得cos∠BDA=277，sin∠BDA=217，根據(jù)△ABC∽△EBD得出∠BDE=∠BCA，過(guò)點(diǎn)【詳解】（1）解：在Rt△BDC中，∠DBC=30°，Rt△BAE，且∠AEB=90°，∴△ABE∽△CBD，∠DBE+∠EBC=∠ABC+∠EBC，BE=AB×∴ABBC=BE∴△ABC∽△EBD∴AC∴AC=2故答案為：AC=2（2）∵Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，∴AE=AB?sin∠EBA=1延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F，如圖所示，

∵DE⊥AB，∴∠BFD=∠DFA=90°，∴在Rt△AEF中，EF=AE×sin∠BAE=∴BF=AB?AF=4?1=3，由（1）可得AC=2∴DE=3∴DF=DE+EF=23在Rt△BFD中，BD=∵△ABC∽△EBD，∴BCBD∴BC=2∴BC=27（3）解：如圖所示，以AB為邊在AB上方作Rt△BAE，且∠EAB=90°，∠EBA=30°，連接BE，EA，ED,EC

同（1）可得△BDE∽△BCA則DEAC∵AC=2，則DE=4在Rt△AEB中，AB=4，AE=AB×∴D在以E為圓心，43∴當(dāng)點(diǎn)A,E,D三點(diǎn)共線時(shí)，AD的值最大，此時(shí)如圖所示，則AD=AE+DE=8

在Rt△ABD中，∴cos∠BDA=ADBD∵△ABC∽△EBD，∴∠BDE=∠BCA，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，于點(diǎn)F，∴CF=AC×cos∠ACB=2×2∵∠DBC=30°，∴BC=3∴BF=BC?CF=27Rt△AFB中，tan【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點(diǎn)到圓的距離的最值問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濰坊·中考真題）筒車是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，車輪縛以竹簡(jiǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)低則舀水，高則瀉水．如圖，水力驅(qū)動(dòng)筒車按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，竹筒把水引至A處，水沿射線AD方向?yàn)a至水渠DE，水渠DE所在直線與水面PQ平行；設(shè)筒車為⊙O，⊙O與直線PQ交于P，Q兩點(diǎn)，與直線DE交于B，C兩點(diǎn)，恰有AD2=BD?CD(1)求證：AD為⊙O的切線；(2)筒車的半徑為3m，AC=BC,∠C=30°．當(dāng)水面上升，A，O，Q三點(diǎn)恰好共線時(shí)，求筒車在水面下的最大深度（精確到0.1m，參考值：2≈1.4,【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)0.9m【分析】（1）連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于M，根據(jù)AM為⊙O的直徑可以得到∠ABM=90°，繼而得到∠BAM+∠AMB=90°，根據(jù)AD2=BD?CD可證ΔDAB～ΔDCB，可以得到（2）根據(jù)AC=BC，∠C=30°解出∠CAB=∠CBA=75°，根據(jù)AQ為⊙O的直徑得到∠ABQ=∠APQ=90°，進(jìn)而得出∠BAQ=60°，∠QAC=15°，又根據(jù)PQ//BC得出∠QAC=∠BQP=15°，故可得到∠PQA=45°，過(guò)O作OF⊥PQ交⊙O于F，交PQ于E，于是在等腰RtΔOEQ中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OE長(zhǎng)，進(jìn)而求出最大深度【詳解】（1）證明：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于M，連接BM，∴AM為⊙O的直徑，∴∠ABM=90°，∴∠BAM+∠AMB=90°，∵AD∴AD又∵∠D=∠D，∴Δ∴∠DAB=∠DCA，又∵∠BCA=∠BMA，∴∠BAM+∠DAB=90°，∴∠DAM=90°，∴AD為⊙O的切線；（2）解：如圖所示，∵AC=BC，∠C=30°，∴∠CAB=∠CBA=1∵AQ是⊙O的直徑，∴∠ABQ=∠APQ=90°，∵∠C=30°，∴∠AQB=∠C=30°，∴∠BAQ=90°?∠AQB=60°，∴∠QAC=∠BAC?∠BAQ=75°?60°=15°，∵PQ//BC，∴BP=∴∠QAC=∠BQP=15°，∴∠PQA=∠BQP+∠BQA=15°+30°=45°，過(guò)O作OF⊥PQ交⊙O于F，交PQ于E，∴Δ∵OQ=3，∴OE=OQsin∴EF=OF?OE=3?3【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線的判斷，等腰三角形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握公式定理并且靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．題型05與圓有關(guān)的最值問(wèn)題1．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)B處，點(diǎn)E處是該市的一個(gè)交通樞紐．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個(gè)半徑為30m的圓型環(huán)道⊙O；過(guò)圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點(diǎn)N．連接BN，點(diǎn)P在⊙O上，連接EP．其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時(shí)環(huán)道⊙O的圓心O到AB【答案】（1）43?4【分析】（1）連接OP，OM，過(guò)點(diǎn)O作OM'⊥AB，垂足為M'，則（2）分別在BC，AE上作BB'=AA'=r=30(m)，連接A'B'，B'O、OP、OE、B'E．證出四邊形BB'ON是平行四邊形．由平行四邊形的性質(zhì)得出BN=B'O．當(dāng)點(diǎn)O在B'E上時(shí)，BN+PE取得最小值．作⊙O'，使圓心O'【詳解】解：（1）如圖①，連接OP，OM，過(guò)點(diǎn)O作OM'⊥AB

則OP+PM≥OM．∵⊙O半徑為4，∴PM≥OM?4≥OM∵OA=OB．∠AOB=120°，∴∠A=30°，∴OM∴PM≥OM∴線段PM的最小值為43（2）如圖②，分別在BC，AE上作BB連接A'B'，B'O、OP∵OM⊥AB，BB'⊥AB∴四邊形BB∴BN=B'O．∵B∴BN+PE≥B∴當(dāng)點(diǎn)O在B'E上時(shí)，作⊙O'，使圓心O'在B作O'M'⊥AB，垂足為M'∴O'∴△B'O'∴O'∵⊙O'在矩形∴當(dāng)⊙O'與FD相切時(shí)，B'此時(shí)，O'∵M(jìn)∴M∴O∴O∴此時(shí)環(huán)道⊙O的圓心O到AB的距離OM的長(zhǎng)為4047.91m【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·重慶·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD(1)如圖1，若AC=9，BD=3，求線段AD(2)如圖2，以CD為邊在CD上方作等邊△CDE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若∠G=∠BCE，求證：GF=BF+BE．(3)在CD取得最小值的條件下，以CD為邊在CD右側(cè)作等邊△CDE．點(diǎn)M為CD所在直線上一點(diǎn)，將△BEM沿BM所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BNM．連接AN，點(diǎn)P為AN的中點(diǎn)，連接CP，當(dāng)CP取最大值時(shí)，連接BP，將△BCP沿BC所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BCQ，請(qǐng)直接寫出此時(shí)NQCP【答案】(1)5(2)見(jiàn)解析(3)43【分析】（1）解Rt△ABC，求得AB，根據(jù)AD=AB?BD（2）延長(zhǎng)FB使得FH=FG，連接EH，可得△GFD≌△HFESAS，根據(jù)∠DEC=∠DBC=60°，得出B,C,D,E四點(diǎn)共圓，則∠EDB=∠BCE，∠BEC=∠BDC，得出∠BEH=60°?∠BEC=60°?∠BDC=∠EDB，結(jié)合已知條件得出∠H=∠BEH，可得EB=BH（3）在CD取得最小值的條件下，即CD⊥AB，設(shè)AB=4a，則BC=2a，AC=23a，根據(jù)題意得出點(diǎn)N在以B為圓心，a為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AB的中點(diǎn)S，連接SP，則SP是△ABN的中位線，P在半徑為12a的⊙S上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CP取最大值時(shí)，即P,S,C三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AC于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)N作NR⊥AC于點(diǎn)R，連接PQ，交NR于點(diǎn)U，則四邊形PURT是矩形，得出PD是△ANR的中位線，同理可得PT是△ANR的中位線，△BCS是等邊三角形，將△BCP沿BC所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BCQ，則∠QCP=2∠BCP=120°，在【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°∴AB=AC∵BD=3∴AD=AB?BD=53（2）證明：如圖所示，延長(zhǎng)FB使得FH=FG，連接EH，

∵F是DE的中點(diǎn)則DF=FE，F(xiàn)H=FG，∠GFD=∠HFE，∴△GFD≌△HFESAS∴∠H=∠G，∴EH∥∴∠HEC=∠ECD=60°∵△DEC是等邊三角形，∴∠DEC=∠EDC=60°，∵∠DEC=∠DBC=60°，∴B,C,D,E四點(diǎn)共圓，∴∠EDB=∠BCE，∠BEC=∠BDC，∴∠BEH=60°?∠BEC=60°?∠BDC=∠EDB，∵∠G=∠BCE=∠BDE=∠H，∴∠H=∠BEH，∴EB=BH，∴FH=FG=BF+BH=BF+EB；（3）解：如圖所示，

在CD取得最小值的條件下，即CD⊥AB，設(shè)AB=4a，則BC=2a，AC=23∴CD=AC×BCAB=∵將△BEM沿BM所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BNM．∴BE=BN∴點(diǎn)N在以B為圓心，a為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AB的中點(diǎn)S，連接SP，則SP是△ABN的中位線，∴P在半徑為12a的當(dāng)CP取最大值時(shí)，即P,S,C三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AC于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)N作NR⊥AC于點(diǎn)R，∵S是AB的中點(diǎn)，∠ABC=60°∴SC=SB=BC，∴△BCS是等邊三角形，則∠PCB=60°，∴∠PCA=∠ACB?∠BCP=30°，∵BC=2a，AB=4a，∴CS=BC=2a，PS=∴PC=52a，∵AC=23∴AT=3如圖所示，連接PQ，交NR于點(diǎn)U，則四邊形PURT是矩形，∴PU∥AR，P是∴NU即PU是△ANR的中位線，同理可得PT是△ANR的中位線，∴NU=UR=PT=54∵△BCS是等邊三角形，將△BCP沿BC所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BCQ，∴∠QCP=2∠BCP=120°∴PQ=則UQ=PQ?PU=在Rt△NUQ中，∴NQCP【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)