第06講 幾何法求空間角與空間距離（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第06講幾何法求空間角與空間距離（5類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-15分【備考策略】1.掌握等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)面距2.掌握等幾何法求異面直線(xiàn)所成角3.掌握等幾何法求線(xiàn)面角4.掌握幾何法求二面角【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般在解答題中考查空間距離和空間角的求解，需強(qiáng)化鞏固復(fù)習(xí).知識(shí)講解一、異面直線(xiàn)所成角

1.定義：已知兩條異面直線(xiàn)a,b,經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線(xiàn)a′//a,b′//b,我們把a(bǔ)′二、直線(xiàn)與平面所成角

1.定義：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角，叫這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角。

2.范圍：0,π2.

3.求法：

（1）由定義作出線(xiàn)面角的平面角，再求解：

（2）在斜線(xiàn)上異于斜足取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)到斜足的距離（設(shè)為l）和到平面的距離（設(shè)為三、二面角

1.定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)，則兩射線(xiàn)所成的角為二面角的平面角。

2.范圍：0,π.

3.求法：

利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn)),過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)，兩射線(xiàn)所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法。要注意用二面角的平面角定義的三個(gè)“主要特征”來(lái)找出平面角。（2）三垂線(xiàn)法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線(xiàn)，用三垂線(xiàn)定理或逆定理作出二面角的平面角。（3）垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí)，過(guò)兩垂線(xiàn)作平面與兩個(gè)半平面的交線(xiàn)所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。（4）射影面積法：凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cosθ=S空間距離點(diǎn)面距可轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積求解考點(diǎn)一、幾何法求點(diǎn)面距1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為1，則點(diǎn)到平面的距離為．【答案】【分析】解法一：根據(jù)等體積法，即，列出方程解出距離即可；解法二：通過(guò)面面垂直的性質(zhì)定理得平面，最后計(jì)算長(zhǎng)即可；解法三：建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線(xiàn)面距離.【詳解】解法一：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d．在中，，AB邊上的高為，點(diǎn)A到平面的距離為，的面積為．∵，∴，因此，故點(diǎn)到平面的距離為．解法二：如圖所示，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D．∵，M為AB的中點(diǎn)，∴．∵，M為AB的中點(diǎn)，∴．∵，平面，∴平面，又平面，故平面平面．∵平面平面，，平面，∴平面．因此CD的長(zhǎng)度即為點(diǎn)C到平面的距離，也即點(diǎn)到平面的距離．在中，，因此．故點(diǎn)到平面的距離為．解法三：如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO．∵，∴．以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OA所在直線(xiàn)分別為x軸和y軸，過(guò)點(diǎn)O且與平行的直線(xiàn)為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，從而，，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即，令，得，則．故點(diǎn)到平面的距離為．故答案為：.2．（23-24高三上·河北·期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)棱錐的體積公式求得，再根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化法，確定的最大值，即可求得點(diǎn)到平面距離的最小值.【詳解】由題意得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由等體積轉(zhuǎn)化法為，當(dāng)與重合時(shí)，最大，最大為，此時(shí)最小，為.故選：B.3．（2024·遼寧丹東·一模）已知球的直徑為，，為球面上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，平面，若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則球心到平面的距離為．【答案】【分析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，可得球的半徑為，將球心到平面的距離轉(zhuǎn)化為為到平面的距離的2倍，進(jìn)而根據(jù)等體積變換可得.【詳解】因?yàn)椋瑸榍虻闹睆?，所以，故球心到平面的距離即為到平面的距離的2倍，如圖設(shè)球的半徑為，由題意可知，由，，可得，故如圖，由題意平面，則，，且，設(shè)到平面的距離為，則由可得，，得，得，則球心到平面的距離為，故答案為：4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2BC＝2，則異面直線(xiàn)B1D1與CD的距離為；異面直線(xiàn)BD1與CD的距離為．【答案】2【詳解】解析：（定義法）由正方體得DD1⊥平面A1B1C1D1，所以DD1⊥B1D1.又DD1⊥CD，所以DD1是異面直線(xiàn)B1D1與CD的公垂線(xiàn)段．又DD1＝2，所以異面直線(xiàn)B1D1與CD的距離為2；（轉(zhuǎn)化法）因?yàn)镃D∥AB，CD?平面ABD1，AB?平面ABD1，所以CD∥平面ABD1，所以CD到平面ABD1的距離就是異面直線(xiàn)BD1與CD的距離，即點(diǎn)D到平面ABD1的距離就是異面直線(xiàn)BD1與CD的距離．設(shè)距離為h，由題得AD1＝＝.因?yàn)閂D1ABD＝VDABD1，所以××2×1×2＝××2××h，所以h＝，所以異面直線(xiàn)BD1與CD的距離為.【考查意圖】定義法、等積法求點(diǎn)到平面的距離，定義法、轉(zhuǎn)化法求異面直線(xiàn)間的距離．1．（23-24高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為1，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，連接，可證平面，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切危瑒t，又因?yàn)槠矫?，且平面，則，且，平面，可得平面，由題意可知：，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.2．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體分別是AB和BC的中點(diǎn)，則MN到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，由幾何關(guān)系證明MN到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，再由等體積法求出結(jié)果即可；【詳解】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，，因?yàn)榉謩e是AB和BC的中點(diǎn)，則，由正方體的性質(zhì)可得，所以，又平面，平面，所以平面，所以MN到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，則，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以，，，所以，即，故選：C.3．（2024·河南·一模）如圖是棱長(zhǎng)均為2的柏拉圖多面體，已知該多面體為正八面體，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】由三棱錐等體積法，可得，運(yùn)算得解.【詳解】連接．由已知得為的中位線(xiàn)，所以，為正三角形的中線(xiàn)，所以，又，所以，所以為直角三角形，所以．因?yàn)?，所以到平面的距離為，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)椋?，所以，所以．故選：B.4．（2024·陜西西安·三模）在四棱錐中，平面平面，，，，．(1)證明：．(2)若為等邊三角形，求點(diǎn)C到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）先證明，再由面面垂直的性質(zhì)定理求解；（2）過(guò)點(diǎn)P作，所以平面，由體積法求解．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，由余弦定理可得，所以AD2+BD因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面PAD．因?yàn)槠矫鍼AD，所以．（2）過(guò)點(diǎn)P作，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且平面平面，所以平面．因?yàn)椋谥?，，而，．設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，，則，解得，所以點(diǎn)C到平面的距離為．考點(diǎn)二、幾何法求異面直線(xiàn)所成角1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱柱中，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】平行移動(dòng)與相交構(gòu)成三角形，指明或其補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)與所成的角，在三角形中由余弦定理解出即可.【詳解】如圖連接，因?yàn)闉檎睦庵?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則或其補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)與所成的角，設(shè)，則，，，由余弦定理得：.故選：B.2．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）在梯形中,，且，沿對(duì)角線(xiàn)將三角形折起，所得四面體外接球的表面積為，則異面直線(xiàn)與所成角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊前后的幾何性質(zhì)，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.【詳解】如下圖，將梯形補(bǔ)成長(zhǎng)方形，折后得到直三棱柱，因?yàn)?，所以，異面直線(xiàn)與所成角即為與所成角，即或其補(bǔ)角，又該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，設(shè)外接球半徑為R，則，所以，設(shè)外接圓半徑為r，圓心為，外接圓圓心為，則三棱柱的外接球的球心為的中點(diǎn)O，連接，則，所以，又，即，又中，，即，化簡(jiǎn)得，即，所以，故選：C.

3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且線(xiàn)段的長(zhǎng)度最小值為，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)即可求解最小值時(shí)，即可求解，利用平移可得為其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)與所成角，由余弦定理即可求解.【詳解】由于三棱柱為直三棱柱，所以底面,底面,所以,故,故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，線(xiàn)段的長(zhǎng)度最小值，由于線(xiàn)段的最小值為，故此時(shí)，為中點(diǎn)，故，連接,則,故為其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)與所成角，,,故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為故選：A1．（2024·廣西桂林·三模）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑，在鱉臑中，平面，，且，為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖取的中點(diǎn)，可得，即異面直線(xiàn)與所成的角為，然后利用平面，可得兩直角三角形的斜邊中線(xiàn)長(zhǎng)，從而得到求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：∵分別為的中點(diǎn)，則且，∴異面直線(xiàn)與所成的角為或其補(bǔ)角．∵平面，平面，∴，，∴，同理可得，∴，∴，則,故選:C．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形是圓柱的軸截面，點(diǎn)在圓上，若，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，得到為異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角，根據(jù)題意，證得平面，得到，再求得，結(jié)合，即可求解．【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，與圓交于點(diǎn)，連接，則為異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角.而兩直線(xiàn)所成角在內(nèi)，故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.由矩形是圓柱的軸截面，結(jié)合圓柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，可得平面，且BF?平面，所以，又由經(jīng)過(guò)底面圓心，知是底面直徑，從而.而，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由，，，可得，所?又由，所以.從而異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，C正確.故選：C.

考點(diǎn)三、幾何法求線(xiàn)面角1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線(xiàn)，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過(guò)作底面垂線(xiàn)，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.2．（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為，，體積為，則此四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積求出高，再求出側(cè)棱長(zhǎng)，最后由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】在正四棱臺(tái)中，，，令上下底面中心分別為、，連接，如圖，

則棱臺(tái)的高為，由，解得，在直角梯形中，，取中點(diǎn)，連接，有，則平面，平面，所以，所以，，又平面，則是與平面所成的角，所以，即四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為.故選：B3．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，半圓面底面，點(diǎn)為圓弧上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，與半圓面所成角的余弦值為．【答案】33/【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易得點(diǎn)位于圓弧的中點(diǎn)時(shí)，最大，證明面，則即為與半圓面所成角的平面角，再解即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槊娴酌?，面底面，面，所以平面，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)位于圓弧的中點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)為的中點(diǎn)，因?yàn)槊娴酌妫娴酌婷?，所以面，又面，所以，所以即為與半圓面所成角的平面角，在中，，所以，故答案為：．4．（2024·遼寧大連·二模）已知一圓形紙片的圓心為，直徑，圓周上有兩點(diǎn).如圖：，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn).沿將紙片折為直二面角，并連接，，，.(1)當(dāng)平面時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)若，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理得，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)及三角形性質(zhì)求解即可；（2）方法一：利用面面垂直性質(zhì)定理得平面，從而利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得，，可求得，利用等體積法求得到平面的距離，利用線(xiàn)面角的正弦值求解即可；方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，然后利用向量法求解線(xiàn)面角即可.【詳解】（1）平面，平面，平面平面，則有.所以，又，則.（2）方法一：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，，所以平?又，平面，則，，又，由，可得.設(shè)到平面的距離為d，因?yàn)?，所以，所以，所以，設(shè)與平面所成的角為，則.故與平面所成角的正弦值為.方法二：，，.如圖，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，.，.易知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，則，設(shè)與平面所成角的為，則.故與平面所成角的正弦值為.5．（2024·山西·三模）如圖三棱錐分別在線(xiàn)段AB，CD上，且滿(mǎn)足.(1)求證:平面平面;(2)求AD與平面BCD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系，結(jié)合勾股定理可得即可求證，根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)垂直可得平面CED，進(jìn)而可得，進(jìn)而可得平面，即可求證面面垂直，（2）根據(jù)勾股定理以及線(xiàn)線(xiàn)垂直可證明平面,即可得為直線(xiàn)與平面所成的角，即可求解.【詳解】（1）連接,由于所以由于，所以故，即，又，，平面CED，故平面CED，平面CED,故,平面，所以平面，平面，故平面平面（2）由于所以由于，所以故，即，又，，平面CED，故平面，平面,故,平面，故平面,故即為直線(xiàn)與平面所成的角，,,6．（22-23高一下·遼寧大連·期末）在正三棱臺(tái)中，，，為中點(diǎn)，在上，.

(1)請(qǐng)作出與平面的交點(diǎn)，并寫(xiě)出與的比值（在圖中保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出畫(huà)法和理由）；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析，2(2)【分析】（1）根據(jù)直線(xiàn)與平面的公理，延長(zhǎng)線(xiàn)段，延展平面，結(jié)合相似三角形，可得答案；（2）根據(jù)線(xiàn)面角的定義，作圖，求其所在三角形的邊長(zhǎng)，利用三棱臺(tái)的幾何性質(zhì)，在其側(cè)面，結(jié)合等腰梯形以及余弦定理，可得答案.【詳解】（1）①作圖步驟：延長(zhǎng)，使其相交于，連接，則可得；作圖如下：

作圖理由：在平面中，顯然與不平行，延長(zhǎng)相交于，由，則平面CED，由平面CED，則平面CED，由，，則平面，可得故平面.②連接，如下圖所示：

在正三棱臺(tái)中，，即，易知，則，由，且，則，顯然，由分別為的中點(diǎn)，則，且，易知，故.（2）由題意，過(guò)作平面的垂線(xiàn)，垂足為，并連接，如下圖所示：

由（1）可知：且，則，由，，在側(cè)面中，過(guò)分別作的垂線(xiàn)，垂足分別為，如下圖所示：

易知,，所以，在中，，則，棱臺(tái)的高，由圖可知直線(xiàn)與平面所成角為，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)解決的關(guān)鍵在于利用余弦定理求得，利用勾股定理求得，從而得解.1．（2024·陜西榆林·三模）已知正三棱錐的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)的比值為，則三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正棱錐的性質(zhì)，先過(guò)頂點(diǎn)作底面的垂線(xiàn)，由線(xiàn)面角的定義和題干數(shù)據(jù)進(jìn)行求解.【詳解】如圖，為等邊三角形，為中點(diǎn)，作面垂足為，

設(shè)，則，根據(jù)正棱錐性質(zhì)，則，根據(jù)線(xiàn)面角的定義，三棱錐的側(cè)棱與底面所成角為，則.故選：B2．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正四面體的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，且直線(xiàn)與平面所成的角為，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，當(dāng)頂點(diǎn)與點(diǎn)的距離最大時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可得當(dāng)四邊形為平面四邊形時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大，作平面,垂足為，點(diǎn)作平面，垂足為，則可求，進(jìn)而可求解.【詳解】取中點(diǎn)，連接，

當(dāng)四邊形為平面四邊形時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大，此時(shí)，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，過(guò)作平面，垂足為，則為正三角形的重心，設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為1，則,因?yàn)橹本€(xiàn)BC與平面所成角為即,且，所以,所以點(diǎn)到平面的距離等于，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，則，∴在中，，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值等于.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答關(guān)鍵是分析出當(dāng)四邊形為平面四邊形時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大.3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，則直線(xiàn)與平面所成角正切值的最大值為.

【答案】【分析】在正方體上“堆疊”一個(gè)與之全等的正方體，連接、，設(shè)在平面的射影為，連接O2P，則即為直線(xiàn)與平面所成角，在平面上的射影為，求出點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合平面幾何的性質(zhì)即可得解．【詳解】如圖所示，在正方體上“堆疊”一個(gè)與之全等的正方體，連接、，易知四邊形是菱形，設(shè)在平面的射影為，由正三棱錐可知，點(diǎn)是△的外心，，則，由，得，所以，再結(jié)合，得，從而的軌跡是（平面上）以為圓心，為半徑的圓，記為圓，同理，在平面（即平面上的射影為的外心，連接O2P，則在平面上的射影為O2進(jìn)而即為直線(xiàn)與平面所成角，記，則，其中為定值，而對(duì)于O2P，由圓的幾何知識(shí)可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段且與圓相交時(shí)，O2P取得最小值，記相交于Q,易知，則，此時(shí)取得最大值為．故答案為：．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查空間中點(diǎn)的軌跡及線(xiàn)面角，關(guān)鍵是確定在平面上的軌跡為圓.4．（2024·山東·二模）如圖所示，直三棱柱，各棱長(zhǎng)均相等.，，分別為棱，，的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求直線(xiàn)與所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意可證得，在直三棱柱中，平面，可得，進(jìn)而可證得平面，即證得平面平面；（2）由題意可證得，即可得直線(xiàn)與所成的角，在△中，可求出的正弦值，進(jìn)而求出于直線(xiàn)與所成的角．【詳解】（1）證明：由題意在等邊三角形中，為的中點(diǎn)，所以，在直棱柱中，平面，平面，所以，而，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）連接，因?yàn)椋?，分別為棱，，的中點(diǎn)，所以，且，在三棱柱中，，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以即為直線(xiàn)與所成的角，在△中，設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則可得．故即直線(xiàn)與所成角的正弦值為．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，且，.(1)證明：平面平面；(2)若，，求與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)30°【分析】（1）應(yīng)用面面垂直判定定理證明即可；（2）先根據(jù)定義得出線(xiàn)面角，再計(jì)算正弦值求角即可.【詳解】（1）在四棱錐中，，又，所以，因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平?（2）取棱的中點(diǎn)O，連接，，由，得，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋矫?，，所以平面，所以是在平面?nèi)的射影，所以與平面所成的角為.設(shè)，因?yàn)?，則，因?yàn)?，所以，所以在中，，所以與平面所成的角為30°考點(diǎn)四、幾何法求二面角1．（2024·河南·三模）在四面體中，平面平面，是直角三角形，，則二面角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)AC,PC的中點(diǎn)為，連接，分別證得和，證得平面，得到，得出為二面角的平面角，在中，即可求解.【詳解】設(shè)AC,PC的中點(diǎn)分別為，連接，則，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面，所以平面，而平面，則，因?yàn)槭侵苯侨切危?，所以，所以，且，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，則，所以為二面角的平面角，且.故選：A.2．（2024·江西贛州·一模）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面為側(cè)棱的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求二面角的正切值.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)利用等體積法計(jì)算可得；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，過(guò)作交于，連接、，即可證明平面，從而得到平面，則為二面角的一個(gè)平面角，再求出、，即可得解.【詳解】（1）由平面，可得，令點(diǎn)到平面的距離為，則，由，可得，則，由，可得，由平面，平面，所以平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，則，所以，即點(diǎn)到平面的距離為（2）設(shè)為的中點(diǎn)，過(guò)作交于，連接、，是的中點(diǎn)，，又平面，所以平面，又平面，，又，平面，平面，平面，，為二面角的一個(gè)平面角，又，且，所以，所以，即二面角的正切值為.

3．（2024·四川攀枝花·三模）如圖，直三棱柱中，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，．(1)證明：點(diǎn)為的重心；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，可證得，結(jié)合直棱柱的性質(zhì)可證得，從而可證為的中點(diǎn)，則可得，即可得證；（2）取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，，可證出為二面角的平面角，在中計(jì)算求值即可．【詳解】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，，平面所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)橹比庵校矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，所以，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)椤?，所以，所以點(diǎn)為的重心；（2）解：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)橹比庵?，平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，取中點(diǎn)，連接，，則‖，,因?yàn)椋?，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)锽F?平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以∽，所以，因?yàn)?，所以，得，所以，所以，因?yàn)椋?，在中，，即二面角的余弦值為?．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若，且底面為正方形，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）連接，由線(xiàn)面平行的判定定理即可證明；（2）方法一：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果；方法二：根據(jù)題意，由面面角的定義可得即為平面與平面的夾角，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；方法三：由條件可得為的射影，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）如圖，連接，

因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以．又由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以．又平面平面，所以平面．（2）方法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線(xiàn)為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，四邊形為正方形，所以，所以設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以平面的一個(gè)法向量為．易得平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則．所以平面與平面夾角的余弦值為.方法二：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面與平面的夾角即為平面與平面的夾角．取的中點(diǎn)，連接，分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則平面平面，在平面內(nèi)，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，連接．因?yàn)槠矫?，又平面，所以．又，平面，所以平面，所以．所以即為平面與平面的夾角．設(shè)，因?yàn)椋裕?/p>

所以，所以．在Rt中，，所以在Rt中，，即．所以，所以（負(fù)值舍去），所以平面與平面夾角的余弦值為．方法三（射影法）：設(shè)平面與平面的夾角為，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

則為的射影．由題易得，所以，所以，所以．又，所以．所以平面與平面夾角的余弦值為．1．（2024·四川南充·三模）已知如圖，在矩形中，，將沿著翻折至處，得到三棱錐，過(guò)M作的垂線(xiàn)，垂足為．

(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化為證明MH⊥平面，利用線(xiàn)面垂直的判斷定理，即可證明；（2）結(jié)合幾何關(guān)系，構(gòu)造二面角的平面角，三角形內(nèi)根據(jù)余弦定理，即可求解.【詳解】（1）連結(jié)，由，，，得，，，，在中，由余弦定理得,，，，又平面，，平面，又平面，；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在平面內(nèi)作與點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，

則為二面角的平面角，在中，由，得，，在中，由余弦定理得，在中，，，在中，由勾股定理得：，在中，由余弦定理得：,，即二面角的余弦值為.2．（2024·江蘇宿遷·一模）如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，平面平面．

(1)證明：；(2)若，且與平面所成角的正切值為2，求平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)定理即可得到平面，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果；法二：根據(jù)面面角的定義，先找出所求的二面角，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，又四邊形為梯形，，則，在中，由余弦定理可知，，根據(jù)勾股定理可知，AD2+B因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫嫠裕?）法一：由（1）可知，又因?yàn)?，所以平面，所以就是與平面所成角，所以，所以；以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，則有取，由題意得為平面的法向量，所以，即平面與平面所成二面角的正弦值．法二：在平面內(nèi)，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接，則為平面與平面的交線(xiàn)，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，

由（1）得，，因?yàn)榍揖诿鎯?nèi)，所以面，因?yàn)槊妫?，又因?yàn)榍揖诿鎯?nèi),所以面，即面,因?yàn)槊妫?因?yàn)榍揖诿鎯?nèi),所以面，由面所以,所以,在直角三角形中,在直角三角形中，所以平面與平面所成二面角的正弦值．所以就是二面角的平面角，又因?yàn)槠矫?，所以就是與平面所成角，所以，所以，因?yàn)?，所以?．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）如下圖，四棱錐的體積為，底面為等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．(1)證明：；(2)若，分別為，的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和線(xiàn)面垂直的判斷定理證明即可證明；（2）根據(jù)二面角定義即可求出二面角的平面角.【詳解】（1）連接，∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，因?yàn)槠矫?，所以，由題意可知，等腰梯形的高為1，故等腰梯形的面積為：，∴，∴，在中，，．∴，即，∴為的三等分點(diǎn)，∴．又∵，面，面，∴平面，∵平面，∴．（2）取中點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形，∴．∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，∴四點(diǎn)共面．連接交于，連接，則二面角即二面角．∵平面，平面，∴，易知四邊形為正方形，則，∵，∴，又，平面，平面，∴平面．∵，∴平面，∵平面，平面，∴，．∴是二面角的平面角，在中，，，∴，∴，∴二面角的余弦值為.4．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面?zhèn)让妫?，，?1)證明：平面；(2)若，求平面與平面所成的角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用菱形的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)及判定推理即得.（2）作出二面角的平面角，再在直角三角形中計(jì)算即得.【詳解】（1）在三棱柱中，由，得四邊形是菱形，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，又，因此，而平面,所以平面.（2）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于，由平面平面，平面平面，得平面，而平面，則，在平面內(nèi)過(guò)作于，連接，又平面，于是平面，而平面，則，從而是二面角的平面角，由，得，由，得，，則，顯然，，，所以平面與平面所成的角的余弦值是.考點(diǎn)五、范圍與最值問(wèn)題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為正方體的棱上的動(dòng)點(diǎn)，則平面與平面夾角的正切值的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】確定平面與平面的交線(xiàn)，利用線(xiàn)面垂直得到二面角的平面角，利用幾何關(guān)系計(jì)算求解即可求解.【詳解】延長(zhǎng)和交于點(diǎn)Q,則Q為平面與平面的公共點(diǎn)，從而DQ為平面與平面的交線(xiàn)；在平面內(nèi)做于點(diǎn)H,連，由正方體性質(zhì)易知平面，面，則，又平面，故平面，又平面，故，故為二面角的平面角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，，易知故，即，則由的面積得：故，當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故二面角正切值的最小值為，則平面與平面夾角的正切值的最小值為.故選：C

2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知底面為正方形且各側(cè)棱均相等的四棱錐可繞著任意旋轉(zhuǎn)，平面，，分別是，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn).當(dāng)最大時(shí)，二面角的大小是（

）A．105° B．90° C．60° D．45°【答案】A【分析】由題意當(dāng)最大時(shí)，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，此時(shí)找出二面角的平面角，計(jì)算即可.【詳解】連接，，如圖，因?yàn)?，所以為正三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，如圖，此時(shí)，，且平面，∴為二面角的平面角，又在等腰直角三角形中，，因此，故選：A3．（2024·四川成都·二模）如圖，在正四面體中，是棱的兩個(gè)三等分點(diǎn)．(1)證明：；(2)求出二面角的平面角中最大角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明平面，從而證明；（2）根據(jù)題意，由二面角的定義，結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接．四面體為正四面體，為正三角形．又為的中點(diǎn)，．同理可得．平面，平面．又平面．（2）取的中點(diǎn)為，連接，設(shè)．由（1）得平面．平面．為二面角的平面角，為二面角的平面角，為二面角的平面角．由圖形對(duì)稱(chēng)性可判斷．易得．在中，．在中，．同理可得．．．二面角的平面角最大，其余弦值等于．1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且，則直線(xiàn)與平面所成角的正切值的最大值為.【答案】【分析】分析題目條件，點(diǎn)在線(xiàn)段的中垂面與底面的交線(xiàn)上，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，證明得平面，從而點(diǎn)在線(xiàn)段上；再由平面，為直線(xiàn)與平面所成的角，當(dāng)取得最小時(shí)，利用相似可得此時(shí)取得最大值為.【詳解】如圖，連接，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，因?yàn)?，則點(diǎn)在線(xiàn)段的中垂面與底面的交線(xiàn)上.可求得，所以，所以.又知，所以.又，直線(xiàn)和直線(xiàn)都在平面內(nèi)，所以平面，從而點(diǎn)在線(xiàn)段上.易得，平面，所以平面，所以為直線(xiàn)與平面所成的角，設(shè)為，則.設(shè)的最小值為點(diǎn)到的距離為，取得最小時(shí)，易得與相似，可知，所以，又，所以的最大值為.故答案為：2．（2024·廣東·一模）已知表面積為的球O的內(nèi)接正四棱臺(tái)，，，動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線(xiàn)BP與平面所成角的正弦值的最大值為．【答案】/【分析】先根據(jù)條件得到，進(jìn)而得到，，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)作出面，故為直線(xiàn)BP與平面所成角，再利用，得知當(dāng)與重合時(shí)，最小，再利用對(duì)頂角相等，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，分別是上下底面的中心，設(shè)球心為，半徑為，易知，由題知4πR2=8π，得到，又，，得到所以與重合，由，得到，所以，又，所以，因?yàn)槊妫妫?，又，，面，所以面，連接并延長(zhǎng)，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，又面，所以，又，面，所以面，連接，則為直線(xiàn)BP與平面所成的角，，在中，易知，，所以，所以當(dāng)最小時(shí)，直線(xiàn)BP與平面所成角的正弦值的最大值，又動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)與重合時(shí)，最小，此時(shí)為直線(xiàn)BP與平面所成的角，所以直線(xiàn)BP與平面所成角的正弦值的最大值為，

故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于點(diǎn)位置的確定，通過(guò)利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)作出面，從而得出為直線(xiàn)BP與平面所成角，再利用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求的最小值，即可確定點(diǎn)位置，從而解決問(wèn)題.3．（23-24高三下·湖南·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，平面平面為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且為的角平分線(xiàn)，則二面角的平面角的正切值的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，作出二面角的平面角，借助直角三角形的邊角關(guān)系可得，再在平面內(nèi)，利用圓的性質(zhì)求出最大時(shí)點(diǎn)位置即可計(jì)算得解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，如圖，由平面平面，平面平面，平面，則平面，而平面，于是，，又平面，因此平面，而平面，則，為二面角的平面角，在中，，則，則，在中，，從而，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作交直線(xiàn)于點(diǎn)，如圖，則點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，顯然，而，因此，又，則∽，于是，又，則，解得，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，最大，最小，，所以二面角的平面角的正切值的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作二面角的平面角可以通過(guò)垂線(xiàn)法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線(xiàn)，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．一、單選題1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知在三棱錐中，，則直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)，結(jié)合正四面體的性質(zhì)和線(xiàn)面角的定義與計(jì)算，即可求解.【詳解】設(shè)是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)在平面的射影是正三角形的中心D,再設(shè)，則，可得，則高，則直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值．故選：D.

2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且線(xiàn)段的長(zhǎng)度最小值為，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)即可求解最小值時(shí)，即可求解，利用平移可得為其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)與所成角，由余弦定理即可求解.【詳解】由于三棱柱為直三棱柱，所以底面,底面,所以,故,故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，線(xiàn)段的長(zhǎng)度最小值，由于線(xiàn)段的最小值為，故此時(shí)，為中點(diǎn)，故，連接,則,故為其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)與所成角，,,故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為故選：A3．（22-23高三下·江西·階段練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB為圓O的直徑，AB＝5，BC＝3，CD⊥平面ABC，E為AD的中點(diǎn)，且異面直線(xiàn)BE與AC所成角為60°，則點(diǎn)A到平面BCE的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】為中點(diǎn)，異面直線(xiàn)BE與AC所成角為，可得，由已知條件求解所需線(xiàn)段的長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)A到平面BCE的距離為，由，求解即可.【詳解】AB為圓O的直徑，AB＝5，BC＝3，∴，，CD⊥平面ABC，平面ABC，有，又∵，平面，∴平面，∵，平面，∴平面，為中點(diǎn)，連接，如圖所示，E為AD的中點(diǎn)，，，平面，平面，，異面直線(xiàn)BE與AC所成角為，∴，，∴，，，，，到平面的距離為，∴，，，設(shè)點(diǎn)A到平面BCE的距離為，由，∴.故選：C4．（2024·廣西桂林·三模）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑，在鱉臑中，平面，，且，為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖取的中點(diǎn)，可得，即異面直線(xiàn)與所成的角為，然后利用平面，可得兩直角三角形的斜邊中線(xiàn)長(zhǎng)，從而得到求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：∵分別為的中點(diǎn)，則且，∴異面直線(xiàn)與所成的角為或其補(bǔ)角．∵平面，平面，∴，，∴，同理可得，∴，∴，則,故選:C．5．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）如圖，正方體的邊長(zhǎng)為4，，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則（

）A．B．直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的正切值為C．直線(xiàn)與平面所成角的正切值為D．若，則正方體截平面所得截面面積為26【答案】BC【分析】本題四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，A選項(xiàng)利用在勾股定理判斷；B，C選項(xiàng)分別作出線(xiàn)線(xiàn)角，線(xiàn)面角算出正切值判斷是否正確；D選項(xiàng)面面平行的性質(zhì)的定理畫(huà)出完整的截面進(jìn)而計(jì)算面積即可.【詳解】在中，,在中，，，，∵，∴A錯(cuò)誤．∵，∴直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角等于，，∴B正確．因?yàn)槠矫?，且平面所以直線(xiàn)與平面所成角等于直線(xiàn)與平面所成角，，∴C正確．因?yàn)檎襟w的對(duì)面都是相互平行，且根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，在邊上作點(diǎn)使得，則平行四邊形為所求截面．在中，∴，，∴平行四邊形的面積為．∴D錯(cuò)誤．故選：BC二、多選題6．（22-23高三上·河北邢臺(tái)·期末）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，線(xiàn)段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，，使得B．異面直線(xiàn)與所成的角為60°C．三棱錐的體積為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BCD【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)、線(xiàn)線(xiàn)角、錐體體積、點(diǎn)面距等知識(shí)確定正確答案.【詳解】連接.A選項(xiàng)，平面，平面，，所以與是異面直線(xiàn)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，所以異面直線(xiàn)與所成的角為，由于三角形是等邊三角形，所以，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，設(shè)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，所以平面，所以到平面的距離為.，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，解得，D選項(xiàng)正確.故選：BCD三、填空題7．（22-23高二上·重慶南岸·期末）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點(diǎn).求點(diǎn)到平面的距離等于【答案】【分析】利用三棱錐的等積性、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)、面面垂直的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合直三棱柱的性質(zhì)、三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭侵比庵?，所以平面，而平面，所以，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以AD=12AB=2由勾股定理可得：，，因?yàn)槭堑冗吶切?，是棱的中點(diǎn).，所以，所以，因?yàn)椋裕虼耍驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，故答案為：四、解答題8．（2024·江蘇·二模）如圖，直三棱柱的體積為1，，，．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）法一：由線(xiàn)面垂直證明即可；法二：用空間直角坐標(biāo)系證明即可；（2）法一：過(guò)作于，連接，由已知得出為二面角的平面角，求解即可；法二：建立空間直角坐標(biāo)系求解．【詳解】（1）直三棱柱的體積為：，則，四邊形為正方形，法一：在直棱柱中，面，，又平面，則，因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以，在正方形中，有，因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以．法二：直棱柱，平面，又，以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以．（2）由（1）得，設(shè)，在中，過(guò)作于，連接，因?yàn)?，，平面，且，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?，，得，又在中，，得，，所以二面角的余弦值為．法二：，，，，，，，設(shè)平面的法向量：，則，取，得，，，設(shè)面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角的大小為，則：，因?yàn)闉殇J角，所以二面角余弦值為．9．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，且底面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】【分析】解法一：將直線(xiàn)與平面所成角轉(zhuǎn)化為與平面所成的角即可求解；解法二：設(shè)，由等體積法得出，由線(xiàn)面夾角定義即可求解；解法三：以平面為底面，為高，將原幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，再由線(xiàn)面夾角定義即可求解；解法四：向量法，以為原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用直線(xiàn)與平面夾角的向量公式求解即可．【詳解】解法一：如圖所示，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，故與平面所成的角相等，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，且，所以平面，又平面所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)在平面上的射影，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)?，平面平面，平面，所以平面，則即為與平面所成的角．設(shè)，則，由此可得，，則，由平面，平面，所以，在中，，則由等面積法得，，故，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．解法二：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，連接，則為與平面所成的角．設(shè)，則，則，，，，因?yàn)?，所以，由解法一得，，由可得，代入?shù)據(jù)得，故．解法三（補(bǔ)體法）：如圖所示，以平面為底面，為高，將原幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體（為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)）．設(shè)是的中點(diǎn)，則，點(diǎn)在平面上，又平面，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)在平面上的射影必在上，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)?，平面，所以平面，因此即為與平面所成的角，設(shè)，則，，在中，．解法四（向量法）：因?yàn)榈酌?，底面，所以，又因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，如圖所示，以為原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，可得，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，取，得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則．10．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）如圖1，菱形的邊長(zhǎng)為,將其沿折疊形成如圖2所示的三棱錐．(1)證明：三棱錐中，;(2)當(dāng)點(diǎn)A在平面的投影為的重心時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）構(gòu)造的中點(diǎn)，然后證明垂直于平面即可；（2）設(shè)的重心為點(diǎn)，將題目轉(zhuǎn)化為求，再反復(fù)使用勾股定理，求出和的長(zhǎng)度，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）記的中點(diǎn)為，由菱形的性質(zhì)，有，，所以，.而和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故垂直于平面.又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以.（2）設(shè)的重心為點(diǎn)，則垂直于平面.這表明直線(xiàn)與平面所成角等于，故所求正弦值即為的值.由于，，故，.從而，故.所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是.一、單選題1．（23-24高三上·江蘇南京·期中）已知矩形中，是邊的中點(diǎn)．和交于點(diǎn)，將沿折起，在翻折過(guò)程中當(dāng)與垂直時(shí)，異面直線(xiàn)和所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明三角形相似得到，進(jìn)而證明出線(xiàn)面垂直，面面垂直，作出輔助線(xiàn)，得到或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)和所成角，結(jié)合余弦定理求出答案【詳解】如圖1，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，故，故，又，故，所以，則，故．如圖2，將沿折起，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在翻折過(guò)程中，當(dāng)與垂直時(shí)，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面，連接，因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)和所成角，因?yàn)?，所以，故，則，又，故，即所求角的余弦值為，故選：D．二、多選題2．（2024·新疆·二模）如圖，在平行四邊形中，，且，為的中線(xiàn)，將沿BF折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，連接AE，DE，CE，且，則（

）A．平面 B．AE與平面所成角的正切值是C．BC與DE所成的角為 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】AB【分析】A.根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明平面；B.首先利用垂直關(guān)系說(shuō)明平面，即可說(shuō)明與平面所成的角為；C.根據(jù)平行關(guān)系，將異面直線(xiàn)所成角轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)所成角，或其補(bǔ)角即為與所成的角；D.利用等體積轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)?，且，所以，．又為的中線(xiàn)，所以，．因?yàn)?，所以．由題意，知，所以．又，且，平面，所以平面，故A正確；因?yàn)椋?，，所以平面．又，所以平面．所以與平面所成的角為．在中，，．所以，故B正確；因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角即為與所成的角，連接，在中，，，，所以由余弦定理，得．在中，由勾股定理，得．所以在中，，．由余弦定理的推論，得，所以，所以與所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，且，所以．又，所以．因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，所以由等體積法，得點(diǎn)到平面的距離為，故D錯(cuò)誤．故選：AB3．（2024·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形中，，將沿折起，使到達(dá)點(diǎn)的位置．已知三棱錐的外接球的球心恰是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與平面所成的角相等B．C．二面角的大小可能為D．若，則球的表面積為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)得平面，平面，根據(jù)可判斷A；可判斷B；做，得即為的平面角，若，則，推出矛盾可判斷C；根據(jù)，求出正方體的外接球半徑可判斷D.【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)是的外心，連接，則平面，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以平面，點(diǎn)是是的中點(diǎn)，，所以，又，所以，所以，故A正確；

對(duì)于B，，，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，，平面，所以平面，平面，所以，做，交于點(diǎn)，，平面，所以平面，平面，所以，所以即為的平面角，若，則，而在直角三角形中，斜邊，這是不可能的，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若，則，，所以，外接球半徑，，故D正確.

故選：ABD．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：球的性質(zhì)：①球的任何截面均為圓面；②球心和截面圓心的連線(xiàn)垂直于該截面.4．（23-24高一下·山東濟(jì)南·期中）已知正四棱臺(tái)的高為，，，則（

）A．正四棱臺(tái)的體積為B．二面角的大小為C．直線(xiàn)與平面ABCD所成角的正弦值為D．異面直線(xiàn)與所成角的正切值為2【答案】ABD【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，即可判斷A；設(shè)上、下底面的中心分別為，，分別取和的中點(diǎn)，，由二面角的定義知即為所求，再利用三角函數(shù)的知識(shí)，求解即可判斷B；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由線(xiàn)面角的定義知即為所求，再由三角函數(shù)的知識(shí)，求解即可判斷C；由知或其補(bǔ)角即為所求，再結(jié)合余弦定理，求解即可判斷D．【詳解】對(duì)于A：正四棱臺(tái)的體積，故A正確；對(duì)于B：設(shè)上、下底面的中心分別為，，則，分別取和的中點(diǎn)，，連接，，，則，，所以即為二面角的平面角，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，在中，，因?yàn)?，所以，所以二面角的大小為，故B正確；對(duì)于C：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，所以，，且即為直線(xiàn)與平面所成角，而，所以，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以與所成角就是異面直線(xiàn)與所成角，即或其補(bǔ)角就是所求，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，所以，，所以，在中，，則，所以，所以異面直線(xiàn)與所成角的正切值為，故D正確．故選：ABD．三、解答題5．（2024·陜西銅川·三模）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上靠近的三等分點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，由中位線(xiàn)證明線(xiàn)線(xiàn)平行，然后由線(xiàn)面平行的判定定理證明即可；（2）由線(xiàn)面垂直證明出，計(jì)算出三角形的面積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法求解即可.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，四邊形是正方形，為中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，平面平面平面.（2）平面，平面，.又四邊形是正方形，.又，平面，平面.又平面.點(diǎn)是的中點(diǎn)，.又，平面，平面.又平面.又易知...又是線(xiàn)段上靠近的三等分點(diǎn)，，.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得.點(diǎn)到平面的距離為.6．（22-23高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)M，N分別在，上，且，．

(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）分析題意，利用線(xiàn)面垂直的判定定理求解即可.（2）利用線(xiàn)面垂直找到線(xiàn)面角，放到三角形中求解正弦值，再求角度即可.【詳解】（1）

如圖，連接，∵，且，，∴，又因?yàn)橹比庵?，所以，所以面，故，所以四邊形是平行四邊形，而，所以平行四邊形是菱形，因?yàn)椋粤庑问钦叫?，∴．∵，，，面∴平面，∵平面，∴，又∵，面，∴平面．?）連接，由（1）知平面，∴是直線(xiàn)與平面所成角．由勾股定理得，，則，∴，故直線(xiàn)與平面所成角為．7．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，為矩形，為梯形，平面平面，.(1)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明:平面；(2)求異面直線(xiàn)與所成角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由三角形中位線(xiàn)可得線(xiàn)線(xiàn)平行，即可由線(xiàn)面平行的判定求證，（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線(xiàn)面垂直，進(jìn)而得線(xiàn)線(xiàn)垂直，即可求解長(zhǎng)度，由三角形的邊角關(guān)系即可求解.【詳解】（1）連接PC，交DE于，連接MN為矩形為的中點(diǎn)在中，M，N分別為PA，PC的中點(diǎn),因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面.（2）為矩形平面平面又平面，平面平面∴平面平面在Rt中又平面平面,所以平面,平面,故，在Rt中，由于，故直線(xiàn)與所成角即為從而直線(xiàn)與所成角為8．（2024·四川達(dá)州·二模）如圖，在直角梯形中，，把梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至分別為中點(diǎn).

(1)證明:平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）先證明平面平面，再用面面平行性質(zhì)得到線(xiàn)面平行.（2）用等體積法求解即可.【詳解】（1）證明:設(shè)中點(diǎn)為，連接

為中位線(xiàn)，，平面平面，平面，為梯形中位線(xiàn)，，平面平面，平面，平面平面EFG，平面平面，平面平面.（2）如圖連接,平面平面到平面的距離為3，.如圖可求得直角梯形中，可求得．由余弦定理求得為等邊三角形，則，同理．如圖等腰梯形中，得.

可求，設(shè)到平面的距離為，.到平面的距離為3.9．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，．(1)證明：；(2)若二面角的余弦值為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形得到和的關(guān)系，、和的長(zhǎng)度，根據(jù)側(cè)面是平行四邊形得到和，在中，由余弦定理得，判斷的形狀，證明平面，證明；（2）取的中點(diǎn)，記為D，連接，．證明，，平面，求出二面角的平面角，證明平面，記二面角為，表示出與的關(guān)系，找到和的關(guān)系，求出，求出，證明，求出.【詳解】（1）側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，，側(cè)面是平行四邊形，，在中，由余弦定理有，解得，是直角三角形，，，，平面，平面，又平面，；（2）取的中點(diǎn)，記為D，連接，，，，，，，，平面，平面，為二面角的平面角．又平面，，平面，記二面角為，則，，，．平面，，，，，的值為．10．（2024·貴州遵義·二模）通過(guò)化學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，純凈的金剛石是無(wú)色透明的正八面體形狀的固體，如圖1是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結(jié)構(gòu)示意圖，從圖中可以看出，組成金剛石的每個(gè)碳原子都與其相鄰的4個(gè)碳原子以完全相同的方式連接，從立體幾何的角度來(lái)看，可以認(rèn)為4個(gè)碳原子分布在一個(gè)所有棱長(zhǎng)都相等的正三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn)處，而中間的那個(gè)碳原子處于與這4個(gè)碳原子距離相等的位置，如圖2所示：(1)在金剛石的碳原子空間結(jié)構(gòu)圖（圖2）中，求直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值；(2)若四面體和正八面體的棱長(zhǎng)相等，現(xiàn)將兩幾何體拼接起來(lái)，使它們一個(gè)表面完全重合，得到一個(gè)新多面體，判斷新多面體為幾面體，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)七面體，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）把正四面體放入正方體中，利用余弦定理計(jì)算即得.（2）利用余弦定理求出二面角及二面角的余弦值，借助余弦值的關(guān)系確定共面即可推理得解.【詳解】（1）將正四面體放入正方體中，為正方體的中心，如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，在中，由余弦定理得：所以直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為.（2）新多面體為七面體.設(shè)四面體和正八面體的棱長(zhǎng)為1，在正四面體中，取中點(diǎn)為，連接，在正中，，同理，則為二面角的平面角，，在中，由余弦定理得：，在四棱錐中，取中點(diǎn)，連接，在正中，，同理，即即為二面角的平面角，而，在中，由余弦定理得：，于是二面角與二面角互補(bǔ)，同理得二面角的余弦值為，以平面與平面完全對(duì)應(yīng)重合為例，則，，，四點(diǎn)共面，同理，，，四點(diǎn)共面，，，，四點(diǎn)共面，所以將兩幾何體拼接起來(lái)，使它們一個(gè)表面完全重合，得到一個(gè)七面體.1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線(xiàn)，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過(guò)作底面垂線(xiàn)，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.2．（2024·上?！じ呖颊骖}）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）根據(jù)正四棱錐的數(shù)據(jù)，先算出直角三角形的邊長(zhǎng)，然后求圓錐的體積；（2）連接，可先證平面，根據(jù)線(xiàn)面角的定義得出所求角為，然后結(jié)合題目數(shù)量關(guān)系求解.【詳解】（1）正四棱錐滿(mǎn)足且平面，由平面，則，又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，根據(jù)圓錐的定義，繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，即圓錐的高為，底面半徑為，根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是（2）連接，由題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，由是中點(diǎn)，則，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直線(xiàn)與平面所成角的大小即為，不妨設(shè)，則，，又線(xiàn)面角的范圍是，故.即為所求.3．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）先證明平面，結(jié)合等體積法即可求解.【詳解】（1）由題意得，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，?又平面，所以平面，易知.在中，，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，得，故點(diǎn)到平面的距離為.4．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，從而，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證出；（2）過(guò)點(diǎn)D作于，再過(guò)點(diǎn)作于，連接，根據(jù)三垂線(xiàn)法可知，即為二面角的平面角，即可求得，再分別用的長(zhǎng)度表示出，即可解方程求出．【詳解】（1）（1）因?yàn)槠矫?，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所?因?yàn)?，所以，根?jù)平面知識(shí)可知，又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于，再過(guò)點(diǎn)作于，連接，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根?jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，即，即．因?yàn)椋O(shè)，則，由等面積法可得，，又，而為等腰直角三角形，所以，故，解得，即．5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線(xiàn)CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線(xiàn)面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線(xiàn)平面，則直線(xiàn)在平面內(nèi)的射影為直線(xiàn)，從而為直線(xiàn)與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線(xiàn)與平面所成的角的正切為.故選：C6．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，同理，所以為直角三角形，又因?yàn)椋?，所以，則為直角三角形，故，又因?yàn)椋琍A∩PB=P，所以平面.（2）由（1）平面，又平面，則，以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)且與平行的直線(xiàn)為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則y1=?1，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的大小為.7．（2023·全國(guó)·高考真題）（多選）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

8．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)【分析】(1)由平面得，又因?yàn)?，可證平面，從而證得平面平面；(2)過(guò)點(diǎn)作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平?所以,又因?yàn)?，即，平面?所以平面，又因?yàn)槠矫?所以平面平面.（2）如圖，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫?，平?所以,,又因?yàn)?，為公共邊，所以與全等，所以.設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．9．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面，再由勾股定理求出為中點(diǎn)，即可得證；（2）利用直角三角形求出的長(zhǎng)及點(diǎn)到面的距離，根據(jù)線(xiàn)面角定義直接可得正弦值.【詳解】（1）如圖，

底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，過(guò)作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距離為1，，在中，，設(shè)，則，為直角三角形，且，，，，，解得，，（2），，過(guò)B作，交于D，則為中點(diǎn)，由直線(xiàn)與距離為2，所以，，，在，，延長(zhǎng)，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，，平面，又平面，則在中，，，在中，，，,又到平面距離也為1，所以與平面所成角的正弦值為.10．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線(xiàn)面平行的判定推理作答.（2）法一：由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：過(guò)點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以由求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面與平面BEF的法向量，由即可證明；（3）法一：由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，

于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）法一：由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.法二：因?yàn)?，過(guò)點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，在中，，在中，，設(shè)，所以由可得：，可得：，所以，則，所以，，設(shè)平面的法向量為n1=則，得，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，所以平面平面BEF；

（3）法一：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.

法二：平面的法向量為，平面的法向量為，所以，因?yàn)?，所以，故二面角的正弦值?11．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線(xiàn)面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平