第04講 隨機(jī)事件、頻率與概率（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第04講隨機(jī)事件、頻率與概率（3類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新Ⅱ卷，第3題,5分抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計(jì)算分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡單應(yīng)用實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解隨機(jī)事件的定義2.能正確區(qū)分必然事件、不可能事件、互斥事件與對立事件3.理解頻率與概率的意義【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般結(jié)合后面學(xué)的互斥事件、獨(dú)立事件及概率的相關(guān)計(jì)算一起考查，需強(qiáng)化概念理解知識講解1．事件的分類確定事件必然事件在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機(jī)事件2.事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．考點(diǎn)一、事件的判斷1．從5個(gè)男生、2個(gè)女生中任意選派3人，則下列事件中是必然事件的是（

）A．3個(gè)都是男生 B．至少有1個(gè)男生 C．3個(gè)都是女生 D．至少有1個(gè)女生【答案】B【分析】根據(jù)題意及必然事件的概念即可得解．【詳解】從5個(gè)男生、2個(gè)女生中任選派3人，由于女生只有2名，故至少有1個(gè)男生是必然事件，故選：B．2．有下列事件：①連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面朝上；②異性電荷相互吸引；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在結(jié)冰；④買了一注彩票就得了特等獎(jiǎng)．其中是隨機(jī)事件的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)事件的知識求得正確答案.【詳解】①④是隨機(jī)事件，②為必然事件，③為不可能事件.故選：B1．判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？（1）拋擲一塊石子，下落；.（2）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰融化；（3）某人射擊一次，中靶；（4）如果，那么；（5）擲兩枚硬幣，均出現(xiàn)反面；（6）拋擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為15；（7）從分別標(biāo)有號數(shù)1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號簽；（8）某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；（9）綠葉植物，不會光合作用；（10）在常溫下，焊錫熔化；（11）若為實(shí)數(shù)，則；（12）某人開車通過十個(gè)路口，都遇到綠燈；其中必然事件有；不可能事件有；隨機(jī)事件有【答案】（1）、（4）、（11）（2）、（6）、（9）、（10）（3）、（5）、（7）、（8）、（12）【分析】由必然事件，不可能事件以及隨機(jī)事件的概念逐一判斷即可.【詳解】（1）拋擲一塊石子，下落，是必然事件；（2）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí)，冰不可能融化，是不可能事件；（3）某人射擊一次，可能中靶，也可能不中靶，是隨機(jī)事件；（4）如果，那么必然成立，是必然事件；（5）擲兩枚硬幣，有四種情況，均出現(xiàn)反面可能發(fā)生也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件；（6）拋擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和最大為12，所以點(diǎn)數(shù)之和為15不可能發(fā)生，是不可能事件；（7）從分別標(biāo)有號數(shù)1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，有5種情況，得到4號簽是隨機(jī)事件；（8）某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到呼叫次數(shù)不確定，所以收到2次呼叫是隨機(jī)事件；（9）綠葉植物，都會光合作用，所以是不可能事件；（10）焊錫熔點(diǎn)一般為183度，所以常溫不可能熔化，是不可能事件；（11）若為實(shí)數(shù)，則必然成立，是必然事件；（12）某人開車通過十個(gè)路口，紅綠燈都可能遇到，所以都遇到紅燈是隨機(jī)事件；故答案為：（1）、（4）、（11）；（2）、（6）、（9）、（10）；（3）、（5）、（7）、（8）、（12）考點(diǎn)二、事件的關(guān)系和運(yùn)算1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）對于兩個(gè)事件，則事件表示的含義是（

）A．A與B同時(shí)發(fā)生 B．A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生C．A與B至少一個(gè)發(fā)生 D．A與B不能同時(shí)發(fā)生【答案】C【分析】根據(jù)事件之間的和事件關(guān)系，可得答案.【詳解】由表示的是與中至少一個(gè)發(fā)生.故選：C.2．（2023·四川宜賓·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（

）A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對立事件C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對立事件【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件定義判斷求解.【詳解】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,事件3可表示為：,事件4可表示為：,因?yàn)?，所以事?與事件3不互斥，A錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录?，為必然事件，所以事?與事件2互為對立事件，B正確；因?yàn)?，所以事?與事件3不互斥，C錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录粸楸厝皇录?，所以事?與事件4不互為對立事件，D錯(cuò)誤；故選：B.3．（21-22高一下·河南安陽·期末）從一批產(chǎn)品中逐個(gè)不放回地隨機(jī)抽取三件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“三件產(chǎn)品全不是次品”，事件B為“三件產(chǎn)品全是次品”，事件C為“三件產(chǎn)品不全是次品”，事件D為“第一件是次品”則下列結(jié)論正確的是（

）A．B與D相互獨(dú)立 B．B與C相互對立C． D．【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件，相互獨(dú)立事件的定義逐個(gè)判斷即可.【詳解】為三件產(chǎn)品全部是次品，指的是三件產(chǎn)品都是正品，為三件全是次品，為三件產(chǎn)品不全是次品，包括一件次品，兩件次品，三件全是正品三個(gè)事件，為第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，兩件次品，三件次品三個(gè)事件.由此可知與是互斥事件，與是包含，不是互斥，與對立故選:B.4．（21-22高一下·全國·開學(xué)考試）（多選）在12件同類產(chǎn)品中，有9件正品和3件次品，從中任意抽出3件產(chǎn)品，設(shè)事件“3件產(chǎn)品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與為對立事件 B．與不是互斥事件C． D．【答案】ABC【分析】通過分析事件，從而判斷事件的關(guān)系.【詳解】從中任意抽出3件產(chǎn)品，共有4種情況：3件產(chǎn)品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件產(chǎn)品都是正品.事件的可能情況有：3件產(chǎn)品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，事件的可能情況有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件產(chǎn)品都是正品.與為對立事件，故A正確；{2件次品1件正品，1件次品2件正品}，則與不是互斥事件，故B正確；，，故C正確；由上知，故D錯(cuò)誤.故選：ABC5．（2024·河北滄州·一模）（多選）某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的課外活動(dòng)，為同學(xué)們舉辦了四種科普活動(dòng)：科技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫．記事件：只參加科技游藝活動(dòng)；事件：至少參加兩種科普活動(dòng)；事件：只參加一種科普活動(dòng)；事件：一種科普活動(dòng)都不參加；事件：至多參加一種科普活動(dòng)，則下列說法正確的是（

）A．與是互斥事件 B．與是對立事件C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念判斷AB的真假，根據(jù)事件的交、并的概念判斷CD的真假.【詳解】對A：互斥事件表示兩事件的交集為空集.事件：只參加科技游藝活動(dòng)，與事件：一種科普活動(dòng)都不參加，二者不可能同時(shí)發(fā)生，交集為空集，故A正確；對B：對立事件表示兩事件互斥且必定有一個(gè)發(fā)生.事件和事件滿足兩個(gè)特點(diǎn)，故B正確；對C：表示：至多參加一種科普活動(dòng)，即為事件，故C正確；對D：表示：只參加一種科普活動(dòng)，但不一定是科技游藝活動(dòng)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）不透明盒子中裝有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球、2個(gè)白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)取2個(gè)球．記事件：至少一個(gè)紅球，事件：一個(gè)紅球一個(gè)白球，則下列說法正確的是（

）A． B．C．與互斥 D．與獨(dú)立【答案】B【分析】根據(jù)事件：至少一個(gè)紅球，則存在兩種情況，有一個(gè)紅球和一個(gè)白球，有兩個(gè)紅球；事件：一個(gè)紅球一個(gè)白球，根據(jù)事件的基本關(guān)系理解發(fā)生，一定發(fā)生，發(fā)生，不一定發(fā)生即可判斷和事件，積事件，互斥關(guān)系，獨(dú)立關(guān)系．【詳解】解：現(xiàn)從盒子里隨機(jī)取2個(gè)球．記事件：至少一個(gè)紅球，則存在兩種情況，有一個(gè)紅球和一個(gè)白球，有兩個(gè)紅球；A．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．，故選項(xiàng)正確，符合題意；C．，故與不互斥，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．，即發(fā)生，一定發(fā)生，發(fā)生，不一定發(fā)生，故與不獨(dú)立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．2．（2023·四川內(nèi)江·三模）一個(gè)人連續(xù)射擊次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是（

）A．事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件C．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件D．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件【答案】D【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，分析各個(gè)選項(xiàng)的內(nèi)容即可得到答案.【詳解】一個(gè)人連續(xù)射擊次，其可能結(jié)果為擊中次，擊中次，擊中次，其中“至少一次擊中”包括擊中一次和擊中兩次，事件“兩次均擊中”包含于事件“至少一次擊中”，故A錯(cuò)誤；事件“第一次擊中”包含第一次擊中且第二次沒有擊中，或第一、二次都擊中，事件“第二次擊中”包含第二次擊中且第一次沒有擊中，或第一、二次都擊中，故B錯(cuò)誤；事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”可以同時(shí)發(fā)生，故C錯(cuò)誤；事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件，故D正確；故選：D3．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（

）A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B．至少有一本政治與都是政治C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D．恰有1本政治與恰有2本政治【答案】D【分析】總的可能的結(jié)果為“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，然后寫出各個(gè)事件包含的事件，結(jié)合互斥事件與對立事件的概念，即可得出答案.【詳解】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”.對于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學(xué)”是對立事件，故A錯(cuò)誤；對于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對于C，事件“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事件：“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，因此兩個(gè)事件都包含事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；對于D，“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對立，故D正確.故選:D.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）同時(shí)拋擲兩顆骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記“點(diǎn)數(shù)之和為5”是事件，“點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件，則（

）A．為不可能事件 B．與為互斥事件C．為必然事件 D．與為對立事件【答案】B【分析】利用事件的基本關(guān)系判斷即可.【詳解】同時(shí)拋擲兩顆骰子，有36個(gè)結(jié)果，“點(diǎn)數(shù)之和為5”是事件有共有4種情況；“點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件有共有9種情況；對于選項(xiàng)A:表示“點(diǎn)數(shù)之和為5或是4的倍數(shù)”，不是不可能事件.故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：A與B不可能同時(shí)發(fā)生．故B正確；對于選項(xiàng)C：表示“點(diǎn)數(shù)之和為5且是4的倍數(shù)”，是不可能事件，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：與不能包含全部基本事件，故D錯(cuò)誤.故選:B．5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）（多選）某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，記事件為“第一次中靶”，事件為“至少一次中靶”，事件為“至多一次中靶”，事件為“兩次都沒中靶”.下列說法正確的是（

）A． B．與是互斥事件C． D．與是互斥事件，且是對立事件【答案】AD【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意可知，事件為“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”“兩次都沒有中靶”；事件為“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”；事件為“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都沒有中靶”；事件為“兩次都沒中靶”；故，與不是互斥事件，與是互斥事件，且是對立事件，.故選:：AD.考點(diǎn)三、頻率與概率1．（2022·山東威?！と＃┘?、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個(gè)網(wǎng)站查看這家健身房的評價(jià)．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評價(jià)，其中好評率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評價(jià)，其中好評率為．綜合考慮這兩個(gè)網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計(jì)算可得.【詳解】由已知可得這家健身房的總好評率為.故選：B.2．（22-23高二上·湖北武漢·期中）在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（

）A．0.55，0.55 B．0.55，0.5 C．0.5，0.5 D．0.5，0.55【答案】B【分析】根據(jù)頻率的計(jì)算公式可求得頻率，結(jié)合概率的含義可確定概率，即得答案.【詳解】某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為,由于每次拋硬幣時(shí)，正面朝上和反面朝上的機(jī)會相等，都是,故出現(xiàn)正面朝上的概率為,故選︰B．3．（2021·全國·模擬預(yù)測）某超市計(jì)劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25℃，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20℃，需求量為100瓶．為了確定6月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年6月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)45253818以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．若6月份這種冷飲一天的需求量不超過x瓶的概率估計(jì)值為0.1，則x=（

）A．100 B．300 C．400 D．600【答案】B【分析】根據(jù)頻數(shù)分布表確定概率【詳解】這種冷飲一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25℃的頻率為，所以6月份這種冷飲一天的需求量不超過300瓶的概率估計(jì)值為0.1.故選：B．1．（23-24高二上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）某人拋擲一枚硬幣80次，結(jié)果正面朝上有43次.設(shè)正面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的概率為．【答案】/【分析】由題意知硬幣正反面出現(xiàn)的機(jī)會是均等的，即可得答案.【詳解】由題意可知事件A出現(xiàn)的頻率為，而概率是大量試驗(yàn)中，頻率趨于的一個(gè)穩(wěn)定值，由于硬幣正反面出現(xiàn)的機(jī)會是均等的，故事件A出現(xiàn)的概率為，故答案為：2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·期中）在一次男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)甲獲得冠軍的概率，先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝?經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.【答案】【分析】由13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，從而估計(jì)出概率.【詳解】20組數(shù)據(jù)中，共13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，故估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.故答案為：3．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）在一個(gè)口袋中放有個(gè)白球和個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學(xué)生分別從口袋中每次摸一個(gè)球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計(jì)概率，若從口袋中隨機(jī)摸1個(gè)球，則摸到紅球概率的估計(jì)值為．（小數(shù)點(diǎn)后保留一位小數(shù)）【答案】0.7【分析】以頻率估計(jì)概率，直接運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，摸到紅球的次數(shù)共348次，所以摸到紅球概率的估計(jì)值為.故答案為：0.71．（22-23高二下·湖北荊州·階段練習(xí)）在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（

）A．0.56，0.56 B．0.56，0.5C．0.5，0.5 D．0.5，0.56【答案】B【分析】根據(jù)頻率和概率的定義求解.【詳解】某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為，由于每次拋硬幣時(shí)，正面朝上和反面朝上的機(jī)會相等，都是，故出現(xiàn)正面朝上的概率為．故選:B．2．（24-25高三上·重慶·開學(xué)考試）某池塘中飼養(yǎng)了A?B兩種不同品種的觀賞魚，假設(shè)魚群在池塘里是均勻分布的.在池塘的東?南?西三個(gè)采樣點(diǎn)捕撈得到如下數(shù)據(jù)（單位：尾），若在采樣點(diǎn)北捕撈到20尾魚，則品種A約有（

）采樣點(diǎn)品種A品種B東209南73西178A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾【答案】C【分析】根據(jù)魚群在池塘里是均勻分布的，利用頻率求解.【詳解】解：因?yàn)轸~群在池塘里是均勻分布的，所以品種A約所占比為：，所以在采樣點(diǎn)北捕撈到20尾魚，則品種A約有尾，故選：C3．（23-24高二上·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）下列說法：①必然事件的概率為．②如果某種彩票的中獎(jiǎng)概率為，那么買張這種彩票一定能中獎(jiǎng)．③某事件的概率為．④互斥事件一定是對立事件．其中正確的說法是（

）A．①②③④ B．① C．③④ D．①④【答案】B【分析】由必然事件的概念即可判斷①；根據(jù)互斥事件概率的計(jì)算公式即可判斷②；由隨機(jī)事件概率的性質(zhì)即可判斷③；根據(jù)互斥事件和對立事件的區(qū)別與聯(lián)系即可判斷④；【詳解】根據(jù)必然事件和不可能事件的定義可知，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故①正確；根據(jù)隨機(jī)事件的概率可知，買10張這種彩票也會有的可能性不中獎(jiǎng)，所以②錯(cuò)誤；根據(jù)隨機(jī)事件概率的性質(zhì)可知，某事件的概率取值范圍為，即③錯(cuò)誤；互斥事件和對立事件都不可能同時(shí)發(fā)生，但對立事件兩者必發(fā)生其一，而互斥事件還可能發(fā)生其他情況，所以互斥事件不一定是對立事件，即④錯(cuò)誤；故選：B4．（23-24高二上·河南信陽·階段練習(xí)）同時(shí)擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有()A． B． C． D．與之間沒有關(guān)系【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合列舉法求得事件和事件，進(jìn)而得到兩事件的關(guān)系，得到答案.【詳解】由同時(shí)拋擲兩枚硬幣，基本事件的空間為{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以.故選：C.5．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知事件滿足，，則（

）A．若，則B．若與互斥，則C．若與相互獨(dú)立，則D．若，則與不相互獨(dú)立【答案】B【分析】根據(jù)事件的包含關(guān)系，互斥事件的概率加法，以及獨(dú)立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A，若，則，所以A錯(cuò)誤；對于B，若與互斥，則，所以B正確；對于C，若與相互獨(dú)立，可得與相互獨(dú)立，所以，所以C錯(cuò)誤；對于D，由，可得，所以，所以，所以與相互獨(dú)立，所以D錯(cuò)誤.故選：B.6．（23-24高二下·上?！て谥校┏鼍砝蠋熃裉熨I了一張刮刮樂彩票，刮出500元的概率是，則這件事發(fā)生（填“必然”、“可能”或“不可能”）.【答案】可能【分析】根據(jù)題意，由隨機(jī)事件的定義即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)概率的意義，刮出500元的概率是，表示刮出500元的可能性是，所以這件事可能發(fā)生.故答案為：可能7．（22-23高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）有下列事件：①在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到時(shí)會沸騰；②實(shí)數(shù)的絕對值不小于零；③某彩票中獎(jiǎng)的概率為，則買100000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)；④連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)向上．其中必然事件是．【答案】②【分析】根據(jù)必然事件一定會發(fā)生逐個(gè)判斷即可【詳解】因?yàn)樵跇?biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃才會沸騰，所以①不是必然事件；因?yàn)閷?shí)數(shù)的絕對值不小于零，所以②是必然事件；因?yàn)槟巢势敝歇?jiǎng)的概率為，僅代表可能性，所以買100000張這種彩票不一定能中獎(jiǎng)，即③不是必然事件；拋擲一枚骰子，每一面出現(xiàn)都是隨機(jī)的，所以④是隨機(jī)事件故答案為：②8．（2020高三·全國·專題練習(xí)）“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對該地區(qū)群眾對“鍵盤俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有14人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對態(tài)度，若該地區(qū)有9600人，則可估計(jì)該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的有人．【答案】6912【解析】計(jì)算出對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的頻率，由此計(jì)算出該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的人數(shù).【詳解】在隨機(jī)抽取的50人中，持反對態(tài)度的頻率為，則可估計(jì)該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的有9600×＝6912（人）．故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用頻率進(jìn)行估計(jì)，屬于基礎(chǔ)題.9．（2023·全國·模擬預(yù)測）在對于一些敏感性問題調(diào)查時(shí)，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的個(gè)黑球和個(gè)白球，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個(gè)球，若摸到黑球則需要如實(shí)回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實(shí)回答問題二：你是否在考試中做過弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．則問題二“考試是否做過弊”回答“是”的百分比為（以人的頻率估計(jì)概率）．【答案】/【分析】計(jì)算出摸到黑球且回答“是”的人數(shù)，可求得摸到白球且回答“是”的人數(shù)，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，每名調(diào)查者從袋子中抽到個(gè)白球或黑球的概率均為，所以，人中回答第一個(gè)問題的人數(shù)為，則另外人回答了第二個(gè)問題，在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率為，即摸到黑球且回答“是”的人數(shù)為，則摸到白球且回答“是”的人數(shù)為，所以，問題二“考試是否做過弊”且回答“是”的百分比為.故答案為：.10．（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)是4或5或6”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件B，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3或4”為事件C，“向上的點(diǎn)數(shù)大于3”為事件D，則下列結(jié)論正確的是.（填序號）①A與B是互斥事件，但不是對立事件；②；③A與C是互斥事件；④.【答案】①②④【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件，事件的包含關(guān)系，事件相等的定義判斷各命題即可.【詳解】試驗(yàn)的樣本空間，根據(jù)題意，，，，.因?yàn)?，，所以A與B是互斥事件，但不是對立事件，故①正確；因?yàn)椋?，所以，故②正確；因?yàn)?，所以A與C不是互斥事件，故③錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故④正確.故答案為：①②④.1．某超市計(jì)劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān)．如果最高氣溫不低于，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間內(nèi)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于，需求量為100瓶．為了確定6月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年6月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)36253818將最高氣溫位于各區(qū)間的頻率視為最高氣溫位于該區(qū)間的概率，若6月份這種冷飲一天的需求量不超過x瓶的概率估計(jì)值為0.1，則（

）A．100 B．300 C．400 D．600【答案】B【詳解】命題意圖

本題考查用樣本頻率估計(jì)總體的概率．解析

由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于的頻率為，所以6月份這種冷飲一天的需求量不超過300瓶的概率估計(jì)值為0.1．2．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，則，，可判斷A,C;事件B與D是互斥事件,判斷B;表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判斷D.【詳解】至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，故，，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故，故B正確，表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D錯(cuò)誤，故選：D.3．（23-24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)為”，其中；“點(diǎn)數(shù)不大于2”，“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)大于4”下列結(jié)論是判斷錯(cuò)誤的是

（

）A．與互斥 B．，C． D．，為對立事件【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷AD，由事件的運(yùn)算判斷B，由事件間關(guān)系判斷C.【詳解】由題意與不可能同時(shí)發(fā)生，它們互斥，A正確；中點(diǎn)數(shù)為1或2，中點(diǎn)數(shù)為3，4，5或6，因此它們的并是必然事件，但它們不可能同時(shí)發(fā)生，因此為不可能事件，B正確；發(fā)生時(shí)，一定發(fā)生，但發(fā)生時(shí)，可能不發(fā)生，因此，C正確；與不可能同時(shí)發(fā)生，但也可能都不發(fā)生，互斥不對立，D錯(cuò)誤；故選：D．4．（多選）某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該籃球運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀，投中三分球?yàn)槭录﨎，沒投中為事件C，用頻率估計(jì)概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出事件A，B的頻率即得對應(yīng)概率，再用互斥事件的加法公式計(jì)算，然后逐一判斷得解.【詳解】依題意，，，顯然事件A，B互斥，，事件B，C互斥，則，于是得選項(xiàng)A，B，C都正確，選項(xiàng)D不正確.故選：ABC.5．（2024·云南昆明·三模）（多選）在一個(gè)有限樣本空間中，事件發(fā)生的概率滿足，，A與互斥，則下列說法正確的是（

）A． B．A與相互獨(dú)立C． D．【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)互斥得到，；B選項(xiàng)，根據(jù)求出，故，B正確；C選項(xiàng)，A與互斥，故與互斥，故C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)求出D正確.【詳解】A選項(xiàng)，A與互斥，故，，則包含事件，故，A正確；B選項(xiàng)，，即，故，故，A與相互獨(dú)立，B正確；C選項(xiàng)，A與互斥，故與互斥，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，因?yàn)椋?，D正確.故選：ABD一、單選題1．（重慶·高考真題）從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）12512012210513011411695120134，則樣本數(shù)據(jù)落在[114.5，124.5）內(nèi)的頻率為A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】C【詳解】試題分析：從所給的十個(gè)數(shù)字中找出落在所要求的范圍中的數(shù)字，共有4個(gè)，利用這個(gè)頻數(shù)除以樣本容量，得到要求的頻率．解：∵在12512012210513011411695120134十個(gè)數(shù)字中，樣本