第20講 新高考新結構命題下的圓錐曲線解答題綜合訓練（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page新高考新結構命題下的圓錐曲線解答題綜合訓練（7類核心考點精講精練）在新課標、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。當前的高考試題設計，以“三維”減量增質為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時，提升題目的質量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個方面：三考題目設計著重考查學生的知識主干、學習能力和學科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學生的實際水平。三重強調對學生思維深度、創(chuàng)新精神和實際應用能力的考查，鼓勵學生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個人的獨特見解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對學生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設計的題目，引導學生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對新高考新結構試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數(shù)，無法提前預知。圓錐曲線版塊作為一個重要的考查領域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，易于學生入手。同樣不能忽視的是，圓錐曲線版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學生的解題能力和思維深度，難度自然相應加大。面對如此多變的命題趨勢，教師在教學備考過程中必須與時俱進。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應對，根據(jù)試題的實際情況調整教學策略。本文基于新高考新結構試卷的特點，結合具體的圓錐曲線解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的圓錐曲線解答題綜合訓練指南，以期在新高考中取得更好的成績?？键c一、弦長及面積問題1．（2024·浙江·二模）已知點為拋物線與圓在第一象限的交點，另一交點為.(1)求；(2)若點在圓上，直線為拋物線的切線，求的周長．2．（2024·江西·模擬預測）已知雙曲線的離心率為2，頂點到漸近線的距離為．(1)求的方程；(2)若直線交于兩點，為坐標原點，且的面積為，求的值．3．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知雙曲線與橢圓共焦點，點、分別是以橢圓半焦距為半徑的圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限的交點，若點滿足，（為坐標原點），(1)求雙曲線的離心率；(2)求的面積.4．（2024·河北·模擬預測）已知直線過橢圓的右焦點，且交于兩點．(1)求的離心率；(2)設點，求的面積．5．（2024·四川南充·一模）已知動點與定點的距離和P到定直線的距離的比是常數(shù)，記點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標準方程；(2)設點，若曲線C上兩點M，N均在x軸上方，且，，求直線FM的斜率.6．（2024·陜西安康·模擬預測）已知橢圓的左?右頂點分別為，左?右焦點分別為是橢圓上一點，，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)若過右焦點的直線與橢圓交于點，直線交于點，求當時，的值.考點二、中點弦問題1．（2024·貴州黔南·二模）已知拋物線：（）的焦點為，過焦點作直線交拋物線于兩點，為拋物線上的動點，且的最小值為1.(1)拋物線的方程；(2)若直線交拋物線的準線于點，求線段的中點的坐標.2．（2024·云南昆明·模擬預測）已知雙曲線E：的右焦點為，一條漸近線方程為．(1)求雙曲線E的方程；(2)是否存在過點的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點，且使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．3．（2024·浙江·模擬預測）已知雙曲線C:，圓，其中.圓與雙曲線有且僅有兩個交點，線段的中點為.(1)記直線的斜率為，直線的斜率為，求.(2)當直線的斜率為3時，求點坐標.4．（23-24高二上·黑龍江佳木斯·期中）已知橢圓的兩個焦點分別為，且橢圓過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作直線交橢圓于兩點，是弦的中點，求直線的方程.5．（2024·河北滄州·模擬預測）已知直線與橢圓相交于兩點，為弦的中點，為坐標原點，直線的斜率記為.(1)證明：；(2)若，焦距為.①求橢圓的方程；②若點為橢圓的右頂點，，且直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，求直線的方程.6．（2024·山西長治·模擬預測）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為，且該橢圓過點(1)求橢圓E的方程；(2)若AB的中點坐標為，求直線l的方程；(3)若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點R為線段PQ的中點，求證：四邊形ARQF為梯形.考點三、軌跡問題1．（2024·廣東·模擬預測）已知，直線交于點，且直線的斜率之積為，點的軌跡記為曲線．(1)求的方程．(2)不過點的直線與交于兩點，且直線與的斜率之和為，試問直線是否過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．2．（2024·河北衡水·模擬預測）已知圓，過的直線與圓交于兩點，過作的平行線交直線于點.(1)求點的軌跡的方程；(2)過作兩條互相垂直的直線交曲線于交曲線于，連接弦的中點和的中點交曲線于，若，求的斜率.3．（2024·浙江溫州·三模）已知直線與雙曲線相切于點.(1)試在集合中選擇一個數(shù)作為的值，使得相應的的值存在，并求出相應的的值；(2)過點與垂直的直線分別交軸于兩點，是線段的中點，求點的軌跡方程.4．（2024·云南·模擬預測）橢圓的左?右焦點分別為，點在橢圓上運動（與左?右頂點不重合），已知的內切圓圓心為，延長交軸于點.(1)當點運動到橢圓的上頂點時，求；(2)當點在橢圓上運動時，為定值，求內切圓圓心的軌跡方程；(3)點關于軸對稱的點為，直線與相交于點，已知點的軌跡為，過點的直線與曲線交于兩點，試說明：是否存在直線，使得點為線段的中點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.5．（2024·山東菏澤·模擬預測）已知在平面直角坐標系中，一直線與從原點出發(fā)的兩條象限角平分線（一、四象限或二、三象限的角平分線）分別交于，兩點，且滿足，線段的中點為，記點的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)點，，，過點的一條直線與交于、兩點，直線，分別交直線于點，，且滿足，，證明：為定值.6．（2024·陜西安康·模擬預測）已知拋物線的準線方程為，直線l與C交于A，B兩點，且（其中O為坐標原點），過點O作交AB于點D.(1)求點D的軌跡E的方程；(2)過C上一點作曲線E的兩條切線分別交y軸于點M，N，求面積的最小值.考點四、定點定直線問題1．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．(1)求的方程；(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為，證明直線過定點，并求出這個定點．2．（2024·北京·三模）已知橢圓的短軸長為，左、右頂點分別為，過右焦點的直線交橢圓于兩點（不與重合），直線與直線交于點．(1)求橢圓的方程；(2)求證：點在定直線上.3．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點在上．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于不同的兩點，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，證明：直線過定點．4．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，，動點P滿足，設點P的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線l與曲線在y軸右側交于不同的兩點M，N，在線段MN上取異于點M，N的點D，滿足．證明：點D在定直線上．5．（2024·湖南·三模）已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點，.(1)求E的方程；(2)直線，過l上一點P作E的兩條切線，切點分別為M，N.求證：直線過定點，并求出該定點坐標.6．（2024·河北保定·二模）已知拋物線的焦點為，過作互相垂直的直線，分別與交于和兩點（A，D在第一象限），當直線的傾斜角等于時，四邊形的面積為．(1)求C的方程；(2)設直線AD與BE交于點Q，證明：點在定直線上．考點五、定值問題1．（2024·山東泰安·模擬預測）已知橢圓的焦距為，點在上．(1)求的方程；(2)點是的左頂點，直線交于兩點，分別交直線于點，線段的中點為，直線與軸相交于點，直線的斜率為，求證：為定值．2．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知分別為橢圓的左頂點和上頂點，過點作一條斜率存在且不為0的直線與軸交于點，該直線與的一個交點為，與曲線的另一個交點為．(1)若平分，求的內切圓半徑；(2)設直線與的另一個交點為，則直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；否則，說明理由．3．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線C的中心是坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過A?2,0，兩點．(1)求C的方程；(2)設P，M，N三點在C的右支上，，，證明：（?。┐嬖诔?shù)，滿足；（ⅱ）的面積為定值．4．（2024·河南濮陽·模擬預測）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．(1)求的方程；(2)若過點的直線與的左、右兩支分別交于兩點，與拋物線交于兩點，試問是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請說明理由．5．（2024·山東濟南·三模）如圖所示，拋物線的準線過點，(1)求拋物線的標準方程;(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，作線段的垂直平分線交軸于點，證明:為定值，并求此定值.6．（2024·廣西貴港·模擬預測）已知兩條拋物線，．(1)求與在第一象限的交點的坐標．(2)已知點A，B，C都在曲線上，直線AB和AC均與相切．（?。┣笞C：直線BC也與相切．（ⅱ）設直線AB，AC，BC分別與曲線相切于D，E，F(xiàn)三點，記的面積為，的面積為．試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．考點六、最值及范圍問題1．（2024·全國·模擬預測）已知是坐標原點，拋物線的焦點為，點在上，線段是圓的一條直徑，且的最小值為．(1)求的方程；(2)過點作圓的兩條切線，與分別交于異于點的點，求直線斜率的最大值．2．（2024·全國·三模）如圖，動直線與拋物線：交于A，B兩點，點C是以AB為直徑的圓與的一個交點（不同于A，B），點C在AB上的投影為點M，直線為的一條切線.

(1)證明：為定值；(2)求與的內切圓半徑之和的取值范圍.3．（2024·內蒙古赤峰·二模）已知點P為圓上任意一點，線段PA的垂直平分線交直線PC于點M，設點M的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程;(2)若過點M的直線l與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點，且M為線段ST的中點.(i)證明：直線l與曲線H有且僅有一個交點；(ii)求的取值范圍.4．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知雙曲線一個頂點為，直線過點且交雙曲線右支于兩點，記的面積分別為.當與軸垂直時，(1)求雙曲線的標準方程；(2)若交軸于點，，.①求證：為定值；②若，當時，求實數(shù)的取值范圍.5．（2024·重慶·三模）已知F，C分別是橢圓的右焦點、上頂點，過原點的直線交橢圓于A，B兩點，滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設橢圓的下頂點為，過點作兩條互相垂直的直線，這兩條直線與橢圓的另一個交點分別為M，N，設直線的斜率為的面積為，當時，求的取值范圍．6．（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．(1)求的方程．(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過定點；（ii）求面積的最大值．考點七、新定義問題1．（2024·山東青島·三模）在平面內，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標原點，雙曲線的左、右焦點分別為的離心率為2，點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于兩點，當軸時，直線為的等線.(1)求的方程;(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;(3)設，點的軌跡為曲線，證明:在點處的切線為的等線2．（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.(1)若圓是直線族的包絡曲線，求滿足的關系式；(2)若點Px0,y0不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡曲線(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點作曲線的切線，其交點為.已知點C0,1，若三點不共線，探究是否成立？請說明理由.3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設，作出“橢圓”的圖形，設此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為，過作直線交于兩點，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．4．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在平面直角坐標系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點變換為點的坐標，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示.(1)如圖，在平面直角坐標系中，將點繞原點按逆時針旋轉角得到點（到原點距離不變），求坐標變換公式及對應的二階矩陣；(2)在平面直角坐標系中，求雙曲線繞原點按逆時針旋轉（到原點距離不變）得到的雙曲線方程；(3)已知由（2）得到的雙曲線，上頂點為，直線與雙曲線的兩支分別交于，兩點（在第一象限），與軸交于點.設直線，的傾斜角分別為，，求證：為定值.5．（2024·江西新余·二模）通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉角得到點P，(1)已知平面內點，點，把點B繞點A逆時針旋轉得到點P，求點P的坐標：(2)已知二次方程的圖像是由平面