第九章 計數(shù)原理、統(tǒng)計與概率（模塊綜合調研卷）（A4版-教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第九章計數(shù)原理、統(tǒng)計與概率（模塊綜合調研卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知隨機變量，若隨機變量，則（

）A．10 B．12 C．30 D．32【答案】B【分析】利用二項分布的期望公式和兩隨機變量的線性關系即可求解.【詳解】由題意可得，則．故選：B.2．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出通項，令，再求展開式中系數(shù)為1時的系數(shù)，然后相乘即可；【詳解】，項對應，，項對應系數(shù)為，故展開后系數(shù)為.故選：D.3．將6名志愿者安排到4個不同的社區(qū)進行創(chuàng)文共建活動，要求每個社區(qū)至少安排1名志愿者，則不同排法共有（

）A．480種 B．1560種 C．2640種 D．640種【答案】B【分析】先將6名志愿者分成4組，然后再分配到不同的社區(qū)即可．【詳解】解：先將6名志愿者分成4組，然后再分配到不同的社區(qū)即可，若志愿者人數(shù)依次為3，1，1，1，則不同的安排方法種數(shù)為：種；若志愿者人數(shù)依次為2，2，1，1，則不同的安排方法種數(shù)為：種，故不同的安排方法共有種．故選：B．4．將數(shù)字隨機填入的正方形格子中，則每一橫行?每一豎列以及兩條斜對角線上的三個數(shù)字之和都相等的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用列舉法寫出符合題意的填寫方法，然后根據(jù)概率公式計算．【詳解】符合題意的填寫方法有如下8種：而9個數(shù)填入9個格子有種方法所以所求概率為，故選：A．5．若，則（

）A．180 B． C． D．90【答案】A【分析】由寫出其通項公式，依題意對賦值即可求得.【詳解】因，其二項展開式的通項為：，而是的系數(shù)，故只需取，得，即.故選：A.6．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學同時到三個不同的社區(qū)參加公益活動，每個社區(qū)至少分配一名同學.設事件“恰有兩人在同一個社區(qū)”，事件“甲同學和乙同學在同一個社區(qū)”，事件“丙同學和丁同學在同一個社區(qū)”，則下面說法正確的是（

）A．事件與相互獨立 B．事件與是互斥事件C．事件與相互獨立 D．事件與是對立事件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件、互斥事件、對立事件的意義逐項判斷即得.【詳解】對于A，依題意，甲、乙、丙、丁中必有兩人在同一社區(qū)，即事件是必然事件，，顯然，，因此事件與相互獨立，A正確；對于B，由，得事件與不是互斥事件，B錯誤；對于C，顯然事件事件與不可能同時發(fā)生，即，而，事件與相互不獨立，C錯誤；對于D，顯然事件與可以同時不發(fā)生，如甲丙在同一社區(qū)，因此事件與不是對立事件，D錯誤.故選：A7．若是一組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為.已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，方差為2，數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2，方差為4，若將這兩組數(shù)據(jù)混合形成一組新的數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．6 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用平均數(shù)和方差的定義結合條件求解即得.【詳解】解：易知新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以新數(shù)據(jù)的方差.故選：D.8．托馬斯?貝葉斯在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.春夏換季是流行性感冒爆發(fā)期，已知三個地區(qū)分別有的人患了流感，且這三個地區(qū)的人口數(shù)之比是，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來自地區(qū)的概率是（

）A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52【答案】C【分析】本題利用題目信息給出的貝葉斯公式，結合全概率公式即可求解.【詳解】記事件表示“這人患了流感”，事件分別表示“這人來自地區(qū)”，由題意可知：，，故.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．甲乙兩名同學參加系列知識問答節(jié)目，甲同學參加了5場，得分是3，4，5，5，8，乙同學參加了7場，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有關這兩名同學得分數(shù)據(jù)下列說法正確的是（

）A．得分的中位數(shù)甲比乙要小 B．兩人的平均數(shù)相同C．兩人得分的極差相同 D．得分的方差甲比乙小【答案】BCD【分析】由中位數(shù)，極差的概念即可判斷AC，由平均數(shù)、方差計算公式可分別判斷BD.【詳解】對于A，甲的得分中位數(shù)是5，乙的得分中位數(shù)是5，故A錯誤；對于B，甲的得分平均數(shù)是，乙的得分平均數(shù)是，故B正確；對于C，甲的得分極差是，乙的得極差是，故C正確；對于D，甲的得分方差是，乙的得方差是，故D正確.故選：BCD.10．已知展開式中共有8項．則該展開式結論正確的是（

）A．所有項的二項式系數(shù)和為128 B．所有項的系數(shù)和為C．系數(shù)最大項為第2項 D．有理項共有4項【答案】AD【分析】先根據(jù)展開式的項數(shù)確定的值，根據(jù)二項式系數(shù)的性質判斷A；令可得所有項的系數(shù)和從而判斷B，利用二項展開式的通項公式求解系數(shù)最大項及有理項可判斷CD．【詳解】A項，因為的展開式共有8項，所以．故所有項的二項式系數(shù)和為，故A正確；B項，令，可得所有項的系數(shù)和為，故B錯誤；因為二項展開式的通項公式為：．.C項，當，設項系數(shù)最大，由，解得，則，且，第3項系數(shù)為.當時，，系數(shù)為1；當時，，系數(shù)為；由，故第3項的系數(shù)最大；故C錯誤；D項，由為整數(shù)，且可知，的值可以為：0，2，4，6，所以二項展開式中，有理項共有4項，故D正確．故選：AD.11．隨機事件，滿足，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)題意由相互獨立事件的概率性質分析可判斷，；由概率加法公式可分析；計算，驗證是否正確即可判斷.【詳解】由已知，，因為，所以，所以，所以，故錯誤；因為，故錯誤；，故正確；，又，，，所以，故正確.故選：.【點睛】方法點睛：解決本題的關鍵是概率的性質和應用，以及條件概率的計算.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．某單位為了提高員工身體素質，開展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲?乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對方投籃，無論之前投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲?乙的概率各為.第2次投籃的人是甲的概率為；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.【答案】【分析】設相應事件，結合題意分析相應事件的概率，結合全概率公式求；結合條件概率求.【詳解】設“第次是甲投籃”為事件，“投籃命中”為事件B，由題意可知：，，則，所以第2次投籃的人是甲的概率為；且在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.故答案為：；.13．已知某公司加工一種芯片的不合格率為p，其中，若加工后的30顆這種芯片中恰有6顆不合格的概率為，且各顆芯片是否為不合格品相互獨立，則當取最大值時，．【答案】15/【分析】先根據(jù)獨立重復實驗的概率求出，再利用導數(shù)求函數(shù)的極值.【詳解】由題意，設，，則，由得.所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以當時，有極大值.即當時，取得最大值.故答案為：14．若隨機變量X，Y分別服從成功概率為的兩點分布，則的取值范圍是．【答案】【分析】由兩點分布及期望公式求解即可．【詳解】解：因為隨機變量，分別服從成功概率為，的兩點分布，則，，，，所以或1，所以或或，因為或，且或，所以或，所以或，即的取值范圍是．故答案為：．四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．某班統(tǒng)計了全班50名同學在某一周內到圖書館借閱次數(shù)的相關數(shù)據(jù)，結果如下表：借閱次數(shù)01234567合計男生人數(shù)2535512225女生人數(shù)4455321125合計人數(shù)69810833350若將該周內到圖書館借閱次數(shù)不少于3次的學生，稱為“愛好閱讀生”；少于3次的學生稱為“一般閱讀生”．(1)請完成以下列聯(lián)表；問：能否有90％的把握認為愛好閱讀與性別有關？性別閱讀合計一般愛好男生女生合計附：，．0.10.050.01k2.7063.8416.635(2)班主任從該周內在圖書館借閱次數(shù)為0的同學中，一次性隨機抽取3人了解有關情況，求抽到的男生人數(shù)的概率分布和數(shù)學期望．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有90％的把握認為喜愛閱讀與性別有關(2)概率分布見解析，1【分析】（1）完成2×2列聯(lián)表，計算出即可得出判斷；（2）由題可知，隨機變量服從超幾何分布，由此求出的概率分布和數(shù)學期望．【詳解】（1）列聯(lián)表：性別閱讀合計一般愛好男生101525女生131225合計232750提出假設：是否喜愛閱讀與性別沒有關系，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以求得：，所以沒有90％的把握認為喜愛閱讀與性別有關．（2）隨機變量服從超幾何分布，可能取0，1，2，，，，則的分布列為：012所以，故抽取男生人數(shù)的數(shù)學期望為1．16．某工廠生產(chǎn)一批機器零件，現(xiàn)隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測，得到一組數(shù)據(jù)，如下表:性能指標6677808896產(chǎn)品件數(shù)102048193(1)求該項性能指標的樣本平均數(shù)的值.若這批零件的該項指標X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值.(2)若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產(chǎn)效率是乙機床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.03，現(xiàn)從這批零件中隨機抽取一件.①求這件零件是次品的概率；②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產(chǎn)的概率；③在①的條件下，若從這批機器零件中隨機抽取300件，每次抽取的結果相互獨立，記抽出的零件是次品，且該項性能指標恰好在內的零件個數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學期望（精確到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】(1)；0.1359(2)①；②；③1【分析】（1）計算出平均數(shù)后可得，結合正態(tài)分布的性質計算即可得解；（2）①借助全概率公式計算即可得；②借助條件概率公式計算即可得；③借助二項分布期望公式計算即可得.【詳解】（1），因為，所以，則；（2）①設“抽取的零件為甲機床生產(chǎn)”記為事件，“抽取的零件為乙機床生產(chǎn)”記為事件，“抽取的零件為次品”記為事件，則，，，，則；②；③由（1）及（2）①可知，這批零件是次品且性能指標在內的概率，且隨機變量，所以，所以隨機變量Y的數(shù)學期望為1.17．小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝率均為，小郅勝小睿的勝率為，比賽采用三局兩勝制，第一場比賽等概率選取一人輪空，剩余兩人對弈，勝者繼續(xù)與上一場輪空者比賽，另一人輪空.以此類推，直至某人贏得兩場比賽，則其為最終獲勝者.(1)若第一場比賽小金輪空，則需要下第四場比賽的概率為多少？(2)求最終小金獲勝的概率.(3)若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率（請用兩種方法解答）.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式求解即可.（2）根據(jù)互斥事件概率加法公式和獨立事件概率乘法公式求解即可.（3）法一：利用條件概率求解即可；法二：根據(jù)事件的含義利用互斥事件概率加法公式和獨立事件概率乘法公式求解即可.【詳解】（1）第一場比賽小郅獲勝時，則第二場小金獲勝，第三場小睿獲勝，滿足題意；第一場比賽小睿獲勝時，則第二場小金獲勝，第三場小郅獲勝，滿足題意；所以需要下第四場比賽的概率為（2）由題意，最終小金獲勝的情況如下，當小金第一場輪空，第一場小郅勝小睿輸，第二場小金勝小郅輸，第三場小金勝小睿輸，此時，第一場小睿勝小郅輸，第二場小金勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時，則小金獲勝，當小金第一場不輪空，第一場小郅勝小金輸，第二場小睿勝小郅輸，第三場小金勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時，第一場小金勝小郅輸，第二場小睿勝小金輸，第三場小郅勝小睿輸，第三場小金勝小郅輸，此時，第一場小金勝小郅輸，第二場小金勝小睿輸，此時，所以第一場小郅與小金比賽，小金獲勝概率為，同理，第一場小睿與小金比賽，小金獲勝概率為，故小金獲勝概率為（3）法一：設A：小金最終獲勝；B：小郅第一場未輪空且獲勝，則，結合（2）知，法二：第一場小睿輪空時，小金最終獲勝概率為，第一場小金輪空時，小金最終獲勝概率為，18．已知甲口袋有個紅球和2個白球，乙口袋有個紅球和2個白球，小明從甲口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個球，然后再從乙口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個球.(1)當時，（i）求小明4次摸球中，至少摸出1個白球的概率；（ii）設小明4次摸球中，摸出白球的個數(shù)為，求的數(shù)學期望；(2)當時，設小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率為，則當為何值時，最大？【答案】(1)（i）；（ii）(2)【分析】（1）（i）先根據(jù)題意求出小明從甲口袋摸出一個白球的概率和從乙口袋摸出一個白球的概率，然后求出小明4次摸球中，摸出的都是紅球的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得答案；（ii）的所有可能取值為，求出相應的概率，從而可求出的數(shù)學期望；（2）由，可視為小明從甲口袋中有放回地摸出一個球，連續(xù)摸4次，相當于4次獨立重復試驗，則，然后利用導數(shù)可求得其最大值.【詳解】（1）小明從甲口袋有放回地摸出一個球，摸出白球的概率為，從乙口袋有放回地摸出一個球，摸出白球的概率為.（i）設“小明4次摸球中，至少摸出1個白球”為事件，則“小明4次摸球中，摸出的都是紅球”為事件，且，所以.（ii）的所有可能取值為，由（i），得，，，，，所以.（2）由，可視為小明從甲口袋中有放回地摸出一個球，連續(xù)摸4次，相當于4次獨立重復試驗，設小明每次摸出一個紅球的概率為，則.因為，所以當時，；當1時，，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以當時，最大，此時，解得，故當時，最大.【點睛】關鍵點點睛：此題考查對立事件的概率公式的應用，考查離散型隨機變量的期望，考查獨立重復試驗的概率，考查導數(shù)的應用，第（2）問解題的關鍵是根據(jù)獨立重復試驗的概率公式表示出，然后利用導數(shù)可求出其結果，考查理解能力和計算能力，屬于較難題.19．現(xiàn)有一摸獎游戲，其規(guī)則如下：設置1號和2號兩個保密箱，在1號保密箱內共放有6張卡片，其中有4張卡片上標有奇數(shù)數(shù)字，另外2張卡片上標有偶數(shù)數(shù)字；2號保密箱內共放有5張卡片，其中有3張卡片上標有奇數(shù)數(shù)字，另外2張卡片上標有偶數(shù)數(shù)字．摸獎者先從1號保密箱內隨機摸出一張卡片放入2號保密箱內，待把2號保密箱內的卡片重新攪拌均勻后，再從2號保密箱內隨機摸出一張卡片，即完成一次摸獎，如果摸獎者從1號保密箱和2號保密箱內摸出的卡片上的數(shù)字均為偶數(shù)即中獎．當上一個人摸獎結束后，需要將兩保密箱內的卡片復原并攪拌均勻，下一個人才可摸獎，所有卡片的外觀質地都相同．(1)求摸獎者完成一次摸獎就中獎的概率；(2)若有3人依次摸獎，且每人只完成一次摸獎，求這3人摸獎全部結束后中獎人數(shù)的分布列和數(shù)學期望；(3)為了提高摸獎者的中獎概率，現(xiàn)將游戲規(guī)則修改為：摸獎者先從1號保密箱內隨機摸出一張卡片放入2號保密箱內，待把2號保密箱內的卡片重新攪拌均勻后，再從2號保密箱內隨機摸出一張卡片，如果摸獎者從2號保密箱內摸出的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)即中獎．在修改游戲規(guī)則的同時，對1號和2號兩個保密箱內的卡片重新進行調整：已知標有奇數(shù)、偶數(shù)的卡片各有7張，并且已在1號保密箱內放入了3張標有奇數(shù)的卡片，2號保密箱內放入了4張標有奇數(shù)的卡片，那么，應該如何放置7張標有偶數(shù)的卡片（每個保密箱中至少放入1張偶數(shù)卡片），才能使摸獎者完成一次摸獎的中獎概率最高？最高為多少？請說明理由．【答案】(1)；(2)分布列見解析，；(3)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用條件概率公式，結合古典概型計算即得.（2）求出中獎人數(shù)的可能值，結合（1）的結論及二項分布的概率公式求出分布列、常數(shù)期望.（3）方法1，設在1號保密箱中放入張標有偶數(shù)的卡片，利用條件概率公式，結合古典概型求出中獎的函數(shù)關系，判斷單調性得解；方法二，利用條件概率公式，結合古典概型依次求出在1號保密箱分別放入1，2，3，4，5，6張標有偶數(shù)的卡片中獎概率，比較大小即得.【