人教版高中數學精講精練必修二8.5 空間直線、平面的平行（含答案及解析）（人教版2019必修第二冊）

8.5空間直線、平面的平行考法一證線線平行【例1-1】（2024·湖南）已知三條不同的直線l，m，n，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例1-2】（2024河北）如圖所示，在長方體AC1中，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【例1-3】（2023山西）已知E?E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD?A1D1的中點.求證：∠BEC=∠B1E1C1.【一隅三反】1．（2023甘肅）如圖，在正方體中，直線平面，且直線與直線不平行，則下列一定不可能的是（）A．l與AD平行 B．l與AD不平行 C．l與AC平行 D．l與BD平行2．（2023河南）下列結論中正確的是（

）①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③3．（2024山東）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是AB，AC上的點，且AE∶EB=AF∶FC，則EF與B1C1的位置關系是.4．（2023·高一課時練習）如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F、G分別是BC、CD上的點，且，求證：直線EH與直線FG平行．5．（2024北京）如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點.求證：.考法二線面平行的判定定理【例2-1】（2023下·河南洛陽）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，E為的中點.(1)證明：平面；(2)設，，求點D到平面的距離.【例2-2】（2024上·內蒙古）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點，且．(1)證明：平面；(2)求四棱錐的體積．【例2-3】（2024上·重慶）如圖，在直三棱柱中，，，，點M、N分別為和的中點．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)證明：平面．【一隅三反】1．（2024·全國·專題練習）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點．證明：平面；2．（2024上·北京平谷）如圖，在四棱錐中，側棱底面，四邊形為平行四邊形，，，，是的中點.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.3．（2023上·四川南充）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為棱的中點．(1)求證：平面；(2)三棱錐的體積大小．4．（2024·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點為的中點.求證：平面；考法三面面平行的判定定理【例3】（2024湖南）如圖，在四棱錐中，，，平面，，.設M，N分別為，的中點.

(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐的體積.【一隅三反】1．（2023·廣西）如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F分別是棱，，的中點．證明：平面平面；2．（2023·廣西）正方體中，，和的中點分別為，在，和上各有一點，依次為，且，都等于棱長的，求證：平面平面．3（2023下·遼寧阜新·高一?？计谀┮阎谡襟w中，M、E、F、N分別是、、、的中點.求證：(1)E、F、D、B四點共面(2)平面平面.考法四線面平行的性質定理【例4-1】（2023下·河南洛陽·高一?？茧A段練習）如圖，四面體被一平面所截，截面是一個平行四邊形.求證：.【例4-2】（2024江蘇）如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（

）

A．1 B．2 C． D．【一隅三反】1．（2023下·遼寧錦州）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，點在棱上，且滿足平面，則（

）A． B． C． D．2．（2023上·四川成都）如圖，在四面體中，是中點，是中點.在線段上存在一點，使得平面，則的值為（

）

A．1 B．2 C．3 D．3（2024上·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中底面是正方形，四條側棱均相等，點G，E，F，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH.求證：.4．（2023·黑龍江）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點為棱上一點（不與重合），平面交棱于點．求證：.考法五面面平行的性質定理【例5-1】（2024上·北京）已知正方體，平面與平面的交線為l，則（

）A． B． C． D．【例5-2】（2023上·江蘇連云港）如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為3的正方形，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)若平面平面，H為的中點，，，，求該幾何體的體積.【例5-3】（2024·全國·專題練習）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，∥，，，，點在線段上，且，為線段的中點．求證：∥平面.【一隅三反】1．（2023上·廣西南寧）（多選）如圖，在三棱柱中，已知點，分別在，上，且經過的重心，點，分別是，的中點，且平面平面，下列結論正確的是（

）A． B．平面C． D．平面平面2．（2024·安徽）如圖，三棱臺中，，是的中點，點在線段上，，平面平面．證明：.3．（2024·福建）如圖所示，在直三棱柱中，，，點、分別為棱、的中點，點是線段上的點（不包括兩個端點）．設平面與平面相交于直線，求證：.4．（2024·江西）如圖，在三棱柱中，側面是矩形，側面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點．證明：平面.

考法六平行性質求線段長度【例6-1】（2024吉林）如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（

）A． B． C． D．【例6-2】（2023上·河南信陽）在邊長為3的正方體中．平面與平面之間的距離為.

【一隅三反】1．（2023福建）如圖，在正方體中，，E為AD的中點，點F在CD上，若平面，則.2．（2024上·上海）如圖所示，在棱長為1的正方體中，設分別是線段、上的動點，若平面，則線段長的最小值為．3．（2023上·湖南）如圖，在棱長為3的正方體中，在線段上，且是側面上一點，且平面，則線段的最大值為.單選題1．（2024河北）下列說法正確的是（

）A．如果一條直線上的某一點在平面α內，那么這條直線也在平面α內B．如果兩條直線與同一個平面所成的角相等，那么這兩條直線互相平行C．如果兩條直線與同一條直線垂直，那么這兩條直線互相垂直D．如果兩條直線與同一條直線平行，那么這兩條直線互相平行2．（2024·浙江）已知直線和平面，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023上·天津和平）設是三條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學?？茧A段練習）設，為兩個平面，則的充要條件是（

）A．內有兩條直線與平行 B．內有無數條直線與平行C．，平行于同一條直線 D．內有兩條相交直線與平行5．（2024·寧夏）若是異面直線，且平面，那么與平面的位置關系是（

）A． B．與相交C． D．以上三種情況都有可能6．（2023河南）給出下列4個命題，其中正確的命題是（

）①垂直于同一直線的兩個平面平行；②垂直于同一平面的兩個平面平行；③平行于同一直線的兩個平面平行；④平行于同一平面的兩個平面平行.A．①② B．③④ C．②③ D．①④7．（2023上·江蘇南通）已知兩個不同的平面，兩條不同的直線，，，則“，”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2024·全國·專題練習）如圖是一個四棱錐的平面展開圖，其中四邊形為正方形，四個三角形為正三角形，分別是的中點，在此四棱錐中，則（

）A．與是異面直線，且平面B．與是相交直線，且平面C．與是異面直線，且平面D．與是相交直線，且平面多選題9．（2023下·浙江）下列命題是真命題的是（

）A．平行于同一直線的兩條直線平行 B．平行于同一平面的兩條直線平行C．平行于同一直線的兩個平面平行 D．平行于同一平面的兩個平面平行10．（2023廣東）已知三棱柱中，分別是的中點，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面11．（2024上海）已知直線l，m，平面，，則下列說法錯誤的是（

）.A．，，則B．，，，，則C．，，，則D．，，，，，則12．（2023·浙江金華）在正方體中，與交于點，則（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面填空題13．（2024上·安徽）已知為所在平面外一點，是中點，是上一點．若平面，則的值為．14．（2024·陜西咸陽）如圖，為平行四邊形所在平面外一點，分別為上一點，且，當平面時，.

15．（2024北京）如圖，是棱長為1正方體的棱上的一點，且平面，O為的中點，則與的位置關系為；線段的長度為.

16（2023下·江蘇淮安）如圖，正三棱柱的底面邊長是4，側棱長是，M為的中點，N是側面上一點，且∥平面，則線段MN的最大值為.

解答題17．（2023上·內蒙古呼倫貝爾）如圖，在正方體中，E是的中點.

(1)求證：平面；(2)設正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．18（2023上·河北承德）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別是的中點．

(1)證明：平面；(2)若平面經過點，且與棱交于點．請作圖畫出在棱上的位置，并求出的值．19．（2023上·四川內江）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，分別是的中點．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.20．（2023上·四川南充）如圖，已知點P是正方形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．

(1)求證：平面PAD；(2)若PB中點為Q，求證：平面平面PAD．21（2023下·河北承德·高一校聯考階段練習）如圖，正方體的棱長為3，點在棱上，點在棱上，在棱上，且是棱上一點.

(1)求證：四點共面；(2)若平面∥平面，求證：為的中點.22（2024·全國·模擬預測）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，，，，，點在線段上，且，為線段的中點．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的表面積．

8.5空間直線、平面的平行考法一證線線平行【例1-1】（2024·湖南）已知三條不同的直線l，m，n，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，又，則，故充分性成立，反之，若，又，則，故必要性成立.故“”是“”的充要條件.故選：C.【例1-2】（2024河北）如圖所示，在長方體AC1中，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【答案】B【解析】由于E，F分別是B1O，C1O的中點，故EF∥B1C1，因為與棱B1C1平行的棱還有3條：AD,BC，A1D1，所以共有4條.故選：B.【例1-3】（2023山西）已知E?E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD?A1D1的中點.求證：∠BEC=∠B1E1C1.【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，連接EE1，∵E1?E分別為A1D1?AD的中點，∴A1E1AE，且A1E1=AE∴四邊形A1E1EA為平行四邊形，∴A1AE1E.，且A1A=E1E.又∵A1AB1B，且A1A=B1B∴E1EB1B，且E1E=B1B∴四邊形E1EBB1為平行四邊形，∴E1B1EB.同理E1C1EC.又∠C1E1B1與∠CEB方向相同，∴∠C1E1B1=∠CEB.【一隅三反】1．（2023甘肅）如圖，在正方體中，直線平面，且直線與直線不平行，則下列一定不可能的是（）A．l與AD平行 B．l與AD不平行 C．l與AC平行 D．l與BD平行【答案】A【解析】假設，則由，知，這與直線與直線不平行矛盾，所以直線與直線不平行.故選：A.2．（2023河南）下列結論中正確的是（

）①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③【答案】B【解析】①錯誤，兩條直線可以異面；②正確，平行的傳遞性；③錯誤，和另一條直線可以相交也可以異面；④正確，平行的傳遞性.故選：B.3．（2024山東）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是AB，AC上的點，且AE∶EB=AF∶FC，則EF與B1C1的位置關系是.【答案】平行【解析】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.故答案為：平行4．（2023·高一課時練習）如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F、G分別是BC、CD上的點，且，求證：直線EH與直線FG平行．【答案】證明見詳解【解析】∵E、H分別是AB、AD的中點，則，又∵F、G分別是BC、CD上的點，且，則，∴，故直線EH與直線FG平行．5．（2024北京）如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點.求證：.【答案】證明見解析【解析】證明：因為，分別是，的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以.同理可證，又與方向相同，所以.考法二線面平行的判定定理【例2-1】（2023下·河南洛陽）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，E為的中點.(1)證明：平面；(2)設，，求點D到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）連接，交于點O，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴是的中點，又∵E為的中點，∴是三角形的中位線，∴，又∵平面，平面，∴平面；.（2）∵平行四邊形中，，，，∴，則，故，又∵平面，∴，，都是直角三角形，∵，∴，，，∴，∴，∴，因為是的中點，所以，且，所以，，設點到平面的距離為，由得：，解得.【例2-2】（2024上·內蒙古）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點，且．(1)證明：平面；(2)求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）連接交于點，連接．在底面中，因為，，由，可得，因為，即，所以在中，，故，因為平面，平面，所以平面；（2）取的中點，連接，由，，得為等邊三角形，所以．在等邊三角形中，，所以．因為．【例2-3】（2024上·重慶）如圖，在直三棱柱中，，，，點M、N分別為和的中點．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)證明：平面．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）直三棱柱中，，作，且，連接，作，且，連接，，則得到長方體，底面為邊長為2的正方形，對角線長．連接相交于，連接,由于分別是，的中點，所以則為異面直線與所成角或其補角，，，,則，,中，；故異面直線與所成角的余弦值（2）在正方形中，為的中點，也為的中點，又為的中點，則，在長方體中，,所以四邊形為平行四邊形，故，，平面，平面，平面．【一隅三反】1．（2024·全國·專題練習）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點．證明：平面；【答案】證明見解析【解析】分別為的中點，．又，所以，又平面，平面，所以平面.2．（2024上·北京平谷）如圖，在四棱錐中，側棱底面，四邊形為平行四邊形，，，，是的中點.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)答案見詳解(2)【解析】（1）如圖：連接，交于，連接，因為四邊形是平行四邊形，所以為中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為平面，平面，所以，又，，平面，，所以平面，平面，所以.所以底面為矩形.因為為中點，所以、到平面的距離相等，設為.由，而，，中，，，，所以是直角三角形，且，所以，即為所求.3．（2023上·四川南充）如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為棱的中點．(1)求證：平面；(2)三棱錐的體積大小．【答案】(1)證明見解析；(2)1.【解析】（1）在正方體中，連接，取的中點，連接，有M為的中點，則，又E為BC的中點，于是，則四邊形是平行四邊形，，又F為CD的中點，則有，即四邊形是平行四邊形，，因此，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，而正方體的棱長為1，平面，則點到平面的距離為到平面的距離1，所以三棱錐的體積.4．（2024·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點為的中點.求證：平面；【答案】證明見解析【解析】連接交于，連接，因為四邊形是正方形，所以是的中點，又因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；考法三面面平行的判定定理【例3】（2024湖南）如圖，在四棱錐中，，，平面，，.設M，N分別為，的中點.

(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：∵M，N分別為，的中點，∴，又平面，平面，∴平面.在中，，，∴.又，∴.∵平面，平面，∴平面.又，∴平面平面.（2）∵，，，∴，∴三棱錐的體積.【一隅三反】1．（2023·廣西）如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F分別是棱，，的中點．證明：平面平面；【答案】證明見解析【解析】因D，E，F分別是棱，，的中點．且圖形為直三棱柱，則，得四邊形為平行四邊形，．又平面，平面，則平面．又平面ABD，，故平面平面2．（2023·廣西）正方體中，，和的中點分別為，在，和上各有一點，依次為，且，都等于棱長的，求證：平面平面．【答案】證明見解析【解析】如圖，因為正方體中且都等于棱長的，即，，所以，，又因為，和的中點分別為，即，，所以，，所以，，因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面，所以平面，又因為，平面，所以平面平面.3（2023下·遼寧阜新·高一?？计谀┮阎谡襟w中，M、E、F、N分別是、、、的中點.求證：(1)E、F、D、B四點共面(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）證明：分別是、的中點，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，.，即確定一個平面，故E、F、D、B四點共面.（2）（2）M、N分別是、的中點，.又平面，平面，平面.連接，如圖所示，則，.四邊形是平行四邊形..又平面，平面.平面.都在平面,且,所以平面平面.考法四線面平行的性質定理【例4-1】（2023下·河南洛陽·高一?？茧A段練習）如圖，四面體被一平面所截，截面是一個平行四邊形.求證：.【答案】證明見解析【解析】∵四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.而平面平面，平面，∴，∴.【例4-2】（2024江蘇）如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】如圖，連接CD，交PE于點G，連接FG，

因為平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，因為點D，E分別為棱PB，BC的中點，所以G是的重心，所以.故選：C.【一隅三反】1．（2023下·遼寧錦州）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，點在棱上，且滿足平面，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下圖，四棱錐中，連接AC交BQ，BD分別于點N，O，連接MN，因底面ABCD為平行四邊形，則O是AC中點，也是BD中點，而點Q是AD中點，于是得點N是重心，從而得，因平面，平面，平面平面，因此得，于是得，所以.故選：C.

2．（2023上·四川成都）如圖，在四面體中，是中點，是中點.在線段上存在一點，使得平面，則的值為（

）

A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【解析】如圖所示，

取MD中點O，連接OP，OQ，∵為MD中點，為中點，∴.又∵平面，平面，∴平面.又平面，，平面，平面，∴平面平面.又平面，平面，平面平面，平面平面，∴，∴在中，.故選：C.3（2024上·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中底面是正方形，四條側棱均相等，點G，E，F，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH.求證：.【答案】證明見解析【解析】因為平面，平面，且平面平面，所以，同理可證，因此.4．（2023·黑龍江）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，點為棱上一點（不與重合），平面交棱于點．求證：.【答案】證明見解析【解析】證明：∵平面平面，∴平面，又平面，平面平面，∴.考法五面面平行的性質定理【例5-1】（2024上·北京）已知正方體，平面與平面的交線為l，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，在正方體中，平面平面，平面平面，平面平面，.對于A，，，故A正確；對于B，因為與相交，所以與不平行，故B錯誤；對于C，因為與不平行，所以與不平行，故C錯誤；對于D，因為與不平行，所以與不平行，故D錯誤；故選：A.

【例5-2】（2023上·江蘇連云港）如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為3的正方形，平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)若平面平面，H為的中點，，，，求該幾何體的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：∵，而平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴，∴.（2）∵，，H為中點，∴.而，∴，∵平面平面.平面平面，平面，∴平面.過E分別作交于點I，交于點J，連接.∴.【例5-3】（2024·全國·專題練習）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，∥，，，，點在線段上，且，為線段的中點．求證：∥平面.【答案】證明見解析【解析】由題意可得∥，且平面，平面，可得∥平面；因為∥且，可知四邊形為平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面；且，且，平面，可得平面∥平面，由平面，可得∥平面．【一隅三反】1．（2023上·廣西南寧）（多選）如圖，在三棱柱中，已知點，分別在，上，且經過的重心，點，分別是，的中點，且平面平面，下列結論正確的是（

）A． B．平面C． D．平面平面【答案】ABC【解析】由三棱柱性質可知平面平面，又平面平面，平面平面，由面面平行的性質可知；又點，分別是，的中點，可知，即可得，所以A正確；由，平面，平面，所以平面，即B正確；又經過的重心，所以，且，，所以，可知C正確；因為四點共面，且易知與相交，所以平面與平面相交，因此D錯誤；故選：ABC2．（2024·安徽）如圖，三棱臺中，，是的中點，點在線段上，，平面平面．證明：.【答案】證明見解析【解析】證明：取的中點，連接，，因為是的中點，所以，，因為三棱臺中，，，，所以，所以，，即四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面平面，所以．3．（2024·福建）如圖所示，在直三棱柱中，，，點、分別為棱、的中點，點是線段上的點（不包括兩個端點）．設平面與平面相交于直線，求證：.【答案】證明見解析【解析】因為點，分別為棱、的中點，則，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以，，則，因為平面，平面，所以，平面，因為平面，平面平面，所以，，故．4．（2024·江西）如圖，在三棱柱中，側面是矩形，側面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點．證明：平面.

【答案】證明見解析【解析】證明：如圖所示：

取的中點，連接、、，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以且，因為為的中點，所以且，因為、分別為、的中點，所以且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為、分別為、的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，、平面，所以平面平面，因為平面，故平面．考法六平行性質求線段長度【例6-1】（2024吉林）如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在棱長為的正方體中，取中點G，連接，如圖，因為為的中點，則，即有四邊形為平行四邊形，有，則四邊形為平行四邊形，有，又為的中點，則，四邊形為平行四邊形，則有，因此直線到直線的距離等于點F到直線的距離，因為，則四邊形為平行四邊形，有，在中，，邊上的高，由三角形面積得：，，所以直線到直線的距離為.故選：D【例6-2】（2023上·河南信陽）在邊長為3的正方體中．平面與平面之間的距離為.【答案】【解析】由于故四邊形為平行四邊形，故平面,平面,所以平面，同理可得平面，又平面，因此平面，故點到平面的距離即為平面與平面之間的距離，設到平面的距離為，為邊長為的等邊三角形，故,所以，故，故答案為：

【一隅三反】1．（2023福建）如圖，在正方體中，，E為AD的中點，點F在CD上，若平面，則.【答案】【解析】根據題意，因為平面，平面，且平面平面所以.又是的中點，所以是的中點.因為在中，，故.故答案為：2．（2024上·上海）如圖所示，在棱長為1的正方體中，設分別是線段、上的動點，若平面，則線段長的最小值為．【答案】【解析】過點分別作交于點，交于點，連接，要想平面，則四邊形為平行四邊形，故，設，則，故，由勾股定理得，其中，當且僅當時，等號成立，故.故答案為：3．（2023上·湖南）如圖，在棱長為3的正方體中，在線段上，且是側面上一點，且平面，則線段的最大值為.【答案】【解析】如圖，在線段上取一點，使得，在線段上取一點，使得，連接，因為，所以，又，所以，因為平面平面，所以平面，同理，因為平面平面，所以平面，又，所以平面平面，因此，在線段上.因為，所以線段的最大值為.故答案為：單選題1．（2024河北）下列說法正確的是（

）A．如果一條直線上的某一點在平面α內，那么這條直線也在平面α內B．如果兩條直線與同一個平面所成的角相等，那么這兩條直線互相平行C．如果兩條直線與同一條直線垂直，那么這兩條直線互相垂直D．如果兩條直線與同一條直線平行，那么這兩條直線互相平行【答案】D【解析】如果一條直線上的某一點在平面α內，那么這條直線與平面α相交或在平面α內，A不正確；如果兩條直線與同一個平面所成的角相等，那么這兩條直線的位置關系不確定，B不正確；如果兩條直線與同一條直線垂直，那么這兩條直線可能相交、平行或異面，C不正確；由平行公理可知，如果兩條直線與同一條直線平行，那么這兩條直線互相平行，D正確.故選：D.2．（2024·浙江）已知直線和平面，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，則存在使得且，若且，則，又且，所以，充分性成立；設，，則有，但不平行，即必要性不成立.故選：A.3．（2023上·天津和平）設是三條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】對于A，因為是三條不同的直線，，所以，故A正確；對于B，若，則或，故B錯誤；對于C，若，則或或或直線與平面相交，故C錯誤；對于D，若，則與平行或相交，故D錯誤.故選：A.4．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學校考階段練習）設，為兩個平面，則的充要條件是（

）A．內有兩條直線與平行 B．內有無數條直線與平行C．，平行于同一條直線 D．內有兩條相交直線與平行【答案】D【解析】

如圖所示正方體中，設平面為，平面為，顯然平面中有無數條直線與平面平行，但，故A、B錯誤；又，但，故C錯誤；由面面平行的判定定理和性質定理可知D正確.故選：D5．（2024·寧夏）若是異面直線，且平面，那么與平面的位置關系是（

）A． B．與相交C． D．以上三種情況都有可能【答案】D【解析】在長方體中，平面視為平面，直線為直線a，點E，F分別為棱的中點，如圖，顯然有平面，當直線b為直線時，直線是異面直線，此時；因，平面，平面，則，當直線b為直線時，直線是異面直線，此時；當直線b為直線時，直線是異面直線，此時與相交，所以直線b與平面可能平行，可能相交，也可能在平面內.故選：D.6．（2023河南）給出下列4個命題，其中正確的命題是（

）①垂直于同一直線的兩個平面平行；②垂直于同一平面的兩個平面平行；③平行于同一直線的兩個平面平行；④平行于同一平面的兩個平面平行.A．①② B．③④ C．②③ D．①④【答案】D【解析】對于①，垂直于同一直線的兩個平面平行，故①正確；對于②，垂直于同一平面的兩個平面平行或相交，故②錯誤；對于③，平行于同一直線的兩個平面相交或平行，故③錯誤；對于④，平行于同一平面的兩個平面平行，故④正確．故選:D．7．（2023上·江蘇南通）已知兩個不同的平面，兩條不同的直線，，，則“，”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，，當，時，若，則有可能相交，故充分性不成立；當時，由于，，所以，，故必要性成立；所以“，”是“”的必要不充分條件.故選：B.8．（2024·全國·專題練習）如圖是一個四棱錐的平面展開圖，其中四邊形為正方形，四個三角形為正三角形，分別是的中點，在此四棱錐中，則（

）A．與是異面直線，且平面B．與是相交直線，且平面C．與是異面直線，且平面D．與是相交直線，且平面【答案】B【解析】根據題意，畫出幾何體，如圖所示，因為分別是的中點，可得且，又因為且，所以且，所以四邊形為梯形，所以與為相交直線，因為為的中點，可得且，所以四邊形為平行四邊形，可得，又因為平面，平面，所以平面.故選：B.多選題9．（2023下·浙江）下列命題是真命題的是（

）A．平行于同一直線的兩條直線平行 B．平行于同一平面的兩條直線平行C．平行于同一直線的兩個平面平行 D．平行于同一平面的兩個平面平行【答案】AD【解析】對于A：根據平行線的傳遞性可知平行于同一直線的兩條直線平行，故A為真命題；對于B：平行于同一平面的兩條直線的位置關系有：平行、相交或異面，故B為假命題；對于C：平行于同一直線的兩個平面的位置關系有：平行或相交，故C為假命題；對于D：根據空間中面面的位置關系可知平行于同一平面的兩個平面平行，故D為真命題；故選：AD.10．（2023廣東）已知三棱柱中，分別是的中點，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】AB【解析】選項A：如圖1，連接，交于點，連接，則點是的中點，又是的中點，則，平面,平面所以平面，所以A正確.選項B：如圖2，取的中點，連接，因為是的中點，所以，且，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故B正確.選項C：如圖3，取的中點，連接，因為是的中點，所以，且，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，顯然與平面相交，故C錯誤.選項D：如圖4，連接，交于點，連接，則平面平面，若平面，平面，則，由于是的中點，所以點是的中點，而顯然點不是的中點，矛盾，故D錯誤.故選：AB11．（2024上海）已知直線l，m，平面，，則下列說法錯誤的是（

）.A．，，則B．，，，，則C．，，，則D．，，，，，則【答案】ABC【解析】選項A中，m可能在內，也可能與平行，故A錯誤；選項B中，與也可能相交，故B錯誤；選項C中，與也可能相交，故C錯誤；選項D中，依據面面平行的判定定理可知，故D正確.故選：ABC.12．（2023·浙江金華）在正方體中，與交于點，則（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ABC【解析】對于A，因為且，所以四邊形時平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，連接交于點，連接，由正方體的分別為的中點，因為因為且，所以四邊形時平行四邊形，所以，則且，所以四邊形時平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故C正確；對于D，平面即為平面，而平面與平面相交，所以平面與平面相交，故D錯誤.故選：ABC.

填空題13．（2024上·安徽）已知為所在平面外一點，是中點，是上一點．若平面，則的值為．【答案】/【解析】如圖，連結交于點，連結.因為，E為AD的中點，則，又因為PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC，PA平面PAC，則PA∥OF，所以.故答案為：.14．（2024·陜西咸陽）如圖，為平行四邊形所在平面外一點，分別為上一點，且，當平面時，.

【答案】/【解析】如圖，連結交于點，連結.

因為，所以，因為平面，平面平面平面，所以，所以.故答案為：15．（2024北京）如圖，是棱長為1正方體的棱上的一點，且平面，O為的中點，則與的位置關系為；線段的長度為.

【答案】/【解析】連接，交與，連接，則為的中點，

因為平面，平面，平面平面，所以，故為的中點，所以，在中.故答