四川省成都市都江堰市2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

四川省成都市都江堰市2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿足：，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知的內(nèi)角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知點、．若點在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點的個數(shù)為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列，若、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的零點為m，若存在實數(shù)n使且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如圖所示，三國時代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，取），則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．20 B．27 C．54 D．648．在等差數(shù)列中，若，則（）A．8 B．12 C．14 D．109．執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為5，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．10．已知，為兩條不同直線，，，為三個不同平面，下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中正確命題序號為()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③11．已知，函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點，則正實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．若，則的虛部是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若時，，則不等式的解集是___________．14．記數(shù)列的前項和為，已知，且.若，則實數(shù)的取值范圍為________.15．的展開式中，x5的系數(shù)是_________．（用數(shù)字填寫答案）16．三棱柱中，，側(cè)棱底面，且三棱柱的側(cè)面積為.若該三棱柱的頂點都在同一個球的表面上，則球的表面積的最小值為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直角梯形中，，，，為的中點，沿將折起，使得點到點位置，且，為的中點，是上的動點（與點，不重合）.（Ⅰ）證明：平面平面垂直；（Ⅱ）是否存在點，使得二面角的余弦值？若存在，確定點位置；若不存在，說明理由.18．（12分）在中，角的對邊分別為，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面積．19．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）記關(guān)于的方程的兩根分別為，求證：.20．（12分）某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)）.年份年份代號年利潤（單位：億元）（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預(yù)測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式：，.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；（2）函數(shù)的最小值為，若正實數(shù)，，滿足，證明：．22．（10分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；（Ⅲ）若函數(shù)，當(dāng)時，的最大值為，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

轉(zhuǎn)化，為，利用復(fù)數(shù)的除法化簡，即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足：所以故選：B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由，化簡得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.3、C【解析】

設(shè)出點的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計算出點到直線的距離，利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，設(shè)點到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點共有三個．故選：C.【點睛】本題考查三角形面積的計算，涉及點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題．4、B【解析】

利用等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值．【詳解】數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列，、滿足，由等比數(shù)列的通項公式得，即，，可得，且、都是正整數(shù)，求的最小值即求在，且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值，討論、取值.當(dāng)且時，的最小值為.故選：B．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)運算求解能力和分類討論思想，是中等題．5、D【解析】

易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點為，所以，∴，問題轉(zhuǎn)化為：使方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域為，∴.故選D．【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.6、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運算可整理得到，由此得到對應(yīng)的點的坐標(biāo)，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

設(shè)大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解。【詳解】設(shè)大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。8、C【解析】

將，分別用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則由，，得解得，，所以．故選C．【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值，可通過構(gòu)建和的方程組求通項公式.9、C【解析】

框圖的功能是求等比數(shù)列的和，直到和不滿足給定的值時，退出循環(huán)，輸出n.【詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：；此時滿足輸出結(jié)果，故.故選：C.【點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，建議數(shù)據(jù)比較小時，可以一步一步的書寫，防止錯誤，是一道容易題.10、C【解析】

根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系進行判斷即可.【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得，若，，則，故①正確；若，，平面可能相交，故②錯誤；若，，則可能平行，故③錯誤；由線面垂直的性質(zhì)可得，④正確；故選：C【點睛】本題主要考查了判斷直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.11、B【解析】

先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出，函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點即為三個最值點，解出，，再建立不等式求出的范圍，進而求得的范圍.【詳解】解：令，解得對稱軸，，又函數(shù)在區(qū)間恰有個極值點，只需解得．故選：．【點睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.12、D【解析】

通過復(fù)數(shù)的乘除運算法則化簡求解復(fù)數(shù)為：的形式，即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知，所以的虛部是1.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

構(gòu)造，先利用定義判斷的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合奇偶性，單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】令，則是上的偶函數(shù)，，則在上遞減，于是在上遞增．由得，即，于是，則，解得．故答案為：【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.14、【解析】

根據(jù)遞推公式，以及之間的關(guān)系，即可容易求得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，求得其最大值，則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當(dāng)時，，解得.所以.因為，則，兩式相減，可得，即，則.兩式相減，可得.所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以，則.令，則.當(dāng)時，，數(shù)列單調(diào)遞減，而，，，故，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式，涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷，屬綜合困難題.15、-189【解析】由二項式定理得，令r=5得x5的系數(shù)是．16、【解析】

分析題意可知，三棱柱為正三棱柱，所以三棱柱的中心即為外接球的球心，設(shè)棱柱的底面邊長為，高為，則三棱柱的側(cè)面積為，球的半徑表示為，再由重要不等式即可得球表面積的最小值【詳解】如下圖，∵三棱柱為正三棱柱∴設(shè)，∴三棱柱的側(cè)面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為：【點睛】考查學(xué)生對幾何體的正確認識，能通過題意了解到題目傳達的意思，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，能夠利用題目條件，畫出圖形，尋找外接球的球心以及半徑，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）存在，此時為的中點.【解析】

（Ⅰ）證明平面，得到平面平面，故平面平面，平面，得到答案.（Ⅱ）假設(shè)存在點滿足題意，過作于，平面，過作于，連接，則，過作于，連接，是二面角的平面角，設(shè)，，計算得到答案.【詳解】（Ⅰ）∵，，，∴平面.又平面，∴平面平面，而平面，，∴平面平面，由，知，可知平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）假設(shè)存在點滿足題意，過作于，由知，易證平面，所以平面，過作于，連接，則（三垂線定理），即是二面角的平面角，不妨設(shè)，則，在中，設(shè)（），由得，即，得，∴，依題意知，即，解得，此時為的中點.綜上知，存在點，使得二面角的余弦值，此時為的中點.【點睛】本題考查了面面垂直，根據(jù)二面角確定點的位置，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力，也可以建立空間直角坐標(biāo)系解得答案.18、（1）；（2）【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用二倍角的正弦公式與正弦的和角公式化簡求解即可.(2)由(1)有,根據(jù)正弦定理可得,進而求得的值,再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由,得,得,由正弦定理得,顯然,同時除以,得.所以.所以.顯然,所以,解得.又,所以.（2）若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【點睛】本題主要考查了正余弦定理與面積公式在解三角形中的運用,需要根據(jù)題意用正弦定理進行邊角互化,再根據(jù)三角恒等變換進行化簡求解等.屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，對參數(shù)討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進而求出極值；（2）是方程的兩根，代入方程，化簡換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.【詳解】（1）依題意，；若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)既無極大值，也無極小值；若，則，令，解得，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，此時函數(shù)有極大值，無極小值；若，則，令，解得，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，此時函數(shù)有極大值，無極小值；（2）依題意，，則，，故，；要證：，即證，即證：，即證，設(shè)，只需證：，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，故.【點睛】本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法：(1)若與的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明；(2)若與的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或最值，證明.20、（Ⅰ），該公司年年利潤的預(yù)測值為億元；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求出和的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求得和的值，進而可求得關(guān)于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤的估計值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數(shù)，然后利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算可得，，，又，，，關(guān)于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得（億元），該公司年的年利潤的預(yù)測值為億元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利潤的估計值分別為、、、、、、、（單位：億元），其中實際利潤大于相應(yīng)估計值的有年.故這年中被評為級利潤年的有年，評為級利潤年的有年.記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年，恰有年為級利潤年”的概率為，.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時也考查了古典概型概率的計算，涉及組合計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.21、（1）（2）見解析【解析】

(1)分離得到，求的最小值即可求得的取值范圍；（2）先求出，得到，利用乘變化即可證明不等式.【詳解】解：（1）設(shè)，∴