新高考數(shù)學一輪復習 圓錐曲線專項重難點突破專題12 雙曲線中的離心率問題(解析版)

專題12雙曲線中的離心率問題限時：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0為正三角形，則SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0軸，則點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱，則SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，

因為SKIPIF1<0為等邊三角形，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此，該雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0.故選：D.2．若雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線被圓SKIPIF1<0所截得的弦長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所得截得的弦長為SKIPIF1<0，

則圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由點到直線的距離公式可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此，雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0.故選：B.3．已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的右焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點在雙曲線的左、右兩支上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設雙曲線的左焦點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形，設SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以離心率SKIPIF1<0，故選：B4．如圖，雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0與雙曲線的兩條漸近線分別交于SKIPIF1<0兩點．若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0，則此雙曲線的離心率為（

）

A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直角三角形，又因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0是直角SKIPIF1<0斜邊中線，因此SKIPIF1<0，而點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0是等腰三角形，因此SKIPIF1<0，由雙曲線漸近線的對稱性可知中：SKIPIF1<0，于是有：SKIPIF1<0，因為雙曲線漸近線的方程為：SKIPIF1<0，因此有：SKIPIF1<0，故選：B.5．已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0不是頂點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設SKIPIF1<0與y軸交于Q點，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

因為SKIPIF1<0，故P點在雙曲線右支上，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且三角形內角和為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的離心率的取值范圍為SKIPIF1<0，故選：A6．已知雙曲線SKIPIF1<0的兩個焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，兩邊除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故解得SKIPIF1<0.故選：B

7．已知雙曲線SKIPIF1<0的上下焦點分別為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的下支上，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的一條漸近線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】如圖，過點SKIPIF1<0作漸近線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到漸近線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：A.

8．已知雙曲線SKIPIF1<0的左頂點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的右支交于點SKIPIF1<0，若線段SKIPIF1<0的中點在圓SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【解析】設線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，雙曲線的右頂點為SKIPIF1<0，左右焦點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以離心率SKIPIF1<0，故選：A

二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值不可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0.故選：CD.10．雙曲線SKIPIF1<0的離心率為e，若過點SKIPIF1<0能作該雙曲線的兩條切線，則e可能取值為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【解析】斜率不存在時不合題意，所以直線切線斜率一定存在，設切線方程是SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0時，所得直線只有一條，不滿足題意，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理為SKIPIF1<0，由題意此方程有兩不等實根，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為雙曲線的半焦距SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，綜上，e的范圍是SKIPIF1<0故選：AC

11．已知雙曲線SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，且與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】當點SKIPIF1<0同時在雙曲線SKIPIF1<0的左支上時，設切點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

而O為SKIPIF1<0的中點，則P為SKIPIF1<0的中點，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為銳角，故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故雙曲線SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0.當點SKIPIF1<0在雙曲線的兩支上時，仍有SKIPIF1<0，

因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為銳角，故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故雙曲線SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，故選：AD12．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)的左、右焦點，過SKIPIF1<0作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點SKIPIF1<0，交另一條漸近線于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】當SKIPIF1<0時，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，如圖，

雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又雙曲線中SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，A正確；當SKIPIF1<0時，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，如圖，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又雙曲線中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，C正確.故選：AC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，則其離心率是.【解析】由題意知SKIPIF1<0，又因為在雙曲線中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（負舍）14．已知雙曲線方程為SKIPIF1<0，左焦點SKIPIF1<0關于一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則該雙曲線的離心率為.【解析】如圖：設SKIPIF1<0關于漸近線SKIPIF1<0對稱的點SKIPIF1<0在漸近線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0在漸近線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

15．已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，與雙曲線SKIPIF1<0的漸近線交于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率是．【解析】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為雙曲線的通徑，則由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以離心率SKIPIF1<016．已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，雙曲線的左頂點為A，以SKIPIF1<0為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點，其中點Q在y軸右側，若SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率的取值范圍是.【解析】依題意可得，以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，不妨設雙曲線的這條漸近線方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，雙曲線的左頂點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，當SKIPIF1<0取最小值時，求雙曲線的離心率e的取值范圍．【解析】雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0為雙曲線右支上的任意一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故雙曲線的離心率e的取值范圍為：SKIPIF1<0.

.18．已知橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0，有相同的左、右焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在第一象限內的交點，且SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的離心率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由橢圓的定義可得SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.19．已知雙曲線T：SKIPIF1<0離心率為e，圓O：SKIPIF1<0．(1)若e=2，雙曲線T的右焦點為SKIPIF1<0，求雙曲線方程；(2)若圓O過雙曲線T的右焦點F，圓O與雙曲線T的四個交點恰好四等分圓周，求SKIPIF1<0的值；(3)若R=1，不垂直于x軸的直線l：y=kx+m與圓O相切，且l與雙曲線T交于點A，B時總有SKIPIF1<0，求離心率e的取值范圍．【解析】（1）因SKIPIF1<0，雙曲線T的右焦點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線方程為SKIPIF1<0.（2）如圖所示，

因為圓O與雙曲線T的四個交點恰好四等分圓周，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，代入雙曲線方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（3）由題知，作圖如下，

因為直線l：y=kx+m與圓O相切，且SKIPIF1<0，則圓心到直線SKIPIF1<0距離為SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，①又SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，②聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，③聯(lián)立①②③，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即離心率e的取值范圍為SKIPIF1<0.20．已知點SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0右支上一點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是雙曲線的左、右焦點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求雙曲線的離心率；(2)設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是△SKIPIF1<0的外接圓半徑和內切圓半徑，求SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0為雙曲線的右支上一點，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．21．已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A為雙曲線C左支上一點，SKIPIF1<0．(1)求雙曲線C的離心率；(2)設點A關于x軸的對稱點為B，D為雙曲線C右支上一點，直線SKIPIF1<0與x軸交點的橫坐標分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求雙曲線C的方程．【解析】（1）由于A為雙曲線C左支上一點，由雙曲線的定義可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．整理，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以雙曲線C的離心率為SKIPIF1<0．（2）由（1）可設雙曲線C的標準方程為SKIPIF1<0．

設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直線AD的方程為SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．直線BD的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<