14.1.4整式的乘法（解析版）

14.1.4整式的乘法一、單選題1．探索：……判斷22020+22019+22018+…+22+2+1的值的個位數(shù)是幾？（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】A【分析】仔細觀察，探索規(guī)律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此計算即可求解．【詳解】觀察所給等式得出如下規(guī)律：變形得令其x=2，n=2020得22020+22019+22018+…+2+1==（22021-1）÷（2-1）=22021-1，∵2n的個位數(shù)字分別為2，4，8，6，即4次一循環(huán)，且2020÷4=505，∴22020的個位數(shù)字是6，∴22021的個位數(shù)字為2，∴22021-1的個位數(shù)字是1，∴22020+22019+22018+…+2+1的個位數(shù)字是1．故選：A．【點評】此題考查了多項式的乘法，乘方的末位數(shù)字的規(guī)律，注意從簡單情形入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解決問題的關鍵．2．，，，則的值為．（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】B【分析】根據(jù)冪的運算的逆運算，把所求變成同底數(shù)冪相乘和除法即可．【詳解】，==1.5故選：B．【點評】本題考查了冪的運算，解題關鍵是熟練運用冪的運算的逆運算，把所求式子變形．3．一個長方形的面積為，長為，則這個長方形的寬為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)整式除法計算即可；【詳解】由題可得：；故答案選A．【點評】本題主要考查了整式除法的計算，準確計算是解題的關鍵．4．若，則的值為（）A．2 B． C．5 D．【答案】B【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，合并后即可得出答案．【詳解】，∵，∴m=-2，故選：B．【點評】本題考查了多項式乘以多項式，能夠靈活運用法則進行計算是解此題的關鍵．5．若計算關于的代數(shù)式得的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用多項式乘以多項式法則將原式化簡，根據(jù)的系數(shù)為3即可求出m的值；【詳解】原式=，∵的系數(shù)為3，∴1-m=3，解得m=-2，故選：B．【點評】本題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．6．下列計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別用同底數(shù)冪的乘法法則、多項式與多項式的乘法、積的乘方以及同底數(shù)冪的除法公式來進行判斷即可；【詳解】A、，故該選項錯誤；B、，故該選項錯誤；C、，故該選項正確；D、，故該選項錯誤；故選：C．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則、多項式與多項式的乘法、積的乘方以及同底數(shù)冪的除法公式，正確掌握公式是解題的關鍵；7．的計算結果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用單項式乘單項式計算得出答案．【詳解】3ab?a2=3a3b．

故選：D．【點評】本題主要考查了單項式乘單項式，正確掌握相關運算法則是解題的關鍵．8．若，，則的值是（）A．50 B．100 C． D．【答案】A【分析】先開平方，然后組成方程組，解方程組求出y與（2x+3z），整體代入求值計算即可．【詳解】∵，，∴，，∴，，，，∴，，，，，解得，，，，，，，．故選擇：A．【點評】本題考查開平方，解方程組，因式分解，整體代入求代數(shù)式的值，掌握開平方，解方程組，因式分解，整體代入求代數(shù)式的值．9．下列運算：①；②；③；④．其中結果正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】按照冪的運算法則直接判斷即可．【詳解】①，原式錯誤；②，原式正確；③，原式錯誤；④，原式正確；故選：B．【點評】本題考查了冪的運算，熟記冪的運算法則，注意它們之間的區(qū)別是解題關鍵．10．若，則實數(shù)b等于（）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】等式左邊去括號后兩邊經(jīng)過比對可以得解．【詳解】原等式可變?yōu)椋?，∴可得：，解之得：a=-1,b=2，故選B．【點評】本題考查二元一次方程組的應用和多項式的乘法，熟練掌握代數(shù)式相等的意義、多項式的乘法法則及二元一次方程組的解法是解題關鍵．二、填空題11．觀察下列式子：；；；；……，根據(jù)上面揭示的規(guī)律，則________【答案】【分析】觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解題．【詳解】根據(jù)題意，觀察可知，故答案為：．【點評】本題考查整式的除法、有理數(shù)的數(shù)字規(guī)律等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．12．若多項式A與單項式2a2b的積是8a3b2﹣6a2b2，則多項式A為_____．【答案】4ab﹣3b【分析】直接利用多項式除以單項式運算法則計算得出答案．【詳解】∵多項式A與單項式2a2b的積是8a3b2﹣6a2b2，∴多項式A為：（8a3b2﹣6a2b2）÷2a2b＝8a3b2÷2a2b﹣6a2b2÷2a2b＝4ab﹣3b．故答案為：4ab﹣3b．【點評】此題主要考查了整式的除法，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．13．若，，則的值為______．【答案】2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法逆運算計算即可；【詳解】∵，，∴；故答案是2．【點評】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法應用，準確計算是解題的關鍵．14．觀察等式：；；；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，，，…，，，若，用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是__________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件和2100=S，將按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和．【詳解】∵2100=S，

∴2100+2101+2102+…+2199+2200

=S+2S+22S+…+299S+2100S

=S（1+2+22+…+299+2100）

=S（1+2100-2+2100）

=S（2S-1）

=2S2-S．

故答案為：2S2-S．【點評】本題考查了規(guī)律型-數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，解決本題的關鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律．三、解答題15．如圖，某市有一塊長為米，寬為米的長方形地塊，規(guī)劃部門計劃將陰影部分進行綠化，中間將修建一座雕像，左右兩邊修兩條寬為米的道路．（）．（1）試用含a，b的代數(shù)式表示綠化的面積是多少平方米？（2）若，請求出綠化面積．【答案】（1）（3a2+3ab）平方米；（2）4500平方米【分析】（1）根據(jù)圖形可得長方形的面積減去中間正方形的面積減去兩個小長方形的面積即可得結果；（2）把a=30，b=20代入（1）所得整式，即可得結果．【詳解】（1）由題意可得：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2-a（3a+b-a-b）=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2-2a2=（3a2+3ab）平方米；答：綠化的面積是（3a2+3ab）平方米；（2）當a=30，b=20，綠化面積是3a2+3ab=3×900+3×30×20=4500平方米．【點評】本題考查了多項式乘多項式，看懂題圖掌握多項式乘多項式法則是解決本題的關鍵．16．第三屆長江上游城市花卉藝術博覽會在重慶園博園舉辦，在布置會場時，準備對一塊長為2a米，寬為a米的草地進行改造．如圖，圖中陰影部分將用來種植觀賞植物，它是由一塊矩形草地和兩塊正方形草地組成．（1）請用代數(shù)式表示種植觀賞植物的草地面積并化簡；（2）若a＝30，c＝5，求種植觀賞植物的草地面積．【答案】（1）（2a2﹣4ac+4c2）平方米；（2）種植觀賞植物的草地面積是1300平方米【分析】（1）根據(jù)長方形和正方形的面積計算方法可表示出種植觀賞植物的草地面積，再進行化簡即可；（2）將a＝30，c＝5代入代數(shù)式進行計算即可得解．【詳解】（1）種植觀賞植物的草地面積為：(2a－2c)(a－c)+2c2＝2a2－4ac+2c2+2c2＝(2a2－4ac+4c2)平方米；（2）當a＝30，c＝5時，2a2－4ac+4c2＝2×900－4×30×5+4×52＝1300，故種植觀賞植物的草地面積是1300平方米．【點評】本題考查了整式的實際應用，明確題意列出整式，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．17．觀察下列各式：9﹣1＝4×2＝8；16﹣4＝6×2＝12；25﹣9＝8×2＝16；36﹣16＝10×2＝20；……（1）這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設n（n≥1）表示自然數(shù)，用關于n的等式表示這個規(guī)律是．（2）用含n的等式證明這個規(guī)律．【答案】（1）（n+2）2﹣n2＝4（n+1）；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)題目中的等式，可以寫出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）先將等號左邊化簡，然后再變形，即可得到結論成立．【詳解】（1）∵9﹣1＝4×2＝8，即（1+2）2-12=2（2×1+2）；16﹣4＝6×2＝12，即（2+2）2-22=2（2×2+2）；25﹣9＝8×2＝16，即（3+2）2-32=2（2×3+2）；36﹣16＝10×2＝20，即（4+2）2-42=2（2×4+2）；…，∴第n個式子是（n+2）2﹣n2＝2（2n+2）＝4（n+1），故答案為：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）；（2）證明：∵（n+2）2﹣n2＝n2+4n+4﹣n2＝4n+4＝4（n+1），∴（n+2）2﹣n2＝4（n+1）成立．【點評】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，寫出相應的式子．18．閱讀材料∵（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，∴（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3，這說明多項式x2+x﹣6能被x﹣2整除，同時也說明多項式x2+x﹣6有一個因式為x﹣2，另一個因式為x+3；另外，當x＝2或x=—3時，多項式x2+x﹣6的值為零．根據(jù)上述信息，解答下列問題（1）根據(jù)上面的材料猜想：已知一個多項式有因式x+2，則說明該多項式能被整除，當x＝—2時，該多項式的值為；（2）探索規(guī)律：一般地，如果一個關于x的多項式M，當x＝k時，M的值為0，請寫出M與代數(shù)式x﹣k之間的關系；（3）應用：若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常數(shù)a，b的值．【答案】（1）x+2，0；（2）M能被（x-k）整除；（3）a=4，b=0【分析】（1）根據(jù)題意和多項式有因式x+2，說明多項式能被x+2整除，當x=-2時，多項式的值為0；（2）根據(jù)（1）得出的關系，能直接寫出當x=k時，M的值為0，M與代數(shù)式x-k之間的關系；（3）根據(jù)上面得出的結論，當x=1或x=-1時，3x4-ax2+bx+1=0，得到關于a和b的二元一次方程組，再求出a和b的值即可．【詳解】（1）已知一個多項式有因式x+2，說明此多項式能被（x+2）整除，當x=-2時，該多項式的值為0；（2）根據(jù)（1）得出的關系，得出M能被（x-k）整除；（3）∵整式x2-1即（x+1）（x-1）是3x4-ax2+bx+1的因式，∴當x=1時，3x4-ax2+bx+1=0，∴3-a+b+1=0，①當x=-1時，3x4-ax2+bx+1=0，∴3-a-b+1=0，②①+②得：8-2a=0，解得：a=4，代入①中，解得：b=0．【點評】此題考查了整式的除法和因式分解，二元一次方程組，是一道推理題，理解題意得到規(guī)律是解題的關鍵．19．如圖①，將一張長方形鐵皮的四個角都剪去邊長為3cm的正方形，然后沿四周折起，做成一個無蓋鐵盒，如圖②，鐵盒底面長方形的長為8xcm，寬為5xcm．（1）請用含x的代數(shù)式表示圖①中原長方形鐵皮的面積；（2）現(xiàn)要在鐵盒的各個外表面涂上某種油漆，若每花1元錢可涂漆面積為2xcm2，則涂漆這個鐵盒需要多少錢（用含x的代數(shù)式表示）．【答案】（1）（40x2+78x+36）（cm2）；（2）涂漆這個鐵盒需要（20x+39）元錢【分析】（1）根據(jù)圖形表示出原長方形鐵皮的面積即可；

（2）根據(jù)原長方形鐵皮的面積減去四個小正方形的面積，求出鐵盒的表面積，再乘單價即可得到結果．【詳解】（1）原鐵皮的面積是（8x+6）（5x+6）＝（40x2+78x+36）（cm2）；（2）油漆這個鐵盒的表面積是：40x2+78x+36﹣4×32＝（40x2+78x）（cm2）；則油漆這個鐵盒需要的錢數(shù)是：（40x2+78x）÷（2x）＝（20x+39）（元）．所以涂漆這個鐵盒需要（20x+39）元錢．【點評】此題考查了列代數(shù)式，掌握正方體的全面積與底面積的計算方法是解決問題的關鍵．20．先化簡，再求值：，其中，．【答案】，-2【分析】根據(jù)整式的混合運算進行化簡，再代入求值即可；【詳解】原式，當，時，原式．【點評】本題考查了整式的運算，解題的關鍵是熟知整式的運算法則；21．觀察下列兩個數(shù)的積（這兩個數(shù)的十位上的數(shù)相同，個位上的數(shù)的和等于10）；；；；；……（1）計算________，___________；（2）根據(jù)觀察與計算能得出什么結論，請將它用文字或字母表示出來；（3）證明得出的結論．【答案】（1）7221；3025；（2）十位上數(shù)字乘以十位上數(shù)字加一作為結果的千和百位數(shù)字，兩個個位相乘作為結果的個位和十位；（3）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)前四個算式的規(guī)律，算出二個算式的結果；（2）得出規(guī)律：十位上數(shù)字乘以十位上數(shù)字加一作為結果的千和百位數(shù)字，兩個個位相乘作為結果的個位和十位；（3）設十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，一個數(shù)為10x+y，則另一個數(shù)為10x+10-y=10（x+1）-y，將兩數(shù)相乘