2024講與練高中數(shù)學(xué)1(必修第一冊(cè)·A版)第1章 集合與常用邏輯用語(yǔ)

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

1.1集合的概念

第1課時(shí)集合的概念

課標(biāo)解讀素養(yǎng)目標(biāo)

1.通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與在集合概念的形成中，經(jīng)歷由具體到抽象、

集合的屬于關(guān)系.由文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)過(guò)

2.針對(duì)具體問(wèn)題，能在文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)集合.素養(yǎng).

「必備知識(shí)梳理課講預(yù)習(xí)?R礎(chǔ)方實(shí)二

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第001頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)一元素與集合的相關(guān)概念

1.元素：一般地，把竺究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,通常用小寫(xiě)拉丁字母a,b,c,…表示.

2.集合：把一些匹盍組成的總體叫做集合，簡(jiǎn)稱為集，通常用大寫(xiě)拉丁字母A,B,C,…表

示.

3.集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的.

4.集合中元素的特性：確定性、互異性和無(wú)序性.

?提得元素三特性的主要作用

(1)確定性的主要作用是判斷指定的一組對(duì)象能否構(gòu)成集合，其關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的

標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都能確定它是不是給定英合的元素，即組成集合的元素必須

是確定的.

(2)互異性的主要作用是提示我們求出結(jié)果后要檢驗(yàn).特別是題中含有參數(shù)時(shí)，一定要檢驗(yàn)求

出的參數(shù)是否使集合中元素滿足互異性.

(3)無(wú)序性的主要作用是方便定義集合相等.當(dāng)兩個(gè)集合相等時(shí)，其元素不一定依次對(duì)應(yīng)相等.

知識(shí)點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系

如果4是集合A的元素，就說(shuō)4屬于集合4,記作4?。蝗绻?。不是集合4中的元素，就說(shuō)

a不屬于集合A,記作。星A.

知識(shí)點(diǎn)三常用的數(shù)集及其記法

非負(fù)整數(shù)集

名稱正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

(或自然數(shù)集)

符號(hào)NN'或N+Z殳R

I判一判？

判斷正誤.（正確的畫(huà)“J”，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”）

1.一個(gè)集合中不可以有相同的元素.（J）

2.分別由元素0,1,2和2,0,I組成的兩個(gè)集合是相等的.（J）

3.”接近于2023的數(shù)”能組成集合.（X）

4.小￡Z.（X）

5.方程x2—16=0的實(shí)數(shù)解可以構(gòu)成集合.（J）

母鍵能力提升-）

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第（）02頁(yè)

類型一集合概念的理解

【例1】下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（C）

0「的近似值的全體構(gòu)成?個(gè)集合：

②自然數(shù)集N中最小的元素是（）；

③在整數(shù)集Z中，若a￡Z,則一a￡Z：

④一個(gè)集合中不可以有兩個(gè)相同的元素.

A.1B.2

C.3D.4

【解析】①、△的近似值的全體沒(méi)有確定性，不能構(gòu)成集合，錯(cuò)誤；②自然數(shù)集N中最小的元

素是0,正確：③在整數(shù)英Z中，若a￡Z,則一a￡Z,整數(shù)的相反數(shù)還是整數(shù)，正確：④

一個(gè)集合中不可以有兩個(gè)相同的元素，根據(jù)集合的定義知正確，故選C.

,通法提煉卜

1.判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，使給定的對(duì)象是“確定

無(wú)疑”的還是“模棱兩可”的.如果是“確定無(wú)疑”的，就可以構(gòu)成集合；如果是“模棱兩

可”的，就不能構(gòu)成集合.

2.判斷兩個(gè)集合相等的注意點(diǎn)：若兩個(gè)集合相等，則這兩個(gè)集合的元素相同，但是要注意其

中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.

【變式訓(xùn)練1】考察下列每組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是（B）

①中國(guó)各地的美麗鄉(xiāng)村；

②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；

③不小于3的自然數(shù)；

④截止到2023年I月I日，參與“一帶一路”的國(guó)家.

A.③?B.②③④

C.②③D.②④

解析：對(duì)于①，“美麗”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合集合中元索的確定性，，①中對(duì)象不能構(gòu)成集

合：對(duì)于②③④，每組對(duì)象的標(biāo)準(zhǔn)明確，都符合集合中元素的確定性，，②③④中對(duì)象可以

構(gòu)成集合.故選B.

類型二元素與集合的關(guān)系

【例2】（1）（多選題）下列結(jié)論中，正確的是（BCD）

A.若則一aWN

B.若a￡Z,則

C.若a￡Q,則同￡Q

D.若a￡R,則

【解析】A中當(dāng)。=0時(shí)，顯然不成立，其他選項(xiàng)均成立.

（2）設(shè)集合4是小于4行的所有實(shí)數(shù)的集合，則3小且從6+也.（用符號(hào)“￡”或“W”填

空）

【解析】???3小=亞<而，???3小WB,

:（6+何=38+12635,/.6+72><35,；?6+jCB.

,通法提煉卜

判斷元素和集合關(guān)系的方法

（1）直接法：首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的，然后判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.

（2）推理法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿足集合中元素所

具有的特征即可.

【變式訓(xùn)練2】（1）（多選題）下列關(guān)系式正確的是（AD）

A.|eRB.|-3|^N

C.一小￡QD.0e{0}

解析：對(duì)于A,3是實(shí)數(shù)，即;￡R,A正確；對(duì)于B,|-3|=3￡N,B錯(cuò)誤：對(duì)于C,一小是

無(wú)理數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,0E{0},D正確.故選AD.

（2）（多選題）已知集合M中的元素犬滿足x=a+陋〃，其中小bWZ,則下列選項(xiàng)中屬于集合

M的是（ACD）

A.0R.A/6

C.4D.3j

]

解析：當(dāng)a=b=0時(shí)，x=0,所以0￡M,A正確；當(dāng)a=-1,b=-1時(shí)，x=-1-y[2=

1一巾

C正確；當(dāng)。=-1.。=3時(shí)，x=36一1￡M,D正確；因?yàn)閍￡Z,bGZ,故x=a

+也加小，*0M,B錯(cuò)深.故選ACD.

即時(shí)港練達(dá)標(biāo)

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第003頁(yè)

1.下列語(yǔ)言敘述中，能表示集合的是（B）

A.數(shù)軸上離原點(diǎn)距離很近的所有點(diǎn)

B.某中學(xué)的全體高一學(xué)生

C.某高一年級(jí)全體視力差的學(xué)生

D.與△ABC大小相仿的所有三角形

解析：對(duì)于A,數(shù)軸上離原點(diǎn)距離很近的所有點(diǎn)不滿足集合中元素的確定性，故錯(cuò)誤；對(duì)于

B,某中學(xué)的全體高一學(xué)生滿足集合中元素的確定性，故正確：對(duì)于C,某高一年級(jí)全體視

力差的學(xué)生不滿足集合中元素的確定性，故錯(cuò)誤；對(duì)于D,與△A/3C大小相仿的所有三角形

不滿足集合中元素的確定性，故錯(cuò)誤.故選B

2.下列說(shuō)法中正確的是（C）

A.與定點(diǎn)4,B等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合

B.由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5

C.一個(gè)集合中有三個(gè)元素mb,c,其中mb,c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC不可能是等

腰三角形

D.高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合

解析：A不正確，與定點(diǎn)A,B等距離的點(diǎn)在48的垂直平分線上，能構(gòu)成集合；B不王確，

由title中的字母構(gòu)成的元素為3i,I,e,共4個(gè)；C正確，一個(gè)集合中有三個(gè)元素a,b,c,

故小b,c互異，故不可能構(gòu)成等腰三角形；D不正確，游泳能手沒(méi)有確定的標(biāo)準(zhǔn)，故不能

構(gòu)成集合.

3.集合M是由大于一2且小于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的，則下列關(guān)系正確的是（D）

A.小B.0WM

C.ieMD,一依M

解析：小>1,故A錯(cuò)誤；-2<0<1,故B錯(cuò)誤；1WM,故C錯(cuò)誤；一2<一3<1,故D正確.

4.試用集合符號(hào)表示點(diǎn)人在宜線/上，點(diǎn)人不在平面。上：人￡/,人Wa.

解析：點(diǎn)4在直線/上，月集合可表示為AW/.

點(diǎn)A不在平面a上，用集合可表示為ACa.

5.用符號(hào)“『或W填空：

（I）若集合P由小于皿的實(shí)數(shù)構(gòu)成，則2小生P；

（2）若集合Q由可表示為"+1（〃￡箱的實(shí)數(shù)構(gòu)成，則5且Q.

解析：（1）???2小=小川11,???2小任。.

解析：（2）?.'5=22+1,???5￡Q.

課堂小結(jié)

1.知識(shí)回顧

(I)元素與集合的概念.

(2)集合中元素的特征.

(3)元素與集合的關(guān)系.

(4)常用數(shù)集的記法.

2.易錯(cuò)提醒

自然數(shù)集中容易遺忘0這個(gè)元素.在判斷元素與集合的關(guān)系時(shí)，不能正確識(shí)別元素的垢構(gòu)特

征.

課時(shí)作業(yè)1對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第201頁(yè)

坦基礎(chǔ)鞏固人

一、單項(xiàng)選擇題

1.下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是(B)

A.上課遲到的學(xué)生

B.2023年高考數(shù)學(xué)難題

C.所有有理數(shù)

D.小于x的正整數(shù)

解析：對(duì)于B中難題沒(méi)有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)同一題有人覺(jué)得難，但有人覺(jué)得不難，故2023

年高考教學(xué)難題不能構(gòu)成集合，組成它的元素是不確定的.其他選項(xiàng)的對(duì)象都可以構(gòu)成集

合.故選B.

2.設(shè)不等式3—2x<0的解集為下列關(guān)系中正確的是(B)

A.0GM,2CM2GM

C.OWM,2WMD,0磁，2碼

解析：當(dāng)x=0時(shí)，3—2丫=3>0,所以06W：當(dāng)x=2時(shí)，3—21=一1<0,所以2GM.

3.下列各組中，集合尸與Q表示同?個(gè)集合的是(A)

A.尸是由元素1,小，7T構(gòu)成的集合，。是由元素7T,1,|一小胸成的集合

B.P是由兀構(gòu)成的集合，。是由3.14159構(gòu)成的集合

C.P是由2,3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(duì)(2,3)構(gòu)成的集合

D.P是滿足不等式一IWXWI的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程f=l的解集

解析：由于A中產(chǎn)，。的元素完全相同，所以。與。表示同一個(gè)集合，而B(niǎo),C,D中2

Q的元素不相同，所以。與。不能表示同一個(gè)集合.

4.已知集合M是方程fr+w=O的解組成的集合，若2￡M,則下列判斷正確的是（C）

A.leM

C.D.-2GM

解析：由2EM知2為方程x2—x+/〃=0的一個(gè)解，

所以22—2+〃?=0,解得〃[=一2.

所以方程為.F—x—2=0,解得》=—1,也=2.

故方程的另一根為一1.所以一IWM.

5.給出下列關(guān)系：?jiǎn)帷闞；②I-3ICN；

③I一小|￡Q；④OWN.其中正確的個(gè)數(shù)為（A)

A.1B.2

C.3D.4

解析：①正確；②③④不正確.

二、多項(xiàng)選擇題

6.下列選項(xiàng)中能構(gòu)成集合的是（CD）

A.高一年級(jí)跑得快的同學(xué)

B.中國(guó)的大河

C.3的倍數(shù)

D.大于6的有理數(shù)

解析：集合的元素要滿足“確定性”，所以A,B選項(xiàng)不符合，C,D選項(xiàng)符合.故選CD.

7.下列說(shuō)法正確的是（RC）

A.我校愛(ài)好足球的同學(xué)組成一個(gè)集合

B.｛1,2,3｝是不大于3的正整數(shù)組成的集合

C.集合（1,2,3,4,5｝和｛5,4,3,2,1｝表示同一集合

D.數(shù)1,（）,5,|,當(dāng)，、已組成的集合有7個(gè)元素

解析：我校愛(ài)好足球的同學(xué)不能組成一個(gè)集合；｛I,2,3）是不大于3的正整數(shù)組成的集合;

36

43--O

2,3,2,2

4^

l36

-

一

，

2甲

5,三組成的集合有5個(gè)元素.故選BC.

2f

空

填

題

8.給出卜.列說(shuō)法：

①在一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素;

②好聽(tīng)的歌能組成一個(gè)集合；

③高一(3)班所有姓氏能構(gòu)成集合；

④把1,2,3三個(gè)數(shù)排列，共有6種情況，因此由這三個(gè)數(shù)組成的集合有6個(gè).

其中正確的個(gè)數(shù)為1.

解析：①錯(cuò)誤，集合中的元素是互不相同的；②錯(cuò)誤，好聽(tīng)的歌是不確定的，所以好聽(tīng)的歌

不能組成一個(gè)集合；③正確，高一(3)班的姓氏是確定的，所以能構(gòu)成集合：④錯(cuò)誤，因?yàn)榧?/p>

合中的元素滿足無(wú)序性，故由I,2,3三個(gè)元素只能組成一個(gè)集合.

9.已知集合A中元素x滿足2x+〃>0,若2￡A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為〃>一4.

解析：因?yàn)?￡A,所以2X2+a>0,即〃>一4.

10.已知集合A中的元素滿足x=3&-1,kSZ,則一1旦4,一34且A.(填或“C”)

解析：當(dāng)左=0時(shí)，1=-1,所以一1W4;

令34=3?—1,得女=-11,所以一34WA.

四、解答題

II.設(shè)人是實(shí)數(shù)集，滿足若八，則丁匚￡人，〃外,且1初.

(1)若2￡A,則集合A中至少還有幾個(gè)元素？求出這幾個(gè)元素；

(2)集合A中能否只含有一個(gè)元素？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)：2￡A,???/—=1'=一1￡人，-T~=x7-*—=—1-7=2GA,

1~a1—2I~a1-(-1)21~a

~2

因此A中至少還有兩個(gè)元素一1和;.

(2)不能.理由如下：

如果集合A中只含有一個(gè)元素，則〃=丁!一，整理得〃2—〃+|=0,該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故在實(shí)

1—a

數(shù)范圍內(nèi)，集合A中不可幗只含有一個(gè)元素.

12.集合A中共有3個(gè)元素-4,2a-1,4,集合3中也共有3個(gè)元素9,〃一5,1一口，現(xiàn)

知9￡4且集合B中再?zèng)]有其他元素屬于A,能否根據(jù)上述條件求出實(shí)數(shù)〃的值？若能，則

寫(xiě)出。的值；若不能，則說(shuō)明理由.

解：V9EA,???24—1=9或。2=9.

若2〃-1=9,則〃=5,此時(shí)人中的元素為一4,9,25;B中的元素為9,0,-4,顯然一4

WA且一4W8,與已知矛盾，故舍去.

若后=9,則a=±3.

當(dāng)a=3時(shí)，4中的元素為一4,5,9;8中的元素為9,一2,一2,與集合中元素的互異性矛

盾，故舍去；

當(dāng)〃=一3時(shí)，A中的元素為一4,-7,9:8中的元素為9,-8,4,符合題意.

綜上所述，能根據(jù)已知條件求出實(shí)數(shù)〃的值，且〃=一3.

◎素養(yǎng)升級(jí)

13.(多選題)下列各組對(duì)象中能形成集合的是(BCD)

A.高一數(shù)學(xué)課本中較難的題

B.高一(I)班全體學(xué)生家長(zhǎng)

C.高一年級(jí)開(kāi)設(shè)的所有課程

D.高一(3)班個(gè)子高于1.7米的學(xué)生

解析：高一數(shù)學(xué)課本中的題，對(duì)某些人是難題，對(duì)另外一些人不是難題，因此高一數(shù)學(xué)課本

中較難的題標(biāo)準(zhǔn)不明確，對(duì)象不確定，高一數(shù)學(xué)課本中較難的題不能形成集合，A不符合題

意；高一(1)班全體學(xué)生家長(zhǎng)，對(duì)象明確可知，是確定的，能形成集合，B符合題意：高一年

級(jí)開(kāi)設(shè)的所有課程，對(duì)象明確可知，是確定的，能形成集合，C符合題意；高一(3)班個(gè)子高

于1.7米的學(xué)生，對(duì)象明確可知，是確定的，能形成集合，D符合題意.故選BCD.

14.觀察下列每組對(duì)象：

①舉行過(guò)足球“世界杯”的城市：②2023年高考各科試卷中所有的難題；③北京大學(xué)2023

級(jí)的新生；④接近1的數(shù)；⑤比較小的正整數(shù)；⑥平面上到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離等于I的點(diǎn).其

中能構(gòu)成集合的是①③⑥.

解析：②中“難題”不確定：④中“接近1的數(shù)”不確定：⑤中“比較小的正整數(shù)”不確定.

15.以某些整數(shù)為元素的集合戶具有以下兩個(gè)性質(zhì)：①P中的元素有正整數(shù)，也有負(fù)整數(shù)；

②若x,y￡P(guān),則x+)，￡P(guān).

(1)若xEP,求證：3x￡P(guān)：

(2)求證：0WP；

(3)判斷集合P是有限集還是無(wú)限集，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)證明：由②可得若則x+x=2x￡P(guān),則x+2x=3x《P.

(2)證明：設(shè)x,)，￡「且戈＞0,k0,則x為正整數(shù)，一)，為正整數(shù)，

由②可知，x個(gè)y相加的結(jié)果屬于集合P,即町，￡P(guān),同理，一)，個(gè)x相加的結(jié)果屬于集合P,

即一期wP,所以一萬(wàn)+盯=0eP.

(3)集合P為無(wú)限集，理由如下：

假設(shè)集合產(chǎn)為有限集，則笑合尸中元素必有最大值，且最大值為匯整數(shù)，不妨設(shè)最大值為,〃，

由②可得與集合P中元素的最大值為小矛盾，所以集合P為無(wú)限集.

第2課時(shí)集合的表示

課標(biāo)解讀素養(yǎng)目標(biāo)

1.掌握集合的兩種表示方法(列舉法和描述法).在學(xué)習(xí)過(guò)程中提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算

2.能夠運(yùn)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集素養(yǎng)，常在集合的表示方法中用到等價(jià)轉(zhuǎn)

合.化思想和分類討論思想.

必備知識(shí)械理未立發(fā)習(xí)?瓜*務(wù)%

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第003頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)一列舉法

把集合的所有元素=21定出來(lái)，并用花括號(hào)“｛｝”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法，

一般可將集合表示為｛。，瓦c,

小提福(1)元素間用“，”隔開(kāi).

(2)集合中的元素是確定的，元素不重復(fù)，且無(wú)順序.

(3)對(duì)于元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，把元素一一列舉出來(lái)并用“｛｝”括起來(lái)即可.

(4)對(duì)于元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但必須把元素間

的規(guī)律顯示清楚，然后加省略號(hào)，比如正整數(shù)集可表示為｛1,2,3,4,5,

⑸這里集合的“｛｝”已包含所有的意思，比如｛整數(shù)｝,即代表整數(shù)集Z,而不能用｛全體整

數(shù)｝,即不能出現(xiàn)“全體”“所有”等字眼.

知識(shí)點(diǎn)二描述法

一般地，設(shè)人是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P&)的元素x所組成的奧合表

示為匡皿或｝,這種表示集合的方法稱為描述法，有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線，寫(xiě)成｛X

￡A：P(x)｝或｛x￡A；P(.r)].

67提福(1)寫(xiě)清該集合中元素的代表符號(hào)，如｛x|Ql｝不能寫(xiě)成｛心>1｝.

(2)用簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確的語(yǔ)言進(jìn)行描述，如方程、不等式、幾何圖形等.

(3)不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母，如｛xaZ|x=2”?｝中〃?未被說(shuō)明，故此集合中的元素是不確定的.

(4)所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在花括號(hào)內(nèi)，如“｛x￡Z|x=2m｝,〃?￡N+”不符合要求，應(yīng)將“〃?

￡N+”寫(xiě)進(jìn)“｛｝”中，?P｛xeZ|x=2m,m€N+｝.

(5)元素的取值(或變化)范圍，從上下文的關(guān)系來(lái)看，若xER是明確的，則x￡R可省略不寫(xiě)，

如集合D=｛x￡R|x<20｝也可表示為D=｛x\x<20｝.

(6)多層描述時(shí),應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示元素之間關(guān)系的詞語(yǔ)，如口也<一1,或<>1｝.

(7)“｛｝”有“所有”“全體”的含義，如所有實(shí)數(shù)組成的集合可以用描述法表示為｛小是

實(shí)數(shù)｝,但如果寫(xiě)成口口是所有實(shí)數(shù)｝、｛x|x是全體實(shí)數(shù)｝、｛Hr是實(shí)數(shù)集｝都是錯(cuò)誤的，因?yàn)?/p>

｝”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全體”的意思，此處是初學(xué)者容易犯

的錯(cuò)誤，要注意領(lǐng)會(huì).

I判一判？

判斷正誤.(正確的畫(huà)“J”，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”)

1.集合(X￡N|A>5｝是用描述法表示的一個(gè)集合.(V)

2.｛小>3｝與｛y|y>3｝是同一個(gè)集合.(V)

3.絕對(duì)值小于3的整數(shù)組成的集合用列舉法可表示為｛-2,-1,1,2｝.(X)

4.由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為｛1,1,2,3).(X)

5.集合4=｛工僅-1=0｝與集合8=｛1｝表示同一個(gè)集合.(V)

快鍵能力提升津會(huì)黑亢?「

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第004頁(yè)

類型一列舉法表示集合

【例1】用列舉法表示下列集合：

(1)11以內(nèi)非負(fù)偶數(shù)組成的集合；

(2)方程(X+1)(『-4)=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

⑶一次函數(shù)y=2r與尸x+1的圖象的交點(diǎn)組成的集合.

【解】⑴11以內(nèi)的非負(fù)偶數(shù)有0,2,4,6,8,10,所以構(gòu)成的集合為｛0,2,4,6,8,10).

(2)。+1)(『-4)=0的根為xi=-l,X2=2,X3=-2,所以所有實(shí)數(shù)根組成的集合為｛-2,

-1,2).

x=1,

(3)聯(lián)立)，=x+l和)，=2x,解得」'所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)為(1,2),構(gòu)成的集合為｛(1,

b=2,

2)).

/通法提煉'

用列舉法表示集合的3個(gè)步驟

(1)求出集合的元素.

(2)把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次.

(3)用花括號(hào)括起來(lái).

67提福二元方程組的解集，函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合都是點(diǎn)的集合，一定要寫(xiě)成實(shí)數(shù)對(duì)

的形式，元素與元素之間用“，”隔開(kāi).如｛(2,3),(5,-I)｝.

【變式訓(xùn)練1】用列舉法表示下列集合：

(1)中國(guó)國(guó)旗的顏色組成的集合；

(2)單詞mathematics中的字母組成的集合;

(3)自然數(shù)中不大于10的質(zhì)數(shù)組成的集合；

僅x+4>0,

(4)同時(shí)滿足「"勺整數(shù)組成的集合；

U+1

⑸由乎+%，0WR)所確定的實(shí)數(shù)組成的集合.

解：(1)由題意，中國(guó)國(guó)旗的顏色有紅、黃兩種，故中國(guó)國(guó)旗的顏色組成的集合為｛紅，黃｝.

(2)集合中的元素具有互異性，除去相同的字母.

單詞malhemalics中的字母組成的集合為｛m,a,I,h,e,i,c,s｝.

(3)自然數(shù)中不大于10的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,故自然數(shù)中不大于10的質(zhì)數(shù)組成的集合為｛2,

3,5,7｝.

2r+4>0,x>—2,

(4Y<=>

xW2

-2.

2v+4>0,

故同時(shí)滿足,的整數(shù)有一I,0,1,2.

對(duì)應(yīng)的集合為｛-1,0,1,2).

(5)由題意，中0,b,0,

當(dāng)公>0,">0時(shí)，號(hào)+號(hào)=1+1=2;

當(dāng)a>0,/?<()時(shí)，，+號(hào)=1—1=0;

當(dāng)a<o,〃>o時(shí)，號(hào)+,=-1+1=。；

當(dāng)“<0,X0時(shí)，號(hào)+號(hào)=-1-1=-2.

故由號(hào)+%，b￡R)所確定的實(shí)數(shù)組成的集合為｛-2,0,2｝.

類型二描述法表示集合

【例2】用描述法表示下列集合：

(1)偶數(shù)組成的集合；

(2)不等式一F20的解集；

⑶平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；

(4)集合[1,2,3,4,?1,

【解】(1)因?yàn)榕紨?shù)可以表示成整數(shù)的兩倍，所以偶數(shù)組成的集合可表示為｛.很=2〃，”￡Z｝

或(小為偶數(shù)｝.

(2)不等式一/20的解集可表示為國(guó)一/2。｝.

(3)因?yàn)榈谒南笙薜狞c(diǎn)的橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)，所以立面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的點(diǎn)組

成的集合可表示為｛(x,y)[.r>0,)0｝.

(4)集合｛l,多?可用描述法表示為卜x=：,且〃W5).

/通法提煉'

1.用描述法表示集合時(shí)應(yīng)弄清楚集合的屬性，即它是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型，一般地,

數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，點(diǎn)集用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)代表其元素.

2.若描述部分出現(xiàn)代表元素以外的字母，則要對(duì)新字母說(shuō)明其含義或指出其取值范圍.

【變式訓(xùn)練2】用描述法表示下列集合：

(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；

⑵不等式2x-3>5的解集：

(3)方程x2+匯+1=0的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；

(4)拋物線)，=-X2+3A-6上所有點(diǎn)組成的集合；

(5)集合{1,3,5,7,9}.

解：(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為"|x=3匕女WZ}.

⑵不等式標(biāo)一3>5的解集,用描述法可表示為{x￡R|x>4}.

(3)方程f+x+l=0的所有實(shí)數(shù)解組成的集合，用描述法可表示為{x￡R|『+x+l=0}.

(4)拋物線y=-x2+3x—6上所有點(diǎn)組成的集合，用描述法?可表示為{(x,y)|y=-A2+3A—6}.

(5)集合{1,3,5,7,9),用描述法可表示為國(guó)x=2〃-1,1W/IW5且內(nèi)￡N*}.

類型三集合中元素性質(zhì)的應(yīng)用

【例3】已知集合A={Ma>+2x+l=0,〃￡R}.

(1)若A中只有一個(gè)元素，求a的值；

(2)若A中至少有一個(gè)元素，求。的取值范圍.

【解】(1)由題意，當(dāng)。=0時(shí)，2r+l=0,得工=一；，集合A只有一個(gè)元素，滿足條件；當(dāng)

〃羊()時(shí)，加+2￥+1=0為一元二次方程，/=4—4a=0,得〃=1,此時(shí)x=-1,集合4只有

一個(gè)元素..'.A中只有一個(gè)元素時(shí)，a=0或a=l.

(2)4中至少有一個(gè)元素包含兩種情況，一個(gè)元素和兩個(gè)元素，A中有兩個(gè)元素時(shí)，存0并且/

=4-4a>0,得a<l且再結(jié)合A中一個(gè)元素的情況，.人的取值范圍為1}.

/通法提煉'

根據(jù)集合中元素的性質(zhì)求參數(shù)問(wèn)題的解題策略

(1)若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵.

(2)對(duì)于其中的參數(shù)問(wèn)題，要注意分類討論，不重復(fù)不遺漏.

【變式訓(xùn)練3](1)已知集合4={〃+2,(a+l)2,/+3a+3},若|￡人，求實(shí)數(shù)a的取值集合.

(2)含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合4=卜，'a},若0￡A且1W4,求/。24+匕2024的值

解：(1)因?yàn)?￡A,所以

①若a+2=l,解得〃=一1,此時(shí)集合為{1,0,1},元素重復(fù)，所以不成立，即H-1.

②若(〃+1)2=1,解得a=0或〃=-2,當(dāng)〃=0時(shí)，集合為{2,I,3},滿足條件，即4=0

成立.

當(dāng)〃=一2時(shí)，集合為{0,1,1),元素重復(fù)，所以不成立，即時(shí)一2.

③若/+3。+3=1,解得a=—I或〃=—2,由①②知都不成立.

所以滿足條件的實(shí)數(shù)4的取值集合為{0}.

(2)由0￡A,可知存0,故宗和，所以\=0,解得。=0,

由1WA,可得/=1或〃=],

當(dāng)4=1時(shí)，〃2=],與集合中元素的互異性矛盾，所以°2=1且存],所以〃=一],

故a=-1,b=o,所以〃2。24+/024=]

即時(shí)演練達(dá)標(biāo)兇金檢Ma小icsr

對(duì)應(yīng)學(xué)牛用書(shū)第006頁(yè)

1.用列舉法表示集合{小2—〃+1=0}為(B)

A.{1,1}B.{1}

C.{x=\]D,{X2-2A+1=0}

解析：方程f-2r+l=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解1,根據(jù)集合元素的互異性知B正確.

2.集合口右1＜卜一2遼1}的另一種表示法是(B)

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}

C.[0,1,2,3,4}D,{I,2,3,4}

解析：因?yàn)閤-2Wl,所以xW3,x￡N*,從而x=l,2,3.

3.已知集合M={Mr￡N},則(A)

A.OEMB.TC￡M

C.pGMD.\^M

解析：由集合M={M#￡N}知，0￡M,故A正確；兀任M,故B錯(cuò)誤；陋CM,故C錯(cuò)誤；1

GM,故D錯(cuò)誤.

4.表示方程f+x—6=()的根的集合，用列舉法可以表示為12,—3},用描述法可表示為叱

+x-6=0}(答案不唯一).

解析：由f+x—6=0,得(x—2)(x+3)=0,解得k=2或%=一3,

所以方程根的集合用列舉法可以表示為{2,-3},

用描述法可表示為3f+工-6=0).(描述法答案不唯一)

5.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

⑴不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合4

(2)所有正奇數(shù)組成的集合伙

⑶絕對(duì)值不大于3的所有整數(shù)組成的集合C；

(4)直角坐標(biāo)平面上，拋物線上的點(diǎn)組成的集合D.

解：(1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,用列舉法表示：4={2,3,

5,7,11,13,17).

(2)所有正奇數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，用描述法表示：8={巾=24+1,ZWN}.

(3)絕對(duì)值不大于3的所有整數(shù)只有一3,-2,-1,0,1,2,3,用列舉法表示：。={-3,

—2?—1?0,1,2,3）.

（4）直角坐標(biāo)平面上，拋物線），=/上的點(diǎn)，用描述法表示：。=｛（1，>'）1>'=^2｝.

課堂小結(jié)

1.知識(shí)回顧

⑴列舉法.

（2）描述法.

（3）集合與方程、不等式的關(guān)系.

2.易錯(cuò)提醒

列舉法與描述法的亂用；涉及f的系數(shù)不確定時(shí)，忽略討論方程是一次方程還是二次方程.

課時(shí)作業(yè)2對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第203頁(yè)

電/基礎(chǔ)鞏固

1.下列命題中正確的是（A）

A.集合“￡RM=1｝中有兩個(gè)元素

B.集合｛（）｝中沒(méi)有元素

C.E￡｛4rv2?。?/p>

D.｛1,2｝與｛2,1｝是不同的集合

解析：｛]￡部2=1｝=｛1,—1｝;集合｛0｝是單元素集，有一人元素，這個(gè)元素是0;因?yàn)椋?lt;2小｝

=｛A|X<VT2｝,V13>VT2,所以小國(guó).很<2?。?根據(jù)集合中元素的無(wú)序性可知｛1,2｝與｛2,

1｝是同一個(gè)集合.

2.若l￡｛x+2,x2｝,則實(shí)數(shù)％的值為（B）

A.—1B.1

C.1或一10.1或3

解析：由l￡｛x+2,『｝,可得『=1或x+2=l,當(dāng)『=1時(shí)，4=±1.當(dāng)x=l時(shí)，x+2=3,

滿足要求；當(dāng)工=一1時(shí)，-1+2=1,不滿足元素的互異性，舍去.當(dāng)x+2=l時(shí)，x=-l,

舍去..*.A=1.

3.把集合｛xlF-?-SnO｝用列舉法表示為（D）

A.（x=—1,x=5｝B.｛小=-1,或x=5｝

C.｛X2-4X-5=0｝D,｛-I,5｝

解析：根據(jù)題意，解X2一八一5=0可得工=-1或5,用列舉法表示為｛-1,5｝.

4.若｛a,0,\｝=｛a2,a,0｝,則實(shí)數(shù)〃的值為（A）

A.-1B.O

C.1D.-1或1

解析：在{a,0,1}中，分0且〃羊1,而{a,0,1}={標(biāo)，a,0},則有/=],解■得。=一1,

所以實(shí)數(shù)a的值為-1.故選A.

5.已知集合4={1,2},8={.巾=。+力，”《A,。仁4},則集合B中的元素個(gè)數(shù)為（C）

A.1B.2

C.3D,4

解析：???集合人={1,2},B={x\x=a+h,b^A],；?B=[2,3,4）,，集合B中的

元素個(gè)數(shù)為3.

二、多項(xiàng)選擇題

6.已知x￡（l,2,A2-A）,則實(shí)數(shù)x的值可能為（AB）

A.OB.1

C.2D.-1

解析：當(dāng)犬=1時(shí)，*一4=0,集合的元素滿足互異性，滿足題意；當(dāng)x=2時(shí)，/一1=2,集

含的元素不滿足互異性，K滿足題意；當(dāng)『一工=工時(shí)，解得x=O或”=2（合），集合的元素滿

足互異性，滿足題意.綜上所述，X=0或1.故選AB.

7.已知集合A={（），a+力，多，8={2,2—兒c},若A=B,貝iJa+Z?+c的值可能為（ABD）

3

A.2B.2

23

C.—D,12

解析：因?yàn)槿?從所以2—〃=0或c=O.

①當(dāng)方=2時(shí)，4={。，a+2,9，B=[2,0,c},所以a+2=2或尹2,得〃=0或4.

當(dāng)4=0時(shí)，A={0,2}不合題設(shè)，舍去.

當(dāng)"=4時(shí)，A={0,6,2},c=6,此時(shí)a+〃+c=12.

a+b=2—b,

②當(dāng)c=0時(shí)，A=（。，a+b,菖，8={2,2~b,0},所以《ac,或ac

Jr2-b[L，

a=l,

a=0,〃=1,

解得或.或

b=2b=1

67=0,

當(dāng)J,時(shí)，4={0,2}不合題設(shè)，舍去.

b=2

。=1,

當(dāng)）時(shí)，4=B={0,2,I},此時(shí)a+〃+c=2.

b=1

,a=1

當(dāng)!1時(shí)，A=8={（）,I，此時(shí)a+0+c=,.故選ABD.

O-

=2

、

三,填空題

8.已知集合人={.r|2x+a>()},且人，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是JHaW-2).

解析：???|C{x|2x+a>0},???2Xl+aW0,即—2.

3

9.已知集合A中有三個(gè)元素層一3小2。+1,5,且一2EA,則實(shí)數(shù)2?

解析：因?yàn)橐?《A,所以24+1=—2或/-3〃=-2,

q27

若2〃+l=—2,則a=-此時(shí)集合A中含有三個(gè)元素一2,5,~r,符合題意；

z4

若3。=-2,則〃=1或〃=2,

當(dāng)”=1時(shí)，集合4中含有三個(gè)元素3,5,-2,符合題意，

當(dāng)〃=2時(shí)，此時(shí)集合A中含有重復(fù)元素5,不符合題意，舍去，

所以實(shí)數(shù)〃的值是1或一I

z

10.中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《孫子算經(jīng)》中有一問(wèn)題“今有三女，長(zhǎng)女五日一歸，中女四日一歸,

少女三日一歸，問(wèn)：三女何日相會(huì)？”，則此三女前三次相會(huì)經(jīng)過(guò)的天數(shù)組成的集合用列舉

法可表示為160,120,180，,此三女相會(huì)經(jīng)過(guò)的天數(shù)組成的集合用描述法可表示為比卜=60〃,

解析：因?yàn)槿鄷?huì)經(jīng)過(guò)的天數(shù)是5,4,3的公倍數(shù)，且它們的最小公倍數(shù)為60,所以三女

前三次相會(huì)經(jīng)過(guò)的天數(shù)組成的集合用列舉法可表示為{60,120,180}.

此三女相會(huì)經(jīng)過(guò)的天數(shù)組成的集合用描述法可表示為{.中=60〃，〃￡N'}.

四、解答題

11.(1)用列舉法表示下列集合：

①{(x,y)|_v+y=5,x￡N3)，￡N'}：②{>b=/+1,—2<丫<3,x￡Z}；

③平方等于25的實(shí)數(shù).

(2)用描述法表示下列集合：

①被5除余3的正整數(shù)組成的集合；

②{-2,0,2,4,6,8,10}；

③2的平方根.

解：⑴①因?yàn)閥￡N二x+y=5,所以x,)，都只能取1,2,3,4,故所求的集合為{(1,

4),(2,3),(3,2),(4,1)}.

②由題可知x可取一1,0,I,2,根據(jù)元素的互異性，得所求的集合為{I,2,5).

③因?yàn)?±5)2=25,所以所求的集合為{-5,5}.

(2)①獻(xiàn)5除余3的正蚣數(shù)組成的集合為{Y|T=5〃+3,〃￡N}.

②{-2,0,2,4,6,8,10}={小=2匕-1WZ5,k^Z}.

③2的平方根，用集合表示為“|酎=2}.

12.已知集合A={x￡R|af—3x—4=0}.

（1）若1￡A,求集合A；（用列舉法表示）

⑵若A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解：（1）因?yàn)?GA,所以〃一3—4=0,解得a=7,

4

解方程7/—3人一4=0,可得人=1或人=一亍，

所以集合人=

（2）當(dāng)。=0時(shí)，萬(wàn)程為一3工一4=0,

此時(shí)集合4={一號(hào)，

9

當(dāng)W0時(shí)，集合A中至多有一個(gè)元素，只需判別式/W0,即9+16aW0,即aW-m，

綜上所述，。的取值范圍是,錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)。＜一卷，或。=0、

取素養(yǎng)升級(jí)

13.（多選題）設(shè)集合A={-3,x+2,W—4x},且5￡A,則x的值可以為（BC）

A.3B.-1

C.5D.-3

解析：由5E4,得x+2=5或儲(chǔ)-4x=5.若x+2=5,則x=3,此時(shí)X2—41=9一12=—3,

不符合題意，故舍去；若x2—4x=5,則x=-1或x=5,當(dāng)A=-1時(shí)，A={—3,1,5},

符合題意；當(dāng)x=5時(shí)，4={-3,7,5},符合題意.綜上所述，工=-1或x=5.故選BC.

14?方程"二:的解集用列舉法表示為

用描述法表示為［（認(rèn)v）

解析：容易得方程組

x+y=2,\x=2f

“的解為＜

7

--

X7

\

u

故用列舉法表示為用描述法表示為/3

--

y2

15.（1）集合A=卜工￡N，且在ez},用列舉法表示A

(2)用描述法表示圖中的陰影部分(包括邊界)點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合.

(3)集合M中的元素為自然數(shù)，且滿足8-rGM,則滿足題設(shè)條件的集合M共有多少

個(gè)？

4

解：(1)注意到:;一ez,因此2一1=±2,±4,±1,解得大=一2,0,1,3,4,6,又??、￡N,

2—x

Ax=0,I,3,4,6,/.X={0,1,3,4,6}.

⑵用描述法表示陰影部分(包括邊界)點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合為

{(x,y)—iWxg,一；W)W1}.

(3)滿足條件的集合M是由集合{4},{0,8},{1,7},{2,6},{3,5}中的元素組成，它包

括以下情況：

①由1個(gè)集合中的元素組成的有{4},{0,8},{I,7},(2,6),{3,5},共5種；

②由2個(gè)集合中的元素組成的有{4,0,8},{4,1,7},{4,2,6},{4,3,5},{0,8,I,

7},{0,8,2,6},{0,8,3,5},{1,7,2,6},{1,7,3,5},{2,6,3,5},共10種：

③由3個(gè)集合中的元素組成的有{4,0,8,1,7},{4,0,8,2,6},{4,0,8,3,5},{4,

1,7,2,6},{4,1,7,3,5},{4,2,6,3,5},{0,8,1,7,2,6},{0,8,1,7,3,

5},{1,7,2,6,3,5},{0,8,2,6,3,5},共1()種：

④由4個(gè)集合中的元素組成的有{4,0.8,I,7,2,6},{4,0,8,1,7,3,5},{4,0,

8,2,6,3,5},{4,1,7,2,6,3,5},{0,8,1,7,2,6,3,5},共5種；

⑤由5個(gè)集合中的元素組成的有{4,0,8,1,7,2,6,3,5},1種.

綜上可知，滿足題設(shè)條件的集合M共有31個(gè).

1.2集合間的基本關(guān)系

課標(biāo)解讀素養(yǎng)目標(biāo)

會(huì)用三種語(yǔ)言(文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言)表示集合

理解集合之間包含與相等的

間的基本關(guān)系，井能進(jìn)行轉(zhuǎn)換，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀

含義，能識(shí)別給定集合的子集.

想象的核心素養(yǎng).

梳理

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第006頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)一子集

1.理解子集的三種語(yǔ)言

(1)文字語(yǔ)言；一般地，對(duì)于兩個(gè)集介八，8,如果集合人中任意一個(gè)元素都是集合8中的元

素,就稱集合A為集合8的子集，記作4GB（或83A）,讀作“4包含于8”（或“B包含A”）.

（2）符號(hào)語(yǔ)言：若貝lj4G伏或心A）.

（3）圖形語(yǔ)言（Venn圖）（如圖所示）.

2.子集的性質(zhì)

⑵若AGBBNC,則4",即子集具有傳遞性.

（3）0GA,即空集是任何集合的子集.

知識(shí)點(diǎn)二