專題40 空間向量及其應(yīng)用解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測

Page專題40空間向量及其應(yīng)用（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 4【考點(diǎn)突破】 9【考點(diǎn)1】空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理 9【考點(diǎn)2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 17【考點(diǎn)3】利用空間向量證明平行與垂直 25【分層檢測】 35【基礎(chǔ)篇】 35【能力篇】 46【培優(yōu)篇】 52考試要求：1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.知識梳理知識梳理1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))5.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.6.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2l1∥l2u1∥u2?u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2?u1·u2＝0直線l的方向向量為u，平面α的法向量為nl∥αu⊥n?u·n＝0l⊥αu∥n?u＝λn平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2?n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2＝01.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).2.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn).3.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.4.在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))證明MN∥平面ABC時，必須說明M點(diǎn)或N點(diǎn)不在平面ABC內(nèi).真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2021·全國·高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足BP=λBC+μBB1，其中，μ∈0,1A．當(dāng)時，的周長為定值B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得D．當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得平面三、解答題3．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．參考答案：1．C【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因為底面為正方形，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因為底面為正方形，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因為，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.2．BD【分析】對于A，由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對于B，將點(diǎn)的運(yùn)動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個數(shù)；對于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當(dāng)時，BP=BC+μBB1=BC+μC對于B，當(dāng)時，BP=λBC+BB1=BB1+λB1C1，故此時點(diǎn)軌跡為線段，而對于C，當(dāng)時，BP=12BC+μBB1，取，中點(diǎn)分別為，，則BP=BQ+μQH，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，A132,0,1，P0,0,μ，B0,12,0，則對于D，當(dāng)時，BP=λBC+12BB1，取，中點(diǎn)為．BP=BM+λMN，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)P0,y0,12，因為A3故選：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．3．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過作垂直的延長線交于點(diǎn)，因為是中點(diǎn)，所以，在中，，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因為，所以，所以，又，所以.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理一、單選題1．（2021·上海崇明·一模）若正方體上的點(diǎn)是其所在棱的中點(diǎn)，則直線與直線異面的圖形是（

）A．

B．

C．

D．2．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測）給出下列命題，其中錯誤的命題是（

）A．向量，，共面，即它們所在的直線共面B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為二、多選題3．（2022·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)P），則下列說法正確的是（

）A．對任意點(diǎn)，則有、、、四點(diǎn)共面B．存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面C．對任意點(diǎn)，則有平面D．存在點(diǎn)，使得平面4．（22-23高二上·廣東·階段練習(xí)）《瀑布》（圖1）是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”（圖2）.在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系（原點(diǎn)O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面），將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉(zhuǎn)，得到的三個正方體，，2，3（圖4，5，6）結(jié)合在一起便可得到一個高度對稱的“三立方體合體”（圖7）.在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結(jié)論正確的是（

）A．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，2，3，則B．設(shè)，則C．點(diǎn)到平面的距離為D．若G為線段上的動點(diǎn)，則直線與直線所成角最小為三、填空題5．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知三棱錐，空間內(nèi)一點(diǎn)滿足，則三棱錐與的體積之比為．6．（23-24高二上·浙江麗水·期末）已知三棱錐的體積為是空間中一點(diǎn)，，則三棱錐的體積是.參考答案：1．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出滿足每個選項點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量平行的定義，結(jié)合異面直線的定義逐項判斷即可.【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

對于A，由A選項的圖可知,，所以,即，所以，即，故A錯誤；對于C，由C選項的圖可知,，所以，即，所以，即與共面，故C錯誤；對于D，由D選項的圖可知,，所以,即，即與共面，故D錯誤.對于B，由B選項的圖可知,，所以,即不存在實(shí)數(shù)使得，即與不平行，由圖可知與不相交，所以與是異面直線，故B正確.故選：B.2．A【分析】根據(jù)共面向量的性質(zhì)，結(jié)合基底的定義、投影向量的定義進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】對于A，向量可以通過平移后共面，但是它們的所在直線不一定是共面直線，故A錯誤；對于B，，，即，所以，，，四點(diǎn)共面，故B正確；對于C，根據(jù)空間向量基底的性質(zhì)可知這兩個向量共線，故C正確；對于D，在上的投影向量為，故D正確.故選：A.3．BD【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.【詳解】因為底面，四邊形為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、、、，設(shè)，其中，則，，，設(shè)，則，解得，故存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面，B對；，，，設(shè)，所以，，解得，不合乎題意，A錯；，，若平面，平面，則，解得，C錯；設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，若平面，則，解得，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，平面，D對.故選：BD.4．ACD【分析】正方體的頂點(diǎn)到中心的距離不變，判斷A，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量法求解判斷BCD．【詳解】正方體棱長為2，面對角線長為，由題意，，，，旋轉(zhuǎn)后，，，，，，，，，，，，旋轉(zhuǎn)過程中，正方體的頂點(diǎn)到中心的距離不變，始終為，因此選項A中，，2，3，正確；，設(shè)，則，，，則存在實(shí)數(shù)，使得，，，，∴，B錯；，，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，又，∴到平面的距離為，C正確；，設(shè)，，，，令，則，時，，遞增，時，，遞減，∴，又，，所以，即，，夾角的最小值為，從而直線與直線所成角最小為，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題正方體繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，因此我們可以借助平面直角坐標(biāo)系得出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，例如繞軸旋轉(zhuǎn)時時，各點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）不變，只要考慮各點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的射影繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)即可得各點(diǎn)空間坐標(biāo)．5．【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合空間向量的基本定理，得到在平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，得到，即可求解.【詳解】由空間內(nèi)一點(diǎn)滿足，可得，因為，根據(jù)空間向量的基本定理，可得在平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，所以，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，所以三棱錐和的體積比值為.故答案為：.6．10【分析】根據(jù)題意，由空間向量的運(yùn)算可得，再由空間向量基本定理可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，即，即，所以，因為，由空間向量基本定理可知，在平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使得成立，即，所以，即，則，又三棱錐的體積為15，則.故答案為：10反思提升：1.(1)選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的基本要求.(2)解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，靈活運(yùn)用三角形法則及平行四邊形法則，就近表示所需向量.2.(1)對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，則點(diǎn)P，A，B共線.(2)證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法.①eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).②對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).【考點(diǎn)2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用一、單選題1．（2024·青海·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)滿足，，，則直線CE與DF所成的角為（

）A．30° B． C．60° D．90°2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在所有棱長均為的平行六面體中，為與交點(diǎn)，，則的長為（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·河北石家莊·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）

A．若點(diǎn)為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為B．若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最小值為C．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則平面與四邊形的交線長為D．若點(diǎn)在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界）且，則點(diǎn)的軌跡長度為4．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）如圖，正八面體棱長為1，M為線段上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則（

）A． B．的最小值為C．當(dāng)時，AM與BC的夾角為 D．三、填空題5．（23-24高三下·上海浦東新·期中）正三棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，向量，滿足，，則的最大值為.6．（23-24高二上·廣東·期末）如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，則直線和夾角的余弦值為．若分別是上的動點(diǎn)，且，則的最小值是．參考答案：1．D【分析】設(shè)，，，利用空間向量運(yùn)算得，，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解數(shù)量積，即可解答.【詳解】設(shè)，，，則，，，，所以，故直線CE與DF所成的角為90°.故選：D2．C【分析】以，，作為一組基底表示出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得解.【詳解】依題意，所以，所以，即.故選：C3．BD【分析】取中點(diǎn)，連接，為異面直線與所成角，可判斷A；將側(cè)面延旋轉(zhuǎn)至與平面共面，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可判斷B；對于C，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，取靠近的四等分點(diǎn)，則可證明，判斷C；并確定點(diǎn)的軌跡為直線在正方形內(nèi)的線段，判斷D.【詳解】對于A，取中點(diǎn)，連接，則，所以為異面直線與所成角，在中，，故A錯誤；對于B，將側(cè)面延旋轉(zhuǎn)至與平面共面，如圖連接，交與點(diǎn)，此時最小，

且，故B正確；對于C，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則因為平面平面，所以平面與平面的交線為過點(diǎn)且平行于的直線，取靠近的四等分點(diǎn)，連接，并延長交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，由，所以，則，則，所以為平面與平面的交線，則為平面與平面的交線，所以為平面與四邊形的交線，由于，所以，又，所以，則，故C錯誤；對于D，因為點(diǎn)在側(cè)面正方形內(nèi)，設(shè)，則，因為，所以，化簡為，則點(diǎn)的軌跡為直線在正方形內(nèi)的線段，其長度為，故D正確.故選：BD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題選項D為空間動點(diǎn)軌跡的探索問題，解答本題的關(guān)鍵是利用空間直角坐標(biāo)系探索出動點(diǎn)的軌跡.4．BC【分析】根據(jù)體積公式即可求解A，根據(jù)平面中兩點(diǎn)距離最小即可求解B，根據(jù)線線垂直可得線面垂直，進(jìn)而求解C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解D.【詳解】對于A,連接相交于，故，，A錯誤；對于B，因與均是邊長為1的正三角形，故可將沿翻折，使其與共面，得到菱形，則，B正確；對于C，由且,平面,故平面，平面，，若，平面,則平面，故，知M與C重合，AM與BC的夾角為，C正確；對于D，，，由于平面，故平面，平面，故（與的夾角為鈍角），D錯誤．故選：BC.5．4【分析】利用向量運(yùn)算化簡變形，設(shè)，將向量等式轉(zhuǎn)化為兩動點(diǎn)軌跡為均為球面，再利用球心距求兩球面上任意兩點(diǎn)間距離最大值即可.【詳解】已知正三棱錐，則，且，由化簡得，由化簡得.設(shè)，代入，，分別化簡得，且，故點(diǎn)在以為直徑的球面上，半徑；點(diǎn)在以為直徑的球面上，半徑分別取線段、的中點(diǎn)、，則，故.故答案為：4【點(diǎn)睛】將向量的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為動態(tài)的幾何表達(dá)，借助幾何意義求解動點(diǎn)間的距離最值是解決本類題型的關(guān)鍵所在.6．/0.25；．55/1【分析】利用已知條件結(jié)合向量法即可求解；利用二面角的定義證得就是二面角的平面角，即為，再利用空間向量將的長轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積、一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解．【詳解】連接，如下圖，由題意，，，正方形中，，正方形中，平面，平面，平面平面，就是二面角的平面角，則，向量與向量夾角為，且，①，，，，，直線和夾角的余弦值為；②設(shè)，則，且由題意，，，令，,，圖象開口向上，且對稱軸為，當(dāng)時，取得最小值，又，，即的最小值是．故答案為：；．反思提升：由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準(zhǔn)確.【考點(diǎn)3】利用空間向量證明平行與垂直一、單選題1．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，正方體的棱長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．三棱錐的體積為 D．直線BC與平面所成的角為2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，與平面交于點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動，則線段的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面平面，且和均是邊長為的等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，為上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），平面交直線于，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)運(yùn)動時，總有B．當(dāng)運(yùn)動時，點(diǎn)到直線距離的最小值為C．存在點(diǎn)，使得平面D．當(dāng)時，直線交于同一點(diǎn)4．（2024·重慶九龍坡·三模）在棱長為2的正方體中，P，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面B．直線與平面所成角的正切值為C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球表面積為9π三、解答題5．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體中，，.

(1)求證：四邊形為正方形；(2)求體對角線的長度；(3)求異面直線與所成角的余弦值.6．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．參考答案：1．B【分析】A選項根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷；對于B，D利用空間向量判斷，對于C，利用體積公式求解即可.【詳解】A選項：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯誤；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，對于B，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為，所以，所以，因為在平面外，所以直線與平面平行，所以B正確，對于C，，所以三棱錐的體積為，所以C錯誤，對于D，，直線BC與平面所成的角為，，所以D錯誤，故選：B.2．C【分析】建系，分析可知平面，，，結(jié)合垂直關(guān)系可知，結(jié)合范圍分析最值即可.【詳解】如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，可得，則，可知，且，平面，可知：平面，且平面，可得，設(shè)，即，則，因為，解得，即；同理可得：平面，，則，，又因為，則三棱錐為正三棱錐，點(diǎn)為等邊的中心，在中，結(jié)合等邊三角形可知：，因為平面，平面，則，可知，當(dāng)時，取到最小值；當(dāng)時，取到最大值；綜上所述：線段的取值范圍為.故選：C.3．ABD【分析】選項A，根據(jù)條件，得到面，再利用線面平行的性質(zhì)，即可求解；選項B，根據(jù)條件得到為點(diǎn)到直線的距離，從而知當(dāng)時，點(diǎn)到直線距離最小，再利用等面積，即可求解；選項C，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件得到與不垂直，即可求解；選項D，根據(jù)條件得到必有交點(diǎn)，再利用基本事實(shí)3，即可求解.【詳解】對于選項A，因為分別為的中點(diǎn)，所以，又為上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），故面，所以面，又面面，面，故，所以選項A正確，對于選項B，由題知，所以，得到，即為點(diǎn)到直線的距離，如圖1，連接，因為，又平面平面，平面平面，面，所以面，又面，所以，在中，當(dāng)時，點(diǎn)到直線距離最小，又，，由，得到，所以選項B正確，對于選項C，由選項B知，可建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則，又分別是的中點(diǎn)，所以，設(shè)，又，，，由，得到，解得，又，所以與不垂直，故不存在點(diǎn)，使得平面，所以選項C錯誤，對于選項D，如圖3，由（1）知，又，且，又，所以，且，則必有交點(diǎn)，設(shè)，因為面，所以面，又面，所以面，得到面面，所以直線交于同一點(diǎn)，故選項D正確，故選：ABD.4．ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，得出各直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)空間關(guān)系的向量證明判斷A，利用線面角的向量公式求解判斷B，利用等體積法求出相應(yīng)三棱錐的體積判斷C，利用補(bǔ)體法求得外接球的半徑，即可求解外接球的表面積判斷D.【詳解】由題意，在正方體中，棱長為2，分別為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

則對于A項，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又，因為直線平面，所以直線平面，A正確；對于B項，

，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以，故，故B正確；對于C項，

，故C不正確；對于D項，如圖，

三棱錐恰好在長方體上，且為體對角線，所以為三棱錐外接球的直徑，由幾何知識，所以三棱錐的外接球表面積為，故D正確.故選：ABD.5．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用向量相等證明四邊形為平行四邊形，再證明鄰邊垂直即可得證；（2）利用空間向量的數(shù)量積計算模長即可；（3）利用空間向量的數(shù)量積求夾角即可.【詳解】（1）因為，，所以，而不共線，所以四邊形為平行四邊形，又，所以，即，所以四邊形為正方形；（2）由題意易知，所以，因為，，所以，，所以，即；（3）因為，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.6．(1)證明見解析(2)．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明,再通過線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量法求二面角的公式即可求解.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，，，所以，，，，，．因為，所以，又平面，平面，所以平面．（2）設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，取，則，．所以，是平面的一個法向量，又因為平面，所以為平面的一個法向量，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．反思提升：(1)利用向量證明平行問題①線線平行：方向向量平行.②線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直.③面面平行：兩平面的法向量平行.(2)利用向量法證垂直問題的類型及常用方法①線線垂直問題：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零；②線面垂直問題：直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；③面面垂直問題：兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（20-21高二上·山東泰安·期中）已知兩個非零向量，，則這兩個向量在一條直線上的充要條件是（

）．A． B．C． D．存在非零實(shí)數(shù)，使2．（2024·河南·三模）在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，是內(nèi)一點(diǎn)，四面體的體積為，則對，的最小值是（

）A． B． C． D．63．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點(diǎn)，則的不同值的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．4 D．84．（2024·四川德陽·二模）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）①若，且，則②若且，則③若，且，則④若，且，則A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題5．（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）下列命題是真命題的有(

)A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過三點(diǎn)，是平面α的法向量，則u+t＝16．（2021·全國·模擬預(yù)測）在正三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成角的余弦值為7．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（

）A．存在點(diǎn)Q，使得 B．存在點(diǎn)Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為三、填空題8．（2023高一·全國·單元測試）設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為．9．（2024·山東濟(jì)南·一模）在三棱柱中，，，且平面，則的值為.10．（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為（用向量來表示）.

四、解答題11．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為4的正方體中，，設(shè)，，.(1)試用，，表示；(2)求的長.12．（20-21高二上·天津靜海·階段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè)，，.(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．參考答案：1．D【解析】分析各選項中、的位置關(guān)系，由此可得出合適的選項.【詳解】若非零向量，在同一條直線上，則、共線.對于A選項，，且是與同向的單位向量，是與同向的單位向量，所以，、同向，所以，是、在一條直線上的充分不必要條件；對于B選項，取，，則，但、不共線；對于C選項，若，則，可知；對于D選項，“存在非零實(shí)數(shù)，使”“”.故選：D.2．D【分析】根據(jù)共面向量定理將所求最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，再利用體積求解即可.【詳解】設(shè)，由共面向量定理得點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且，所以，求的最小值，即求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意知，四面體的體積，解得，故所求最小值為6．故選：D．3．A【分析】根據(jù)投影向量的定義理解向量數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合圖形即可計算得到.【詳解】因圖中是四個相同的正方體排成的正四棱柱，故在上的投影都是，所以，，即的值只有一個．故選：A.4．A【分析】利用方向向量與法向量判斷線面位置關(guān)系，從而判斷①④；利用面面平行的判定定理判斷②，舉特例可排除③，從而得解.【詳解】設(shè)分別是直線的方向向量，對于①，因為，所以分別是平面的法向量，又，即，所以，故①正確；對于②，由面面平行的判定定理可知，當(dāng)不相交時，不一定成立，故②錯誤；對于③，當(dāng)時，可滿足時有，又，顯然此時位置關(guān)系不確定，故③錯誤；對于④，因為，所以是平面的法向量，又，所以也是平面的法向量，又，即，所以，故④錯誤.故選：A.5．ABD【分析】由基底的概念以及空間位置關(guān)系的向量證明依次判斷4個選項即可．【詳解】解：對于A，A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則共面，可得A，B，M，N共面，故A正確；對于B，，故，可得l與m垂直，故B正確；對于C，，故，可得在α內(nèi)或l∥α，故C錯誤；對于D，，易知，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正確．故選：ABD．6．AC【分析】A.利用空間向量運(yùn)算求解判斷；B.利用空間向量運(yùn)算求解判斷；C.利用等體積法求解判斷；D.利用線面角的求解判斷.【詳解】由題意，畫出正三棱柱如圖所示，向量，故A正確；假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，所以.因為，所以.解得.故B錯誤；因為正三棱柱，所以，所以，所以，故C正確；設(shè)中點(diǎn)為，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即與平面所成的角，.故D錯誤.故選：AC.7．BD【分析】A選項，由推出平面，矛盾；B選項，建立空間直角坐標(biāo)系，證明出，，得到線面垂直，進(jìn)而當(dāng)Q為的中點(diǎn)時，，此時平面，故B正確；C選項，假設(shè)體積為定值，得到平面，求出平面的法向量，證明出平面不成立，C錯誤；D選項，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.【詳解】對于A，若，因為平面，平面，所以平面，矛盾，故A錯誤．對于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，因為，，故，，故，，因為，平面，故平面，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時，，此時平面，故B正確．對于C，Q在線段上運(yùn)動，若三棱錐的體積為定值，則平面，，DA=2,0,0設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，解得，令得，故，故，故與不垂直，故平面不成立，故C錯誤；對于D，二面角即二面角，連接BP，DP，BD，由于為等邊三角形，則，，所以為所求二面角的平面角，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則的棱長為，故，，由余弦定理可得，二面角的余弦值為，故D正確．故選：BD8．【分析】根據(jù)題意，化簡得到，由三點(diǎn)共線，可設(shè)，利用空間向量共線的充要條件，列出方程，即可求解.【詳解】因為，，可得，又因為三點(diǎn)共線，可設(shè)，即，因為不共線，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.9．/0.5【分析】利用三棱柱模型，選擇一組空間基底，將相關(guān)向量分別用基底表示，再利用平面，確定必共面，運(yùn)用空間向量共面定理表達(dá)，建立方程組計算即得.【詳解】如圖，不妨設(shè)，依題意，,，因，則又因平面，故必共面，即存在，使，即，從而有，解得.故答案為：.10．【分析】寫出表達(dá)式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量.【詳解】由題意，在三棱錐中，已知平面，,∵面，∴，在中，，，∴,，∴向量在向量上的投影向量為：，故答案為：.11．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計算可得；（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得解.【詳解】（1）依題意可得（2）依題意可得，所以，所以，即.12．(1)證明過程見解析；(2)【分析】（1）作出輔助線，利用三線合一證明出，從而得到線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；（2）用表達(dá)與，利用空間向量夾角公式求解異面直線AG和CE所成角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接DE，因為空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以，故，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）由題意得：均為等邊三角形且邊長為1，所以，，所以，設(shè)異面直線AG和CE所成角為，則【能力篇】一、單選題1．（2020·北京朝陽·一模）如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上運(yùn)動.當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時，點(diǎn)的位置是（

）A．線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn) B．線段的中點(diǎn)C．線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn) D．線段的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)二、多選題2．（2024·甘肅張掖·一模）下列命題錯誤的是（

）A．對空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，若，其中，，且，則四點(diǎn)共面B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是C．若，共線，則D．若，共線，則一定存在實(shí)數(shù)使得三、填空題3．（2023·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）如圖，已知二面角的棱是，，，若，，，且，，則二面角的大小為，此時，四面體的外接球的表面積為．

四、解答題4．（2024·天津河西·二模）如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面所成角的余弦值.參考答案：1．B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到直線的距離最小時，確定點(diǎn)的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，通過坐標(biāo)運(yùn)算可知，即是動點(diǎn)到直線的距離，再由空間兩點(diǎn)間的距離公式求出后，利用二次函數(shù)配方可解決問題.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，的中點(diǎn)，，，則，設(shè)，，由與共線，可得，所以，所以，其中，因為，，所以，所以，即是動點(diǎn)到直線的距離，由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得，所以當(dāng)時，取得最小值，此時為線段的中點(diǎn)，由于為定值，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時，為線段的中點(diǎn).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了空間兩點(diǎn)間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合法，考查了二次函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題.2．BCD【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷A，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及平面向量共線的坐標(biāo)表示判斷B，利用特殊值判斷C、D.【詳解】對于A：因為，則，所以，即，所以，所以四點(diǎn)共面，故A正確；對于B：因為，，與的夾角為鈍角，所以且與不共線反向，若，則，解得；若與共線，則，解得，綜上可得或，故B錯誤；對于C：若、同向且，此時，即不成立，故C錯誤；對于D：若，，顯然與共線，但是不存在使得，故D錯誤.故選：BCD3．//【分析】把二面角轉(zhuǎn)化為與的夾角，由，利用向量的運(yùn)算，求得，求得二面角的大小為，把三棱錐補(bǔ)成一個直三棱柱，利用正弦定理求得外接圓的半徑為，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，求得，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】空1：由題意知且，根據(jù)二面角的平面角的定義，可得向量與的夾角就是二面角的平面角，又由，且，和，所以，即，化簡