湖北省鄂州市部分高中教科研協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

1PAGE第10頁2024-2025學(xué)年湖北省鄂州市部分高中教科研協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷及解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，（﹣2，0），則直線l的傾斜角為（）A． B． C． D．2．（5分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，點(diǎn)P為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，則＝（）A．++ B．+﹣ C．﹣+ D．+﹣3．（5分）若點(diǎn)P（1，1）在圓C：x2+y2﹣x﹣2y﹣k＝0的外部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．4．（5分）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進(jìn)行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽．若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（）A． B． C． D．5．（5分）直線ax+y﹣a＝0（a∈R）與圓（x﹣2）2+y2＝4的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定6．（5分）已知直線l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，若l1⊥l2且l2∥l3，則a+b的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．77．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2﹣4y+3＝0，若直線y＝kx﹣1上存在點(diǎn)P，使以P點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．8．（5分）如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝SA＝SD＝2AB＝2，P為棱AD的中點(diǎn)，且SP⊥AB，，若點(diǎn)M到平面SBC的距離為，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）設(shè)M，N是兩個(gè)隨機(jī)事件，若P（M）＝，P（N）＝，則下列結(jié)論正確的是（）A．若N?M，則P（M∪N）＝ B．若M∩N＝?，則P（M+N）＝0 C．若P（M∩N）＝，則M，N相互獨(dú)立 D．若M，N相互獨(dú)立，則（多選）10．（6分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，，則（）A．若x+y＝1，則點(diǎn)P的軌跡為線段AD1 B．若，則點(diǎn)P的軌跡為連接棱AD的中點(diǎn)和棱A1D1中點(diǎn)的線段 C．若x＝y(tǒng)，則三棱錐P﹣A1BC1的體積為定值 D．若，則BP與平面ABCD所成角的余弦值的最大值為（多選）11．（6分）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，b），圓M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0關(guān)于直線2ax+by+6＝0對稱，Q（m，n）是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)P在直線x﹣y﹣3＝0上 B．2m+n的取值范圍是 C．以PM為直徑的圓過定點(diǎn)R（2，﹣1） D．若直線PA與圓M切于點(diǎn)A，則|PA|＞4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知向量＝（1，m，﹣1），＝（n，2，﹣2），若∥，則m﹣n＝．13．（5分）若圓C：x2+y2＝r2（r＞0）與曲線y＝|x|﹣2有兩個(gè)公共點(diǎn)，則r的取值范圍為．14．（5分）先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記向上的一面點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則函數(shù)f（x）＝x3a﹣2b是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）直線l1：x+2y﹣11＝0與直線l2：2x+y﹣10＝0相交于點(diǎn)P，直線l經(jīng)過點(diǎn)P．（1）若直線l⊥l2，求直線l的方程；（2）若直線l在坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．16．（15分）已知圓C：x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0和點(diǎn)M（1，﹣5）．（1）過點(diǎn)M作一條直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，求直線AB的方程；（2）過點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求EF所在的直線方程．17．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝AD＝PD＝CD＝1，PA＝，PC＝，點(diǎn)Q為棱PC上一點(diǎn)．（1）證明：PA⊥CD；（2）當(dāng)二面角P﹣BD﹣Q的余弦值為時(shí)，求．18．（17分）有4名同學(xué)下課后一起來到圖書館看書，到圖書館以后把書包放到了一起，后來停電了，大家隨機(jī)拿起了一個(gè)書包離開圖書館，分別計(jì)算下列事件的概率．（1）恰有兩名同學(xué)拿對了書包；（2）至少有兩名同學(xué)拿對了書包；（3）書包都拿錯(cuò)了．19．（17分）球面幾何在研究球體定位等問題有重要的基礎(chǔ)作用．球面上的線是彎曲的，不存在直線，連接球面上任意兩點(diǎn)有無數(shù)條曲線，它們長短不一，其中這兩點(diǎn)在球面上的最短路徑的長度稱為兩點(diǎn)間的球面距離．球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科．如圖1，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點(diǎn)，曲面ABC（陰影部分）叫做球面三角形．若設(shè)二面角C﹣OA﹣B，A﹣OB﹣C，B﹣OC﹣A分別為α，β，γ，則球面三角形ABC的面積為．（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；（2）將圖1中四面體OABC截出得到圖2，若平面三角形ABC為直角三角形，AC⊥BC，設(shè)∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3．①證明：cosθ1+cosθ2﹣cosθ3＝1；②延長AO與球O交于點(diǎn)D，連接BD，CD，若直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為，，且，λ∈（0，1]，S為AC的中點(diǎn)，T為BC的中點(diǎn)，設(shè)平面OBC與平面EST的夾角為θ，求sinθ的最小值．

2024-2025學(xué)年湖北省鄂州市部分高中教科研協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）【答案】A2．（5分）【答案】C3．（5分）【答案】B4．（5分）【答案】C5．（5分）【答案】B6．（5分）【答案】D7．（5分）【答案】B8．（5分）【答案】A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）【答案】ACD（多選）10．（6分）【答案】BC（多選）11．（6分）【答案】AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）【答案】﹣1．13．（5分）【答案】．14．（5分）【答案】．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）【解答】解：（1）聯(lián)立，解得，即P（3，4）．∵l⊥l2，不妨設(shè)直線l的方程為x﹣2y+λ＝0，將點(diǎn)P（3，4）代入x﹣2y+λ＝0，得λ＝5，∴直線l的方程為x﹣2y+5＝0．（2）當(dāng)直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線l的方程是，即4x﹣3y＝0；當(dāng)直線l不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為，將點(diǎn)P（3，4）代入，得a＝7，∴直線l的方程為，即x+y﹣7＝0．綜上所述，直線l的方程是4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．16．（15分）【解答】解：（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+（y+1）2＝10，圓心為C（2，﹣1），半徑為，所以圓心C到直線AB的距離為，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x＝1，此時(shí)圓心C到直線AB的距離為|2﹣1|＝1，符合題意；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y+5＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣5＝0，由題意可得，解得，此時(shí)直線AB的方程為，即15x﹣8y﹣55＝0，綜上所述，直線AB的方程為x＝1或15x﹣8y﹣55＝0；（2）因?yàn)椋瑒t，所以以點(diǎn)M為圓心，|ME|為半徑為圓的方程為（x﹣1）2+（y+5）2＝7，聯(lián)立，兩式相減整理可得：x+4y+12＝0，即EF所在的直線方程為x+4y+12＝0．17．（15分）【解答】解：（1）證明：因?yàn)?，所以PD2+CD2＝PC2，所以CD⊥PD，又CD⊥AD，且AD∩PD＝D，AD，PD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又PA?平面PAD，所以PA⊥CD．（2）因?yàn)?，所以AD2+PD2＝PA2，則PD⊥AD，由（1）可知PD，AD，DC兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），由，設(shè)，則，設(shè)平面BDQ的一個(gè)法向量，則，則，即，令y1＝1﹣λ，解得x1＝λ﹣1，z1＝﹣2λ，故，設(shè)平面BDP的一個(gè)法向量為，則，則，得，令y2＝﹣1，解得x2＝1，z2＝0，故，所以，即，整理，得8λ2+2λ﹣1＝0，解得或（舍去），故．18．（17分）【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)四名同學(xué)的書包為A，B，C，D，則全部基本事件有：（A，B，C，D），（A，B，D，C），（A，C，B，D），（A，C，D，B），（A，D，B，C），（A，D，C，B），（B，A，C，D），（B，A，D，C），（B，C，A，D），（B，C，D，A），（B，D，A，C），（B，D，C，A），（C，A，B，D），（C，A，D，B），（C，B，A，D），（C，B，D，A），（C，D，A，B），（C，D，B，A），（D，A，B，C），（D，A，C，B），（D，B，A，C），（D，B，C，A），（D，C，A，B），（D，C，B，A），共24種，（1）其中恰有兩名同學(xué)拿對了書包有6種，則恰有兩名同學(xué)拿對了書包的概率為；（2）至少有兩名同學(xué)拿對了書包有7種，則至少有兩名同學(xué)拿對了書包的概率為；（3）書包都拿錯(cuò)了有9種，則書包都拿錯(cuò)了的概率為．19．（17分）【解答】解：（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，有，所以球球面三角ABC的面積為；（2）①證明：由余弦定理有：，且AC2+BC2＝AB2，消掉R2，可得cosθ1+cosθ2﹣cosθ3＝1；②由AD是球的直徑，則AB⊥BD，AC⊥CD，且AC⊥BC，CD∩BC＝C，CD，BC?平面BCD，所以AC⊥平面BCD，且BD?平面BCD，則AC⊥BD，且AB∩AC＝A，AB，AC?平面ABC，可得BD⊥平面ABC，由直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為，，所以，