第04講函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)的圖象（十二種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（解析版）

第04講函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)的圖象（十二種題型）題型一：零點(diǎn)存在定理法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間題型二：方程法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)題型三：數(shù)形結(jié)合法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)題型四：轉(zhuǎn)化法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)題型五：零點(diǎn)存在定理與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)題型六：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)題型七：利用函數(shù)解析數(shù)選擇圖像題型八：利用動(dòng)點(diǎn)研究函數(shù)圖像題型九：利用函數(shù)圖像解決不等式問題題型十：利用函數(shù)圖像解決方程根與交點(diǎn)問題題型十一：指數(shù)相關(guān)的圖像變換問題題型十二：指對函數(shù)圖像結(jié)合問題【熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型】題型一：零點(diǎn)存在定理法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間一、單選題1．（2022春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)階段練習(xí)）函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，，，，所以函?shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C2．（2022春·江蘇徐州·高三學(xué)業(yè)考試）已知方程的根所在的區(qū)間為，，則n的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】令函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出，求解即可.【詳解】令函數(shù)，由，，故.故選：B3．（2022春·四川德陽·高三校考期中）設(shè)?，則?的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A．? B．? C．? D．?【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理判斷.【詳解】因?yàn)樵诙x域上為增函數(shù)，且，所以?在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn).故選：B4．（2022春·四川·高三川大附中校考期中）方程的解所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理求解.【詳解】由，得，設(shè)，則方程的解等同于函數(shù)的零點(diǎn)；，所以函數(shù)是單調(diào)遞增的，又，，，∴函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)；故選：C.5．（2022春·河南駐馬店·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，，，實(shí)數(shù)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，下列選項(xiàng)中，不可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在性定理即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?所以恒成立,所以在定義域上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?，所以，?dāng)，，都為負(fù)值，則都大于，故A,D可能成立;當(dāng)，，，則都小于，大于.故B可能成立;綜合可得，不可能成立.故選:C.6．（2022春·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）試估算腰長為1，頂角為20°的等腰三角形的底邊長所在的區(qū)間(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理或等腰三角形性質(zhì)，將sin10°表示成與等腰三角形底邊a的關(guān)系；利用三倍角公式可由sin30°得到關(guān)于a的方程，構(gòu)造函數(shù)，通過二分法即可判斷其零點(diǎn)a的取值范圍，從而得到答案．【詳解】設(shè)底邊邊長為，∴由余弦定理得，，，即．∵∴，，，令，，則，則在上，，f(x)單調(diào)遞減；易知，易求，，，，故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用我們熟知的三角恒等變換公式推導(dǎo)出三倍角公式，從而找到sin10°和sin30°之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為求方程根的范圍，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)范圍的問題．二、多選題7．（遼寧省大連市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理可得，，所在區(qū)間，進(jìn)而可判斷ACD，由題可知，分別為，與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)可判斷B.【詳解】因?yàn)閱握{(diào)遞增，又，，所以，因?yàn)閱握{(diào)遞增，，，所以，則，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閱握{(diào)遞增，，所以，又，所以，故C正確；因?yàn)?，，所以，，故D錯(cuò)誤；由，可得，由，可得，又函數(shù)與互為反函數(shù)圖象關(guān)于對稱，作出函數(shù)，及的圖象，又與垂直，由，可得，則，與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，故B正確.故選：BC.8．（2022·重慶永川·重慶市永川北山中學(xué)校?？寄M預(yù)測）關(guān)于函數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為B．當(dāng)時(shí)，存在唯一極小值點(diǎn)且C．對任意，在上均存在零點(diǎn)D．存在，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】對于A選項(xiàng)，直接求出切線斜率利用點(diǎn)斜式寫出方程即可判斷正誤.對于B選項(xiàng)，利用二次求導(dǎo)得單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理確定出所在區(qū)間即可；對于C，D選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為對于與圖像交點(diǎn)情況的判斷.【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，x，故，切點(diǎn)為(0，1).又，.則切線方程為，即，故A正確;對于B選項(xiàng)，時(shí)，，令，則.當(dāng)時(shí)，因，則.當(dāng)時(shí)，，故在(-π，+∞)上單調(diào)遞增，注意到，，有，又=>0，故在(-π，+∞)上有唯一零點(diǎn)，結(jié)合在(-π，+∞)上單調(diào)遞增得f(x)存在唯一極小值點(diǎn)，且，則，得+，則，又因則，得，故B正確.對于C選項(xiàng)，，，令，則，當(dāng)且時(shí)，顯然沒有實(shí)根，故且則，令，有，令，得且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極小值為h=≥，的極大值為h=≤，故當(dāng)時(shí)，與的圖像沒有交點(diǎn)，即在上沒有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤;對于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)分析可知，存在，使得在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，故D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】：方法點(diǎn)睛：處理涉及函數(shù)零點(diǎn)問題的常見手段：（1）數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖像的交點(diǎn)相關(guān)問題.（2）利用零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，通過適當(dāng)?shù)厝↑c(diǎn)，確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.9．（2022春·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，都是定義在上的函數(shù)，若，則（

）A．，，2，3 B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)零點(diǎn)定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，通過比較導(dǎo)函數(shù)的大小，進(jìn)而得出，即可推出的正負(fù)和，，的大小關(guān)系，并利用函數(shù)的對稱求出和之間的關(guān)系.【詳解】解：由題意，，，都是上的增函數(shù)，，，，A項(xiàng)正確；在中，，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴即∴，在中，，同理可得函數(shù)單調(diào)遞減，，∴，∴，B項(xiàng)正確；在中，，，設(shè)在中，，∴在定義域上單調(diào)遞增，∴，即，∴單調(diào)遞減增，∴∴，∴，，，∵當(dāng)時(shí)，．∴由幾何知識(shí)，隨著x的增長，先與相交，次之，最后與相交.∴．C項(xiàng)正確；在中，，∴表示與的交點(diǎn)，在中，，∴表示與的交點(diǎn)，在與中，兩圖像交于，且斜率之積為，∴，兩圖像相互垂直，且關(guān)于的對稱點(diǎn)到的距離相等，在與中，∵的圖像與的圖像關(guān)于對稱，∴與互為反函數(shù)，到兩圖像上的點(diǎn)到的距離相等，關(guān)于對稱的兩圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于兩點(diǎn)連線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，∴與關(guān)于對稱，且兩點(diǎn)連線與交于，∴，∴，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題10．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，設(shè)，且函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間，，內(nèi)，則的最小值為__________．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求和的單調(diào)性,即在上單調(diào)遞增，,所以在上單調(diào)遞減,再應(yīng)用零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)所在區(qū)間,根據(jù)圖像平移即可求得結(jié)果.【詳解】，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有唯一的零點(diǎn)，，，，，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以在有唯一的零點(diǎn)．則的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，所以零點(diǎn)均在區(qū)間中的最大值為，的最小值為，所以的最小值為．故答案為:11.11．（2022春·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，函數(shù)的零點(diǎn)從小到大依次為，若），請寫出所有的所組成的集合___________.【答案】【分析】將的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)和圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后利用零點(diǎn)存在性定理分析零點(diǎn)所在區(qū)間即可.【詳解】的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)和圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，圖象如上所示，由圖可知共三個(gè)零點(diǎn)，，，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)；，則在上存在一個(gè)零點(diǎn)；，，則在上存在一個(gè)零點(diǎn)；所以.故答案為：.四、解答題12．（2022春·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；(2)證明見解析【分析】（1）把代入，求出的導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)大于0、小于0時(shí)x的范圍，即可得到答案；（2）結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的意義分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再借助零點(diǎn)存在性定理求解作答（1）若，則，，令，解得，，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）由于，所以等價(jià)于，設(shè)，則，因?yàn)?，所以所以在單調(diào)遞增，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)，又，，所以存在唯一的，使得故有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，只有一個(gè)零點(diǎn)題型二：方程法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2022·河南開封·統(tǒng)考一模）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).若函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于和的等式，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn).【詳解】題意得若函數(shù)為不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，則滿足，即，即設(shè)，令，解得當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的圖象為：要想成立，則與有交點(diǎn)，所以，對應(yīng)區(qū)間為故選：B.2．（2022春·河南駐馬店·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．的極大值點(diǎn)為0C．的極大值為1 D．有3個(gè)零點(diǎn)【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】，，當(dāng)，，為減函數(shù)，當(dāng)，，為增函數(shù)，當(dāng)，，為減函數(shù).對選項(xiàng)A，，為減函數(shù)，，為增函數(shù)，故A錯(cuò)誤.對選項(xiàng)B、C，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值為，故B錯(cuò)誤，C正確.對選項(xiàng)D，令，解得，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：C二、多選題3．（2022春·黑龍江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．在處取極大值C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．存在3個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【分析】由已知，，結(jié)合定義域可判斷A項(xiàng)；將函數(shù)整理為，可得到在上的解析式，求導(dǎo)可判斷BC兩項(xiàng)；解，可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】，定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，A不正確；由題意可得，，即當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，在處取極大值，B項(xiàng)正確；在區(qū)間上單調(diào)遞減，C項(xiàng)錯(cuò)誤；解，即，可得，解得，，，所以存在3個(gè)零點(diǎn)，D項(xiàng)正確.故選：BD.4．（2022春·江蘇鹽城·高三統(tǒng)考期中）對于函數(shù)，若在區(qū)間I上存在，使得，則稱是區(qū)間I上的“函數(shù)”．下列函數(shù)中，是區(qū)間I上的“函數(shù)”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)“函數(shù)”的定義，對于ABC，舉例判斷，對于D，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像有交點(diǎn)，作出圖像判斷.【詳解】對于A，時(shí)，，A對．對于B，時(shí)，，B對．對于C，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，，C錯(cuò)．對于D，，分別作出與在的圖像有交點(diǎn)，即有解，D對，故選：ABD．三、填空題5．（2022·全國·模擬預(yù)測）己知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為________.【答案】和2【分析】先將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，再分類討論方程的根的情況計(jì)算可得答案.【詳解】令，得，當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槎际窃龊瘮?shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，故函數(shù)的零點(diǎn)為和．故答案為：和．6．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)，則在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_______．【答案】4【分析】令，求解即可【詳解】令，則，所以或，所以或，又，所以，則在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4，故答案為：47．（2022春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象在區(qū)間上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________【答案】7【分析】由零點(diǎn)的定義與函數(shù)的周期性求解，【詳解】當(dāng)時(shí)，由得或，而的最小正周期為2，則，函數(shù)的圖象在區(qū)間上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，故答案為：78．（2022春·青海西寧·高三?？计谥校┖瘮?shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為____________．【答案】5【分析】令可得或，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷在上根的個(gè)數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】或，又在上的根有共4個(gè)，故在上有5個(gè)零點(diǎn)．故答案為：5四、解答題9．（2022春·福建福州·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，若在上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值.【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是，．(2)【分析】（1）由三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)解析式，利用周期公式可求，整體代入法可解得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．（2）根據(jù)三角函數(shù)平移變換的規(guī)律，求出的解析式和周期以及零點(diǎn)，根據(jù)在上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)零點(diǎn)可得范圍．求出的最小值．．【詳解】（1），由最小正周期為，得，所以，由，整理得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．令，，整理得，，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，．（2）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到的圖像，．令，得或，在，上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，若在，上至少有10個(gè)零點(diǎn)，則不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，即的最小值為．10．（2022春·河南駐馬店·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，(1)求的定義域，并證明的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；(2)若和的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)定義域?yàn)?，證明見解析(2)【分析】(1)證明即可；(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)根即可求解.【詳解】（1）由題設(shè)可得，故，故的定義域?yàn)?，而∴的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.（2）∵和的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，整理得到：在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.設(shè)，則，即,解得.∴題型三：數(shù)形結(jié)合法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2022春·江蘇南京·高三期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用賦值法求出當(dāng)，且x依次取時(shí)的一些函數(shù)值，從而找到函數(shù)值變化的規(guī)律，同理找到當(dāng)，且x依次取時(shí)，函數(shù)值變化的規(guī)律，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.【詳解】由題意函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，令，則，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，依次類推，可發(fā)現(xiàn)此時(shí)當(dāng)，且x依次取時(shí)，函數(shù)的值依次為，即每四個(gè)值為一循環(huán)，此時(shí)曲線與的交點(diǎn)為；令，則，令，則，令，則，令，則，令，則，令，則，令，則，依次類推，可發(fā)現(xiàn)此時(shí)當(dāng)，且x依次取時(shí)，函數(shù)的值依次為，即每四個(gè)值為一循環(huán)，此時(shí)曲線與的交點(diǎn)為；故綜合上述,曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故選：B【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：確定曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，要明確函數(shù)的性質(zhì)，因此要通過賦值求得的一些函數(shù)值，從中尋找規(guī)律，即找到函數(shù)的函數(shù)值循環(huán)的規(guī)律特點(diǎn)，這是解答本題的難點(diǎn)所在.2．（2021春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)期中）對于函數(shù)，若集合中恰有個(gè)元素，則稱函數(shù)是“階準(zhǔn)奇函數(shù)”．若函數(shù)，則是“（

）階準(zhǔn)奇函數(shù)”．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)“階準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義，可將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，作出兩個(gè)函數(shù)圖象可得結(jié)果．【詳解】由時(shí)，，得，下圖為與的圖象，由圖可知，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即．故選：D．3．（2022春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間為C．的極大值為 D．方程有兩個(gè)不同的解【答案】C【分析】求出，則可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為；方程等價(jià)于,畫出函數(shù)與函數(shù)圖像即可知有且只有一個(gè)交點(diǎn)即可解決問題..【詳解】由題意知：，所以，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)；，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)；，單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；的極大值為，C正確；方程等價(jià)于,如圖所示：由圖像知函數(shù)與函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有且只有一個(gè)解，D錯(cuò)誤;故選：C.4．（2022春·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，有下列命題：①函數(shù)的最小正周期為；②對，；③函數(shù)共有5個(gè)零點(diǎn)；④設(shè)，，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值大于．其中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①作出函數(shù)的圖象再證明判斷；②利用作差法判斷；③在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)和的圖象即得解；④求出，設(shè)，求出，再利用導(dǎo)數(shù)分析判斷得解.【詳解】解：①函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，設(shè)，所以函數(shù)的最小正周期為.所以該命題正確；②對，，，所以，因?yàn)?又，所以.所以該命題正確；③令.在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，所以函數(shù)共有6個(gè)零點(diǎn),所以該命題錯(cuò)誤；④設(shè)，，函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，設(shè)，所以，令，所以令，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以函數(shù).所以該命題正確.故選：D二、多選題5．（2022春·江蘇·高三江蘇省新海高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)，則（

）A．在上可能有6個(gè)零點(diǎn)B．在有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)C．的取值范圍是D．在上單調(diào)遞減【答案】ACD【分析】先得到，根據(jù)在有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)，列出不等式組，求出，C正確；數(shù)形結(jié)合得到時(shí)，在上有6個(gè)零點(diǎn)，A正確；數(shù)形結(jié)合得到時(shí)，在上有3個(gè)極大值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；先得到，結(jié)合，得到，結(jié)合在上單調(diào)遞減，得到D正確.【詳解】，，故，在有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)，故，解得：，C正確；當(dāng)，即時(shí)，在上有6個(gè)零點(diǎn)，A正確；當(dāng)，即時(shí)，在上有3個(gè)極大值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，而在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，D正確.故選：ACD6．（2022春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知在[0,2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)B．在有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)C．的取值范圍是[,）D．在上單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】當(dāng)時(shí)求出整體的范圍，結(jié)合的圖象求出的范圍，然后再結(jié)合的圖象判斷A、B選項(xiàng)是否正確．對于D：當(dāng)時(shí)，結(jié)合的范圍判斷整體是否在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi).【詳解】因?yàn)椋瑒t，有4個(gè)零點(diǎn)，則，，故C對；有兩個(gè)極小值點(diǎn)，2個(gè)或3個(gè)極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)，B對；對于D：當(dāng)時(shí)，，，∴在上單調(diào)遞增，故D對，故選：BCD三、填空題7．（2021春·上海靜安·高三上海市第六十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的兩根均在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．【答案】【分析】轉(zhuǎn)化化二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題，數(shù)形結(jié)合得到不等式組，求出的取值范圍.【詳解】令，因?yàn)閮筛趨^(qū)間內(nèi)，所以，，解得故答案為：四、解答題8．（2022春·北京·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)求集合中元素的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，問函數(shù)有多少個(gè)極值點(diǎn)？（只需寫出結(jié)論）【答案】(1)是偶函數(shù)，證明見解析；(2)答案見解析；(3)3個(gè).【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義分析判斷；（2）對分三種情況結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性分析判斷得解；（3）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性得解.【詳解】（1）的定義域是，關(guān)于原點(diǎn)對稱，是偶函數(shù)（2）當(dāng)時(shí)，.由是上的偶函數(shù)，故在上無零點(diǎn).集合中的元素個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，令，解得.集合中的元素個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增在上有唯一零點(diǎn)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，集合中的元素個(gè)數(shù)為2.（3）由題得，設(shè)，，設(shè)，，可知，在上恒大于零，在上恒小于零，因此，在上先遞增后遞減，且，，，因此，在上先遞減后遞增，在上先遞增后遞減，且，，，在上和在上，分別有一個(gè)零點(diǎn)．因此在上先遞增后遞減，在上先遞增后遞減，在處，和，上各有一個(gè)極值點(diǎn)（分別與的零點(diǎn)對應(yīng)）．因此共有3個(gè)極值點(diǎn)．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn).題型四：轉(zhuǎn)化法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2022春·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知表示大于的最小整數(shù)，例如，，下列命題中正確的是（

）①函數(shù)的值域是；②若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列；③若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列；④若，則方程有2022個(gè)解.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】由題意，整理分段函數(shù)具體解析式，可得值域，采用特殊值法，可得數(shù)列的正誤，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，令，，，則，，因此的值域是，是等差數(shù)列，但，，不成等差數(shù)列；是等比數(shù)列，但，，不成等比數(shù)列；由前分析可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，，時(shí)，，所以，即是周期為的函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)過，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，去交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，必有一個(gè)交點(diǎn)；則后面每個(gè)周期都有一個(gè)交點(diǎn)，所以，則方程由個(gè)根.①④正確，故選：D.2．（2022春·山東青島·高三山東省青島第五十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)的和是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】令，將問題化為研究與交點(diǎn)情況，根據(jù)它們的奇偶性、單調(diào)性、值域判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定零點(diǎn)和.【詳解】令時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)情況，而，即為奇函數(shù)，又也是奇函數(shù)，所以、都過原點(diǎn)，且由對稱性知它們在與的交點(diǎn)情況相同，在上單調(diào)遞增且，，而為周期函數(shù)(注意正弦函數(shù)性質(zhì))，在上遞增，上遞減且，，又，即，所以與在有一個(gè)交點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故上也僅有一個(gè)交點(diǎn)，綜上，、在R上共有3個(gè)交點(diǎn)，它們對應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)從左到右依次為、、，則、關(guān)于對稱、，故的所有零點(diǎn)的和是.故選：D3．（2022春·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)的圖像是連續(xù)不間斷的曲線，且，對任意的，，，恒成立，則在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．100 B．102 C．200 D．202【答案】A【分析】結(jié)合題意得是以4為周期的函數(shù)，且在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)周期性求解即可.【詳解】解：令，得，即，因?yàn)閷θ我獾?，，，恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，在上單調(diào)遞減，，所以，所以是以4為周期的函數(shù)，因?yàn)樵谝粋€(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，故在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．故選：A．二、多選題4．（2022·浙江·?？寄M預(yù)測）已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，對于任意，滿足，方程有且僅有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則正整數(shù)的取值可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BCD【分析】由題知為常數(shù)，令，由求得，結(jié)合奇偶性將問題轉(zhuǎn)化為與圖象在上僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)，分析函數(shù)圖象驗(yàn)證的取值是否滿足.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的單調(diào)函數(shù)，對于任意，滿足，所以為常數(shù)，令，則且，即，此方程有唯一的根，故，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，方程有且僅有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)方程在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即在上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，方程根的個(gè)數(shù)可看成與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程無根，故不滿足；當(dāng)時(shí)，方程兩根分別為，故滿足；當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線比更陡，故有兩個(gè)交點(diǎn)，所以時(shí)滿足；故選：BCD三、填空題5．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)，時(shí)，，若將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則____．【答案】2【分析】是周期為4的周期函數(shù)，作出圖像，的幾何意義是兩條漸近線之間的距離，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)，時(shí)，，是周期為4的周期函數(shù)，圖像如圖：將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2，．故答案為：2．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）sin（2022πx）＝x2實(shí)根個(gè)數(shù)為_____．【答案】4044【分析】設(shè)f（x）＝sin（2022πx），g（x）＝x2，求出f（x）的周期，由f（x）的最大值為1，x∈[﹣1，1]，時(shí)，0≤g（x）≤1，利用f（x）的周期，得出兩者圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而得出答案．【詳解】設(shè)f（x）＝sin（2022πx），g（x）＝x2，∴g（﹣1）＝g（1）＝1，x＞1或x＜﹣1時(shí)，g（x）＞1，f（x）≤1，兩者無交點(diǎn)，∴f（x）＝sin（2022πx）的周期為，所以在[0，1]上有1011個(gè)周期，在[﹣1，0）上有1011個(gè)周期，f（﹣1）＝sin（﹣2022π）＝0，f（1）＝sin（2022π）＝0，x＝﹣1在f（x）增區(qū)間上，x＝1在f（x）增區(qū)間上，因此在[﹣1，1]上的每個(gè)區(qū)間上，f（x）與g（x）的圖象都是兩個(gè)交點(diǎn)，共4044個(gè)交點(diǎn)，即原方程有4044個(gè)解．故答案為：4044．7．（2022春·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，滿足，有下列說法：①的圖象關(guān)于直線對稱；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；③在區(qū)間上至少有5個(gè)零點(diǎn)；④若上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中所有正確說法的序號為_______．【答案】②③④【分析】求得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱判斷①②；求得在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷③；求得在區(qū)間上的單調(diào)性判斷④【詳解】因?yàn)?，所以，故函?shù)是周期為3的周期函數(shù)，又是定義在R上的奇函數(shù)，則，所以，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故①錯(cuò)誤，②正確；由題意可知，，因?yàn)?，令，可得，即，所以，從而，故函?shù)在區(qū)間上至少有5個(gè)零點(diǎn)，故③正確；因?yàn)椋?，且函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞增，故④正確．故答案為：②③④四、解答題8．（2022春·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若,求的圖象在處的切線方程；(2)若,證明:在上只有一個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)將代入即可求的值,寫出其點(diǎn)斜式直線方程即為切線方程,(2)將化簡為,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）解:由題知,,,,的圖象在處的切線方程為,即（2）證明:當(dāng)時(shí),,則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),可得,,,即,在上單調(diào)遞增,又,在上只有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)得證.題型五：零點(diǎn)存在定理與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)一、單選題1．（2022春·河北·高三期中）函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】判斷的奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)求得在上的單調(diào)性,由零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù),再利用放縮法可得當(dāng)時(shí),,從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù),再利用的奇偶性即可得結(jié)論.【詳解】,是上的偶函數(shù)，,①當(dāng)時(shí),令,得或，令,得.在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.,使得在上有兩個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí),，在上沒有零點(diǎn)，由①②及是偶函數(shù)可得在上有三個(gè)零點(diǎn).故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的2種常用方法：（1）直接法：直接研究函數(shù),求出極值以及最值,畫出草圖.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；（2）分離參數(shù)法：分離出參數(shù),轉(zhuǎn)化為,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性,求出極值以及最值,畫出草圖.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題即是直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.只需要用與函數(shù)的極值和最值進(jìn)行比較即可.2．（2023春·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題首先通過函數(shù)奇偶性求出，再利用導(dǎo)數(shù)研究其在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，且定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為奇函數(shù)，所以我們求出時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，，，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，而，故在有1零點(diǎn)，，故在上有1零點(diǎn)，圖像大致如圖所示：故在上有2個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)槠錇槠婧瘮?shù)，則其在上也有2個(gè)零點(diǎn)，且，故共5個(gè)零點(diǎn)，故選：D.3．（2022春·河南駐馬店·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷作答.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，則存在，使得，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，顯然在上遞增，而，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上遞減，在遞增，，而，則存在，使得，即函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，又函數(shù)在上無零點(diǎn)，因此函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，即方程的解的個(gè)數(shù)是2.故選：C二、多選題4．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)有最大值 B．至少有個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對稱中心 D．存在，使得為奇函數(shù)【答案】BC【分析】對求導(dǎo)后，根據(jù)的取值范圍可確定的單調(diào)性和極值，從而得到在上的值域?yàn)椋桓鶕?jù)函數(shù)解析式可推導(dǎo)得到，從而知，可得A錯(cuò)誤；結(jié)合零點(diǎn)存在定理可說明在上有三個(gè)零點(diǎn)，知B正確；根據(jù)可知C正確；假設(shè)存在，根據(jù)奇函數(shù)定義可化簡得到，由方程組無解可知D錯(cuò)誤.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增；令，則，假設(shè)存在，，使得，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，，，，；，，，即；在上的值域?yàn)?；對于A，，，以此類推，則，無最大值，A錯(cuò)誤；對于B，且在上單調(diào)遞增，在上有一個(gè)零點(diǎn)；且在上單調(diào)遞減，在上有一個(gè)零點(diǎn)；又，在上有三個(gè)不同零點(diǎn)；至少有個(gè)零點(diǎn)，B正確；對于C，，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，C正確；對于D，假設(shè)存在，使得為奇函數(shù)，令，則，，整理可得：；若方程恒成立，則，即，方程組無解，不存在實(shí)數(shù)，使得為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：BC.5．（2023春·福建寧德·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，為實(shí)數(shù)，則下列條件能使函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】ACD【分析】將的值代入解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合圖象及零點(diǎn)存在性定理，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由已知可得的定義域?yàn)?對于A、當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)或時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值.因?yàn)榍业膱D象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故該選項(xiàng)符合題意.對于B、當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)或時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值.又因?yàn)?，且的圖象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故該選項(xiàng)不合題意.對于C、當(dāng)時(shí)，，則在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，且的圖象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故該選項(xiàng)符合題意.對于D、當(dāng)時(shí)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋业膱D象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故該選項(xiàng)符合題意.故選:ACD.三、解答題6．（2022春·內(nèi)蒙古·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)設(shè)A是函數(shù)，的交點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)A處的切線也是曲線的切線．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）由已知，得出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線在點(diǎn)A處的切線，證明過A點(diǎn)的切線的斜率恰好等于在點(diǎn)A處的切線的斜率即可.【詳解】（1）證明：設(shè)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．∵，，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知在只有一個(gè)零點(diǎn)，在沒有零點(diǎn)，即在只有一個(gè)零點(diǎn).∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．（2）證明：設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，則，整理得，又，曲線在點(diǎn)處的切線l方程為，即．設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得，令，直線AM的斜率為：，∴曲線在點(diǎn)A處的切線也是曲線的切線．題型六：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)一、單選題1．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令可得出，由題意可知，實(shí)數(shù)的取值范圍即為函數(shù)的值域，求出函數(shù)的值域即可得解.【詳解】令可得出，令，由于函數(shù)有零點(diǎn)，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍即為函數(shù)的值域.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)，.綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的大致圖象，有4個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于與一共四個(gè)交點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以的大致圖象如圖所示.由，解得或.由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)根，所以要有3個(gè)根，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：B.二、填空題3．（2022春·四川遂寧·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】把問題轉(zhuǎn)化為有四個(gè)根，即和有四個(gè)交點(diǎn).再分討論兩個(gè)函數(shù)是否能有4個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而得出的取值范圍【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，所以有四個(gè)根，即和有四個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，與圖像如下：兩圖像有2個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，與軸交于兩點(diǎn).圖像如下：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值為，函數(shù)的函數(shù)值為.兩圖像有4個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，與軸交于兩點(diǎn)，在內(nèi)函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn).要使兩圖像有4個(gè)交點(diǎn)，只需與在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)即可，即在還有兩個(gè)根，就是在內(nèi)有兩個(gè)根，函數(shù)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）.所以且，解得：.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．4．（2022春·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)校考階段練習(xí)）對于函數(shù)和，設(shè)，，若存在、，使得，則稱與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】先求出的零點(diǎn)為，設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，根據(jù)“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”的定義得到，則函數(shù)在上有零點(diǎn)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋液瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以為函數(shù)的唯一零點(diǎn)，設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，又因?yàn)楹瘮?shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，所以，解得，所以函數(shù)在上有零點(diǎn)，所以或或，即或或，所以.故答案為：.5．（2022春·上海浦東新·高三上海市川沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】利用分離常數(shù)法，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍.【詳解】依題意，函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)，，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即的取值范圍是.故答案為：6．（2022春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)且，記，若存在實(shí)數(shù)使得有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則正整數(shù)的最大值為_______．【答案】2【分析】首先分析的單調(diào)性，然后根據(jù)有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)列不等式，結(jié)合圖象求得正整數(shù)的最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，也是增函數(shù)．由題意即存在實(shí)數(shù)，使得方程有兩個(gè)不相等的根，即函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方，即時(shí)，符合題意，，結(jié)合與的圖象可得正整數(shù)的最大值為.故答案為：7．（2021春·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為______.【答案】【分析】作出的圖象數(shù)形結(jié)合，根據(jù)分析即可.【詳解】作出的圖象：因?yàn)?，故，即?由題意，與和的圖象共3個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可得或，故或.所以的取值范圍為.故答案為：三、解答題8．（2022春·甘肅隴南·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，不等式化為；當(dāng)時(shí)，不等式化為；求并集即可；（2）畫出的圖象，方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根等價(jià)于與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，解不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由得，，當(dāng)時(shí)，由得或，，綜上所述，不等式的解集為；（2）方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，函數(shù)的圖象：由圖可知：，得：或所以，實(shí)數(shù)的取值范圍.題型七：利用函數(shù)解析數(shù)選擇圖像一、單選題1．（2023春·云南·高三云南師大附中階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值求得正確答案.【詳解】的定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除C，D選項(xiàng)；，排除B選項(xiàng).所以A選項(xiàng)正確.故選：A2．（2023春·福建泉州·高三階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過函數(shù)的奇偶性可排除AC，通過時(shí)函數(shù)值的符號可排除D，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】令，其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除AC，當(dāng)時(shí)，，，，即，故排除D，故選：B.二、多選題3．（2022春·山東青島·高三山東省萊西市第一中學(xué)階段練習(xí)）函數(shù)在,上的大致圖像可能為（）A． B．C．D．【答案】ABC【分析】根據(jù)的取值分類討論，作出函數(shù)的大致圖象，研究函數(shù)性質(zhì)后判斷圖象.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)為奇函數(shù)，由時(shí)，時(shí)等性質(zhì)可知A選項(xiàng)符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，作出兩函數(shù)的大致圖象，由圖象可知在內(nèi)必有一交點(diǎn)，記橫坐標(biāo)為，此時(shí)，故排除D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，若在內(nèi)無交點(diǎn)，則在恒成立，則圖象如C選項(xiàng)所示，故C選項(xiàng)符合題意；若在內(nèi)有兩交點(diǎn)，同理得B選項(xiàng)符合題意.故選：ABC.三、填空題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象可能是下面的圖象______（填序號）【答案】（3）【分析】先求出函數(shù)定義域?yàn)?由判斷出函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱,排除（1），（2）；再由x<0時(shí)排除（4），即可得到正確答案.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?因?yàn)?所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱,排除（1），（2）；當(dāng)x<0時(shí),>ln4>0,,所以函數(shù)的圖象在軸下方,排除（4）.故答案為：（3）題型八：利用動(dòng)點(diǎn)研究函數(shù)圖像一、單選題1．（2022·上海松江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖像經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖像，作出直線，由圖像知只要直線與的圖像在軸左右兩側(cè)各有兩個(gè)交點(diǎn)，則的圖像就經(jīng)過四個(gè)象限（時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)，時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)），因此求得直線的斜率，再求得直線與相切的切線斜率（注意取舍）即可得結(jié)論．【詳解】作出函數(shù)的圖像，如圖，作出直線，它過定點(diǎn)，由圖可得，只要直線與的圖像在軸左右兩側(cè)各有兩個(gè)交點(diǎn)，則的圖像就經(jīng)過四個(gè)象限（時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)，時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)），時(shí)，與軸的公共點(diǎn)為，，時(shí)，，由得，，解得或，由圖像知，切線的斜率為，所以時(shí)滿足題意．故選：A．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，長方形的邊，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)沿著邊，與運(yùn)動(dòng)，記.將動(dòng)到、兩點(diǎn)距離之和表示為的函數(shù)，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出分段函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)圖像，利用排除法進(jìn)行求解即可.【詳解】由已知得,當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),即時(shí),；當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),即時(shí),,當(dāng)時(shí),；當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),即時(shí),.從點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程可以看出,軌邊關(guān)于直線對稱,且,且軌跡非線型，對照四個(gè)選項(xiàng)，排除A、C、D，只有B符合.故選：B.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，，則函數(shù)的圖象與軸所圍成圖形中的封閉部分面積是（

）A．6 B．8 C．7 D．9【答案】C【分析】先畫出的圖象，再經(jīng)過平移和翻折得到，進(jìn)而得到的圖象，再求解的圖象與軸所圍成圖形中的封閉部分面積.【詳解】圖象，如圖1，把的圖象向下平移一個(gè)單位長度，再把x軸下方部分沿著x軸翻折，得到的圖象，如圖2，再把的圖象向下平移2個(gè)單位長度，在把把x軸下方部分沿著x軸翻折，得到的圖象，如圖3，則與軸所圍成圖形中的封閉部分面積為故選：C二、填空題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其部分自變量與函數(shù)值的對應(yīng)情況如表：x0245312.513的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②有2個(gè)極大值點(diǎn)；③的值域?yàn)?；④如果時(shí)，的最小值是1，那么t的最大值為4．其中，所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】③④【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合作出判斷.【詳解】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與表格，整理出函數(shù)的大致圖象，如圖所示．對于①，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；對于②，有1個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對于③，根據(jù)函數(shù)的極值和端點(diǎn)值可知，的值域?yàn)椋盛壅_；對于④，如果時(shí)，的最小值是1，那么t的最大值為4，故④正確．綜上所述，所有正確結(jié)論的序號是③④．故答案為：③④三、解答題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在實(shí)數(shù)a，b，對任意的，有，且使得均成立，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，反之亦然，我們把這樣的函數(shù)叫做“函數(shù)．(1)已知“函數(shù)”的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且時(shí)，；求時(shí)，函數(shù)的解析式；(2)已知函數(shù)，問是否為“函數(shù)”？請說明理由；(3)對于不同的“函數(shù)”與，若、有且僅有一個(gè)對稱中心，分別記為和，①求證：當(dāng)時(shí)，仍為“函數(shù)”；②問：當(dāng)時(shí)，是否仍一定為“函數(shù)”？若是，請說明理由；若不一定是，請舉出具體的反例．【答案】(1)(2)是“函數(shù)”(3)仍為“函數(shù)”；時(shí)，不一定是“函數(shù)”.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像的對稱關(guān)系列關(guān)系式計(jì)算即可；（2）根據(jù)“函數(shù)”的定義，結(jié)合題給的具體函數(shù)解析式，計(jì)算出a,b的值即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)定義驗(yàn)證即可；根據(jù)定義，舉出具體函數(shù)驗(yàn)證結(jié)論，所舉函數(shù)不唯一.（1）根據(jù)“函數(shù)”的概念，，時(shí)，，又時(shí)，時(shí)，即時(shí)，的解析式為.（2）根據(jù)題意，取，上式計(jì)算得，此時(shí)所以函數(shù)是“函數(shù)”.（3）根據(jù)題意，時(shí)，所以此時(shí)仍為“函數(shù)”；時(shí)，不一定是“函數(shù)”.設(shè)，易知函數(shù)圖像關(guān)于對稱，得;設(shè)，知函數(shù)圖像關(guān)于對稱，得此時(shí)，，其圖像不關(guān)于某一點(diǎn)對稱，即不是“函數(shù)”結(jié)論得證.題型九：利用函數(shù)圖像解決不等式問題一、單選題1．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足：，，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，求得的單調(diào)性，再利用函數(shù)的對稱性，即可求得答案．【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)闈M足，所以當(dāng)時(shí)，．所以．此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，．所以．此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；由已知，變形得，即，所以圖像上的點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)也在函數(shù)圖像上，即函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，不等式，可變形為，即，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，有，解得.故選：A．2．（2022春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．[0，1]【答案】D【分析】轉(zhuǎn)化為的圖象在圖象的上方，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到，再求出在的切線的斜率，得到，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】在上恒成立在上恒成立的圖象在圖象的上方，其中，畫出與y=ax的圖象，如下：要想在上恒成立，則；令，則，，若為在的切線，則，故要想在恒成立，則，綜上：.故選：D3．（2022春·福建福州·高三?？计谥校┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解出兩個(gè)集合中的不等式，再求兩個(gè)解集的交集.【詳解】不等式解得，，，不等式解得，，。故選：D二、填空題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義在R上函數(shù)滿足且當(dāng)時(shí)，，則使得在上恒成立的m的最小值是_______________．【答案】##【分析】首先根據(jù)條件求其他區(qū)間的解析式，并計(jì)算每一段的值域，從而確定對應(yīng)的的值，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和圖象，即可求解.【詳解】設(shè)，，，函數(shù)的值域是，，，，函數(shù)的值域是，，，，函數(shù)的值域是，，，，函數(shù)的值域是，所以當(dāng)后，當(dāng)時(shí)，，解得：或，如圖，根據(jù)規(guī)律，畫出函數(shù)的圖象，如圖可知，使在上恒成立的m的最小值是.故答案為：三、解答題5．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)畫出和的圖象；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)畫圖見解析(2)，，【分析】（1）由分段函數(shù)的圖象畫法可得；（2）考慮的圖象經(jīng)過，，結(jié)合圖象平移可得結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故，，可得，的圖象如圖：（2）根據(jù)圖象可知，可以看成經(jīng)過左右平移得到的，當(dāng)?shù)膱D象左支經(jīng)過點(diǎn)，則有恒成立，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，即右平移一個(gè)單位，不恒成立；當(dāng)時(shí)，即右平移至少三個(gè)單位，恒成立，當(dāng)?shù)膱D象右支經(jīng)過點(diǎn)，則有恒成立，可得，解得或2，當(dāng)時(shí)，即不平移，不恒成立；當(dāng)時(shí)，即左平移至少兩個(gè)單位，恒成立，故的取值范圍是.題型十：利用函數(shù)圖像解決方程根與交點(diǎn)問題一、單選題1．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖像，再利用圖像數(shù)形結(jié)合即可發(fā)現(xiàn)、、間的關(guān)系和范圍，最后求得所求范圍.【詳解】函數(shù)的圖像如圖所示：設(shè)，由函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合可知：，，．故選：C．2．（2022·陜西漢中·統(tǒng)考一模）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，則（

）A． B．C． D．無法判斷【答案】C【分析】首先將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的交點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，，去絕對值后，即可求解.【詳解】令，則，如圖分別畫出和，兩個(gè)零點(diǎn)分別設(shè)為，且函數(shù)單調(diào)遞減，如圖可知，，，即，所以.故選：C二、多選題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）形如的函數(shù)，因其圖像類似于漢字“囧”，故被稱為“囧函數(shù)”，則下列說法中正確的選項(xiàng)為（

）A．B．函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對稱C．當(dāng)時(shí)，D．函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)分析函數(shù)的對稱性，畫出函數(shù)圖像，再逐項(xiàng)分析.【詳解】顯然定義域?yàn)?，由于，是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，，，，函數(shù)圖像如下：對于A，，錯(cuò)誤；對于B，由圖可知，正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，正確；對于D，原方程等價(jià)于有4個(gè)解，作函數(shù)的圖像如圖：顯然正確；故選：BCD.4．（2022春·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最小值是0B．的最大值是5C．若關(guān)于的方程有一解，則的取值范圍為D．若關(guān)于的方程有兩解，則的取值范圍為【答案】AB【分析】根據(jù)特殊值可判斷A項(xiàng)；設(shè)，則易知，原方程即為，將當(dāng)成變量，設(shè)，，，原方程有解等價(jià)于的圖象和的圖象有公共點(diǎn)，即可利用數(shù)形結(jié)合解出．【詳解】對于A項(xiàng)：由已知可得，，且當(dāng)時(shí)，解得，符合題意，故A項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，令，則，又，則，即，則原方程可化為．設(shè)，，，整理得，，則的圖象是斜率為的直線的一部分；整理可得，，的圖象是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的四分之一圓.如圖，作出函數(shù)與的圖象，則問題等價(jià)于的圖象和的圖象有公共點(diǎn)，觀察圖形可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)有最大值，由，解得，故B項(xiàng)正確；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得或（舍去）；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得或（舍去）．因此，要使直線與圓有公共點(diǎn)，則有，綜上，，故x的最大值為5，最小值為0．對于C、D項(xiàng)：綜上并結(jié)合圖象可知，當(dāng)或或時(shí)，y有一解；當(dāng)時(shí)，y有兩解．故C、D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB．三、填空題5．（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，直線與函數(shù)的圖象從左至右相交于點(diǎn)，直線與函數(shù)的圖象從左至右相交于點(diǎn)、，記線段和在軸上的投影長度分別為，，當(dāng)變化時(shí)，的最小值是_____．【答案】8【分析】根據(jù)題意分別表示出各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為進(jìn)而表示出，，和，利用基本不等式求最小值.【詳解】設(shè)各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則所以所以所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以，故答案為:8.6．（2022春·上海靜安·高三?？茧A段練習(xí)）已知為奇函數(shù)，當(dāng)，，且關(guān)于直線對稱.設(shè)方程的正數(shù)解為，且任意的，總存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為______.【答案】【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，作出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可知的幾何意義為函數(shù)兩條漸近線之間的距離，從而可得到，進(jìn)而求出的最小值.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，且，又關(guān)于直線對稱，所以，所以，則，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，作出函數(shù)和的圖像如圖所示：由的正數(shù)解依次為、、、、、，則的幾何意義為函數(shù)兩條漸近線之間的距離為2，所以.所以得任意的，，已知任意的，總存在實(shí)數(shù)，使得成立，可得，即的最小值為.故答案為：2.7．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考一模）設(shè)，函數(shù)的圖像與直線有四個(gè)交點(diǎn)，且這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理，求得，和的關(guān)系，以及的范圍，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，借助對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，令，解得或，不妨設(shè)作圖如下：又直線的斜率為，數(shù)形結(jié)合可知，要滿足題意，；且為方程，即的兩根，當(dāng)時(shí)，，則，故；為方程，即的兩根，當(dāng)時(shí)，，則，故；則，令，由對勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，又，故，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程；處理問題的關(guān)鍵是能夠數(shù)形結(jié)合求得，和的關(guān)系，從而借助函數(shù)單調(diào)性求值域，屬綜合中檔題.四、解答題8．（2022春·上海靜安·高三上海市新中高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)和的定義域分別為和，若對任意的，都恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中，則稱為的“重覆蓋函數(shù)”，如，是，的“4重覆蓋函數(shù)”．(1)試判斷，是否為，的“2重覆蓋函數(shù)”，并說明理由；(2)若為,的“3重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，為，的“9重覆蓋函數(shù)”，求的最大值．【答案】(1)不是，理由見解析；(2)(3)61【分析】（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)“重覆蓋函數(shù)”的定義即可判斷；（2）將問題轉(zhuǎn)化為對于任意的，方程恰好有3個(gè)不同的根，然后分三種情況分別求解即可；（3）將問題轉(zhuǎn)化成對于任意的，方程，在內(nèi)有9個(gè)不同的根，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，而,即只有唯一解，所以，的“2重覆蓋函數(shù)”；（2）因?yàn)?為增函數(shù)，所以,的值域?yàn)?，故對于任意的，方程在?nèi)都恰好有個(gè)不同的根，①當(dāng)時(shí)，，若，由，得，若，則，此時(shí)方程在內(nèi)最多只有個(gè)不同的根，不合題意；②當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)最多只有一個(gè)根，在內(nèi)最多有兩個(gè)根，所以在內(nèi)有個(gè)不同的根，在內(nèi)有兩個(gè)根，因?yàn)椋?，所以，解?③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故方程需在內(nèi)有2個(gè)不同根，在內(nèi)有1個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，且，所以，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）因?yàn)楹瘮?shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以的值域?yàn)椋瑢τ谌我獾?，方程，在?nèi)有9個(gè)不同的根，即與直線在軸右側(cè)有9個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知，，即，由，得，解得，故的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．題型十一：指數(shù)相關(guān)的圖像變換問題一、單選題1．（2021·陜西榆林·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)平移規(guī)則分析.【詳解】是單調(diào)遞增的函數(shù)，經(jīng)過，漸近線為，當(dāng)時(shí)，，，漸近線為，所以圖像如下圖：故選：B.2．（2022春·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)．甲同學(xué)將的圖象向上平移個(gè)單位長度，得到圖象；乙同學(xué)將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），得到圖象．若與恰好重合，則下列給出的中符合題意的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)平移和伸縮變換原則，依次驗(yàn)證選項(xiàng)中的函數(shù)變換后的解析式是否相同即可.【詳解】對于A，，，A錯(cuò)誤；對于B，，，B正確；對于C，，，C錯(cuò)誤；對于D，，，D錯(cuò)誤.故選：B.3．（2022春·黑龍江哈爾濱·高三?？茧A段練習(xí)）若兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過若干次平移后能夠重合，則稱這兩個(gè)函數(shù)為“同形”函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．與是“同形”函數(shù)B．與是“同形”函數(shù)C．與是“同形“函數(shù)D．與是“同形”函數(shù)【答案】B【分析】對A利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式得，對B利用誘導(dǎo)公式得則可判斷它不是同形函數(shù)，對C化即可，對D化即可.【詳解】，所以與是“同形函數(shù)”，故A正確；，所以與不是“同形函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；，所以與是“同形”函數(shù)，故C正確；因?yàn)?，所以與是“同形”函數(shù)，故D正確.故選：B.二、填空題4．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考一模）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且時(shí)，，則的值域是_______【答案】【分析】由函數(shù)奇偶性可得函數(shù)在上的解析式，做出圖像即可求得值域.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，所以，作出函數(shù)圖像如下圖所示：由圖像可知：函數(shù)值域?yàn)?故答案為：三、解答題5．（2022春·甘肅白銀·高三校考階段練習(xí)）作出下列函數(shù)圖象(1)(2)【答案】(1)答案見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性和指數(shù)函數(shù)的圖像即可畫出函數(shù)圖像；（2）根據(jù)函數(shù)圖像的平移和翻折結(jié)合對數(shù)函數(shù)圖像即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以函?shù)為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，因此只需要畫時(shí)的函數(shù)圖形即可，，再利用對稱性即可得解.（2）將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位,再將軸下方的部分沿軸翻折上去,即可得到函數(shù)的圖象,如圖所示.題型十二：指對函數(shù)圖像結(jié)合問題一、單選題1．（2022·上海長寧·統(tǒng)考一模）函數(shù)的大致圖像如圖，則實(shí)數(shù)a，b的取值只可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和與軸的交點(diǎn)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】若，為增函數(shù)，且，與圖象不符，若，為減函數(shù)，且，與圖象相符，所以，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知，此時(shí)，所，則，所以，故選:C.2．（2022春·河北廊坊·高三校考階段練習(xí)）已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對稱性知，A項(xiàng)正確；由基本不等式與可得B項(xiàng)正確；由不等式性質(zhì)和基本不等式可得C項(xiàng)正確；方法1：由排除法可知D項(xiàng)錯(cuò)誤；方法2：由零點(diǎn)存在性定理進(jìn)一步縮小與的范圍，可知D項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】如圖所示，∵與互為反函數(shù)，∴與的圖象關(guān)于對稱，∴與垂直，且交點(diǎn)為，則為、的中點(diǎn)，∴，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)：∵∴，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)：由圖知：，，，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)：方法1：由排除法可知D項(xiàng)錯(cuò)誤.方法2：設(shè)，，∵當(dāng)時(shí)，，又∵，∴，∴

①∵當(dāng)時(shí)，，又∵，∴，∴

②∴由①②知：∵當(dāng)時(shí)，，由上式知，∴，∴，③∵當(dāng)時(shí)，，由上式知，∴，

④∴由③④知：∴，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.3．（2022·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)圖象可確定大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】由圖象可知：，.故選：C.4．（2023春·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學(xué)?？计谥校┰O(shè)方程和方程的根分別為p和q，設(shè)函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，關(guān)于直線對稱，而與，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為，根據(jù)對稱性可得，再由圖象開口向上，對稱軸方程為，即可求解.【詳解】由得，由得，所以令，和，這三個(gè)函數(shù)的圖象情況如下圖所示，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，由于與的圖象關(guān)于對稱，而與的交點(diǎn)為，所以，即，又因?yàn)榈膶ΨQ軸為：，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故選：A.5．（2022春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除A，根據(jù)時(shí)的函數(shù)值的正負(fù)可排除B，利用定義域可排除C，進(jìn)而即得.【詳解】由題可得函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，定義域?yàn)椋瑢τ贏，，函數(shù)關(guān)于軸對稱，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋蔆錯(cuò)誤.故選：D.二、多選題6．（2022春·江蘇泰州·高三江蘇省泰興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法正確的是(

)A．命題“，”的否定是“，”B．已知，則“”是“”的必要不充分條件C．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是D．，【答案】AB【分析】對于，根據(jù)存在性命題否定的方法可以判定；對于，先求解不等式，再進(jìn)行判斷；對于，求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)利用對數(shù)函數(shù)的二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于，結(jié)合圖象可以進(jìn)行判斷．【詳解】對于，命題“，”的否定是“，”，故A正確；對于，由得，∴“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對于C，由得函數(shù)的定義域?yàn)椋稍跁r(shí)單調(diào)遞增及在時(shí)單調(diào)遞增可知，的增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；對于，作出函數(shù)和的圖象，∵，故在上，恒成立，∴，不成立，不正確；故選：AB．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足等式，則下列可能成立的關(guān)系式為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出函數(shù)和的圖像，結(jié)合圖像即可判斷.【詳解】由題意，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出函數(shù)和的圖像，如圖所示，由圖像知，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A正確；做出直線，當(dāng)時(shí)，若，則，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，若，則，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，易得，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題8．（2022春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則a，b，c從小到大的關(guān)系是___________.【答案】【分析】由題可得，，，且，分別作出函數(shù)，，和的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果