數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：三角函數(shù)的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。3。4三角函數(shù)的應(yīng)用5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前）1.函數(shù)y=sin|x｜的圖象（)A．關(guān)于x軸對(duì)稱B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于y軸對(duì)稱D．不具有對(duì)稱性思路解析：方法一:可用數(shù)形結(jié)合,利用描點(diǎn)法作出函數(shù)圖象，觀察圖形可知關(guān)于y軸對(duì)稱．關(guān)于函數(shù)圖象對(duì)稱性的問題,可以直接作出圖象,也可以利用解析式．如若f(-x）=f（x)，則函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;f（—x）=—f（x)，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．方法二：∵sin｜—x｜=sin｜x|，∴y=sin|x|為偶函數(shù).故y=sin|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．答案：C2。初速度為v0，發(fā)射角為θ，則炮彈上升的高度y與v0之間的關(guān)系式（t是飛行時(shí)間)為…（)A。y=｜v0t｜B。y=｜v0｜·sinθ·tC。y=｜v0|·sinθ·t—|g｜·t2D.y=|v0｜·cosθ·t思路解析：本題是與物理相結(jié)合的題目，跨學(xué)科的題目要注意知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，找出問題的本質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．由速度的分解可知炮彈上升的速度為v0·sinθ，如下圖。故炮彈上升的高度為|v0｜·sinθ·t．答案：B3。在200米高山頂上,測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°,則塔高為()A．米B.米C．米D．米思路解析:實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合，利用三角函數(shù)列出相等或者不等關(guān)系．如下圖，設(shè)塔高為h米,則200tan30°=(200—h)tan60°,∴h=米．答案：A10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1。圖1-3—8中哪一個(gè)圖象準(zhǔn)確描述了某物體沿粗糙斜面滑下時(shí)的加速度a和斜面傾斜角圖1思路解析：由物理知識(shí)可知，當(dāng)斜面傾斜角θ比較小時(shí)，物體處于靜止?fàn)顟B(tài),加速度為0．故排除選項(xiàng)A、B．根據(jù)受力分析，受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ,∴a=g（sinθ-μcosθ）=gsin（θ—φ）(其中tanφ=μ）．故選D項(xiàng).答案：D2。如圖1—3—9所示，有一廣告氣球，直徑為6m，放在公司大樓上空，當(dāng)行人仰望氣球中心的仰角∠BAC=30°時(shí),測(cè)得氣球的視角為β=1°，若圖1A.70mB。86mC.102mD.118m思路解析：1°=，在Rt△ACD中，AC=．在Rt△ABC中，AC=．∴=?！郆C==3××≈86．答案:B3。圖1—圖1-3思路解析：設(shè)函數(shù)解析式為y=Asin（ωx+φ)，則A=2，由圖象可知T=2×(0.5-0.1）=，∴ω==.2×sin(×0.1+φ）=2.∴×0.1+φ=.∴φ=．∴函數(shù)的解析式為y=2sin（x+）．答案：y=2sin(x+）4。甲、乙兩樓相距60米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?5°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高度分別為_______________．思路解析：如圖,甲樓的高度AC=AB=60米，在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×=20．∴乙樓的高度為BD=BE-DE=60-20（米)．答案：60米，（60—20）米5.一樹干被臺(tái)風(fēng)折成60°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，樹干原來的高度為______．思路解析：如圖，BC=20tan30°=，AB==，所以樹干原來的高度為AB+BC=20（米）．答案：20米6。如圖1—3-11，某人身高a=1。77米,在黃浦江邊測(cè)得對(duì)岸的東方明珠塔尖的仰角α=75.5°,測(cè)得在黃浦江中塔尖倒影的俯角β=75.6圖1-3-11思路解析：解本題的關(guān)鍵是在三角形中利用三角函數(shù)知識(shí)．解:設(shè)黃浦江的寬為b米，則b·tanα=h-a,b·tanβ=h+a．消去b得h=·a=·a．當(dāng)α=75.5°，β=75。6°，a=1.77米時(shí)，h=490.1米．志鴻教育樂園聰明的鄉(xiāng)下人一個(gè)城里人與一個(gè)鄉(xiāng)下人同坐火車。城里人說：“咱們打賭吧!誰(shuí)問一樣?xùn)|西，對(duì)方不知道，就付一塊錢。”鄉(xiāng)下說：“你們城里人比我們鄉(xiāng)下人聰明，這樣賭我要吃虧。這樣吧，要是我問，你不知道，你輸給我一塊錢；你問，我不知道，我輸給你半塊錢?！背抢锶俗允岩姸嘧R(shí)廣，覺著吃不了虧，就答應(yīng)了.鄉(xiāng)下問：“什么東西三條腿在天上飛？”城里人答不上來，輸了一塊錢。之后，城里人向鄉(xiāng)下問了同樣的問題。“我也不知道?！编l(xiāng)下人老實(shí)地承認(rèn)，“這半塊錢給你。"30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練,可用于課后)1.設(shè)y=f（t）是某港口水的深度y（米）關(guān)于時(shí)間t(時(shí)）的函數(shù)，其中0≤t≤24，下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y1215.112.19。111。914.911.98.912。1經(jīng)長(zhǎng)期觀察，函數(shù)y=f(t）的圖象可以近似地看成函數(shù)y=k+Asin（ωt+φ)的圖象.下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是(）A.y=12+3sint，t∈［0，24］B.y=12+3sin(t+π)，t∈［0,24］C.y=12+3sint，t∈[0,24］D。y=12+3sin（t+)，t∈［0，24]思路解析:考查了對(duì)表、解析式、圖形的直觀洞察力估算能力.思維方式大跨度在遷移，體現(xiàn)了新課標(biāo)中增強(qiáng)知識(shí)性的要求.最直接的解法是描點(diǎn)，然后判斷圖象是三角函數(shù)圖象，確定三角函數(shù)的周期為12.特別要注意的是周期不是24。把t=0與t=3代入，容易看出最接近表示數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的是函數(shù)圖象A。答案:A2。如圖1-3—12，某地一天從6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin（ωx+圖1-3（1）求這段時(shí)間的最大溫差；（2）寫出這段時(shí)間的函數(shù)解析式。解:（1）由圖示，這段時(shí)間的最大溫差是30-10=20℃（2)圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin（ωx+φ)+b的半個(gè)周期,∴·=14-6。解得ω=.由圖示，A=(30-10)=10,b=（10+30)=20,這時(shí)，y=10sin（x+φ）+20。將x=6,y=10代入上式,可取φ=。綜上，所求的解析式為y=10sin（x+）+20(x∈［6,14).3。三角函數(shù)的疊加問題在交流電、簡(jiǎn)諧振動(dòng)及各種“波”等問題的研究中，三角函數(shù)發(fā)揮了重要的作用。在這些實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)涉及“波"的疊加，在數(shù)學(xué)上常?？梢詺w結(jié)為三角函數(shù)的疊加問題。設(shè)y1=3sin（2t+)，y2=4sin2t表示兩個(gè)不同的正弦“波"，試求它們疊加后的振幅、周期、初相.解:它們疊加后的函數(shù)是y=y1+y2=3sin（2t+）+4sin2t=3cos2t+4sin2t=（cos2t+sin2t）=5sin（2t+φ）(其中tanφ=）。所以，疊加后的函數(shù)的振幅為5,周期仍為π，即疊加后的“波”的振幅為5，周期仍為π.4?！澳μ燧?中的數(shù)學(xué)問題游樂場(chǎng)中的“摩天輪”勻速旋轉(zhuǎn),其中心O距地面為40.5m，半徑為40m。若從最低點(diǎn)處登上“摩天輪”,那么你與地面的距離將隨時(shí)間變化,5min后到達(dá)最高點(diǎn)。若從你登上“摩天輪”時(shí)開始記時(shí)，請(qǐng)解答下列問題：（1）能求出你與地面的距離y與時(shí)間t的函數(shù)解析式嗎?（2）當(dāng)你登上“摩天輪”8min后,你與地面的距離是多少？（3)當(dāng)你第1次距地面30.5m時(shí)，用了多少時(shí)間？（4）當(dāng)你第4次距地面30。5m時(shí),用了多少時(shí)間?（5)當(dāng)你登上“摩天輪”2min時(shí)，你的朋友也在“摩天輪”最低處登上摩天輪，請(qǐng)求出你的朋友與地面的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。（6）求出你和你的朋友與地面的距離差h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。（7）你的朋友登上“摩天輪”后多少時(shí)間，你們兩人與地面距離相等？（8）你和你的朋友與地面的距離差何時(shí)最大？最大距離差是多少？（9)如果規(guī)定每位游客乘坐“摩天輪”觀景的時(shí)間是每次20min,從你的朋友登上“摩天輪”的時(shí)間算起，什么時(shí)候你的朋友與地面的距離大于你與地面的距離?思路解析：在我們的生活中，只要我們用心去觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)許多與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題.摩天輪在周而復(fù)始的轉(zhuǎn)動(dòng)中，就包含著許多數(shù)學(xué)問題，用我們所學(xué)的知識(shí)就可以去解決。解：(1）如圖,O是摩天輪輪心，作ON垂直地面于N，交輪于P，ON=40。5m，OP=40m.由題意可知,t=0時(shí)，你登上摩天輪上P點(diǎn)，經(jīng)過tmin，旋轉(zhuǎn)到P1處,P1到地面的距離為P1M=y.作P1Q垂直O(jiān)P于Q。因?yàn)槿藦淖畹忘c(diǎn)旋轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)需5min，所以摩天輪的旋轉(zhuǎn)速度為rad/min，經(jīng)過t時(shí)刻摩天輪旋轉(zhuǎn)的角度是trad/min,即∠P1ON=trad/min.由圖不難看出:y=P1M=ON—=40。5—OP1cos∠P1OQ=40。5—40cost=40.5+40sin（t—）。函數(shù)y=40sin(t—)+40.5，即為第（1）問所求函數(shù)解析式.（2)令t=8，得y=40sin（t-）+40。5≈39。3，即登上摩天輪8min后與地面的距離約為39.3m。（3）令y=30。5，得40sin（t—）=—10,即cost=0。25，得t≈2.1，即你第一次距地面30.5m時(shí)，用了約2。1min，你第二次距地面30。5m時(shí)用了約10-2×2.1=5。8(min）。(4）你第四次距地面30。5m用了10+5。8=15。8（min）.(5）你的朋友比你晚2min登上摩天輪,即沿時(shí)間軸向右平移2個(gè)單位，得出你的朋友與地面距離h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y=40sin[（t-2）-]+40。5，即y=40sin（t—）+40。5.（6）你和你的朋友與地面的距離差為y=40sin（t—)—40sin（t-）=40×2cos（t—）·sin≈47cos（t—），即h=47sin(t—）。(7)令h=0，得sin（t-)=0。因?yàn)閠≥0，故t—=π,t=6,即從開始記時(shí)起6min后,兩人與地面距離相等。由于t=2時(shí)你的朋友才登上摩天輪，故你的朋友登上摩天輪4min后，兩人與地面的距離相等.（8）當(dāng)sin（t-）=1時(shí)，即t—=，t=3。5min時(shí)，h達(dá)到最大，最大值距離差約為47m。（9)令h〈0，即sin（t-）<0，故（2k+1）π〈t-<（2k+2）π(k∈Z）.因?yàn)閮晌挥慰统俗μ燧喌臅r(shí)間是每次20min，因此從你登上摩天輪開始計(jì)時(shí)到兩人都下摩天輪為止,需經(jīng)過22min，即t的取值范圍是0<t<22，故取k=0或1，6〈t〈11或16〈t〈22。從你的朋友登上摩天輪的時(shí)間算起，第4min到第9min，以及第14min到第20min為止，你的朋友與地面的距離大于你與地面的距離.5.電流I隨時(shí)間t變化的關(guān)系式是I=Asinωt,t∈［0,+∞）,設(shè)ω=10πrad/s，A=5.（1)求電流I變化的周期；(2）當(dāng)t=0，，，，（單位：s）時(shí)，求電流I。思路解析:（1）周期為==．（2）把t、A值分別代入，求出I值．解：（1）T=；（2）當(dāng)t=0時(shí),I=0；當(dāng)t=時(shí)，I=5sin；當(dāng)t=時(shí)，I=5sin；當(dāng)t=時(shí),I=5sin；當(dāng)t=時(shí)，I=5sin.6。某地為發(fā)展旅游事業(yè)，在旅游手冊(cè)中給出了當(dāng)?shù)匾荒?2個(gè)月每個(gè)月的月平均氣溫表，如圖1-3-13（氣溫單位：℃）.根據(jù)圖中提供的數(shù)據(jù)，試用y=Asin（ωt+φ)近似地?cái)M合出月平均溫度與時(shí)間（單位:月）的函數(shù)關(guān)系，并求出其周期和振幅,以及氣溫達(dá)到最大值和最大值時(shí)間（答案不唯一）。圖1-3-13思路解析：據(jù)圖求出A、ω、φ的值，再求出溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系等．答案：y=32sin（t—）.7.某動(dòng)物種群數(shù)量1月1日低至700，7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦曲線變化．(1）畫出種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的圖象；（2）求出種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式(其中t以年初以來的月為計(jì)量單位）．思路解析:本題主要考查三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，以及由圖象得出解析式的能力．解:(1）種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間變化的圖象如圖所示。（2）設(shè)表示該曲線的三角函數(shù)為y=Asin(ωx+φ）+k，由已知平均數(shù)量為800，最高數(shù)量與最低數(shù)量之差為200，數(shù)量變化周期為12個(gè)月，∴振幅A==100，即ω==,k=800．又7月1日種群數(shù)量達(dá)到最高，∴×6+φ=.∴φ=—．∴種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為y=100sin（t-3）+800．8．已知水渠在過水?dāng)嗝婷娣e為定值的情況下,過水濕周越小，其流量越大．現(xiàn)有以下兩種設(shè)計(jì)如圖1-3—14：圖（1）的過水?dāng)嗝鏋榈妊鰽BC，AB=BC，過水濕周l1=AB+BC;圖（2)的過水?dāng)嗝鏋榈妊菪蜛BCD，AB